CHƯƠNG ĐẠI SỐ TỔ HP I/ TÓM TẮT GIÁO KHOA 1. Quy tắc đếm: Nếu có a cách chọn hành động A và có b cách chọn hành động B, thì có: (a+b) cách chọn hành động A hoặc B (a.b) cách chọn hành động A và B 2. Giai thừa: Đònh nghóa: 0! =1; n!=1.2.3…n Tính chất: n!=n(n-1)! n)n) .(k)(k( k! n! 121 −++= (k < n) 3. Hoán vò : - Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phân tử ( n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phân tử của A được gọi là 1 hoán vò của n phân tử đó. - Số hoán vò của n phân tử là : P n = n!. 4. Chỉnh hợp. - Đònh nghóa : Cho 1 ≤ k ≤ n và một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử (từ n phần tử của A) được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. - Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : )kn) .(n)(n(n )!kn( !n A k n 121 +−−−= − = 5. Tổ hợp: - Đònh nghóa : Cho 0 ≤ k ≤ n và một tập hợp A gồm n phân tử. Một tổhợp chập k của n phần tử là 1 tập con gồm k phần tử của n phần tử đó. - Số tổhợp chập k của n phần tử là : )!kn(!k !n C k n − = - Tính chất : kn n n nn C;CC − == 1 0 (0 ≤ k ≤ n) k n k n k n CCC =+ − − − 1 1 1 (0 ≤ k ≤ n) 6. Nhò thức Newton : an n n n i n n n a n n n n n bCabC .baCaCbaC)ba( ++++==+ − = −−− ∑ 1 0 1110111 Đặc biệt : nn nnnn n xC .xCxCC)x( ++++=+ 2210 1 II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1 : Vận dụng quy tắc đếm Thí dụ 1 : Có 5 con đường đi từ TPHCM đến Đà Lạt và 3 con đường đi từ Đà Lạt đến Nha Trang. Một đoàn du lòch từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt. Hỏi có bao nhiêu cách đi ? Giải : Đi từ TPHCM đến Đà Lạt, đoàn du lòch có 5 cách đi. Đi từ Đà Lạt đến Nha Trang, đoàn du lòch có 3 cách đi. Vậy đoàn du lòch đi từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt sẽ có 5 x 3 = 15 cách đi. Thí dụ 2 : Cho 4 chữ số 1, 3, 5, 7 1. Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên. 2. Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3 ? 3. Trong các số tự nhiên nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi 15 ? Giải : 1. Các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đã cho, bằng số hoán vò của 4 phần tử : P 4 = 4! = 24 2. Mỗi hoán vò của 3 chữ số : 1, 5, 7 ghép với chữ số 3 đứng đầu sẽ cho một số tự nhiên cần tìm. Số các số như thế là : P 3 = 3! = 6 3. Tươngtự số các số tự nhiên bắt đầu bởi 15 là : P 2 = 2 Thí dụ 3 : Cho tập hợp A = (0, 1, 3, 6, 9) 1. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp A ? 2. Trong các số trên, có bao nhiêu chữ số chẵn ? 3. Trong các số trên, có bao nhiêu số chia hết cho 3 ? Giải : 1. Đặt số phải tìm là : x = abcd. Có 4 cách chọn a từ tập A\{0}. Vì : bcd là 1 chỉnh hợp chập 3 lấy từ A\{a}, có 24 3 4 = A cách chọn. Vậy có tất cả : 4 x 24 = 96 số x thỏa đề bài. 2. Với x là số chẵn - Nếu d = 0,abc là 1 chỉnh hợp chập 3 của tập A\{0} : có 24 cách chọn. Vậy số các số x tận cùng bằng 0 là : 24 - Nếu d = 6, - Có 3 cách chọn a từ tập A\{0, 6}. - bc là chỉnh hợp chập 2 của tập A\{a; 6} : có 6 cách chọn. Vậy số các số x tận cùng bằng 6 là 3 x 6 = 18 Vậy các số x chẵn tìm được là : 24 + 18 = 42. 3. Vì các số 0, 3, 6, 9 là bội của 3. Nên các số x là bội số của 3 thì không chứa số 1. Lập luận tương tự câu 1, ta có 18 số. Thí dụ 4 : Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh ? 2 viên bi đỏ ? 2 viên bi khác màu nhau. Giải Lấy ra 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh, có 10 2 3 = C cách. Lấy ra 2 viên bi đỏ từ 3 vi6n bi đỏ, có : 3 2 3 = C cách Lấy ra 2 viên bi khác màu nhau, có 15 1 3 1 5 = C.C cách. BÀI TẬP A. QUY TẮC ĐẾM. 1. a Một số quan đểm 4 cổng ra vào. Hỏi 1 người khách có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó. b. Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau. 2. Một cô gái có 8 áo sơ mi và 6 quần tây. a. Hỏi cô gái có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ? b. Cô gái có 3 đôi dép, hỏi cô gái có thể “diện” bằng bao nhiêu cách thông qua áo quần để mặc và dép để mang ? 3. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu. a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. b. số chẵn sồm 4 chữ số bất kỳ ? 4. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ. B. HOÁN VỊ, CHỈNH HP, TỔ HP. Bài 1 : Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển lý, 2 quyển hóa, 5 quyển sinh vào kệ theo từng môn (14 quyền này khác nhau) hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ? Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8. Bài 3 : Trong một phòng họp có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ cho 10 họ sinh, gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ, biết : a. Tất cả học sinh ngồi tùy ý. b. Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn. Bài 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho : a. Bạn C ngồi chính giữa ? b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế. Bài 5 : Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ). Có bao nhiều số tự nhiên gồm 6 cữ số khác nhau lấy từ X, trong các trường hợp. a. Số đó bắt đầu là số 5 b. Số đó không bắt đầu là 1 c. Số đó bắt đầu bằng 56 d. Số đó không bắt đầu bằng 456 Bài 6 : Thường vụ đoàn có 15 người. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban chấp hành gồm 1 bí thư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên ? Bài 7 : Một cuộc đua ngựa có 10 đường chạy. Hỏi có thể nhiều nhất bao nhiêu cặp nhất – nhì xãy ra trong một cuộc đua đó. Bài 8 : Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có thể lập được bao nhiêu số a. Gồm 3 chữ số đều khác nhau ? b. Gồm 3 chữ số không nhất thiết khác nhau ? c. Trong các số ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ? bao nhiêu số lẻ ? Bài 9 : Với các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 . Có thể lập được bao nhiều số lẻ a. Là số chẵn và có ba chữ số khác nhau. b. Gồm 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ? bài 10 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau. a. Trong đó phải có chữ số 5 ? b. Số đó phải là số chẵn. Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau sao cho : a. Số tạo thành là số chẵn ? b. Số tạo thành không có chữ số 7 ? c. Số tạo thành nhỏ hơn 278 ? Bài 12 : Trong một kỳ thi vấn đáp, một học sinh phải trả lời 6 trong 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách chọn, nếu học sinh đó : a. Chọn câu nào cũng được ? b. Phải chọn 3 câu đầu ? c. Phải chọn hai trong bốn câu đầu ? Bài 13 : Tìm số đường chéo của một đa giác lồi sau : a. Ngũ giác b. Lục giác c. Đa giác có 12 cạnh d. Đa giác có n cạnh (n .3) e. Đa giác lồi nào có số cạnh bằng với số đường chéo ? Bài 14 : Một lớp có 30 nam và 18 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn cán bộ lớp gồm 3 người, trong đó : a. Số nam, nữ tùy ý b. Phải có 1 nam và 2 nữ . c. Phải có 2 nam và 1 nữ d. Có ít nhất 1 nam Bài 15 : Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm số khả năng lấy được. a. 3 bi đỏ b. 3 bi xanh c. có ít nhất 2 bi xanh Bài 16 : Từ 15 bông hồng và 12 bông cúc. Có bao nhiêu cách chọn 5 bông để có ít nhất: a. hai bông hồng b. hai bông hồng và hai bông cúc c. Một hồng và một cúc Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước? Bài 18: Có 3 đường thẳng song song, cắt 4 đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành? C) BÀI TẬP LÀM THÊM: Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Bài 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy ghế gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau: a) Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau? b) Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường? Bài 3: Xét các số gồm 9 chữ so,á trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại 2,3,4,5. hỏi có bao nhiêu số nư thế, nếu: a) Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau? b) Các chữ số được xếp tùy ý? Bài 4: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn? (chữ số đầu tiên phải khác 0). Vấn đề 2: Các bài toán liên quan đến A K n ; C k n ; P n . Thí dụ 1: Giải phương trình: C 1 x + C 2 x + C 3 x = 2 7x (1) Giải Điều kiện: x ∈N và x≥3 (1) ⇔ )!1(!1 ! − x x + )!2(!2 ! − x x + )!3(!3 ! − x x = 2 7x ⇔ x+ 2 )1( xx − + 6 )1)(2( xxx −− - 2 7x =0 ⇔ (x-2)(x-1)+ 3(x-1) -15 =0 ⇔ x 2 =16 ⇔ x=4 Thí dụ 2: Chứng minh rằng: A k n = A k n-1 +k.A k-1 n-1 (1<k <n). Giải A k n-1 + k. .A k-1 n-1 = )!1( )!1( −− − kn n +k )!( )!1( kn n − − = )!( )()!1( kn kknn − +−− = )!( ! kn n − =A k n BÀI TẬP: Bài 1. Giải phương trình: a) A 3 n 20n b) A 2 n –A 1 n =3 c) 3.A 2 n +42 = A 2 2n d) A 3 n + 3.A 2 n = 2 1 P n+1 e) P n+3 =720. A 5 n .P n-5 f) A 2 x .C x-1 x =48 g) 23 24 43 1 4 = − − + x xx x CA A h) 11.C 3 x =24.C 2 1 + x i) nx n x x PA P − + . 2 =132 (n ∈ N) j) x C 4 1 - x C 5 1 = x C 6 1 Bài 2 . Chứng minh rằng: a) 1.1! +2.2! +3.3! +… +n.n! = (n+1)- 1 b) C k n + 2.C 1 − k n + C 2 − k n = C k n 2 + (2≤ k ≤n) c) C k n +3. C 1 − k n +3. C 2 − k n + C 3 − k n =C k n 3 + (3≤ k ≤n) d) C k n = k n .C 1 1 − − k n e) A 2 + + n kn + A 1 + + n kn =k 2 .A n kn + f) P n =(n-1).P n-1 +(n-2).P n-2 +… +2.P 2 + 1P 1 +1 Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) A = 6 11 6 10 5 10 4 8 3 7 4 7 1 1 CCC CCC −++ −++ + 2 2 3 P A b) B = 2 1000 2 100 998 1000 98 100 CC CC + + c) 3 53 3 15 3 8 2 6 . 65283 AP CCC C +− = d) D = 3 20 4 19 3 19 4 21 CCC C ++ e) E =C 3 5 .C 2 4 + C 2 4 .C 1 3 + C 1 3 .C 0 2 Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON. Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 1+ 4.C 1 n +4 2 .C 2 n +… +4 n .C 0 n =5 n Giải Xét khai triển Newton: (1+x) n = C 0 n + C 1 n .x + C 2 n .x 2 +… +C n n x n Thế với x=4, ta được: 5 n =1+ 4.C 1 n + 4 2 .C 2 n +… +4 n (đpcm). Thí dụ 2: Tìm hệ số của x 4 khai triển ( 2 + 3x) 6 Giải : - Số hạng tổng quát i xC )3(2. 161 6 − (0 ≤ i ≤ 6) - x 4 ứng với i = 4 - Hệ số là 48603.2. 4461 6 = − C Thí dụ 3 : Tìm h số của x 5 trong khai triển (3x – 4) 8 - Số hạng tổng quá iii xC 4.)3()1( 81 8 − − t (0 ≤ i ≤ 8) - x 5 ứng với 8 – i = 5 ⇔ i = 3 - Hệ số là 8709124.3.)1( 3533 8 −=− C Thí dụ 4 : Tìm hệ số của x 3 trong khai triển (x + 1) 2 + (2x – 1) 3 + (x – 3) 4 + (x + 2) 2 Giải Số hạng tổng quát i = Hệ số là (x+1) 2 C i 2 x 2-I 1 i Không có 0 (2x-1) 3 C i 3 (-1) i (2x) 3-i 1 i i=0 C 0 3 (-1) 0 2 3 =8 (x-3) 4 C i 4 (-1)i x 4-i 3 i i=1 C i 4 (-1) 1 3 1 =-12 (x+2) 5 C i 5 .x 5-i 2 i i=2 C 2 5 2 2 =40 Vậy hệ số của x 5 là: 8-12+40 =36 Thí dụ 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x- x 3 ) 10 Giải - Số hạng tổng quát C i 10 (-1) i (2x) 10-i ( x 3 ) i = C i 10 (-1) i 2 10-i .3 i .x 10-2i - Số hạng không chứa x ứng với 10 -2i =0 ⇔i=5 - Hệ số cần tìm là: C 5 10 (-1) 5 2 5 .3 5 =-1959552 BÀI TẬP Bài 1. tìm hệ số của x 8 trong khai triển: (1+x) 6 + (1+x) 7 + (1+x) 8 +(1+x) 9 + (1+x) 10 Bài 2. a) Trong khai triển nhò thức (1+x 2 ) 10 , tìm hệ số của x 12 . b)Trong khai triển nhò thức (3x-4) 5 , tìm hệ số của x 2 . Bài 3. khai triển các nhò thức: a) (x+3) 5 b) (x-2) 6 c) (2x+1) 5 d)(x-2y) 6 e) (2x 2 -y) 5 f) (x-2y 2 ) 6 g) (x+ x 1 ) 7 h) (x- x 1 ) 10 Bài 4. chứng minh các hệ thức sau: a) C 0 n + C 1 n + C 2 n +… + C n n =2 n b) C 1 n -2 C 2 n +3 C 3 n -4C 4 n + … +(-1) n+1 .n C n n =0 c) C 0 n + 2 C 1 n +3 C 2 n +… + (n+1) C n n =(n+2).2 n-1 d) 2 1 C 1 n - 3 1 C 2 n +… + 1 )1( 1 + − + n n C n n = 1 + n n e) C 0 2n +C 2 2n + C 4 2n + … +C n n 2 2 =C 1 2n + C 3 2n +… + C 12 2 − n n f) 1.2 C 2 n + 2.3. C 3 n +3.4C 4 n + … +(n-1)n C n n = n(n-1).2 n-2 Bài tập làm thêm. Chứng minh các hệ thức sau: a) 2 C 0 n + 2 2 2 C 1 n + 3 2 3 C 2 n + … + 1 2 1 + + n n C n n = 1 13 1 + − + n n b) (C 0 n ) 2 +( C 1 n ) 2 +( C 2 n ) 2 + … +( C n n ) 2 =C n n2 c) 3 16 C 0 16 - 3 15 C 1 16 + 3 14 C 2 16 - … +C 16 16 =2 16 d) 3 17 C 0 17 +4 1 3 16 C 1 17 + 4 2 3 15 C 2 17 +… +4 17 C 17 17 =7 17 ÔN TẬP KIỂM TRA Đề 1. 1. có bao nhiêu ước số của 45000. 2. cho 4 số 1,3,5,7. a) có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên. b) Trong các số ở a) có bao nhiêu số bắt đầu bằng số 3. c) Trong các số ở a) có bao nhiêu số bắt đầu bằng số 5. 3) Tính B=243.C 0 5 +81C 1 5 +27.4C 2 5 +9.8C 3 5 +3.16.C 4 5 +32C 5 5 . Đề 2.(giải tích tổ hợp) Bài 1. Giải phương trình: 6C 2 − x x +6 =A x x2 . Bài 2. Từ 9 học sinh giỏi gồm 5 nam và 4 nữ. Người ta chọn ra 5 người gồm 3 nam và 2 nữ trong đó có1 trưởng đoàn, 1 thư ký và 3 thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu? Đề 3. 1) Tìm n nguyên dương biết A 2 n .C 1 − n n =48 2) Giải phương trình 6.C 2 x +42 = A 2 2 x với x nguyên dương. 3) Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau chọn trong 4 chữ số 0,1,2,3. 4) Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số chọn trong các chữ số0,1,2,3,5. Đề 4. 1) Từ các số: 0,1,2,3,4,5 có thể tạo ra: a) Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau b) Trong các số ở a) có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số có mặt số 0? 2) Một giỏ đựng 7 bi đỏ và 4 bi đen. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi: a) Màu nào cũng được. b) Trong đó ít nhất 2 bi đỏ. 3) Giải phương trình: A 2 n -2C 1 − n n =4 4) Chứng minh rằng: a) (k+1)A k n =A 1 1 + + k n -A 1 + k n b) C 0 n +3 C 1 n + 3 2 C 2 n + 3 n-1 C 1 − n n +3 n C n n =4 n 5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức: ( 3 x + x 1 ) 16 . . − 1 1 1 (0 ≤ k ≤ n) 6. Nhò thức Newton : an n n n i n n n a n n n n n bCabC .baCaCbaC)ba( ++++==+ − = −−− ∑ 1 0 111 0111 Đặc biệt : nn nnnn n xC .xCxCC)x(. 0 2 Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON. Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 1+ 4.C 1 n +4 2 .C 2 n +… +4 n .C 0 n =5 n Giải Xét khai triển Newton: (1+x) n = C 0 n + C 1