Cơ học kết cấu tập 1 chương 6.pdf

Cơ học kết cấu tập 1 chương 6.

CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 57 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ ß1 CÁC KHÁI NIỆM I Các giả thiết phương pháp chuyển vị: - Giả thiết 1: Các nút hệ xem tuyệt đối cứng Do đó, biến dạng, đầu qui tụ vào nút có chuyển vị thẳng góc xoay Giả thiết làm giảm số lượng ẩn số - Giả thiết 2: Bỏ qua ảnh hưởng biến dạng trượt xét biến dạng cấu kiện bị uốn Giả thiết không làm thay đổi số lượng ẩn số làm cho bảng tra nội lực cấu kiện mẫu đơn giản - Giả thiết 3: Bỏ qua ảnh hưởng biến dạng đàn hồi dọc trục xét biến dạng cấu kiện chịu uốn (biến dạng dọc trục nhiệt độ không phép bỏ qua) Giả thiết làm giảm số lượng ẩn số Ngồi ra, cịn tn theo giả thiết vật A B liệu, tuân theo địng luật Hook, biến dạng chuyển vị đại lượng vô bé l * Kết luận: Trước sau biến dạng, khoảng cách nút hai đầu theo B' A' phương ban đầu không thay đổi l trừ trường hợp có biến dạng dọc trục nhiệt độ có hai đầu khớp với độ H.6.1.1 cứng EF khác vơ (H.6.1.1) u C' C1 Xét hệ hình vẽ (H.6.1.2) B chịu chuyển vị cưỡng đầu quy tụ vào A B C tồn thành phần chuyển vị thẳng (u, v) B' Ta xác định hai thành phần H.6.1.2 điều kiện động học (hình học) Vậy hệ cho D1 hệ xác định động D D Hệ siêu động: hệ chịu nguyên nhân chuyển vị cưỡng ta chưa thể xác định tất chuyển vị đầu A B B' A' điều kiện động học (hình học) mà phải sử dụng thêm điều kiện cân Ví dụ: Khi liên kết chuyển vị ngang D jA jB (H.6.1.3), điều kiện động học xác định C D chuyển vị thẳng A B (chuyển vị ngang H.6.1.3 D, chuyển vị đứng 0) Tuy nhiên, chưa v C D2 II Hệ xác định động hệ siêu động: Hệ xác định động: hệ chịu chuyển vị cưỡng bức, ta xác định chuyển vị đầu điều kiện động học (hình học) CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 58 thể xác định góc xoay (jA, jB) Vậy hệ hệ siêu động * Chú ý: - Khái niệm hệ siêu động hay xác định động phụ thuộc vào giả thiết chấp nhận - Hệ siêu động (xác định động) hệ tĩnh định hay siêu tĩnh Ta tập trung nghiên cứu hệ siêu động đồng thời siêu tĩnh III Bậc siêu động: Khái niệm: Bậc siêu động hệ siêu động số lượng chuyển vị độc lập chưa biết nút khớp không nối đất hệ Ký hiệu n n = n1 + n2 (6-1) n1: số chuyển vị xoay độc lập chưa biết nút, n1 số nút hệ n2: số chuyển vị thẳng độc lập chưa biết nút khớp không nối đất Cách xác định: a Xác định n1: Bằng cách tính số lượng nút hệ Nút nơi giao phần tử nối liên kết hàn Trong đó, phần tử cấu kiện mẫu tức có biểu đồ nội lực cho trước lập sẵn thành bảng Đối với môn Cơ học kết cấu, phần tử đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện: - Độ cứng không đổi - Được nối với phần tử khác trái đất liên kết đầu Ví dụ: Xác định n1 hệ cho hình vẽ (H.6.1.4) 2 1 a) b) n1 = n1 = c) n1 = 4 d) n1 = H.6.1.4 b Xác định n2: Bằng cách tính số lượng chuyển vị thẳng độc lập chưa biết nút khớp không nối đất Để xác định, ta thay nút, ngàm nối đất liên kết khớp để hệ Nếu hệ bất biến hình n2 = 0; hệ biến hình hay gần biến hình tức thời n2 số liên kết vừa đủ thêm vào để hệ trở thành hệ bất biến hình Ví dụ: Xác định n2 hệ cho hình vẽ (H.6.1.5 ® H.6.1.7) ® ® ® n2 = H.6.1.5 ® H.6.1.6 ® n2 = CƠ HỌC KẾT CẤU II ® Page 59 ® n2 = ® H.6.1.7 *Chú ý: Khái niệm bậc siêu động thay đổi phụ thuộc vào yếu tố: - Các giả thiết chấp nhận: chẳng hạn phủ nhận giả thiết n1 khơng đổi cịn n2 tăng lên - Sơ đồ rời rạc hố chấp nhận (H.6.1.8) - Các cấu kiện mẫu mà người thiết kế sẵn có (H.6.1.9): + Nếu quan niệm phần tử thẳng có độ cứng khơng đổi (AB, BC, CD, DE, EF) n = n1 + n2 = + = D C + Nếu quan niệm phần tử thẳng (AEC, CD, DFB) n = + = E F H.6.1.9 a) b) n1 = n1 = H.6.1.8 A B CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 60 ß2 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ I Hệ phương pháp chuyển vị: Định nghĩa: Hệ phương pháp chuyển vị hệ suy từ hệ cho cách đặt liên kết phụ thêm vào hệ nhằm ngăn cản chuyển vị nút khớp không nối đất - Nếu liên kết thêm vào khử tất chuyển vị nút khớp khơng nối đất hệ hệ xác định động - Nếu liên kết khử phần chuyển vị nút hệ hệ siêu động có bậc siêu động thấp Yêu cầu: Hệ tồn cấu kiện mẫu, tức có biểu đồ nội lực cho sẵn bảng Các loại liên kết phụ thêm: R a Liên kết mômen: Là loại liên kết ngăn cản chuyển vị góc xoay, không ngăn cản chuyển vị b) thẳng Trong liên kết phát sinh thành phần a) phản lực mômen Ký hiệu (H.6.2.1) H.6.2.1 b Liên kết lực (liên kết thanh): Liên kết R ngăn cản chuyển vị dọc theo trục (trục liên kết) Trong liên kết phát sinh thành phần a) b) phản lực dọc theo trục H.6.2.2 Ký hiệu: (H.6.2.2) Các ví dụ tạo hệ bản: ® ® H.6.2.3a H.6.2.3b ® H.6.2.3c Nhận xét: - Khác với hệ phương pháp lực, hệ phương pháp chuyển vị yếu tố ảnh hưởng đến bậc siêu động xác định - Hệ phương pháp chuyển vị thực chất cấu kiện rời rạc làm việc độc lập II Hệ phương trình phương pháp chuyển vị: Do đặt liên kết phụ thêm vào nên hệ có yếu tố khác với hệ siêu động ban đầu Vì ta cần so sánh khác bổ sung thêm điều kiện để hệ làm việc giống với hệ ban đầu Giả sử xét hệ siêu động hình (H.6.2.4a) hệ (H.6.2.4b) CƠ HỌC KẾT CẤU II P Z1 R1 C B P R2 Z2 Z R3 D A Page 61 C A D B H.6.2.4b H.6.2.4a - Về chuyển vị: Tại C D có tồn chuyển vị Tại C D không tồn chuyển vị ngang góc xoay - Về mặt phản lực: Tại C D tồn phản lực (R1, R2, Tại C D không tồn phản lực R3) liên kết phụ thêm Vậy hệ làm việc giống hệ siêu động ban đầu, hệ cần: - Tạo chuyển vị cưỡng (Z1, Z2, Z3) tương ứng với liên kết phụ thêm vào - Thiết lập điều kiện phản lực liên kết phụ thêm vào nguyên nhân (Z1, Z2, Z3, P) không Các điều kiện viết dạng: ì R1 ( Z , Z , Z , P) = ï í R2 ( Z , Z , Z , P ) = ï R ( Z , Z , Z , P) = î 3 Từ điều kiện ta giải (Z1, Z2, Z3) Tương tự ta mở rộng cho hệ siêu động chịu nguyên nhân bên (P, t, Z) Tạo hệ cách đặt n liên kết phụ thêm vào Để cho hệ làm việc giống hệ ban đầu hệ cần: - Tạo ta chuyển vị cưỡng (Z1, Z2, , Zn) tương ứng với liên kết phụ thêm vào Các chuyển vị có chiều tùy ý, nhiên thường chọn xoay theo chiều kim đồng hồ, thẳng theo chiều từ trái sang phải Các chuyển vị đóng vai trị ẩn số - Thiết lập điều kiện phản lực liên kết phụ thêm vào nguyên nhân (Z1, Z2, Zn, P, t, Z) = Điều kiện thứ viết: ì R1 ( Z1 , Z , Z n , P, t , Z ) = ïR (Z , Z , Z , P, t , Z ) = ï 2 n (6-2) í ï ïRn ( Z1 , Z , Z n , P, t , Z ) = ỵ Hệ phương trình gọi hệ phương trình phương pháp chuyển vị III Hệ phương trình tắc phương pháp chuyển vị: Xét phương trình thứ k hệ phương trình bản: Rk(Z1, Z2, Zn, P, t, Z) = Khai triển phương trình theo nguyên lý cộng tác dụng: Rk(Z1) + Rk(Z2) + Rk(Zn) + Rk(P) + Rk(t) + Rk(Z) = CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 62 Gọi rkm phản lực liên kết phụ thêm thứ k riêng chuyển vị cưỡng liên kết phụ thêm thứ m Zm = gây hệ Suy ra: Rk(Zm) = rm.Zm Gọi RkP, Rkt, RkZ: phản lực liên kết phụ thêm thứ k nguyên nhân P, t, Z gây hệ Suy ra: Rk(P) = RkP, Rk(t) = Rkt, Rk(Z) = RkZ Thay tất vào phương trình khai triển ta được: rk1 Z + rk Z + rkn Z n + RkP + Rkt + RkZ = Cho k = 1, n ta hệ phương trình tắc phương pháp chuyển vị: ì r11 Z1 + r12 Z + r1n Z n + R1P + R1t + R1Z = ïr Z + r Z + r Z + R + R + R = ï 21 22 2n n 2P 2t 2Z í ï ï rn1 Z + rn Z + rnn Z n + RnP + Rnt + RnZ = ỵ (6-3) Trong hệ phương trình này: - rkk: gọi hệ số chính, rkk > 0; - rkm: (k ¹ m) gọi hệ số phụ, rkm = rmk - RkP, Rkt, RkZ: gọi số hạng tự IV Bảng tra nội lực cho số phần tử: Nguyên nhân tải trọng: q P A B M A B A B b a l MA l Pab l l ql MB MA MB Pab l2 Pa b MB = - l a ql 12 ql MB = 12 MA =- B A B A B b a l b l Pab l MB = (ab//cd) c Mb(2a - b} MA = l2 Ma(a - 2b) MB = l2 M A MA =- d MB q P MA b M MA MA =- a b a Pab(2l - a ) 2l l q2l MA MA =MB = ql MA b M a c (ab//cd) MB = MA = M 3b (1 - ) l d CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 63 q P M A B A B A B b a l l Pab l MA b a l ql MA MB a MB MA ql MA =3 ql MB = Pa a MA =(2 - ) l 2 Pa MB = 2l b M (ab//cd) MB d c Mb MA =l Ma MB = l Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ: t1 A t2 l (t2 > t1) B EJ, h, a A t2 l (t2 > t1) B EJ, h, a MB MA MA a EJ (t - t1 ) h MB = MA MA = - j A t1 A MA =- l 3a EJ (t - t1 ) 2h l MB a EJ (t - t1 ) h MB = MA j B EJ A l MA 3EJ j l MB = B l MA MB EJ D l2 EJ MB = D l EJ A l MA = - MA = D D EJ MB EJ j l MB = MA MA = A B l MB MA EJ j l EJ MB = j l EJ, h, a MA = - MB = MA = B t2 MA Nguyên nhân chuyển vị cưỡng bức: j EJ EJ B A MA (t2 > t1) t1 MA MA =MB = 3EJ D l2 B CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 64 V Xác định hệ số hệ phương trình tắc: Vẽ biểu đồ mômen uốn hệ xác định động: a Biểu đồ ( M k ): Là biểu đồ mômen uốn riêng nguyên nhân Zk = gây hệ a.1 Trường hợp Zk chuyển vị góc xoay: Nguyên nhân gây ảnh hưởng cục liên kết chịu Zk, nghĩa có có đầu quy tụ vào nút chịu ảnh hưởng Do biểu đồ ( M k ) vẽ cách rời rạc hệ tra bảng cho phần tử chịu chuyển vị góc xoay đầu a.2 Trường hợp Zk chuyển vị thẳng: Khi nút chuyển vị thẳng gây chuyển vị thẳng nhiều nút hệ, gây nội lực nhiều Mặc khác có chuyển vị thẳng tương đối theo phương vng góc với trục gây nội lực a.2.1 Khi hệ gồm đứng song song: Nếu bỏ qua ảnh hưởng biến dạng dọc trục thanh, nút chuyển vị thẳng ngang nghiêng tịnh tiến nghĩa phần chuyển vị tương đối theo phương vng góc với trục khơng, cịn đứng phạm vi tầng có chuyển vị tương đối theo phương vng góc với trục (H.6.2.5a & b) D D D D E D' A D C' E' F F' D C H.6.2.5a B D C A H.6.2.5b D' B a.2.2.Khi hệ có đứng khơng song song: Thành phần chuyển vị thẳng cần tìm nói chung tồn tất thanh, giá trị chúng khác đứng Các thành phần tìm cách lập sơ đồ chuyển vị * Cơ sở việc lập sơ đồ: Chuyển vị thẳng nút biết biết chuyển vị đầu đối diện qui tụ vào nút Xem phân tích hình (H.6.1.2) * Mục đích việc lập sơ đồ chuyển vị biểu diễn thay đổi vị trí đầu lên sơ đồ mà ta xác định chuyển vị thẳng tương đối đầu Ta tìm hiểu cách lập sơ đồ qua hệ cho hình vẽ (H.6.2.6a) Trong đó, giả sử nút chịu chuyển vị d Bước 1: Chọn điểm O làm gốc tượng trưng cho điểm khơng có chuyển vị Vậy gọi A, B, C tượng trưng cho điểm a, b, c sơ đồ chuyển vị A, B, C trùng với O Bước 2: Qua O kẻ đoạn OI = d theo phương chiều chuyển vị nút 1, có độ lớn theo tỷ lệ xích tuỳ chọn Điểm I tượng trưng cho chuyển vị nút sơ đồ chuyển vị CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 65 ^23 d a ^3c III 1' b II c CºAºBºO H.6.2.6a Bước 3: Xác định điểm II tượng trưng cho nút sơ đồ chuyển vị d H.6.2.6b I ^12 Nút có đầu đối diện biết sơ đồ chuyển vị 1® I, b ® B Qua I kẻ đường thẳng vng góc với 12, qua B kẻ đường thẳng vng góc với 2b Giao điểm II Bước 4: Xác định điểm III tượng trưng cho nút sơ đồ chuyển vị Tương tự bước 3, qua II kẻ đường thẳng vng góc với 23, qua C kẻ dường thẳng vng góc với 3c Giao điểm điểm III Bước 5: Xác định kết Để xác định chuyển vị thẳng tương đối theo phương vng góc với trục thanh ik ta việc đo chiều dài đoạn IK tương ứng sơ đồ chuyển vị giải tam giác với góc cạnh biết sơ đồ chuyển vị * Sau xác định chuyển vị thẳng, ta vẽ biểu đồ ( M k ) cách rời rạc tra bảng cho cấu kiện o b Biểu đồ ( M P ): Là biểu đồ mômen uốn tải trọng gây hệ o ( M P ) vẽ cách rời rạc tra bảng cho cấu kiện c Biểu đồ ( M to ): Là biểu đồ mômen uốn biến thiên nhiệt độ gây hệ Phân tích nguyên nhân làm hai thành phần: - Thành phần biểu thị thay đổi nhiệt độ thớ thớ phạm vi cấu kiện đặc trưng Dt = t2 - t1 Thành phần gây o ( M Dt ) - Thành phần biểu thị thay đổi nhiệt độ dọc trục đặc trưng o tc Thành phần gây ( M tc ) Theo nguyên lý cộng tác dụng: o o ( M to ) = ( M tc ) + ( M Dt ) o - ( M Dt ) Dt gây Nhưng chênh lệch nhiệt độ Dt làm cho bị uốn cong mà khơng thay đổi chiều dài Điều có nghĩa Dt gây mômen o uốn mà khơng ảnh hưởng đến thành phần tử khác Vậy ( M Dt ) vẽ cách rời rạc hệ tra bảng cho phần tử chịu Dt o - ( M tc ) tc gây Mặc dù tc không làm cho bị uốn cong làm thay đổi chiều dài Điều gây chuyển vị thẳng nút gây nội lực hệ So sánh với trường hợp hệ chịu nguyên nhân Zk chuyển vị thẳng có CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 66 tương tự chuyển vị nút thay đổi chiều dài Vậy ta lập sơ đồ chuyển vị (còn gọi giản đồ Williot) lập cho Zk chuyển vị thẳng cần bổ sung chuyển vị nút thay đổi chiều dài Ta tìm hiểu cách lập sơ đồ chuyển vị qua hệ hình (H.6.2.7.a) Biến dạng dọc trục ik xác định biểu thức Dlik = alik t cik Muốn tìm chuyển vị tương đối theo phương vng góc với trục thanh ik, ta chiếu đoạn IK tương ứng giản đồ lên phương cần tìm Dl2b Dl1c Dl3a + a hệ số dãn nở nhiệt + tcik, lik biến thiên nhiệt độ dọc trục chiều dài ik Trong ví dụ giả sử biến dạng tương ứng Dla3, Dl23, Dl21, Dl1c (giãn ra) Dl2b: (co ngắn lại) Các bước thực sau: Bước 1: Chọn điểm O làm chuẩn, O tượng trưng cho điểm khơng có chuyển vị Như gọi A, B, C, D tượng trưng cho điểm a, b, c, d sơ đồ chuyển vị A, B, C, D trùng với O Bước 2: Xác định điểm I tượng trưng cho nút sơ đồ chuyển vị Ta nhận thấy nút chuyển vị theo phương dọc trục 1c nên giản đồ ta dựng đoạn I = Dl1c Bước 3: Xác định điểm II tượng trưng cho nút sơ đồ chuyển vị Nút có đầu đối diện dã biết sơ đồ chuyển vị b ® B; ® I + Qua kẻ đoạn Dl12 (độ giãn 12) 21 + Qua B kẻ đoạn Dl2b (độ co ngắn 2b) 22 + Qua 21 kẻ đường vng góc với 12 + Qua 22 kẻ đường vng góc với 2b Giao điểm đường II Bước 4: Xác định điểm III tượng trưng cho nút sơ đồ chuyển vị Nút có đầu đối diện biết sơ đồ chuyển vị ® II, a® A Ta thực tương tự bước tc23 Dl23 tc12 Dl12 III 32 d ^3a tc2b tc1c tc3a I 21 Dl2b Dl1c Dl3a b a c H.6.2.7a OºAºB ^23 ºCºD Bước 5: Xác định kết 31 22 II ^12 Dl12 Dl23 Sau xác định chuyển vị thẳng tương đối theo phương o vng góc với trục ta tra bảng vẽ ( M tc ) ^2b H.6.2.7b CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 67 o d Biểu đồ ( M Z ): biểu đồ mômen uốn chuyển vị cưỡng gối tựa gây hệ Phân tích nguyên nhân làm loại: chuyển vị thẳng (D) chuyển vị góc xoay (j) Theo nguyên lý cộng tác dụng: o o o ( M Z ) = (M j ) + (M D ) o ( M j ) : nguyên nhân (j) gây ra, vẽ tương tự biểu đồ ( M k ) Zk chuyển vị góc xoay o ( M D ) : nguyên nhân (D) gây ra, vẽ tương tự biểu đồ ( M k ) Zk chuyển cị thẳng Tất nhiên lập sơ đồ chuyển vị cần Xác định hệ số hệ phương trình tắc: a Trường hợp liên kết k liên kết mômen: - Xác định rkm: Tách nút k biểu đồ mômen ( M m ) xét cân mômen nút - Xác định RkP, Rkt, RkZ Tương tự, tách nút k biểu đồ mômen tương ứng xét cân mômen nút b Trường hợp liên kết k liên kết lực: Tương tự cách thực mặt cắt qua liên kết k biểu đồ mômen tương ứng nhằm tách khỏi hệ phận xét cân lực * Chú ý: - Chiều dương phản lực lấy theo chiều chuyển vị cưỡng đặt thêm vào hệ - Khi liên kết k liên kết mơmen, cần xác định mômen quanh nút k đủ để viết phương trình cân mơmen Khi liên kết k liên kết lực ta cần xác định lực cắt lực dọc vừa đủ để tham gia phương trình cân hình chiếu VI Vẽ biểu đồ nội lực: Sau giải hệ phương trình tắc xác định (Z1, Z2, Zn) giải hệ theo cách tính trực tiếp hay theo nguyên lý cộng tác dụng phương pháp lực Trong vẽ thực hành người ta thường sử dụng phương pháp cộng tác dụng để vẽ biểu đồ mômen: o o ( M ) = ( M ) Z + ( M ) Z + (M n )Z n + ( M P ) + ( M to ) + ( M Z ) Biểu đồ lực cắt suy từ biểu đồ mômen biểu đồ lực dọc suy từ biểu đồ lực cắt phương pháp lực CÁC VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực hệ cho hình (H.6.2.8a) Cho biết độ cứng EJ = const xét biến dạng uốn * Hệ đối xứng chịu nguyên nhân đối xứng, ta lập sơ đồ tính hệ tương đương hình (H.6.2.8b) giải toán nửa hệ tương đương Bậc siêu động: n = n1 + n2 = + = CƠ HỌC KẾT CẤU II q Page 68 Z1 q B H.6.2.8a a a C H.6.2.8b A 2a H.6.2.8c a Hệ hệ phương trình tắc: - Hệ bản: (H.6.2.8c) - Hệ phương trình tắc: r11Z1 + R1P = Xác định hệ số hệ phương trình tắc: o - Vẽ biểu đồ ( M ), ( M P ): kết hình vẽ (H.6.2.8d & H.6.2.8e) Z1 = qa 2 qa EJ a EJ a EJ a M1 qa o MP H.6.2.8d qa 15 (M ) X 2qa 15 H.6.2.8e - Xác định hệ số: * r11: Tách nút B ( M ) Kết r11 = 4qa 15 H.6.2.8f r11 xét cân nút 5EJ a o * R1P: Tách nút B ( M P ) Kết R1P = - qa EJ a xét cân nút EJ a Thay vào hệ phương trình tắc: EJ qa qa Z1 = ® Z1 = >0 a 15 EJ R1P Vẽ biểu đồ nội lực: a Biểu đồ mômen: qa o ( M ) = ( M )Z + ( M P ) qa 15 qa M qa 15 qa 3,5 qa 15 H.6.2.8g Q qa 15 H.6.2.8k N qa 15 qa H.6.2.8l CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 69 b Biểu đồ lực cắt: suy từ biểu đồ mơmen Kết hình vẽ (H.6.2.8k) c Biểu đồ lực dọc: suy từ biểu đồ lực cắt Kết hình vẽ (H.6.2.8l) Sau có kết nửa hệ, ta suy kết tồn hệ theo tính chất hệ đối xứng chịu nguyên nhân đối xứng Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực hệ hình (H.6.2.9a) Cho biết độ cứng đứng 2EJ, ngangg EJ Chỉ xét ảnh hưởng biến dạng uốn Z1 M = 4T.m Z2 P = 2T D B H.6.2.9a 4m C H.6.2.9b A 3m 3m Bậc siêu động: n = n1 + n2 = + = 2 Hệ hệ phương trình tắc: - Hệ bản: (H.6.2.9b) - Hệ phương trình tắc: EJ Z1 = 2EJ EJ H.6.2.9c M1 ì r11 Z + r12 Z + R1P = í ỵr21 Z + r22 Z + R2 P = EJ Xác định hệ số hệ phương trình tắc: o - Vẽ biểu đồ ( M ),( M ), ( M P ) : kết hình vẽ (H.6.2.9c ® Z2 = M = 4T.m H.6.2.9e) P = 2T H.6.2.9d EJ EJ M2 - Xác định hệ số: * r11: Tách nút C ( M ), r11 = 4EJ * r12 = r21: Tách nút C ( M ) r12 = r21 = 0,75EJ * r22 cắt phần hệ ( M ) EJ (H.6.2.9g) Q suy từ ( M ) Q = Qtr đoạn AC: Q= 0,75 EJ - (-0,75 EJ) = 0,375 EJ H.6.2.9e o MP r12 R1P EJ r11 M=4 EJ 2EJ H.6.2.9f CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 70 Chiếu lên phương X ® r22 = Q = 0,375EJ o * R1P: tách nút C ( M P ) ® R1P = - M = -4 o * R2P: cắt phần hệ ( M P ) (H.6.2.9h) Chiếu lên phương X M=4 ® R2P = -P = -2 r22 P=2 R2P Q N Q=0 N H.6.2.9h H.6.2.9g Thay vào hệ phương trình tắc: ì EJ.Z1 - 0,75EJ.Z - = í î- 0,75 EJ.Z1 + 0,375 EJ.Z - = ìZ = 3,2 / EJ í ỵZ = 11,733 / EJ Vẽ biểu đồ nội lực: o a Biểu đồ mômen: ( M ) = ( M ) Z + ( M ) Z + ( M P ) Kết thể hình vẽ (H.6.2.9k) b Biểu đồ lực cắt: Suy từ (M) c Biểu đồ lực dọc: Suy từ (Q) 3,2 2,4 H.6.2.9k 1,066 M Q 1,066 H.6.2.9l H.6.2.9m N (T.m) (T) (T) 5,6 20°C Ví dụ 3: Vẽ biểu đồ nội lực hệ B cho hình vẽ (H.6.2.10a) Cho biết độ cứng 10°C A EJ = 2000T.m2; h = 30°C -1 10°C 0,4m; a = 1,2.10 C Chỉ xét ảnh hưởng H.6.2.10a biến dạng uốn j C * Chiều dài BC: 3 3/2 l BC = = 3(m) 4m cos 30 Bậc siêu động: n = n1 + n2 = + = Hệ hệ phương trình tắc: - Hệ (H.6.2.10b) - Hệ phương trình tắc: r11.Z1 + R1t = Xác định hệ số hệ phương trình tắc: a Vẽ biểu đồ ( M ), ( M to ) + ( M ) Z1 = gây hệ (H.6.2.10c) 3m 3,2 CƠ HỌC KẾT CẤU II o o + ( M to ) = ( M tc ) + ( M Dt ) Z1 EJ Z1 = a EJ (t - t1 ) = 0,6 h EJ 0,5EJ 3a (t - t1 ) = 1,8 2h M1 H.6.2.10b Page 71 H.6.2.10c H.6.2.10d o (M Dt ) o * (M Dt ) Rời rạc hệ tra bảng cho cấu kiện chịu nguyên nhân biến thiên nhiệt độ thớ thớ (H.6.2.10d) o * ( M tc ) : biến thiên nhiệt độ dọc trục gây chuyển vị thẳng nút Ta xác định chuyển vị thẳng tương đối theo phương vng góc với trục sơ đồ chuyển vị (giản đồ Williot) + Biến thiên chiều dài thanh: Dl AB = a l AB t cAB = 1,2.10 -5.4 Dl BC = a l BC t cBC = 1, 2.10 -5.3 10 + 20 = 0,72mm 10 + 30 = 0,72mm (dãn dài ra) + Lập sơ đồ chuyển vị: (H.6.2.10e) + Chuyển vị thẳng tương đối theo phương vng góc với AB chiếu đoạn A’B' lên phương cần tìm chuyển vị Đo đoạn B1B' + Tương tự BC đoạn B'B2 Bằng quan hệ hình học dễ thấy: B2 ^AB Dl BC 0,72 = = 2,687(mm) tg15 tg15 r11 H.6.2.10g - 0,712 o o Vẽ biểu đồ ( M ) = ( M ) Z + ( M j ) + ( M D ) Biểu đồ lực cắt lực dọc vẽ tương tự ví dụ trước OºA' H.6.2.11c B' EJ D AB = 40,98 l AB 36,323 3EJ D BC = 26,666 lBC j 40,98 M (T.m) H.6.2.11d D2 46,151 o D (M ) H.6.2.11e 36,323 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 73 ß3 XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU ĐỘNG Chuyển vị nút: Đó chuyển vị Zk tương ứng tìm giải hệ phương trình tắc Chuyển vị tiết diện bên phần tử: Có thể xác định theo cách sau: a Ngay từ đầu, coi tiết diện có chuyển vị cần tìm nút hệ Như vậy, ta đưa toán xác định chuyển vị tiết diện tốn tìm chuyển vị nút thực nêu Biện pháp đơn giản làm tăng số lượng ẩn số b Sau giải toán, biết nội lực chuyển vị đầu phần tử, ta xác định chuyển vị tiết diện bên phần tử theo phương pháp biết phương pháp thông số ban đầu, cách xác định chuyển vị chương chuyển vị… c Sau xác định nội lực hệ siêu động, ta xem hệ hệ siêu tĩnh với nội lực biết áp dụng cách xác định chuyển vị hệ siêu tĩnh biết chương phương pháp lực Trong tính tốn thường sử dụng cách Ví dụ: Xác định độ võng tiết diện k hệ hình vẽ (H.6.3.1a) Cho EJ toàn hệ 1000T.m2, chiều cao tiết diện h = 0,3m; hệ số dãn nở nhiệt a = 1,2.105.0C-1; góc xoay j = 0,005rad Z1 q 20°C C D H.6.3.1a B 2m 2m j 4m k 10°C A H.6.3.1b 3m EJ Vẽ biểu đồ mômen uốn: a Bậc siêu động: n = n1 + n2 = + = b Hệ hệ phương trình 0,5EJ tắc: EJ M1 Z1 = EJ - Hệ (H.6.3.1b) 0,5EJ H.6.3.1c - Hệ phương trình tắc: r11.Z1 + R1P + R1t + R1Z = c Xác định hệ số hệ phương trình tắc: o o - Vẽ biểu đồ ( M ), ( M P ) , ( M to ) , ( M Z ) o o + ( M to ) = ( M tc ) + ( M Dt ) o * ( M tc ) : nguyên nhân tc AC gây chuyển vị thẳng tương đối theo phương vng góc trục thanh BC Dễ thấy: CƠ HỌC KẾT CẤU II Dl BC = a l AC t CAC = 1,2.10 -5.4 Page 74 10 + 20 = 0,72mm o o o + ( M Z ) = (M j ) + (M D ) o Ở ( M D ) không tồn 1,35 1,35 20°C 10°C M o P 0,54 o ( M tc ) EJ D BC = 0,54 l BC H.6.3.1d H.6.3.1f a (t - t1 ) EJ = 0,8 h o (M j ) o (M Dt ) H.6.2.1e H.6.3.1g EJ j = 10 l BC j - Xác định hệ số: Từ biểu đồ vẽ, tính được: * r11 = 3EJ; R1P = -1,35; 2,12 * R1t = R1tC + R1Dt = 1,35 3,69 -0,54 - 0,8 = -1,34 * R1Z = R1j = 1,57 0,415 Thay vào hệ phương trình: M 3EJ.Z1 - 1,35 - 1,34 + = (T.m) 0,77 ® Z1 = 9,075 EJ H.6.3.1h d Vẽ biểu đồ mômen: o o o o ( M ) = ( M ) Z + ( M P ) + (M tC ) + (M Dt ) + ( M j ) Xác định độ võng k: - Trạng thái "m" giải với biểu đồ (M) - Trạng thái "k" tạo hệ phương pháp lực xác định ( M ko ) , o ( N ko ) , ( R jk ) - Độ võng k: Pk = 0,5 Pk = o (M k ) 0,5 H.6.3.1k 0,5 o (N k ) H.6.3.1l 0,5 0,5 CƠ HỌC KẾT CẤU II a (t - t1 )W( M ko ) + Sat c W ( N ko ) h a 1.4 1.4 0,415 + 1,57 = (10 - 20) -0+ +0 EJ 2 0,3 1,985 200a = = 0,1925(mm) > EJ o y k = ( M ko )( M ) - SR jk Z jm + S Chuyển vị chiều với Pk Page 75 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 76 ß4: TÍNH HỆ CĨ NÚT KHÔNG CHUYỂN VỊ THẲNG CHỈ CHỊU TẢI TRỌNG LÀ CÁC LỰC TẬP TRUNG TẠI NÚT Chẳng hạn hệ cho hình (H.6.4.1) thỏa mãn u cầu tốn H.6.4.1 H.6.4.2 H.6.4.3 Với loại hệ tạo hệ phương pháp chuyển vị ta đặt thêm liên kết mômen Mặc khác, tải trọng lực tập trung o nút nên biểu đồ ( M P ) không tồn RkP khơng tồn Vậy hệ phương trình tắc tổng qt cho trường hợp này: ì r11 Z + r12 Z + r1n Z n = ïr Z + r Z + r Z = ï 21 22 2n n í ï ïrn1 Z1 + rn Z + rnn Z n = ỵ Đây hệ phương trình nhất, đẳng cấp người ta chứng minh có nghiệm Z1 = Z2 = Zn = Suy biểu đồ mômen hệ: o ( M ) = ( M ) Z + ( M ) Z + (M n ) Z n + ( M P ) không tồn Suy biểu đồ lực cắt hệ không tồn Nội lực hệ tồn lực dọc, hệ làm việc hệ dàn với nút ngàm thay khớp lý tưởng (H.6.4.1c) Kết luận: Khi tính hệ có nút khơng chuyển vị thẳng chịu tải trọng lực tập trung nút, ta thay nút ngàm liên kết khớp tính tốn hệ dàn thơng thường CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 77 ß TÍNH HỆ SIÊU ĐỘNG CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG Cũng tương tự phương pháp lực, ta nghiên cứu cách vẽ đường ảnh hưởng I Đường ảnh hưởng bản: Là ảnh hưởng ẩn Zk P = 1di động hệ gây ra: Hệ phương trình tắc: Tương tự phương pháp lực, số hạng tự thay rkP: ì r11 Z1 + r12 Z + r1n Z n + r1 P = ïr Z + r Z + r Z + r = ï 21 22 2n n 2P í ï ïrn1 Z + rn Z + rnn Z n + rnP = ỵ Xác định hệ số hệ phương trình tắc: a Hệ số phụ (rkm): Các hệ số khơng thay đổi xác định trường hợp tải trọng bất động b Số hạng tự (rkP): Là phản lực liên kết k P = 1di động hệ gây Điều có nghĩa rkP thay đổi theo vị trí P Do hệ phương pháp chuyển vị thực chất cấu kiện làm việc độc lập nên người ta lập sẵn bảng tra nội lực, phản lực đầu (Xem bảng B.6.5.1 ® 3) Dựa vào bảng tra ta xác định rkP theo vị trí P = c Giải hệ phương trình tắc: Tương tự phương pháp lực, ta sử dụng phương pháp hệ số ảnh hưởng: ì Z = b 11 r1P + b 12 r2 P + b 1n rnP ïZ = b r + b r + b r ï 21 P 22 P n nP í ï ïZ n = b n1r1P + b n r2 P + b nn rnP ỵ b ik hệ số ảnh hưởng: b ik = (-1) i + k ±1 Dik D D định thức hệ số phụ hệ phương trình tắc: D = rik với i, k Ỵ [1; n] Dik định thức suy từ định thức D cách loại bỏ hàng i cột k (hoặc hàng k cột i) Sau xác định Zk, cho P = di động, vẽ đ.a.h.Zk II Đường ảnh hưởng nội lực, phản lực chuyển vị: Sau xác định đường ảnh hưởng Zk, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta vẽ đường ảnh hưởng đại lượng S (nội lực, phản lực, hay chuyển vị) tiết diện theo biểu thức: đ.a.h.S = S1 (đ.a.h.Z1) + S (đ.a.h.Z2) + S n (đ.a.h.Zn) + đ.a.h.S0 - S k giá trị đại lượng S Zk = gây hệ - đ.a.h.S0 đ.a.h.S P = di động hệ gây (đ.a.h vẽ theo bảng tra B.6.5.1 ® 3) CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 78 * Chú ý: Q trình tính tốn lập thành bảng tương tự nêu phương pháp lực Ví dụ: Vẽ đường ảnh hưởng mơmen uốn đ.a.h.Mk hệ cho hình (H.6.5.1) A 2EJ C k EJ EJ H.6.5.1 EJ D F 2m B EJ E 3m 4m 3m 4m 10 11 12 13 14 H.6.5.2 Z1 Z2 H.6.5.3 EJ Z1 = EJ H.6.5.4 EJ EJ (M ) 0,5EJ EJ H.6.5.5 EJ Z2 = 2EJ (M ) 2m Chia đường xe chạy làm 14 đoạn, đoạn dài 1m đánh số thứ tự điểm chia hình (H.6.5.2) P=1 EJ EJ 0,5EJ CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 79 1.Bậc siêu động: n = n1 + n2 = + = - Hệ hệ phương trình tắc: - Hệ (H.6.5.3) Hệ phương trình tắc: ì r11 Z + r12 Z + r1P = í ỵr21 Z1 + r22 Z + r2 P = Xác định hệ số hệ phương trình tắc: Vẽ biểu đồ ( M ), (M ) 4ù 37 é3 r11 = ê + + ú EJ = EJ 3û 12 ë4 r12 = r21 = EJ 13 é ù r22 = ê + + 1ú EJ = EJ ë3 û - Xác định số hạng tự do: + Khi P = 1di động AB, sơ đồ cấu kiện mẫu ta có r1P = - M A = x (1 - x )(2 - x )l r2P = Lần lượt cho x = 0; 0,25; 0,5; 0,75; ta có giá trị tương ứng r1P P = di động AB + Khi P = 1di động BC: tương tự r1P = M A = -x (1 - x ) l r2 P = - M B = x (1 - x )l Lần lượt cho x = 0; ; ; ; ; ;1(ứng với điểm chia BC) ta tìm 6 6 giá trị tương ứng r1P, r2P P di động + Khi P = 1di động CD: tương tự r1P = r2 P = M A = -x (1 - x ) l Cho x giá trị 0; 0,25; 0,5; 0,75; ta tìm số hạng tự đoạn Giải hệ phương trình tắc: - Xác định hệ số ảnh hưởng b ik = (-1) i + k ±1 Dik D 37 EJ EJ 465 ( EJ ) D = 12 = 13 36 EJ EJ 3 13 37 D11 = EJ; D12 = D21 = EJ; D 22 = EJ 3 12 156 24 111 ® b 11 = / EJ; b 12 = b 21 = / EJ; b 22 = / EJ 465 465 465 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 80 - Giải hệ phương trình tắc: ì Z = b 11 r1P + b 12 r2 P í ỵZ = b 21 r1P + b 22 r2 P Thực tính toán theo biểu thức Kết thể bảng: (B.6.5.3) Vẽ đường ảnh hưởng Mk: đ.a.h.Mk = M k1 (đ.a.h.Z1) + M k (đ.a.h.Z2) + đ.a.h M ko - M k1 lấy ( M ) tiết diện k M k1 = - Tương tự: EJ M k2 = - EJ - đ.a.h M ko đường ảnh hưởng mômen uốn tiết diện k P = di động gây hệ Ở toán P = gây ảnh hưởng đến k di động BC Tra sơ đồ cấu kiện mẫu ta xác định Kết bảng (B.6.5.4) B.6.5.4 Bảng tính tung độ đường ảnh hưởng Zk & Mk Thanh AB BC CD Điểm r1P r2P 4 10 10 11 12 13 14 0,6562 0,75 0,4687 0 -0,694 -0,888 -0,75 -0,444 -0,139 0 0 0 0 0 0 0,139 0,444 0,75 0,888 0,694 0 -0,562 -0,5 -0,1875 Tung độ (đ.a.h.Zi) EJ đ.a.h M o đ.a.hMk k Z1 Z2 0 0 -0,220 0,034 -0,084 -0,252 0,039 -0,096 -0,157 0,024 -0,060 0 0 0 0 0,240 -0,069 0,083 0,186 0,321 -0,152 0,333 0,491 0,290 -0,217 0,75 0,919 0,195 -0,235 0,333 0,476 0,082 -0,173 0,083 0,168 0 0 0 0 -0,029 0,134 -0,054 -0,026 0,119 -0,048 -0,009 0,044 -0,018 0 0 ... 13 37 D 11 = EJ; D12 = D 21 = EJ; D 22 = EJ 3 12 15 6 24 11 1 ® b 11 = / EJ; b 12 = b 21 = / EJ; b 22 = / EJ 465 465 465 CƠ HỌC KẾT CẤU II Page 80 - Giải hệ phương trình tắc: ì Z = b 11 r1P + b 12 ... R1t = R1tc + R1Dt + R1Dt: R1Dt = 1, 2 + R1tC: R1tc = 0,224 ® R1t = 1, 424 2, 015 Thay vào phương trình: EJ.Z1 + 1, 424 = ® Z = B'' ^BC BC Dl D AB = D BC = (dãn dài ra) 2, 015 1, 8 1, 7 91 CƠ HỌC KẾT CẤU... ) Z1 = gây hệ (H.6.2 .10 c) 3m 3,2 CƠ HỌC KẾT CẤU II o o + ( M to ) = ( M tc ) + ( M Dt ) Z1 EJ Z1 = a EJ (t - t1 ) = 0,6 h EJ 0,5EJ 3a (t - t1 ) = 1, 8 2h M1 H.6.2 .10 b Page 71 H.6.2 .10 c H.6.2 .10 d