KỸ THUẬT mã hóa PAILLIER TRONG LĨNH vực bỏ PHIẾU điện tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN _ _ Phù Khắc Anh KỸ THUẬT MÃ HÓA PAILLIER TRONG LĨNH VỰC BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ (Paillier cryptosystem in electronic voting) LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH : KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60.48.01.01 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN ĐÌNH THÚC TP HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn "Kỹ thuật mã hóa Paillier lĩnh vực bỏ phiếu điện tử" (Paillier cryptosystem in electronic voting) thành nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Thúc Trong trình thực luận văn, tơi có tham khảo thừa hƣởng kết nghiên cứu nhà nghiên cứu trƣớc với lòng trân trọng sâu sắc LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn trƣờng Đại học Công nghệ Thông tin – Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho thực luận văn tốt nghiệp Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Đình Thúc trực tiếp hƣớng dẫn bảo tận tình cho tơi suốt thời gian thực luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến TS Ngô Minh Nhựt giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng hoàn thành luận văn phạm vi khả cho phép, nhƣng chắn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong cảm thơng tận tình bảo quý thầy cô bạn Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2016 Phù Khắc Anh MỤC LỤC MỤC LỤC DANH SÁCH CÁC BẢNG DANH MỤC HÌNH ẢNH DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT, THUẬT NGỮ LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ 11 1.1 Khảo sát toán bỏ phiếu điện tử 11 1.2 Mã hóa đồng cấu lĩnh vực bỏ phiếu điện tử 11 1.3 Khảo sát thực tế toán bỏ phiếu điện tử 14 1.3.1 Bầu cử tổng thống Mỹ 14 1.3.2 Bầu cử Quốc Hội nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam 16 1.4 Thực trạng bỏ phiếu điện tử giới Việt Nam 17 1.5 Tổng kết chƣơng 25 CHƢƠNG MÃ HÓA ĐỒNG CẤU 26 2.1 Các khái niệm mã hóa giải mã 26 2.1.1 Mở đầu 26 2.1.2 Các khái niệm mật mã học 26 2.2 Mã hóa đồng cấu 34 2.2.1 Định nghĩa mã hóa đồng cấu : 34 2.2.2 Chứng minh RSA hệ mã đồng cấu 35 2.2.3 Chứng minh hệ mã Elgamal đồng cấu 36 2.3 Hệ mã Paillier 36 2.3.1 Các khái niệm 37 2.3.2 Lƣợc đồ mã hóa 37 2.4 Phần tử sinh 38 2.4.1 Khái niệm phần tử sinh: 38 2.4.2 Thuật tốn tìm phần tử sinh 39 2.5 Tổng kết chƣơng 39 Chƣơng Bỏ phiếu điện tử 41 3.1 Giới thiệu 41 3.2 Bỏ phiếu điện tử sử dụng mã đồng cấu 42 3.2.1 Hệ mã RSA : 42 3.2.2 Hệ mã Elgamal 43 3.3 Mơ hình bỏ phiếu điện tử dùng mã hóa Paillier 44 3.3.1 Giới thiệu 44 3.3.2 Một số tính chất đồng cấu hệ mã Paillier 44 3.3.3 Giao thức 45 3.3.4 Tính đắn độ an toàn 47 Kết luận chƣơng 49 3.4 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ 50 4.1 Giới thiệu 50 4.1.1 Bài toán phát sinh hai số nguyên tố lớn p,q 50 4.1.2 Thuật tốn bình phƣơng nhân 52 4.1.3 Thuật toán Euclid mở rộng 53 4.2 Thiết kế 55 4.2.1 Cấu hình thực nghiệm 55 4.2.2 Mơ hình xử lý 55 4.2.3 Điều kiện sử dụng hệ thống 56 4.2.4 Quy trình thực 57 4.3 Kết thực nghiệm 58 4.3.1 Khảo sát việc phát sinh hệ mã 58 4.3.2 Khảo sát tốc độ mã hóa phiếu 60 4.3.3 Khảo sát tốc độ giải mã 64 4.3.4 Khảo sát độ xác, tỉ lệ phát sinh lỗi 67 4.4 Tổng kết chƣơng 67 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68 5.1 Kết luận 68 5.2 Kiến nghị hƣớng phát triển 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 4.2 Minh họa thuật toán Euclid mở rộng 54 Bảng 4.3 Kết thực nghiệm phát sinh hệ mã Paillier 1024 bit 59 Bảng 4.4 Kết thực nghiệm mã hóa phiếu cử tri 63 Bảng 4.5 Kết thực nghiệm giải mã kết bầu cử 66 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1 Minh họa mã hóa phiếu bầu cho cử tri [22] 13 Hình 1.2 So sánh ba hệ mã ứng với rõ 2048 bit [6] 19 Hình 1.3 So sánh ba hệ mã ứng với rõ 4096 bit [6] 19 Hình 1.4 Tốc độ mã hóa/ giải mã ( tính theo bit ) giây đƣợc kiểm nghiệm máy tính Pentuim III 750 MHz [6] 19 Hình 1.5 Năm tình nguy hiểm dẫn đến rị rỉ thơng tin phiếu bầu [24] 20 Hình 1.6 Bảng kết dựa liệu demo module bỏ phiếu điện tử đơn vị CPCVN [13] 22 Hình 1.7 Giao diện chức CPC eVote [13] 23 Hình 1.8 Mơ hình hệ thống bỏ phiếu điện tử CPC eVote [13] 23 Hình 2.1 Một số hàm băm mã hóa chiều [12] 29 Hình 3.1 Quy trình bỏ phiếu điện tử 46 Hình 4.1 Dãy số đƣợc sử dụng để khởi tạo hệ mã Paillier 1024 bit hệ thống 58 Hình 4.2 Minh họa trƣờng hợp thử nghiệm phát sinh hệ mã 59 Hình 4.3 Giao diện minh họa bƣớc bỏ phiếu cử tri 60 Hình 4.4 Cử tri nhận "degit" để tiến hành bỏ phiếu 61 Hình 4.5 Trƣờng hợp ID Password cử tri cung cấp khơng xác 61 Hình 4.6 Trƣờng hợp ID đƣợc đăng ký Degit 62 Hình 4.7 Hình ảnh minh họa trƣờng hợp bỏ phiếu 62 Hình 4.8 Hình ảnh minh họa trƣờng hợp cử tri cung cấp chứng nhận không hợp lệ bỏ phiếu 63 Hình 4.4 Danh sách phiếu mã hóa đƣợc ghi nhận lại 64 Hình 4.5 Kết gộp phiếu mã hóa mã 65 Hình 4.6 Kết giải mã tạm thời ban kiểm phiếu, cần đƣợc ráp nối với danh sách cử tri kết cuối 65 Hình 4.7 Minh họa kết chung cuộc bầu cử 66 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Thuật tốn mã hóa : Thuật tốn mã hóa rõ : Tập {0, 1, , sử dụng khóa cơng khai } : Tập phần tử khả nghịch theo modulo : Số lƣợng phần tử tập : Hàm Phi Euler, số số nguyên dƣơng nguyên tố với N : Bội chung nhỏ : Ƣớc chung lớn DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT, THUẬT NGỮ MD5 : Message-Digest Algorithm SHA : Secure Hash Algorithm DES : Data Encryption Standard AES : Advanced Encryption Standard AMPAS : Academy of Motion Picture Arts and Sciences : Composite Resudousity : Composite Resudousity Class Problem : N-th Residuosity Class Problem : Decisional Problem associated to DCRA : Decisional Composite Residousity Assumption CCRA : Computational Composite Residousity Assumption CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Với hệ mã Paillier 1024 bit sử dụng bầu cử với số cử tri lên đến hàng chục triệu ngƣời (xem mục 1.3), việc khởi tạo hệ mã thực lần cho việc tổ chức bầu cử, kết thời gian chạy thử nghiệm chấp nhận đƣợc 4.3.2 Khảo sát tốc độ mã hóa phiếu Nội dung Cử tri chọn chức bỏ phiếu, dựa theo danh sách ứng cử viên hiển thị, lựa chọn ứng cử viên mong muốn, sau tiến hành mã hóa gởi phiếu đƣợc mã hóa hòm phiếu Kết thực nghiệm đƣợc ghi nhận qua mƣời lần tiến hành bỏ phiếu mã hóa Hình 4.3 Giao diện minh họa bƣớc bỏ phiếu cử tri 60 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Hình 4.4 Cử tri nhận "degit" để tiến hành bỏ phiếu Hình 4.5 Trƣờng hợp ID Password cử tri cung cấp khơng xác 61 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Hình 4.6 Trƣờng hợp ID đƣợc đăng ký Degit Hình 4.7 Hình ảnh minh họa trƣờng hợp bỏ phiếu 62 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Hình 4.8 Hình ảnh minh họa trƣờng hợp cử tri cung cấp chứng nhận không hợp lệ bỏ phiếu Bảng 4.4 Kết thực nghiệm mã hóa phiếu cử tri Lần Thời gian (s) 3.0807 2.9997 3.0784 2.9672 2.9865 2.9759 3.0576 2.9658 3.0106 10 2.9710 11 3.0123 12 2.8796 13 3.1014 14 2.8898 15 2.9134 63 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Thời gian trung bình : 2.9983 (s) Với hệ mã Paillier 1024 bit sử dụng bầu cử với số cử tri lên đến hàng chục triệu ngƣời (xem mục 1.3), thời gian mã hóa phiếu cử tri qua thử nghiệm nhƣ tạm chấp nhận đƣợc 4.3.3 Khảo sát tốc độ giải mã Nội dung : Tiến hành thử nghiệm giải mã nội dung mã đƣợc tích hợp file result.txt Nội dung file result.txt mã 1024 bit Vì tốc độ giải mã không phụ thuộc vào số lƣợng phiếu đƣợc mã hóa, mà phụ thuộc vào quy mơ hệ mã, cụ thể phụ thuộc vào khóa bí mật private key Tuy nhiên để thử nghiệm có tính khách quan, tác giả tiến hành thử nghiệm giải mã trƣờng hợp ứng với 200 phiếu bầu, phiếu bầu từ đến ứng cử viên Hình 4.4 Danh sách phiếu mã hóa đƣợc ghi nhận lại 64 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Hình 4.5 Kết gộp phiếu mã hóa mã Hình 4.6 Kết giải mã tạm thời ban kiểm phiếu, cần đƣợc ráp nối với danh sách cử tri kết cuối 65 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Hình 4.7 Minh họa kết chung cuộc bầu cử Bảng 4.5 Kết thực nghiệm giải mã kết bầu cử Lần Thời gian (s) 3.7859 3.7689 3.6848 3.7904 3.7642 3.7704 3.9142 3.7103 3.7044 10 3.7182 11 3.8123 12 3.7126 13 3.7987 14 3.8427 15 3.8635 66 CHƢƠNG HỆ THỐNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Thời gian trung bình: 3.7698 (s) Với hệ mã Paillier 1024 bit sử dụng bầu cử với số cử tri lên đến hàng chục triệu ngƣời (xem mục 1.3), thời gian giải mã để ghi nhận kết chung cuộc bầu cử qua thử nghiệm chấp nhận đƣợc 4.3.4 Khảo sát độ xác, tỉ lệ phát sinh lỗi Trong trình chạy thử nghiệm mục 4.3.2 4.3.3, tác giả ghi nhận giá trị phiếu trƣớc mã hóa so sánh với kết giải mã tƣơng ứng Kết tỉ lệ lỗi 4.4 Tổng kết chƣơng Qua kết thực nghiệm chƣơng 4, tác giả nhận thấy tốc độ phát sinh hệ mã tốc độ giải mã dừng mức chấp nhận đƣợc thực lần việc tổ chức bầu cử Tuy nhiên tốc độ mã hóa phiếu cử tri chƣa nhanh, lại thao tác đƣợc thực nhiều hệ thống ta xét quy mô bầu cử tƣơng đối lớn Nguyên nhân khách quan quy mô hệ mã Paillier 1024 bit khiến cho việc tính tốn tốn chi phí thời gian, cấu hình máy tính thử nghiệm có hạn Ngun nhân chủ quan cài đặt tác giả Tuy nhiên nhìn chung, với kết thực nghiệm ghi nhận đƣợc, hệ thống bỏ phiếu điện tử có khả phát triển ứng dụng vào thực tế 67 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận Trong xu hƣớng phát triển khoa học công nghệ ngày nay, công nghệ thông tin ngày phổ biến, Internet ngày phát triển mạnh mẽ Bỏ phiếu điện tử vấn đề có ý nghĩa phát triển xã hội, đƣợc nghiên cứu cải không ngừng để ngày hồn thiện hơn, đặc biệt hình thức bỏ phiếu điện tử cho phép bỏ phiếu từ xa Bỏ phiếu điện tử bƣớc đầu đƣợc xây dựng tƣơng lai dần thay hình thức bỏ phiếu truyền thống Tuy bỏ phiếu truyền thống số trƣờng hợp đặc thù cần đƣợc sử dụng mà bỏ phiếu điện tử chƣa thể thay đƣợc Bỏ phiếu điện tử đời hỗ trợ việc quản lý tổ chức, doanh nghiệp, nhƣ phủ đƣợc tốt hơn, tiết kiệm chi phí, nguồn lực Để đạt đƣợc thành tựu trên, bỏ phiếu điện tử phải trải qua nhiều chặng đƣờng nghiên cứu cần đƣợc hoàn thiện qua thời gian Thách thức đặt cho bỏ phiếu điện tử theo thời gian, với phát triển máy tính, phát tốn học, sở toán học toán tảng xây dựng cho hệ thống bỏ phiếu điện tử bị phá vỡ "độ an tồn" Điều địi hỏi nhà nghiên cứu phải không ngừng cải tiến toán sở tồn cố gắng xây dựng toán sở hệ thống bỏ phiếu điện tử Một thách thức khác triển khai hệ thống bỏ phiếu điện tử cho phép bỏ phiếu từ xa vấn đề bảo mật mạng Sự tiện ích đồng thời mang lại nhiều rủi ro, vấn đề xác định danh tính cử tri nhƣ bảo mật truyền nhận thông tin mạng vấn đề cần đƣợc nghiên cứu nhiều để hoàn thiện bỏ phiếu điện tử cho phép bỏ phiếu từ xa Sau tổng kết lại nội dung trình bày, tác giả đúc kết đƣợc ƣu điểm hạn chế luận văn nhƣ sau :  Ƣu điểm : - Khảo sát hệ mã đồng cấu Paillier cài đặt hệ mã Paillier 1024 bit với thuật toán khác số lớn nhƣ: Miller Rabin, thuật tốn bình phƣơng nhân, Euclid mở rộng 68 PHỤ LỤC - Xây dựng thành công hệ thống bỏ phiếu điện tử thử nghiệm - Đã chạy thử nghiệm thuật toán cho thấy kết phép kiểm tra hoàn toàn xác - Có tính thực tiễn, có khả phát triển ứng dụng vào thực tế  Hạn chế : - Chƣa đƣa đƣợc cách giải chống vào trình cử tri đăng ký hệ thống, ngƣời công công đƣợc chứng nhận degit cử tri làm sai lệch số phiếu - Chƣa kiểm tra xét trƣờng hợp phiếu sai quy định, phiếu rỗng, phiếu bầu nhiều số cử tri đƣợc bầu 5.2 Kiến nghị hƣớng phát triển - Cần nghiên cứu thêm hoàn thiện bƣớc đăng ký cử tri, sử dụng phƣơng án dùng hệ mã đồng cấu gộp hai mã password đăng nhập cử tri ( chƣa đƣợc hash ) chứng nhận degit ghi nhận vào sở liệu Ngƣời công có cơng đƣợc vào sở liệu từ mã đƣợc gộp này, kể giải mã đƣợc không truy đƣợc chứng nhận degit, password sở liệu đƣợc mã hóa chiều tính chất mã hóa đồng cấu khiến cho việc truy nội dung mã trƣớc gộp khó - Hoàn thiện việc kiểm tra trƣờng hợp phiếu sai quy định, phiếu rỗng, phiếu bầu nhiều số cử tri đƣợc bầu - Tìm hiểu nghiên cứu việc cải tiến hệ mã Paillier vận dụng phù hợp vào lĩnh vực bỏ phiếu điện tử nhằm tăng tốc độ xử lý hệ thống 69 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Trịnh Nhật Tiến, Trƣơng Thị Thu Hiền, "Về quy trình bỏ phiếu từ xa", Đại học cơng nghệ, đại học quốc gia Hà Nội ( 2005 ) [17] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội, "Sách Đại số đại cƣơng", Đại học Quốc gia Tp.HCM Đại học Khoa học Tự nhiên" [27] Trịnh Nhật Tiến, Đặng Thu Hiền, Trƣơng Thị Thu Hiền, Lƣơng Việt Nguyên, "Mã hoá đồng cấu ứng dụng", Tạp chí Khoa học ĐHQGH Khoa học Tự nhiên Công nghệ 26 (2010), pp.44-48 Tiếng Anh: [2] Barbara Simons and Douglas W Jones (2012), "Internet Voting in the U.S.", Communications of the ACM , Vol.55, pp.68-77 [3] Paillier, P (1999, May) Public-key cryptosystems based on composite degree residuosity classes In International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques (pp 223-238) Springer Berlin Heidelberg [4] Schoenmakers, B (1999, August) A simple publicly verifiable secret sharing scheme and its application to electronic voting In Annual International Cryptology Conference (pp 148-164) Springer Berlin Heidelberg [5] Ivan Damg_ard and Mads Jurik (2001), "A Generalisation, a Simplification and Some Applications of Paillier’s Probabilistic Public-Key System", PKC 2001, LNCS 1992, pp 119–136 [6] Damgård, I., Jurik, M., & Nielsen, J B (2010) "A generalization of Paillier’s public-key system with applications to electronic voting", International Journal of Information Security, 9(6), 371-385 [7] Robinson, D G., & Halderman, J A (2011, February) "Ethical issues in evoting security analysis" In International Conference on Financial Cryptography and Data Security (pp 119-130) Springer Berlin Heidelberg 70 PHỤ LỤC [8] Tobias Volkhausen, (2006), "Paillier Cryptosystem: A Mathematical Introduction" [19] Christina McIntosh, "Finding Prime Numbers: Miller Rabin and Beyond"(2016), Furman University Electronic Journal of Undergraduate Mathematics, Vol.12, pp.1-4 [22] Sansar Choinyambuu, Homomorphic Tallying with Paillier Cryptosystem (2009) [23] Ron Rivest, Lecture Notes 15 : Voting, Homomorphic Encryption in: Computer and Network Security (2002) [24] Andreas Steffen - Hochschule für Technik Rapperswil, The PaillierCryptosysem - E-VotingSeminar (2010) [25] P.Y.A Ryan - Newcastle University, School of Computing Science, NE1 7RU Newcastle, United Kingdom, Prêt Voter with Paillier encryption (2008) [26] Xia, Z., Schneider, S A., Heather, J., & Traoré, J (2008) "Analysis, Improvement, and Simplification of Prêt Voter with Paillier Encryption", EVT, Vol.8, pp.1-15 [28] Ron Rivest, "Lecture Notes 15 : Voting, Homomorphic Encryption", Computer and Network Security (2002) [29] Tobias Volkhausen, "Paillier Cryptosystem: A Mathematical Introduction" (2006) Trang web : [9] Bầu cử tổng thống Hoa Kỳ, 2008, https://vi.wikipedia.org/wiki/Bầu_cử_tổng_thống_Hoa_Kỳ [10] Dân số VN đạt 90,4 triệu ngƣời, TP.HCM có 7,95 triệu dân, http://tuoitre.vn/tin/chinh-tri-xa-hoi/20141217/dan-so-vn-dat-904-trieu-nguoitphcm-co-795-trieu-dan/686193.html 71 PHỤ LỤC [11] Lịch trình bầu cử, cấu đại biểu Quốc hội khóa XIV, http://tuoitre.vn/tin/chinh-tri-xa-hoi/20160301/lich-trinh-bau-cu-co-cau-dai-bieuquoc-hoi-khoa-xiv/1059799.html [12] Hàm băm mật mã học, https://vi.wikipedia.org/wiki/Hàm_băm_mật_mã_học [13] Tháng 2, triển khai dịch vụ bỏ phiếu điện tử E-Voting, http://www.fpts.com.vn/VN/Tin-tuc/Trong-nuoc/Thitruong/2016/01/3BA2681D_thang-2-se-trien-khai-dich-vu-bo-phieu-dien-tu-evoting/ [14] Bỏ phiếu điện tử - Bƣớc tiến ứng dụng CNTT phục vụ công tác thi đua khen thƣởng Cơ quan EVNCPC, http://www.cpc.vn/home/TTuc_Detail.aspx?pm=ttuc&sj=KHKTSK&id=12936# V4W-k_lvBms [15] Tháng 2, triển khai dịch vụ bỏ phiếu điện tử E-Voting, http://tinnhanhchungkhoan.vn/chung-khoan/thang-2-se-trien-khai-dich-vu-bophieu-dien-tu-evoting-141646.html [16] E-Voting, cổ đông không sợ quyền, http://tinnhanhchungkhoan.vn/chung-khoan/evoting-co-dong-khong-so-matquyen-151326.html [18] Căn nguyên thủy modulo n, https://vi.wikipedia.org/wiki/ Căn_ngun_thủy_modulo_n [20] Thuật tốn bình phƣơng nhân, https://vi.wikipedia.org/wiki/ Thuật_tốn_bình_phƣơng_và_nhân [21] Giải thuật Euclid mở rộng, https://vi.wikipedia.org/wiki/ Giải_thuật_Euclid_mở_rộng 72 PHỤ LỤC Nhóm cyclic Trong lý thuyết nhóm, nhóm cyclic hay nhóm monogenous nhóm đƣợc sinh từ tập hợp sinh gồm phần tử g, phần tử đƣợc gọi phần tử sinh nhóm Nếu nhóm đƣợc viết theo lối nhân phần tử nhóm lũy thừa g, cịn nhóm đƣợc viết theo lối cộng phần tử nhóm bội g Một nhóm G đƣợc gọi nhóm cyclic G tồn phần tử g cho G = = { gn với số nguyên n } Chẳng hạn, G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, G cyclic, G đẳng cấu với nhóm số {0, 1, 2, 3, 4, 5} với phép cộng modulo 6, nghĩa (1 + 2) mod = 3, (2 + 5) mod = 1, Định lý nhóm cyclic: Nếu nhóm của ƣớc nhóm cyclic cấp nhóm cyclic Ngồi ra, bậc nhóm với ƣớc dƣơng nhóm có nhóm cấp Mọi nhóm cyclic hữu hạn đẳng cấu với nhóm { 0, 1, 2, , n − } (theo phép cộng modulo n), nhóm cyclic vơ hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z Lý thuyết đồng dƣ Cho số nguyên dƣơng n, hai số nguyên a,b đƣợc gọi đồng dƣ theo mô-đun n chúng có số dƣ chia cho n Điều tƣơng đƣơng với hiệu a-b chia hết cho n Kí hiệu: Ví dụ: i PHỤ LỤC Ngồi tính chất quan hệ tƣơng đƣơng (phản xạ, đối xứng, bắc cầu), phép đồng dƣ cịn có thêm tính chất sau: Có thể cộng, trừ, nhân nâng lên lũy thừa đồng dƣ thức có mơ-đun, cụ thể Nếu ta có: Thì ta có:     Nếu số nguyên dƣơng n số nguyên a nguyên tố tồn số { } cho nghịch đảo a theo mô-đun n ii , số x đƣợc gọi ... hợp số thuật toán, nhƣ đề xuất phần tử sinh nhằm rút ngắn thời gian mã hóa nhƣ giải mã Nội dung luận văn trình bày kỹ thuật mã hóa Paillier vào lĩnh vực bỏ phiếu điện tử, cụ thể hệ mã Paillier. .. vực bỏ phiếu điện tử, phân tích tính khả thi nhƣ độ an tồn việc áp dụng mã hóa đồng cấu vào lĩnh vực bỏ phiếu điện tử Cụ thể ta xét ba hệ mã: RSA, Elgamal Paillier 40 CHƢƠNG BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ Chƣơng... VIẾT TẮT, THUẬT NGỮ LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ BỎ PHIẾU ĐIỆN TỬ 11 1.1 Khảo sát toán bỏ phiếu điện tử 11 1.2 Mã hóa đồng cấu lĩnh vực bỏ phiếu điện tử 11