Đang tải... (xem toàn văn)
Có bao nhiêu cách sắp số học trên thành một vòng tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau hai cách xếp khác nhau nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một?. Giả[r]
(1)Chuyên đề đại số - tổ hợp Dạng Một số bài toán tạo số Nội dung Dạng 1: Một số bài toán tạo số • Dạng 1A Tính số số tự nhiên với chữ số định trước • Dạng 1B Tính số số tự nhiên chẵn • Dạng 1C Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ Dạng 1A Tính số số tự nhiên với chữ số định trước Bài tập mẫu Bài Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà đó có các chữ số 1, 2, Giải Gọi số tạo thành là a1a 2a a Xét các trường hợp: TH1 Trong số tạo thành có chữ số Lần lượt ta có: cách chọn vị trí cho c/s 0; đã chọn vị trí cho 0, số cách chọn vị trí còn lại cho 1, 2, là A 35 ; sau đó số cách chọn hai bốn c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A 24 Theo quy tắc nhân, ta số số là 5.A 35 A 24 = 3600 TH2 Trong số tạo thành không có chữ số Lần lượt ta có: Số cách chọn vị trí cho 1, 2, là A 36 ; sau đó số cách chọn ba bốn c/s còn lại (4, 5, 6, 7) cho ba vị trí còn lại là A 34 Theo quy tắc nhân, ta số số là A 36 A 34 = 2880 Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm là: 3600 + 2880 = 6480 Đáp số: 6480 số Lưu ý Khi giải các bài toán tạo số nhiều bài toán, ta có thể chia thành hai trường hợp : TH1: Tính số số tạo thành mà đó có chữ số TH2: Tính số số tạo thành mà đó không có chữ số Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm Bài tập tương tự - Bài tập Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà đó có chữ số đứng phía trước chữ số Giải Gọi số tạo thành là a1a a Xét các trường hợp: TH1 Trong số tạo thành có chữ số Lần lượt ta có: cách chọn vị trí cho c/s 0; đã chọn vị trí cho 0, số cách chọn vị trí còn lại cho 1, với đứng phía trước là C 24 ; sau đó số cách chọn hai bảy c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A 72 Theo quy tắc nhân, ta số số là 4.C 24 A 72 = 1008 Lop10.com (2) TH2 Trong số tạo thành không có chữ số Lần lượt ta có: Số cách chọn vị trí cho 1, với đứng phía trước là C52 ; sau đó số cách chọn ba bảy c/s còn lại (3,4,…9) cho ba vị trí còn lại là A 37 Theo quy tắc nhân, ta số số là C52 A 37 = 2100 Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm là 1008 + 2100 = 3108 Đáp số: 3108 số Bài tập tương tự (tt) - Bài tập Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà đó các chữ số và không cạnh Giải Gọi số tạo thành là a1a a Trước hết ta tính số số tạo thành cách Lần lượt ta có: cách chọn cho c/s a1; sau đó số cách chọn năm chín c/s còn lại khác a1 cho năm vị trí còn lại là A 59 Ta số số là 9.A 59 = 136080 Bây ta tính số số có 1, cạnh Giả sử đứng trước TH1 a1a2 12: số cách chọn bốn tám c/s còn lại cho các vị trí còn lại là A84 = 1680 TH2 a1a2 12 : Lần lượt ta có cách chọn cho c/s a1 (a1 khác 0, 1, 2); sau đó có bốn cách chọn vị trí cho 12; số cách chọn ba bảy c/s còn lại cho ba vị trí còn lại (khác a1, và 1, 2) là A 37 Ta số số là 7.4.A 37 = 5880 Theo quy tắc cộng, ta số số mà đó có 12 là 1680 + 5880 = 7560 Cũng tương tự, ta có 7560 số mà đó có 21 Vậy số số thoả mãn bài toán là 136080 – 2.7560 = 120960 Đáp số: 120960 số Dạng 1B Tính số số tự nhiên chẵn Bài tập mẫu Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Giải Gọi số tạo thành là a1a a TH1 a = : số cách chọn bốn chín c/s khác a5 cho bốn vị trí còn lại là A 94 = 3024 TH2 a ¹ : Lần lượt ta có cách chọn c/s chẵn cho a5 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 8; số cách chọn ba tám c/s còn lại cho ba vị trí còn lại là A83 Theo quy tắc nhân, ta số số là 4.8.A83 = 10752 Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 10752 + 3024 = 13776 Đáp số : 13776 số Lop10.com (3) Lưu ý Muốn tính số số tự nhiên chẵn thoả mãn điều kiện nào đó, ta làm sau TH Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng TH Tính số số tạo thành với chữ số tận cùng khác Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm Bài tập tương tự Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà đó có chữ số Giải Gọi số tạo thành là a1a a , tập hợp đã cho có chữ số Trước hết ta tìm số số tạo thành cách TH1 a4 = 0: Số cách chọn ba sáu c/s còn lại khác a4 cho ba vị trí còn lại là A 36 = 120 TH2 a4 0: Lần lượt ta có cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 5; số cách chọn hai năm c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A 52 Ta số số là 3.5.A 52 = 300 Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm là 120 + 300 = 420 Bây ta tìm số số tạo thành không có c/s TH1 a4 = 0: số cách chọn c/s còn lại cho vị trí còn lại là A 35 = 60 TH2 a4 0: Lần lượt ta có: cách chọn c/s chẵn cho a4 ; sau đó số cách chọn c/s cho a1 là 4; số cách chọn hai bốn c/s còn lại cho hai vị trí còn lại là A 24 Ta số số là 2.4.A = 96 Theo quy tắc cộng, ta số số chẵn mà không có chữ số là 60 + 96 = 156 Số số phải tìm là 420 – 156 = 264 Đáp số : 264 số Dạng 1C Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ Bài tập mẫu Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà đó có đúng hai chữ số lẻ Giải Số tạo thành có vị trí, đó có chữ số lẻ và chữ số chẵn TH1 số tạo thành có c/s Lần lượt ta có: Số cách chọn vị trí cho c/s là 4; số cách chọn thêm hai bốn c/s chẵn là C 24 ; số cách chọn hai năm c/s lẻ là C52 ; với hai c/s chẵn và c/s lẻ chọn có 4! hoán vị cách xếp vào bốn vị trí còn lại số tạo thành Ta số số là 4.C24 C52 4! 5760 TH2 số tạo thành không có c/s Lần lượt ta có: Số cách chọn ba bốn c/s chẵn khác là C34 ; số cách chọn hai năm c/s lẻ là C52 ; với c/s chọn chọn có 5! hoán vị cách xếp vào vị trí số tạo thành Ta số số là C34 C52 5! 4800 Theo quy tắc cộng, ta số số tạo thành là 5760 + 4800 = 10560 Đáp số: 10560 số Lop10.com (4) Lưu ý Muốn tính số số tự nhiên với số chữ số chẵn, lẻ cho trước, ta làm sau : TH Tính số số với chữ số đứng đầu là số lẻ TH Tính số số với chữ số đứng đầu là số chẵn Theo quy tắc cộng, ta số số phải tìm Bài tập tương tự Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà đó hai chữ số cạnh khác tính chẵn lẻ Giải Gọi số tạo thành là a1a a , tập hợp đã cho có chữ số Vì hai chữ số cạnh khác tính chẵn lẻ nên có hai trường hợp sau: TH1 Các chữ số thứ 1, 3, lẻ và các chữ số thứ 2, chẵn Số cách chọn ba bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 1, 3, là A 34 Sau đó số cách chọn hai bốn chữ số chẵn cho các vị trí thứ 2, là A 24 Theo quy tắc nhân, ta số số là A A = 288 TH2 Các chữ số thứ 1, 3, chẵn và các chữ số thứ 2, lẻ: Số cách chọn chữ số chẵn cho a1 là 3; sau đó số cách chọn hai ba chữ số chẵn còn lại cho các vị trí thứ 3, là A 32 Tiếp theo, số cách chọn hai bốn chữ số lẻ cho các vị trí thứ 2, là A 24 Theo quy tắc nhân, ta số số là 3.A A = 216 Theo quy tắc cộng, ta có số số phải tìm là 288 + 216 = 504 Đáp số: 504 số Dạng 2Một số bài toán tạo số (tiếp theo) Nội dung Dạng 2: Một số bài toán tạo số Dạng 2A Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại Dạng 2B Tính tổng các số tạo thành Dạng 2A Tính số số tự nhiên có chữ số lặp lại Bài tập mẫu Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số mà đó có chữ số có mặt hai lần và ba chữ số còn lại khác và khác chữ số trên Giải Số tạo thành có vị trí Nếu không phân biệt vài trò chữ số 0, thì ta có 10 cách chọn chữ số có mặt hai lần và có C52 cách chọn hai năm vị trí cho chữ số đó Sau đó số cách chọn ba chín chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại số tạo thành là A 39 Ta số số là 10.C52 A 39 = 50400 Vì vai trò 10 chữ số thuộc tập hợp {0, 1, …., 9} là nên số số có chữ số đầu là 50400 = 5040 10 Lop10.com (5) Vậy số số thoả mãn bài toán là 50400 – 5040 = 45360 Đáp số : 45360 số Lưu ý Lưu ý Trong các bài toán tạo số, đầu bài có vai trò các chữ số thì ta có thể giải bài toán theo các bước : - Tính số số tạo thành mà đó có chữ số đứng đầu (giả sử kết là S) - Vì vai trò các chữ số đã cho (giả sử cho trước k chữ số) nên số số có chữ số đứng đầu là S k S (k - 1)S = k k - Do đó số số thoả mãn bài toán là S - - Lưu ý Số cách chọn k n vị trí cho k chữ số giống là C kn - Số cách chọn k n chữ số cho k vị trí cho trước là A kn Bài tập tương tự - Bài tập Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số mà đó có chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt hai lần và hai chữ số còn lại khác và khác các chữ số trên Giải Số tạo thành có vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có phần tử Nếu không phân biệt vài trò chữ số 0, thì ta có cách chọn chữ số có mặt ba lần và có C37 cách chọn ba bảy vị trí cho chữ số đó Sau đó số cách chọn chữ số có mặt hai lần là và số cách chọn hai bốn vị trí còn lại cho chữ số đó là C 24 Tiếp theo số cách chọn hai năm chữ số khác với hai chữ số trên để viết vào hai vị trí còn lại số tạo thành là A 52 7.C37 6.C 42 A 52 = 176400 Ta số số là Vì vai trò chữ số thuộc tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là nên số số có chữ số đầu là 176400 = 25200 Vậy số số thoả mãn bài toán là 176400 – 25200 = 151200 Đáp số: 151200 số Bài tập tương tự (tt) - Bài tập Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số mà đó có hai chữ số và ba chữ số còn lại khác và khác Giải Số tạo thành có vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có phần tử Xét các trường hợp: TH1 Trong số tạo thành có chữ số Lần lượt, ta có: Số cách chọn vị trí cho chữ số là 4; sau đó số cách chọn hai bốn vị trí còn lại cho hai chữ số là C 24 ; số cách chọn hai bốn chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại là A 24 Ta số số là 4.C 24 A 24 = 288 TH2 Trong số tạo thành không có chữ số Lần lượt, ta có: Số cách chọn hai năm vị trí cho hai chữ số là C52 ; số cách chọn ba bốn chữ số còn lại cho ba vị trí còn lại là A 34 Lop10.com (6) Ta số số là C52 A 34 = 240 Theo quy tắc cộng số số phải tìm là 288 + 240 = 528 Đáp số : 528 số Dạng 2B Tính tổng các số tạo thành Bài tập mẫu Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác Tính tổng tất các số đó Giải Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} có chữ số và số tạo thành có vị trí Nếu coi vai trò chữ số đã cho nhau, thì số có bốn chữ số tạo thành là chỉnh hợp chập bốn năm chữ số trên Ta số số là A 54 = 120 Trong 120 số đó, vị trí (vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị), chữ số 0, 1, 2, 3, có mặt 120 = 24 lần Như có 24 số mà chữ số đầu Số số tạo thành thoả mãn bài toán là 120 – 24 = 96 Để tính tổng tất 96 số trên, ta tính số lần có mặt chữ số 1, 2, 3, vị trí Ở vị trí hàng nghìn, chữ số 1, 2, 3, có mặt 24 lần Ở vị trí hàng trăm, chữ số có mặt 24 lần nên chữ số 1, 2, 3, có mặt 96 - 24 = 18 lần Cũng tương tự, các vị trí hàng chục, đơn vị, chữ số 1, 2, 3, có mặt 18 lần Ta có tổng các chữ số: + + + = 10 Vậy tổng tất 96 số tạo thành là: 24.10.1000 18.10.111 259980 Lưu ý Muốn tính tổng các số tạo thành theo điều kiện nào đó, ta có thể làm sau: Tính số số tạo thành thoả mãn bài toán Tính số lần có mặt chữ số khác không hàng (hàng đơn vị, chục, trăm,…) Giả sử tổng các chữ số mà đầu bài đã cho là s và vị trí hàng trăm chữ số khác xuất k lần thì tổng các số theo hàng này là ks.100 Với các hàng khác làm tương tự Bài tập tương tự Cho tập hợp các chữ số {1, 2, 3, ,4 ,5, 6} Từ chúng viết bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác Tính tổng tất các số đó Giải Tập hợp {1, 2, 3, ,4 ,5, 6} có chữ số và số tạo thành có vị trí Mỗi số có năm chữ số tạo thành là chỉnh hợp chập năm sáu chữ số trên Ta số số là A 56 = 720 Trong 720 số đó, vị trí (vị trí hàng chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị), chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có mặt 720 = 120 (lần) Ta có tổng các chữ số: + + + + + = 21 Vậy tổng tất 720 số tạo thành là: 120.21.11111 = 27999720 Cách tính tổng khác: ta chia 720 số tạo thành 360 cặp, cặp gồm hai số có tổng 77777 Ta tổng 720 số là: 77777 x 360 = 27999720 Đáp số : Có 720 số và tổng chúng 27999720 Lop10.com (7) Dạng Một số bài toán thứ tự các phần tử tập hợp Nội dung Dạng Một số bài toán thứ tự các phần tử tập hợp • Dạng 3A Sắp xếp các phần tử thành dãy • Dạng 3B Sắp xếp các phần tử thành dãy có điều kiện • Dạng 3C Sắp xếp các phần tử thành vòng tròn • Dạng 3A Sắp xếp các phần tử thành dãy Bài tập mẫu Bài Có viên bi trắng khác nhau, bi xanh giống và bi đỏ giống Có bao nhiêu cách xếp chúng thành hàng ngang? Giải Cách Có tất 12 viên bi, tương ứng với 12 vị trí theo hàng ngang Số cách chọn 3 12 vị trí cho viên bi trắng khác là A12 sau đó số cách chọn vị trí còn lại cho viên bi xanh giống là C94 đó năm vị trí còn lại viên bi đỏ Theo quy tắc nhân, ta số khả cần tìm là: A12 C94 = 166320 Cách Số cách chọn 12 vị trí cho viên bi xanh giống Là C12 sau đó số cách chọn vị trí còn lại cho viên bi đỏ giống là C85 số hoán vị viên bi trắng khác vào vị trí còn lại là P3 = 3! Theo quy tắc nhân, số khả cần tìm là: C12 C85 3! = 166320 Cách Với 12 viên bi đã cho tạo thành 12! hoán vị để xếp thành hàng ngang Nhưng các hoán vị viên bi xanh giống cho cùng kết quả; các hoán vị viên bi đỏ giống cho cùng kết nên số cách xếp phải tìm là 12! = 166320 4!5! Lưu ý • Lưu ý - Số cách chọn k n vị trí cho k phần tử giống là Ckn - Số cách chọn k n vị trí cho k phần tử khác là A kn • Lưu ý - Giả sử cho n phần tử đó có n1 phần tử giống thuộc tập hợp A1, n2 phần tử giông thuộc tập hợp A2, … Số cách xếp n n! phần tử đó thành hàng ngang là n1 !n ! Bài tập tương tự Có viên bi trắng khác nhau, bi xanh khác bi đỏ giống và bi vàng giống Có bao nhiêu cách xếp chúng theo hàng ngang? Giải Lop10.com (8) Cách Có tất 14 viên bi, tương ứng với 14 vị trí theo hàng ngang Số cách chọn 2 14 vị trí cho viên bi trắng khác là A14 sau đó số cách chọn 12 vị trí còn lại cho viên bi xanh khác là A12 ; số cách chọn vị trí còn lại cho viên bi đỏ giống là C94 ; đó năm vị trí còn lại viên bi vàng Theo quy tắc nhân, số khả cần tìm là: A14 A12 C94 = 30270240 Cách Cũng lý luận cách bài trên, ta kết là 12! = 30270240 4!5! Dạng 3B Sắp xếp các phần tử thành dãy có điều kiện Bài tập mẫu Có học sinh nam và học sinh nữ Có bao nhiêu cách số học trên thành hàng ngang cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? Giải Giả sử đã xếp học sinh nam thành hàng ngang, đó vì học sinh nữ không cạnh nên họ chọn vị trí xen kẽ với học sinh nam (xem hình minh hoạ đây) .o.o.o.o.o Số cách chọn vị trí cho học sinh nữ là A 64 ; số hoán vị học sinh nam vào vị trí định trước là 5! Theo quy tắc nhân, ta số cách xếp phải tìm là: A 64 5! = 43200 Đáp số: có 43200 cách xếp Lưu ý Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử Tính số cách xếp các phần tử A, B thành hàng ngang cho không có hai phần tử nào B cạnh Cách giải Giả sử n phần tử A đã xếp thành hàng ngang, đó các phần tử B chọn m (n+1) vị trí xen kẽ các phần tử A Nếu các PT B giống thì số cách chọn vị trí là Cmn1 (n+1 m) Nếu các PT B khác thì số cách chọn vị trí là A mn1 (n+1 m) Nếu các PT A khác thì số cách xếp chúng vào n vị trí là n! Theo quy tắc nhân, ta tính kết bài toán Bài tập tương tự Có viên bi trắng khác nhau, bi xanh giống và bi đỏ giống Có bao nhiêu cách xếp chúng thành hàng ngang cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau? Giải Giả sử đã xếp bi xanh và viên bi đỏ thành hàng ngang, đó vì viên bi trắng chọn 10 vị trí xen kẽ với viên bi xanh, đỏ (xem hình minh hoạ đây): o.o.o.o.o.o.o.o.o Số cách chọn 10 vị trí cho viên bi trắng khác là A10 ; số cách đặt bi xanh giống vào vị trí định trước là C94 ; vị trí còn lại viên bi đỏ giống Theo quy tắc nhân, ta số cách xếp phải tìm là A10 C94 = 90720 Đáp số: có 90720 cách xếp Lop10.com (9) Dạng 3C Sắp xếp các phần tử thành vòng tròn Bài tập mẫu Có học sinh nam và học sinh nữ Có bao nhiêu cách số học trên thành vòng tròn cho không có hai học sinh nữ nào cạnh (hai cách xếp khác có cùng thứ tự các phần tử coi là một)? Giải Giả sử học sinh nam đã xếp thành vòng tròn, đó học sinh nữ chọn vị trí xen kẽ các học sinh nam, số cách chọn là A 35 Mặt khác học sinh nam ta có thể chọn trước vị trí cho người, số hoán vị nam còn lại vào vị trí là 4! Theo quy tắc nhân, ta số cách xếp phải tìm là A 35 4! = 1440 Cách Giả sử ta đã chọn vị trí cho học sinh nữ và năm học sinh nam đã xếp quanh vòng tròn Hai học sinh nữ còn lại vị trí xen kẽ các học sinh nam, số cách chọn là A 24 Mặt khác số hoán vị nam vào vị trí là 5! Theo quy tắc nhân, ta số cách xếp phải tìm là A 24 5! = 1440 Lưu ý • Khi xếp các phần tử xung quanh vòng tròn, hai cách xếp khác có cùng thứ tự các phần tử coi là • Cách giải Ta có thể chọn vị trí cho phần tử định trước nào đó, sau đó tính số khả chọn vị trí cho các phần tử còn lại Hoặc có thể coi các phần tử đã cho xếp thành hàng ngang với phần tử chọn trước đứng đầu hàng Bài tập tương tự Có viên bi trắng khác nhau, bi xanh giống Có bao nhiêu cách xếp chúng thành vòng tròn cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau? Giải Giả sử ta đã chọn vị trí cho viên bi trắng và bi xanh đã xếp quanh vòng tròn Ba bi trắng còn lại chọn vị trí xen kẽ các bi xanh, số cách chọn là A 34 = 24 Ta số cách xếp phải tìm là A 34 = 24 Dạng Phân chia tập hợp gồm các phần tử giống Nội dung Dạng 4: • Dạng 4A Một số bài toán phân chia các phần tử tập hợp gồm các phần tử giống • Dạng 4B Tính số nghiệm nguyên phương trình • Dạng 4A Một số bài toán phân chia các phần tử tập hợp gồm các phần tử giống Lop10.com (10) Bài tập mẫu Bài Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống cho ba người cho người đười ít đồ vật Giải Giả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành hàng ngang, chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ) oo o│oooo oo│oo ooo người người người Nếu đặt hai vạch cách vào hai số 49 khoảng trống đó, ta phép chia 50 đồ vật làm ba phần, phần có ít đồ vật Ba người nhận số đồ vật ba phần tương ứng, ta cách chia thoả mãn bài toán Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai 49 khoảng trống Ta số cách chia là C 249 = 1176 Đáp số: 1176 cách chia Lưu ý Nếu chia m đồ vật giống cho n người cho người ít đồ vật thì số cách chia là Cnm 11 (m ³ n) Bài tập tương tự - Bài tập Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống cho bốn người cho người ít đồ vật Giải Ta đem chia trước cho người đồ vật Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44 Bây ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, người ít đồ vật Khi đó cùng với đồ vật đã nhận trước, người ít đồ vật, thoả mãn bài toán Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành hàng ngang, chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ) oo o│oooo oo│oo ooo│oo o o người người người người Bài tập tương tự (tt) - Bài tập (tt) Nếu đặt ba vạch cách vào ba số 43 khoảng trống này, ta phép chia 44 đồ vật làm bốn phần, phần có ít đồ vật Bốn người nhận số đồ vật bốn phần tương ứng, ta cách chia thoả mãn bài toán Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba 43 khoảng trống Ta số cách chia là C343 = 12341 Đáp số: 12341 cách chia Lưu ý: • Tính số cách chia m đồ vật giống cho n người cho người ít k đồ vật (m kn) Cách giải • Ta chia trước cho người k –1 đồ vật • Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1) • Đem số đồ vật này chia cho n người cho người ít đồ vật, thì số cách chia là Csn 11 Mỗi cách chia thoả mãn bài toán Dạng 4B Tính số nghiệm nguyên phương trình 10 Lop10.com (11) Bài tập mẫu Tính số nghiệm phương trình x + y + z = 100 với x, y, z N* Nhận xét Về chất nghiệm phương trình tương ứng với phép chia 100 đồ vật cho ba người cho người ít đồ vật Lặp lại cách làm hai bài tập trên, ta số nghiệm phương trình là C99 = 4851 Đáp số: 4851 nghiệm Lưu ý Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1, x2, … , xn N*; m n Giải Giả sử ta đặt m dấu chấm theo hàng ngang, chúng có m -1 khoảng trống (xem hình minh hoạ) oo o¦oooo oo¦oo ooo¦oo o o x1 cách x 2vào n -1 số m – khoảng xn Nếu đặt n -1 vạch trống đó, ta cách chia m dấu chấm thành n phần Gán giá trị cho x1, x2, , xn số dấu chấm các phần 1, 2, …, n, ta nghiệm phương trình đã cho Vậy số nghiệm phương trình là số cách đặt n -1 vạch cách vào n -1 số m – khoảng trống đó, ta số nghiệm phải tìm là C nm 11 Bài tập tương tự - Bài tập Tính số nghiệm phương trình x + y + z + t = 100 (1) với x, y, z, t N Giải Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = t + ta phương trình a + b + c + d = 104 (2) với a, b, c, d N* Mỗi nghiệm PT (2) tương ứng với nghiệm PT (1) Theo bài toán tổng quát trên, ta số nghiệm phương trình là C103 176851 Đáp số: 176851 nghiệm Lưu ý: Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1, x2, … , xn N Giải Đặt a1 = x1+1, a2 = x2+1, … , an = xn+1 ta phương trình a1 + a2 + … + an = m + n (2) với a1, a2, … , an N* Mỗi nghiệm PT (2) tương ứng với nghiệm PT (1) Theo bài toán tổng quát trên, ta số nghiệm phương trình là Cnm1n Bài tập tương tự (tt) - Bài tập Tính số nghiệm phương trình x + y + z + t = 100 với x, y, z, t Z và x > - 2, y > - 1, z > 0, t > Giải Đặt a = x + 2, b = y + 1, c = z, d = t – a, b, c, d Ta phương trình a + b + c + d = 102 (2) với a, b, c, d N* Theo bài toán tổng quát trên, ta số nghiệm phương trình là C101 166650 11 Lop10.com (12) Nhắc lại bài toán tổng quát Tính số nghiệm phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1, x2, … , xn N*, m n Số nghiệm phương trình là C nm 11 oo o¦oooo oo¦oo ooo¦oo o o x1 x2 xn 12 Lop10.com (13)