SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT chun Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm) Giải phương trình: cos x sin x.cos x sin x cos x �x y � 2 Giải hệ phương trình: �2 y z �xy yz zx � x, y, z �� Câu II (2 điểm) � ,� � , CDA � Giả sử A, B, C , D số đo góc DAB tứ giác lồi ABCD ABC , BCD A B C A Tìm giá trị lớn biểu thức P sin sin B sin C sin D Chứng minh sin A sin B sin C �3sin Câu III (1 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt � 2� đường thẳng BC điểm M Biết BM MN BAC ABC Tính góc tam giác ABC Câu V (1 điểm) �1 � � � Cho hàm số f : 0; � � 0; � thỏa mãn điều kiện f x �f � f x � x với x Chứng minh f x �x với x -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung I I.1 (2 điểm) 4điểm cos x sin x.cos x sin x cos x � cos x sin x.cos x cos x sin x.cos x sin x cos x Điểm 0,5 � sin x sin x.cos x cos x sin x.cos x sin x cos x � sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x � sin x cos x sin x cos x � � � sin �x � � sin x cos x � � 4� �� �� � � � sin x cos x � sin �x � � � � 6� � x k � � x k � � � � � x k 2 � � x k 2 k �� � 6 � 2 � x k 2 � � x k 2 � � 6 I.2 (2 điểm) +) Nếu x thay vào hệ ta có hệ vơ nghiệm +) Nếu x �0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta �x 2a � � � 4a 3b 1 2a 2a 3b �2 � � 2 �� 1 �x 2a 3b � � 2a a b a 1 2a a ab b �2 � � x a ab b � � 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 � a 1 � � � b �1 � � 4a 3b � � �4a 3b �� �� �� b 2a � a 1 2a 1 b a 1 � a 1 2a b � � � � � 2a 3a � � �a 1 +) Nếu � thay vào (1) không thỏa mãn b �1 � 2 2 � �a � � b 1 � � b 2a � �a �� +) Nếu � vào (1) không thỏa mãn, thay thay � � b 1 � �a � �2a 3a � � � � b0 � � � �a � vào (1) ta có x � Do nghiệm hệ � b0 � 1 � �� � x; y; z � 2; ;0 �, � 2; ;0 � �� � � 0,5 0,25 0,25 II II.1 (1 điểm) x y 2điểm Nhận xét Nếu x, y; x y x y x y sin x sin y 2sin cos �2sin Dấu xảy x y 2 0,25 Sử dụng nhận xét ta có A B C A B A B 4C �2sin 2sin A B A B 4C A BC �4sin 4sin A B C sin A sin B sin C �3sin Dấu xảy A B C sin A sin B sin C sin 0,5 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt t BC D 2 , ta có A 2 3t; t 3 1 Khi theo phần II.1 ta có �2 3t � P � sin � cos t sin t � 3sin t 2 � � 0,25 0,25 2� � � � �5 � � � ��sin t cos t Khi P � � � � � � � � �2 �� � � 0,25 ; sin t 2 28 28 Vậy max P � B C D t , A 2 3t (với t xác định (1) (2)) Đẳng thức xảy cos t +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ 1điểm số có cách chọn có A97 cho vị trí lại Vậy n A A97 0,25 III +) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45M9 nên số có chín chữ số đôi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác tập B \ 0; 9 ; B \ 1; 8 ; B \ 2; 7 ; B \ 3; 6 ; B \ 4; 5 nên số số loại A88 4.7 A77 A88 4.7 A77 Vậy xác suất cần tìm A97 0,5 0,25 � 900 , O trung điểm IC1 IV * Dễ thấy IPC 2điểm � IC � P CAB � CC � B � BC // OP * IOP 1 * Do BM=MN; OI OC1 � IN // C1B � BAC � � � BAC � , mà CIA ACB Do CIA 1 � BAC � � � � ACB � BAC ACB Vậy BAC � � � 2� Cùng với BAC ACB 720 ; � ABC 360 ABC ta BAC 0,25 C 0,5 0,5 0,5 A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1điểm �1 � f (3 x) �f � f (2 x) � x (1) �2 � �1 Từ (1) suy f ( x) �f � �2 Khi �1 f ( x) �f � �2 0,25 � 2x 2x �2 x � f� � � f ( x) , x (2) � �3 � � � 2x �2 x � f� � � �3 � � �2 x � x �2 x � x �4 � f � � f � � � �x �3 � 3 �3 � �27 � 0,25 2 an 1 an2 3 * Ta chứng minh quy nạp theo n với n �� ln có Xét dãy (an ) , (n=1,2,…) xác định sau: a1 f ( x) an x với x (3) Thật vậy, n theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n k Khi �1 �2 x � � 2x 2x 2x �2 x � x f ( x) �f � f � � a f � � a a � �2 �3 � � k �3 � k k a2 k x ak 1.x 0,25 Vậy (3) với n k Tiếp theo ta chứng minh lim an Thật vậy, ta thấy an n ��* Do đó: an 1 an (an 1)(an 2) , suy dãy (an ) tăng ngặt 3 Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an l l l với l �1 , suy l Vậy lim an Do ®ã tõ (3) suy f ( x ) �x víi mäi x (®pcm) 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2 011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung