Tài liệu tham khảo giáo trình Cơ học chất lưu
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 1CHƯƠNGI. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤTr0(x0, y0, z0)r(x, y, z)yxzQuỹ đạo1. Phương pháp Lagrange(J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyểnđộng chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b⎪⎩⎪⎨⎧===⇔=)t,z,y,x(xz)t,z,y,x(xy)t,z,y,x(xx)t,r(fr0000000000GG⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇔=dtdzudtdyudtdxudtrduzyxGG⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⇔==22z22y22x22dtzdadtydadtxdadtrddtudaGGG⎪⎩⎪⎨⎧===⇔=)t,z,y,x(uu)t,z,y,x(uu)t,z,y,x(uu)t,z,y,x(uuzzyyxxGGCác đường dòng tại thời điểm t(x,y,z)¾Phương trình đường dòng: zyxudzudyudx==(L. Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783) 2. Phương pháp Euler PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 2Ví dụ 1b:ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);)y2xy(dyx2yxdx22+−=+Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y vềcùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán nàysau trong chương thế lưuVí dụ 1a:ux=3x2; uy=-6xy; uz=0xy6dyx3dx2−=Thiết lập phương trình đường dòng:ydyxdx2ydyxxdx22−=⇔−=Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:CyxCln)yln()xln(2ydyxdx22=⇔+−=⇔−=∫∫Tích phân hai vế:Vậy phương trình đường dòng có dạng:Cyx2=Thiết lập phương trình đường dòng:II. CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG3. Lưu lượng Q, Vận tốc trung bình m/ cắtướt V:AQVudAdAuQuot.c/AmAbatkyn===∫∫Abất kỳuAm/c ướtø1. Đường dòng, dòng nguyên tốdAống dòngAAAPDòng có ápDòng khôngápDòng tia2. Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/PNhậnxét:Lưu lượng chính là thể tíchcủa biểu đồ phân bố vận tốc :Biểu đồ phân bố vận tốc PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 3¾Thí nghiệm ReynoldsIII. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:1. Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sátChuyển động chất lỏng thực: có ma sát -Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) - rối (Re>2300)2. Theo thời gian: ổn đònh-không ổn đònh.3 Theo không gian: đều-không đều.4 Theo tính nén được: số Mach M=u/aa: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chấtdưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1)trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1)masatquantinhFFRe =Nlưốiphầnthànhbộ-t.ph.cụczuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==tudtuda)t,z,y,x(uu000∂∂==⇒=GGGGIV. GIA TỐC PHẦN TƯÛ LƯU CHẤT :•Theo Euler:•Theo Lagrange: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 4V. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT:Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) vàM1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có:vận tốc biếndạng dàivận tốc biến dạng gócvàvậntốcquayvận tốc chuyểnđộng tònh tiếndzzudyyudxxuuudzzudyyudxxuuudzzudyyudxxuuuzzzz1zyyyy1yxxxx1x∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=1. Tònh tiếnChuyểnđộng2. Quay3. Biến dạngVận tốcquay:uRotGG21=ω⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂zyxuuuzyxkjiGGG21=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=zuyuyzx21ω⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=xuzuzxy21ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=yuxuxyz21ωBiến dạng dàiSuất biến dạng dàixuεxxx∂∂=yuεyyy∂∂=zuεzzz∂∂=Biến dạng gócSuất biến dạng góc⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂==zuyu21εεyzyzzy⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂==xuzu21εεzxzxxz⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂==yuxu21εεxyyxxy¾Đònh lý Hemholtz PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 5•Chuyển động quay của phần tử lưu chất:uyΔtxydydxuxΔtβα∂ux/∂ydyΔt∂uy/∂xdxΔt+zxyyxrotu21yuxu21dxtΔdxxudytΔdyyutΔ21tΔ12βαω=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∂∂−+∂∂−=+−=0)u(rot =G0)u(rot ≠Gchuyển động không quay (thế)chuyển động quayVí dụ 2: Xác đònh đường dòng của một dòng chảy có : ux= 2y và uy= 4xyxudyudx=xdyydx42=ydyxdx 24 =ydyxdx =2Cyx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22222Cyx =−222 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 6Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vậntốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s. Chiều dài của ống là 0,5mHãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theotrục ống. Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra củavòiGiả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổituyến tính dọc theo trục ngang của ống. Ví dụ 3:Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống:u = ax + b. a, b là hằng sốChọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta cótại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s. Thế cá điềukiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10. Suy ra quyluật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là:u = (80x + 10) m/sTừ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau:Thế giá trò x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và racủa ống lần lượt là: 800 m/s2và 4000m/s2.Lời Giải: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 7VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁTAWudwCVW: thể tích kiểm soátX : Đại lượng cần nghiên cứuk : Đại lượng đơn vò ( đại lượng X trên 1 đơn vò khối lượng)ukG=∫∫∫ρ=WdWX∫∫∫ρ=WdWuXKK∫∫∫ρ=W2dW2uXVí dụ: X là khối lượng: k=1 ; X là động lượng: X là động năng: k=u2/2 ; 1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu: ∫∫∫=WdWρkXXét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích baoquanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyểnđộng qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W được tính bằng:ABCDiện tíchA1Diện tíchA2WW1nn. Đònh lý vậntảiReynolds-phương phápthể tích kiểmsoát: Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tíchkiểm soát W.Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển độngđến và chiếm khoảng không gian W1.¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua Wt)XX()XX(limtXXlimtXXlimtXlimdtdXtBtAttCttB0tWW0tttt0t0t1Δ+−+=Δ−=Δ−=ΔΔ=Δ+Δ+→Δ→ΔΔ+→Δ→ΔtXXlimtXXlimtXXlimt)XX()XX(limttAttC0ttWttW0tttAttC0ttBtAttAttB0tΔ−+Δ−=Δ−+Δ+−+=Δ+Δ+→ΔΔ+→ΔΔ+Δ+→ΔΔ+Δ+→Δ∫∫∫∫∫∫+∂∂=++∂∂=→AnWAnAn0tΔWdAuρktXtΔdAuρktΔdAuρktΔlimtX12∫∫ρ+∂∂=AnWdAuktXdtdX PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 80zuyuxu0)u(divzyx=∂∂+∂∂+∂∂⇔=0dW)u(divdWtAdutdWdtdXWWGauss.d.bAnW=ρ+∂ρ∂=ρ+∂ρ∂=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫0)u(divt=ρ+∂ρ∂Hay:: dạng vi phân của ptr liên tụcVII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS•Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được:Dòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: → ptr liên tục của dòng nguyên tốchuyển động ổn đònh:222111AndAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ∫∫dA1u1u2dA2X là khối lượng: theo đ. luật bảo toàn khối lượng:0dtdX=1. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC∫∫ρ+∂∂=AnWdAuktXdtdX•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chấtkhông nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén đượcchuyển động ổn đònh:constQhayQQ21===iQQđđến•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra) → ptr liêntục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng:212222A111AMMdAudAu1=⇔ρ=ρ∫∫M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gianM2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian•Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn đònh, lưuchất không nén được, tại một nút, ta có: → ptr liên tục tại một nút cho toàndònglưuchấtkhôngnénđượcchuyểnđộngổnđònh: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 92. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNGKhi X là năng lượngcủa dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nộinăng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vò năng lẫn áp năng), ta có:X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ với Z=z+p/γNhư vậy, năng lượng của một đơn vò khối lượng lưu chất kbằng: ρ+++=pgzueku221trong đó: eulà nội năng của một đơn vò khối lượng.1/2u2là động năng của một đơn vò khối lượng.gz là vò năng của một đơn vò khối lượng.p/ρ là áp năng của một đơn vò khối lượng.Đònh luật I Nhiệt động lực học:số gia năng lượng được truyền vào chất lỏngtrong một đơn vò thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vò thời giancủa nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổicông (dW/dt) trong một đơn vò thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối vớimôi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát):dtdWdtdQdtdE−=∫∫ρ+∂∂=AnWdAuktXdtdXNhư vậy∫∫∫∫∫ρρ++++ρρ+++∂∂=−AnuwudAu)pgzue(dw)pgzue(tdtdWdtdQ222121Dạng tổng quátcủa P. tr NL3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNGukG=∫∫∫ρ=WdWuXKKKhi X là động lượng: Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể tíchW (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vò thời gian bằng tổngngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó: ∫∫∫∫∫∑+∂∂=AnwdAuρ)u(dwρ)u(tFngoạilựcDạmg tổngquát của p.trĐLNhư vậy, từ kết quả của pp TTKS: ; ta có: ∫∫ρ+∂∂=AnWdAuktXdtdXngoạilực∑= FdtXd PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 10Ví dụ 4:Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hìnhvẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trò Umax= 12 cm/s . Tìm vận tốc trung bình của dòng chảyGiải:Lưu lượng :3Ruπ3r2RrRuπ2rdrπ2)rR(RuQ2maxRr32maxR0max=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−==∫Tại tâm ống, u=umax; tại thành ống, u=0. Ta có trên phương r,; vận tốc dòngchảy phân bố theo quy luật tuyến tính:)rR(Ruumax−=UmaxdrdA=2πrdrr3uAQVmax==s/cm4V =Ví dụ 5:()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=221Rr1uuLưu chất chuyển động ổn đònh trong đường ống có đường kính D. ƠÛ đầu vào củoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật :u1: vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng. r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2)u2: vận tốc tại tâm ống khi chảy rốiy : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2)Tìm quan hệ giữa u1và u2Giải:dy)yR(π2RyuQ;rdrπ2Rr1uQ71R022R02211−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∫∫Theo phương trình liên tục:21QQ =Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phânbố vận tốc như sau :ru1ou2RrodrdA=2πrdr()2Ruπ)R(4r2ruπ2rdrπ2Rr1uQ21Rr2421R02211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==∫22Ry717157678271R071R022Ruπ6049R15y7R8y7uπ2dyRyydyRyRuπ2Q =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==−∫∫7/12Ryuu⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21u3049u =⇒ [...]... diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển động qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W được tính bằng: A B C Diện tích A 1 Diện tích A 2 W W 1 n n . Định lý vậntảiReynolds-phương phápthể tích kiểmsoát: Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W. Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm khoảng không gian W1. ¾Nghiên cứu... REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT A W u dw CV W: thể tích kiểm soát X : Đại lượng cần nghiên cứu k : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng) uk G = ∫∫∫ ρ= W dWX ∫∫∫ ρ= W dWuX K K ∫∫∫ ρ= W 2 dW 2 u X Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ; X là động lượng: X là động năng: k=u 2 /2 ; 1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu: ∫∫∫ = W dWρkX Xét thể tích W trong không gian lưu chất. ..PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG HOC 5 •Chuyển động quay của phần tử lưu chất: u y Δt x y dy dx u x Δt β α ∂u x /∂ydyΔ t ∂u y /∂xdxΔ t + z x y y x rotu 2 1 y u x u 2 1 dx tΔdx x u dy tΔdy y u tΔ2 1 tΔ 1 2 βα ω = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ∂ ∂ −= + −= 0)u(rot . dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng:212222A111AMMdAudAu1=⇔ρ=ρ∫∫M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gianM2: khối lượng lưu chất. lưu chất chuyển động. W có diện tích baoquanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyểnđộng qua không gian này. Đại lượng X của lưu