GIÁO TRÌNH CƠ LƯU CHẤT ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM

Mở Đầu: Giới thiệu về môn học, các tính chất lưu chất, các lực tác dụng lên lưuchất.. Tĩnh học lưu chất: Nghiên cứu về lưu chất ở trạng thái tĩnh, các phương trình cơ bản đặc trưng cho l

I. Mở Đầu: Giới thiệu về môn học, các tính chất lưu chất, các lực tác dụng lên lưu

chất.

II. Tĩnh học lưu chất: Nghiên cứu về lưu chất ở trạng thái tĩnh, các phương trình cơ

bản đặc trưng cho lưu chất ở trạng thái tĩnh, từ đó rút ra quy luật phân bố áo suất của các điểm trong môi trường lưu chất tĩnh, cũng như cách tính các áp lực của lưu chất lên một bề mặt vật (chương này có hai phần: tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối).

III. Động học lưu chất: Nghiên cứu về chuyển động của lưu chất (không xét đến lực),

các phương pháp nghiên cứu, các loại chuyển động, định lý vận tải Reynolds về phương pháp thể tích kiểm soát, từ đó rút ra phương trình liên tục dựa vào nguyên lý bảo toàn khối lượng.

IV. Đông lực học lưu chất: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển động của lưu chất,

những phương trình vi phân đặc trưng cho lưu chất chuyển động, từ đó, cộng với ứng dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng và biến thiên động lượng để rút ra những phương trình cơ bản động lực học (phương trình năng lượng, phương trình động lượng) và các ứng dụng của nó.

V. Dòng chảy đều trong ống: Trong chương này ta nghiện cứu hai phần: Phần 1 về

dòng chảy đều trong ống, phương trình cơ bản , phân bố vận tốc trong dòng chảy tầng, rối, các công thức tính toán tổn thất năng lượng trong dòng chảy Phần 2 về các tính toán trong mạng đường ống (từ ống đơn giản, nối tiếp song song đến một mạng ống vòng…)

VI. Thế lưu: Trong chương này ta tập trung nghiên cứu dòng lưu chất lý tưởng không

nén được, chuyển động thế trên mặt phẳng xOy, các ví vụ dòng chảy thế từ đơn giản (dòng thẳng đều, điểm nguồn, hút,… đến phức tạp hơn (lưỡng cực, dòng bao quanh trụ tròn…)

Giảng viên: TS Nguyễn Thị Bảy

1 Bài giảng Cơ Lưu Chất- và Các ví dụ tính toán - Nguyễn Thị Bảy (Bô môn Cơ Lưu Chất) Website: http://www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

2 Gíao trình Cơ lưu chất - Bộ môn Cơ lưu Chất

3 Bài tập Cơ lưu Chất – Nguyễn thị Phương – Lê song Giang ( BM Cơ lưu Chất )

4 Bài tập Cơ học Chất lỏng ứng dụng – Nguyễn hữu Chí, Nguyễn hữu Dy, Phùng văn Khương (có trong thư viện ĐHBK).

5 Solutions Manual Introduction to Fluid Mechanics _ Robert W.For, Alan T Mc Donald (Thư viện ĐHBKhoa)

6 Fundamental of Fluid mechanics–Phillip M Berhart, Richard J Gross, John I Hochstein Second edition, Addison –wesley Publising Company Inc 1985 (Thư viện ĐHBK)

7 Applied Fluid Mechanics- Robert L Mott , Fourth edition , Macmillian Publishing Company, 1990 (Thư viện ĐHBK)

8 Fluid mechanics – John Doughlas, Janusz M Gasiorek , John A Swaffiield Fourth edition, Prentice Hall, 2001

9 E-book : Fluid Mechanics , Frank M White , 1994

10 E-book : Shaum’s interactive Fluid mechanics – Giles R.V et al.

Web: https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl Chean Chin Ngo, Kurt Gramoll Website : www.engin.umich.edu

12 2500 solved problems in Fluid mechanics and hydraulics Jak B Evett, Ph.D and Cheng Liu, Ph.D McGraw-Hhill Book Company (có ở Bm CLC)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I GIỚI THIỆU MÔN HỌC CƠ LƯU CHẤTĐối tượng nghiên cứu: chất lỏngchất khí

Phạm vi nghiên cứu : các qui luật của lưu chất ở trạng thái tĩnh và động

Mục tiêu nghiên cứu : Nhằm phục vụ trong nhiều lĩnh vực :

¾Thiết kế các phương tiện vận chuyển : xe hơi, tàu thủy, máy bay, hỏa tiễn

¾Xây dựng: như cấp, thoát nước, công trình thủy lợi (cống, đê, hồ chứa, nhà máy

thủy điện ), tính toán thiết kế cầu, nhà cao tầng…

¾Thiết kế các thiết bị thủy lực : máy bơm, tua bin, quạt gió, máy nén

¾Khí tượng thủy văn : dự báo bão, lũ lụt ,

¾Y khoa: mô phỏng tuần hoàn máu trong cơ thể, tính toán thiết kế các máy trợ tim

nhân tạo

¾Trong cuộc sống hằng ngày, cũng cần rất nhiều kiến thức cơ bản về CLC Ví dụ:

Lực hút giữa hai doàn tàu đang chạy song song nhau, nồi áp suất,…

Phân biệt lưu chất :

¾Lực liên kết giữa các phân tử nhỏ → Có hình dạng phụ thuộc vào vật chứa

¾Không chịu tác dụng của lực cắt, kéo → Lưu chất là môi trường liên tục

¾Dưới tác dụng của lực kéo → Lưu chất chảy (không giữ được trạng thái

tĩnh ban đầu)

II CÁC TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA LƯU CHẤT

¾Khối lượng riêng:

2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích riêng:

) m / kg ( V

Δ

M Δ lim

0 V

n =

3 kk

3 n

m / kg 228 , 1 ρ

m / kg 1000 ρ

=

=

n γ

Sơ đồ lực hút Trái đất, lực ly tâm và trọng lực

Sự thay đổi g theo vĩ độ và độ cao:

F*:Lực hút trái đất (F*s,F*n)

g cũng thay đổi theo chiều cao z, z

càng lớn, g càng giảm do lực hút

của trái đất lên vật giảm

¾Hầu hết các loại chất lỏng rất khó nén nên được xem như là lưu chất không nén

¾Một dòng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thì sự thay đổi khối lượng riêng không

đáng kể nên vẫn được xem là lưu chất không nén

¾Khi dòng khí chuyển động với vận tốc lớn hơn 0,3 lần vận tốc âm thanh (khoảng

100 m/s) thi mới xem là lưu chất nén được

2 Đối với chất khí, xem như là khí lý tưởng: pV = RT Hay: p = ρ RT

¾Trong trường hợp khí nén đẳng

Lưu ý: Trong các công thức trên, áp suất p là áp suất tuyệt đối

Ví dụ 1: Nồi áp lực gồm phần trụ tròn có đường kính d=1000mm, dài l=2m; đáy và

nắp có dạng bán cầu Nồi chứa đầy nước với áp suất p0. Xác định thể tích

nước cần nén thêm vào nồi để tăng áp suất trong nồi từ p0=0 đến

p1=1000at Biết hệ số nén của nước là βp=4,112.10-5 cm2/kgf=4,19.10-10

m2/N Xem như bình không giản nở khi nén

V1; p1là thể tích và áp suất nước ở trạng thái sau;

Như vậy sau khi nén thêm nước vào, thể tích nước V1trong bình chính làthể tích bình:

3 2

3

2

d2

dπ3

V.pΔ.βVΔp

Δ

)VΔV/(

VΔp

Δ

V/VΔβ

p

1 p

1 0

Thế số vào ta được : ΔV =V1-V0 =-89.778lít

Vậy cần nén thêm vào bình 89.778 lít nước

Ví dụ

2: Dầu mỏ được nén trong xi lanh bằng thép thành dày tiết diện đều như hình

vẽ Xem như thép không đàn hồi Cột dầu trước khi nén là h=1,5 m, và

mực thuỷ ngân nằm ở vị trí A-A Sau khi nén, áp suất tăng từ 0 at lên 50 at,

thì mực thuỷ ngân dịch chuyển lên một khoảng Δh=4 mm Tính suất đàn

hồi của dầu mỏ

Giải:

Hg

Dầu mỏ Thép

nước

N/m10-5.44Eh

.pΔ

hΔp

Δ

h.S/hΔ.Sp

Δ

V/VΔ

2 p

N/m09

1.84Eβ

1

⇒

Giải cách 1:

Ví dụ 3: Một bình thép có thể tích tăng 1% khi áp suất tăng thêm 70 MPa Ở

điều kiện chuẩn, bình chứa đầy nước 450 kg ( ρnước=1000kg/m3) Biết

Kn=2,06.109 Pa Tìm khối lượng nước cần thêm vào (ở điều kiện

chuẩn) để tăng áp suất trong bình lên 70 MPa

0,45 m3 cũng chính là thể tích nước ban đầu trong bình ở đ.k chuẩn

Gọi V0 ; p0 là thể tích và áp suất nước ở trạng chuẩn; để sau khi nén trở thành

V1; p1(là thể tích và áp suất nước ở trạng thái sau);

Ta co thể lý luận được V1chính là thể tích bình lúc sau:

p Δ K

V K V

V V

p Δ V

Tương ứng với khối lượng: Δ M = 20.48744kg

Ví dụ 3: Một bình thép có thể tích tăng 1% khi áp suất tăng thêm 70 MPa Ở điềukiện chuẩn, bình chứa đầy nước 450 kg ( ρ

nước=1000kg/m3) Biết

Kn=2,06.109 Pa Tìm khối lượng nước cần thêm vào (ở điều kiện chuẩn)

để tăng áp suất trong bình lên 70 MPa

Giải cách 2:

Gọi V0; p0là thể tích và áp suất nước trong bình ở trạng ban đầu; V0=VB

V1; p1là thể tích và áp suất nước nước trong bình ở trạng thái sau;

Như vậy sau khi nén trong bình còn rỗng một thể tích là:

1 0

1 (V -V) 1%V ΔV 1%VV

0 1

0

K

pΔ.VVΔK

pΔ.VV

ΔVΔ

pΔV

Tương ứng với khối lượng: ΔM = 20.48744kg

ΔV1là thể tích phần rỗng mà ta cần bổ sung nước thêm vào bình ứng với áp suất p1

Để tính thể tích nước ΔV0tương ứng đó với điều kiện áp suất p0, ta cần tính lại một

0

1 0

0 1

p Δ K

V Δ K V Δ V Δ V Δ

p Δ V Δ

Ví dụ 4: Nén khí vào bình thép có thể tích 0,3 m 3 dưới áp suất 100at Sau thời gian bị

rò, áp suất trong bình còn lại 90 at Bỏ qua sự biến dạng của bình Tìm thể tích

khí bị rò ứng với đ kiện áp suất khí trời pa=1at Xem quá trình nén là đẳng

nhiệt

Giải

Gọi V0; p0là thể tích và áp suất khí trong bình ở trạng chuẩn ban đầu;

V1; p1là thể tích và áp suất cũng của khối khí đó ở trạng thái sau;

Ta có:

3 a

1

p

V.pΔV

3 1

0 1 1 1 0

p

pVVp

Vp

(V1-V0)=ΔV là thể tích khí bị mất đi (vì bình chỉ còn chứa lại V0), ứng với áp suất 90 at :

Để tính thể tích khí ΔVatương ứng đó với điều kiện áp suất pa, ta cần tính lại một

lần nữa :

Một bình gas ban đầu có khối lượng M = 15 kg có áp suất dư po = 500 kPa Sau

một thời gian sử dụng , ấp suất dư trong bình còn lại p = 300 Kpa Biết vỏ bình

gas có khối lượng 5 kg và không bị thay đđổi khi áp suất thay đổi Tính khối

lượng gas đã sử dụng trong thời gian trên

Ví dụ 4a: (xem Baitáp+2.xls, SV tự giải)

3.343922426.656078

105

300500

15

MgazsudungMgaz1

Mgaz0Mvo

p1, Kpap0,Kpa

M

2.3 Tính nhớt:

Hệ số nhớt phụ thuộc vào nhiệt độ Chất lỏngChất khí:: μμ tăng giảm khi nhiệt độ tăngkhi nhiệt độ tăng

Hệ số nhớt phụ thuộc vào áp suất: Chất lỏng: μ tăng khi p tăng

Chất khí : μkhông đổi khi p thay đổi

Tính chất của hệ số nhớt μ :

τ

du/dn

l.c Bin gha m

l.c lý tưởng

l.c Ne

wt on l.c Ph

i N ew

ton l.c Ph

i N ew ton

Chất lỏng Newton và phi Newton

Hầu hết các loại lưu chất thông thường như nước,

xăng, dầu … đều thỏa mãn công thức Newton, tuy

nhiên có một số chất lỏng (hắc ín, nhựa nóng chảy,

dầu thô ) không tuân theo công thức Newton được

gọi là chất lỏng phi Newton, hoặc đối với chất

lỏng thông thường khi chảy ở trạng thái chảy rối

cũng không tuân theo công thức Newton

n

uA

Chất lỏng Newton chảy tầng⇒Định luật ms nhớt Newton: τ="−"μdndu

Aτ

5: Đường ống có đường kính d, dài l, dẫn dầu với hệ số nhờn μ, khối lượng

riêng ρ Dầu chuyển động theo quy luật sau:

u=ady-ay2 (a>0; 0<=y<=d/2) Tìm lực ma sát của dầu lên thành ống

Giải

)2

Chọn trục toạ độ như hình vẽ, xét lớp chất lỏng bất kỳ có toạ

độ y (lớp chất lỏng này có diện tích là diện tích mặt trụ có

đường kính (d-2y)) Ta có:

Tại thành ống: y=0; suy ra:

y

x d

A

Ví dụ

6: Tấm phẳng diện tích A trượt ngang trên mặt phẳng trên lớp dầu bôi trơncó bề dày t, hệ số nhớt μ với vận tốc V Tìm phân bố vận tốc lớp dầu theo

phương pháp tuyến n của chuyển động

Giải

Phân tích lực tác dụng lên lớp chất lỏng bất lỳ

có toạ độ n như hình vẽ, ta có:

F u dn A

F du dn

du A F

μμ

μ

Tại n=0 ta có u=0, suy ra C=0

Tại n=t ta có u=V, suy ra:

t

VA F t A

F

=Thay vào trên ta có được biến thiên u trên n theo quy luật tuyến tính:

n t

V

u =

Nhận xét thấy ứng suất tiếp τ=const trên phương n

Ví dụ

7: Tấm phẳng diện tích A=64 cm

2 ; nặng Gp=7,85N trượt trên mặt phẳngnghiêng góc α=120 trên lớp dầu bôi trơn có bề dày t=0,5mm, với vận tốc

đều V=0,05 m/s Tìm hệ số nhớt μ của lớp dầu và công suất để kéo tấm

phẳng ngược dốc với vận tốc nêu trên Cho γdau=8820 N/m3

Giải

α γ

Tại n=0 ta có u=0, suy ra C=0

Tại n=t ta có u=V, suy ra:

Bây giờ tấm phẳng chuyển động nhờ lực trọng

trường G chiếu trên phương chuyển động:

dn n

t A

γ μ

sinsin

C

n n

t A

=

⇒

2

sinsin

2

μ

αγαμ

γμ

2

sinsin

2

t t

t A

G

μ

α γ α μ

=

2 p

m / Ns 56 2 t α sin V 2

t γ AV

=

⇒

msF

α

n V

F k

Gsinα

α

F ms

Để kéo tấm phẳng ngược lên với vận tốc V=0,05

m/s, ta cần tác động vào tấm phẳng một lực

ngược lên theo phương chuyển động có giá trị

bằng Fk:

α γ

α μ

dn

du A F

G

2

sin sin

2

sin sin

t A G

t

VA F

A

t A t A

At G

α γ

α

+ +

=

⇒ +

−

−

=

⇒

Thế công thức tính μ vào ta được: Fk = 2 G sin α + γ A sin α t

Như vậy ta cần một công suất là :

V F V

N = k = 2 sin α + γ sin α = 0 164

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét lực tác dụng lên một lớp vi phân chất lỏng

cân bằng, ở toạ độ y :

Ví dụ

8: Một loại nhớt có ρ, μ chảy đều trên mặt phẳng nghiêng 1 góc α so với mặt

phẳng ngang Tìm bề dày t của lớp nhớt

Giải

αγ

μ

αγμ

αγ

u

u y t− t = −

ms F

α

αγ

Ví dụ

9: Một trục có đường kính d=10cm được giữ thẳng đứng bởi một ổ trục dàil=25cm Khe hở đồng trục có bề dày không đổi bằng h=0,1mm được bôi

trơn bằng dầu nhớt có μ=125cpoise Trục quay với tốc độ n=240 vòng/ph

Tìm ngẫu lực cản do ổ trục gây ra và công suất tiêu hao

Tại y=0

thì u=0:

)(

)(

1

y h r l

h r l y

h r A

M ms =τ ( + − )=2π ( + − )2μ

μ=125cpoise=1,25 poise=1,25dyne.s/cm2=0,125 Ns/m2

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét một lớp chất lỏng ở toạ độ y tính từ thành

rắn, ta tìm moment lực ma sát của lớp chất lỏng này:

d l

h

u

y r

0

h y

Khi trục quay ổn định thì M ms =M trục =const

C y h r l

M

−+

=

⇒

)(

=

⇒+

−

=

h r y h r l

M u h r l

M

2)

1r

1lπμ2

M30

nrπ

30

.

2

3 2

rl h

r r

A

M τtru tru μ ω π π μ

6.156166Nm )

( 15

2 2

M π μ

Suy ra moment ma sát:

Ví dụ 10: Khe hở bề dày t giữa hai đĩa tròn đường kính d nằm ngang cùng trục

được bôi trơn bằng dầu nhớt có μ,ρ Một đĩa cố định, một đĩa quay với tốc độ n vòng/ph Tìm ngẫu lực cản và công suất

d

y

r 0

y

dr

n

rdr dy

du dA

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét một vi phân lớp chất lỏng hình vành khuyên

dày dr ở toạ độ y tính từ đĩa cố định ở dưới, lực ma sát tác dụng lên vi phân này là:

Đây là chuyển động tương đối giữa hai tấm phẳng ngang, nên ta chấp nhận được

quy luật tuyến tính của vận tốc theo phương y:

dr r t

rdr t

M M

N

.2880030

4 2

3 μππ

0

t dr r t M

r r

dF

.2

=

⇒

2 4960

n d M

t

π μ

=

Là áp suất hơi trên bề mặt chất lỏng kín Khi tốc độ bốc hơi của các

phân tử lưu chất bằng tốc độ ngưng tụ thì trên bề mặt lưu chất đạt tới

áp suất hơi bão hoà.

¾Áp suất hơi bão hoà tăng theo nhiệt độ

Ví dụ ở 20 0C, pbão hoàcủa nước là 0,025 at=0,25 m nước

ở 1000C, pbão hoacủa nước là 1at=10mnước

¾Khi áp suất chất lỏng ≤ Áp suất hơi bão hoà ⇒chất lỏng bắt đầu sôi (hoá khí).

Ví dụ có thể cho nước sôi ở 200C nếu hạ áp suất xuống còn 0,025at

¾Trong một số điều kiện cụ thể, hiện tượng Cavitation (khí thực) xảy ra khi áp suất

chất lỏng nhỏ hơn P bão hoà

2.4 Áp suất hơi:

2.5 Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn:

F khí

F nước

Xét lực hút giữa các phân tử chất lỏng và khí

trên bề mặt thoáng:

Fkhí< Fnước ⇒còn lực thừa hướng vào chất lỏng,;

⇒làm bề mặt chất lỏng như màng mỏng bị căng ;

⇒Sức căng bề mặt σ : lực căng trên 1 đơn vị chiều dàinằm trong bề mặt

cong vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt

→ hạt nước có dạng cầu

III CÁC LỰC TÁC DỤNG TRONG LƯU CHẤT

Ví dụ về lực khối:

¾Lực khối là lực trọng trường G : F x =0, F y =0, F z =-g

¾Lực khối là G+F qt (theo phương x): F x =-a, F y =0, F z =-g

¾Lực khối là G+F ly tâm : F x =ω 2 x, F y =ω 2 y, F z =-g

σ G =

I HAI TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THUỶ TĨNH

1 p ⊥A và hướng vào A (suy ra từ định nghĩa).

2 Giá trị p tại một điểm không phụ thuộc vào hướng đặt của bề mặt tác dụng.

Xem phần tử lưu chất như một tứ diện vuông góc đặt tại gốc toạ độ như hình vẽ:

Các lực lên phần tử lưu chất:

Lực mặt : pxδyδz; pyδxδz; pzδyδx; pnδyδs

Lực khối: ½Fδxδyδzρ

Tổng các lực trên phương x phải bằng không:

pxδyδz - pnδyδs(δz/δs) + ½Fxδxδyδzρ = 0

Chia tất cả cho δyδz :

px- pn+ ½Fxρδx = 0 ⇒ p x = p n khi δx → 0.

Chứng minh tương tự cho các phương khác

p x =p y = p z = p n

Suy ra:

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN

W A

p n

Xét lưu chất ở trạng thái cân bằng có thể tích W giới hạn bởi diện tích A

Ta có tổng các lực tác dụng lên lưu chất =0:

Lực khối + lực mặt = 0:

0 dA p dw F

A w

) p ( F 0

x

) n p (

F

0 z

n p ( y

) n p ( x

) n p ( F

0 dw ) n p ( div dw

F 0

dA p dw

F

x p

p p p xx

x x

xz z xy

y xx

x x

W

x w

x

Gauss d b

A

x w

x

z y

∂

∂

− ρ

∂

∂ +

F0

dApdw

F

W w

A w

=

−ρ

0 1

0 1

0 1

= ρ

− +

+

⇒ +

−

dp )

dz F dy F dx F ( dz

z

p F

dy y

p F

dx x

p F

z y

x z

y x

pz

pzconst

pz:

hay

const

pgzdp

1gdz

B B

A A

const

γ+

=γ+

⇔

=γ+

=ρ+

⎯

⎯ →

⎯ρ

¾Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được:

dpp

RTgdzdp

Nếu biết được hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao, ví dụ: T=T0– az; a>0,

T0là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (thông thường là mực nước biển yên lặng):

aR

g

)azT(Cp

)Cln(

)azTln(

aR

gpln)azT(R

dzg

p

dpdpp

)azT(Rgdz

0

Gọi p0là áp suất ứng với z=0:

aR g aR

g

T

pCCT

p

0

0 0

aR g

T

azT

Ví dụ 1:

Giải:

Áp suất tuyệt đối tại mặt biển yên lặng là 760mmHg, tương ứng vớinhiệt độ T=288 0K Nhiệt độ tầng khí quyển giảm 6,5 độ K khi lên cao1000m cho đến lúc nhiệt độ đạt 216,5 độ K thì giữ không đổi Xác địnháp suất và khối lượng riêng của không khí ở độ cao 14500m ChoR=287 J/kg.0K

287

* 0065 0 81 9 aR

g

0

1 0 0 1 aR g

0

0 0 p

5 , 216

11000

* 0065 0 5 , 216 76 0 T

az T p p T

az T p p

T0là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (mặt biển yên lặng):

Ta tìm hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao: T=T0– az; với a=0, 0065

Cao độ ứng với nhiệt độ T1=216,5 độ K là z1= 11000m

Suy ra: 216,5=288 – 0,0065z1

Như vậy từ z0=0 đến z1=11000m, áp suất biến thiên theophương trình khí tĩnh:

3 3

1

1

5.216

*287

10

*81.9

*6.13

*1695.0RT

pρ

RTρ

Từ:

Từ z1=11000 m đến z2=14500m, nhiệt độ không đổi nên:

z g

RT g

RT 1

1

g

RTz

p

dpg

RTdz

dpp

RT

gdz

1 1

1

RT

g ) z z ( 1 g

RT 1

z

e p

p p

e

Như vậy tại độ cao z2=14500m ta tính được:

97.52mmHg mHg

9752 0 0

e

* 17 0 e

p

81 9 ) 14500 11000 ( RT

g ) z z ( 1

2 1

1 2

p

ρ p

vàø:

IV MẶT ĐẲNG ÁP, P TUYỆT ĐỐI , P DƯ , P CHÂN KHÔNG

¾Mặt đẳng áp của chất lỏng nằm trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm

¾p trong phương trình thuỷ tĩnh là áp suất tuyệt đối pt đ hoặc áp suất dư

¾Các điểm nào (?) cĩ áp suất bằng nhau;

trong đoạn ống 2-5-6 chứa chất khí hay

V ỨNG DỤNG

p=0, chân không tuyệt đối

h tđ A

A

B

td B

h dư A

A

paB

du du B du A

h ck A

A

pa

B

ck A ck ck B du A

1 Các áp kế:

2 Định luật bình thông nhau:

A ’

B ’

B

A ’

Tại một vị trí nào đó trong lưu chất nếp áp

suất tăng lên một đại lượng Δp thì đại lượng

này sẽ được truyền đi trong toàn miền lưu chất

→ ứng dụng trong máy nén thủy lực.

4 Biểu đồ phân bố áp suất chiều sâu:

p a

h

p a +γh

p a h

p dư =γh

p a h

AB 1 BC 2 C AB 1 B A a

hh

p

hh

php

pp

p

γ

−γ

+

=

γ

−γ

+

=γ

z)(

.Ah

A

ah)(

h

p= γ1−γ2 + γ1+γ2Δ

⇒

VI LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG

¾Giá trị lực

A p A h A y sin ydA sin

dA sin y hdA dA

p

F

du C C

C A

= α γ

= α

γ

=

α γ

= γ

Ix

x

c

' y ' x C

¾Điểm đặt lực

xx A

A y I A y

I F

I sin y

C

2 C C C

xx xx D

+

=

= α γ

=

Ay

Iyy

C

C C

A p

C

du =

A y

A y x I A y

I F

I sin x

C

C C ' y ' x C

xy xy D

+

=

= α γ

=

I c : M q tính của A so với trục //0x và qua C

I x’y’ : M q tính của A so với trọng tâm C

¾Lực tác dụng lên thành phẳng chữ nhật đáy nằm ngang:

C

+ γ

=

b ) AB ( 2

h h Ap

C

+ γ

A z

2 2 2

z y

F

x cx Ax

x A

x

A A

x x

A p hdA

hdA

) ox , n cos(

pdA dF

F

= γ

= γ

¾Thành phần lực theo phương x

¾Thành phần lực theo phương z

WhdA

)oz,ncos(

hdAdF

F

A

z

A A

z

z

γ

=γ

W: thể tích vật áp lực: là thể tích của vật thẳng đứng giới hạn bởi mặt cong A

và hình chiếu thẳng đứng của A lên mặt thoáng tự do (A z )

VII LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG ĐƠN GIẢN

Ar = γ 2 − γ 1 = γ

W 2 (phần gạch chéo)

Archimede 287-212 BC

ổn định: MD>CD

→M cao hơn C

D

Ar M C G

D C G

Ar M

không ổn định: MD<CD

→M thấp hơn C

M: Tâm định khuynh

Iyy: Moment quán tính của diện tích mặt nổi A so với trục quay yy

W: thể tích nước bị vật chiếm chỗ

VIII SỰ CÂN BẰNG CỦA MỘT VẬT TRONG LƯU CHẤT

C D Ar

G

D C G

Suy ra: (z+0.4)=(pA– pa )/ γnb

=(1.64 γHg- 0.76 γHg)/ γnb

=0.88(γHg / γnb)

=0.88.133000/11200=10.45mSuy ra z = 10.05 m

pa

z

40cm 40cm

Ví dụ 3: Bình đáy vuông cạnh a=2m Đổ vào bình hai chất

lỏng khác nhau, δù1 =0,8; δ 2=1,1 V1=6m3; V2=5m3

Tìm pB

γ1 = δù1γn =0.8*9.81*10 ^3 N/m 3

γ2 = δù2γn =1.1*9.81*10 ^3 N/m 3

Giải:

Gọi h 2 là bề dày của lớp chất lỏng 2: h 2 =(5/4)m.

Gọi h 1 là bề dày của lớp chất lỏng 1: h 1 =(6/4)m.

h2

h1A

pa

Suy ra: p du

B = 0+ γ1*(1.5) + γ 2 *(0.25)=9.81*10 3 (0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nước

Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong

qủa cầu bằng khơng

Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn khơng tách bán cầu ra được Vậy phải cần 1 lực

bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu khơng

Ví dụ 4: Van phẳng AB hình chữ nhật cao 1,5m, rộng 2m, quay quanh trục A nằm ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van Tính lực F

(xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

4.294m2

*5.1

*25.412

5.1

*225

.4Ay

Iy

y

3

C

C C

KN125.0775

2

*5,1

*)2/5,15(

*10

*81.9AhAp

C

du C

du n

=

−

=γ

A

B C

y C =h C

D

F n C*

O

y

y D

0.706m 4.294m

5 1 5 3 5

5 3

* 2 5 3

AB h h

h 2 h DB

A B

+

=

Để tính lực F giữ van yên, ta cân bằng moment: Fn (AD)=F(AB)

Suy ra: F=F n (AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN

p a

Ví dụ 5:

Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm ngangnhư hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

h C = 3+2/3 = 3.666m

m 31 2 3

4 2 3

2 ) sin(60

.3

*234.436

31.2

*667.2234.4Ay36

h

*byAy

Iyy

OD

3 C

3

C C

C C

=

AB chính là chiều cao của tam giác đều,

Cạnh đáy AE của tam giác: AE=2*AB/tg(60 0 )=2.667m

E A

Ví dụ 6: Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm ngang

như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

h C = 1+ 3+2/3 = 4.666m

m 31 2 3

4 2 3

2 ) sin(60

3

* 389 5 36

31 2

* 667 2 389 5 A y 36

h

* b y A y

I y y

C C

=

AB chính là chiều cao của tam giác đều,

Cạnh đáy AE của tam giác: AE=2*AB/tg(60 0 )=2.667m

F n (AD)=F(2)

Suy ra: F=F n (AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 = 58.133 KN

Ghi chú: OA=4/sin(60 0 )

h C

A D

y O F

F n

B

Ví dụ 7: Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm

ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm

đặc lực D Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

* 694 2 36

31 2

* 667 2 694 2 A y 36

h

* b y A y

I y y

C C

− +

−

= +

= +

=

=

F n (AD)=F(2)

Suy ra: F=F n (AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 = 23.25 KN

Ghi chú: OA=3/sin(60 0 )

AB =2.31 m

AE= 2.667m

A=3.079 m2

Ví dụ 8: Một cửa van cung có dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài L=3m

quay quanh trục nằm ngang qua O Van có khối lượng 6000 kg và

trọng tâm đặt tại G như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên

van và vị trí điểm đặc lực D Xác định moment cần mở van

Giải:

KN 10 33 3

* 5 1 2

5 1

* 10

* 81 9 A h A

p

cx x

cx

KN 52 3

* 4

5 1

* 10

* 81 9 L 4

R

W

F

2 3

2

KN65.165233.10F

1.33

52F

.0

*6000

*81.96

Ví dụ 9: Một hình trụ bán kính R=2m; dài L=2m Ở vị trí cân bằng như hình

vẽ Xác định trọng lượng của phao và phản lực tại A

Giải:

KN39.24

2

*2

*2

2

*10

*81.9

AhApF

R

3

x cx x

cx x A

) R R 4

3 (

* L

* 9.81 W

W G

-0 F F

G

2 2 1

2

2 z 1

z

=

+ π

= γ γ

=

⇒

= +

Ví dụ 10:

Giải:

KN44.145

2

*12.2

*2

12.2

*10

*81

9

AhA

p

F

3

cx x

2

*2

5.14

5.1

*

*10

*81

9

L2

R4

RW

F

2 2

3

2 2 z

=

γ

=

KN45.9160

.12145.44F

15 44

6 12 F

F )

(

2.12m5

.1

*2R

2

Một cửa van cung có dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài L=2m

quay quanh trục nằm ngang qua O như hình vẽ Tính áp lực nước tác

dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Một bình bằng sắt hình nón cụt không đáy ( δ=7.8) được úp như hình

vẽ Đáy lớn R=1m, đáy nhỏ r=0,5m, cao H=4m, dày b=3mm Tính giới

hạn mực nước x trong bình để bình khỏi bị nhấc lên

Giải:

3 / ) Rr r R ( H π

g noncuttron = + +

Trọng lượng bình:

3 / )) b r )(

b R ( ) b r ) b R ((

H π

* 8 7

* 1000 )

V V

( δ γ V

δ

γ

G = n = n noncutngoai− noncuttrong = =

0 96 441 x

7 392 x 36

⇔

3 2

2 n

2 2

n

x

2 x 2 2

n n

z

x 36 16 x 7 392 x

H

) R ( x H

) R ( R 3 3

x γ

)) r R ( H

x R ( R )) r R ( H

x R ( R 2 3

x γ

) Rr r R ( 3

x x R γ W

rRH

z

VIII TĨNH HỌC TƯƠNG ĐỐI

1.Nước trong xe chạy tới trước nhanh dần đều:

•Phân bố áp suất:

0 dp ρ

1 ) dz F dy F

A B B

B A

A gz p gz p p h hay p p h

p

γ+

=γ

+

=

⇒+

ρ

=+

ρ

•P.tr Mặt đẳng áp:

Cxg

az

Cgzax)

gdzadx

C

pgzaxdp

)gdzadx

ρ++

⇒

=ρ

−

−

2.Nước trong bình trụ quay đều quanh trục thẳng đứng:

ω2 r

H

H/2 H/2 O

z

r

gω

A B

Ở đây: Fx=ω2x; Fy=ω2y; Fz=-g

Suy ra:

Cg

rωγ

pz0dpρ

1)gdzydyωxdxω

(

2 2 2

Đối với hai điểm A,B thẳng đứng:

* a AB

A B

2 B

2 B B

2 A

2 A

g

rωγ

pzg

rωγ

p

•P.tr Mặt đẳng áp:

C g

r z C g

r z )

gdz ydy xdx

2 2

0

2 2 2

2 2

Nguyên lý lắng ly tâm :

IX ỨNG DỤNG TĨNH TƯƠNG ĐỐI

¾Hạt dầu quay cùng trong nước sẽ nổi lên mặt thoáng và ở tâm bình trụ.

¾Hạt cát quay cùng trong nước sẽ chìm xuống và ở mép dáy bình trụ.

Ví dụ 13:

Một thùng hình trụ hở cao H = 1,2 m chứa nước ở độ sâu ho=1m và di chuyển

ngang theo phương x với gia tốc a = 4m/s2 Biết bình có đường kính D = 2m

Tính áp lực của nước tác dụng lên đáy bình trong lúc di chuyển với gia tốc trên

Giải

xg

a

z= −Chọn gốc toạ độ là giao điểm của trục bình và mặt thoáng , p.tr mặt thoáng:

Tại x=-D/2: z−D / 2 =9.4811=0.407m >H−h0 =1.2−1=0.2m

Vậy khi bình chuyển động nước tràn ra ngoài Sau khi

tràn ra xong, mặt thoáng nước phải vừa chạm mép sau

bình Giả sử lúc ấy bình dừng lại, thì mực nước trong

bình còn lại là h1 Ta có:

m793.0407.02.12

hΔHhm407.0181.9

4z

2

h

Δ

1 2

Δh/

Ví dụ 14:Một bình trụ D=100mm chứa nước quay tròn quanh trục thẳng đứng qua

tâm

Khi mực chất lỏng giữa bình hạ thầp xuống 200mm (so với lúc tĩnh) thì bình

quay với vận tốc bao nhiêu? Nếu quay bình với n=800v.ph mà không muốn

đáy bị cạn thì chiều cao tối thiểu của bình phải bằng bao nhiêu?

Giải

ω2 r

H

0.2 m

0.2 m O

z

r

gω

A B

Phương trình mặt thoáng:

g

R ω H g

r ω z

2 2 2

) 05 0 (

81 9

* 2

* 4 0 ω 81 9

*

2

) 05 0 (

.9

*2

)05.0()76.83(H

2 2

=

=

Vây chiều cao tối thiểu của bình phải là 0.896 m

Ví dụ 15:

Một bình hình hộp kín (cao b, đáy vuông cạnh a) chứa nước đầy nướcquay tròn quanh trục thẳng đứng qua tâm Biết tại A- tâm đáy trêncủa bình là áp suất khí trời Tính lực tác dụng lên mặt bên của bình

Giải

b

g2

rω

*h

2 2

A h*

Mặt đẳng áp - p a

C

Lực tác dụng lên vi phân dAxbằng:

bdyg

2

)4

ay(ω2

bγdA

p

dF

2 2 2 x

8

a24

ag2

ω4

abbγ2

2

a4

a3

2/ag2

ω2

a2

bbγ2

dy)4

ay(g2

ω2

bbγ2F

3 3 2

2 3 2

2 / a 0

2 2 2

=

g 6

a ω 2

b ab γ F

2 2

Ví dụ 16: Một hệ thống gồm 3 ống nghiệm thẳng đứng bằng và thông nhau quay

quanh Oz qua ống giữa như hình vẽ Vận tốc quay n=116 vòng/ph Bỏqua độ nghiêng mặt nước trong ống Tìm pC, pO, pBtrong hai trườnghợp nút kín và không nút C, C’,

Giải:

Nếu nút kín C,C’ thì khi quay, nước không di chuyển,

nhưng áp suất tại C và C’ sẽ tăng lên Phương trình mặt

đẳng áp – áp suất pC(chọn gốc toạ độ tại đáy parabol):

m 0.30 81

9

* 2

2 0

* 12.15 h

g 2

r ω

z

2 2

2 2

* 9810 h

γ p

' C

du

N/m6875)

3.04.0(

*γp

3924N/m0.40

*98104

.0

*γp

2 du

B

2 du

D

=+

Nếu không nút C,C’ thì khi quay, nước tại A sẽ hạ thấp

xuống h, và nước tại C và C’ sẽ dâng lên h/2 Phương

trình mặt đẳng áp – áp suất khí trời (chọn gốc toạ độ tại

0.2m h

m 0.30 81

9

* 2

2 0

* 12.15 h

2

3 g

2 2

1 0 4 0 (

* γ p

1967.5N/m 0.2

* 9810 )

2 0 4 0 (

* γ p

2 du

B

2 du

D

= +

Một ống tròn bán kính r = 1 m chứa nước đến nửa ống như hình vẽ

Trên mặt thóang khí có áp suất dư po= 0,5 m nước Biết nước ở trạng

thái tĩnh Tính tổng áùp lực của nước tác dụng lên ¼ mặt cong (BC) trên

1m dài của ống

Ví dụ 17

r

p o

B C

Giải:

N 9810 1

* ) 5 , 0 5 , 0 (

* 9810 1

r 2

r 5 , 0 ( γ A p

N 12605.85 1.285

* 9810 1

).

r 5 , 0 4

r π ( γ W γ F

2

N 15973.2 F

F

=

δN= 1 , ống chìm đến vạch A, và khi bỏ vào trong dầu có tỉ trọng δD =

0,9 ống chìm đến vạch B Tìm khỏang cách đọan AB

Giải:

Ví dụ 18

) ω L W ( γ W γ gM

G L

; γ

G W

d n

AB n

17.24mm 1000

* 1 9 0

1 9810

* 10

* 290

045 0

* 81 9

Ví dụ 19: Bình trụ tròn chứa chất lỏng trong đó có thả phao hình cầu Bình này lại

được nhúng nổi trên mặt thoáng bể chứa cùng loại chất lỏng Biết :

Trọng lượng của bình là G1; Trọng lượng của chất lỏng chứa trong bình

là G2;

TyÛ số các chiều sâu (như hình vẽ) k=z1/z2; Tìm trọng lượng của phao

Theo định luật Ar.; toàn bộ hệ chịu tác dụng của

lực đẩy Ar, hướng lên, bằng trọng lượng của khối

chất lỏng bị vật chiếm chỗ

Trong khi đó lực theo phương thẳng đứng tác

dụng lên toàn bộ hệ bao gồm G+G1+G2

Vậy: G + G 1 + G 2 = Ar = z 1 A γ

với A là tiết diện ngang của bình

Xét riêng hệ gồm chất lỏng trong bình và phao,

ta có trọng lượng của phao cũng bằng trọïng

lượng của khối chất lỏng bị phao chiếm trong

bình : G = z 2 A γ -G 2 ⇒ Aγ = (G+G 2 )/z 2

G 1 G

1 Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)

¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển

động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b

)tz,y,x(xy

)tz,y,x(xx)

0 0 0

0 0 0 0

dyudt

dxudt

rdu

z y

x

GG

2

2 y

2

2 x

2 2

dt

z d a dt

y d a dt

x d a

dt

r d dt

u a

G G G

)tz,y,x(uu

)tz,y,x(uu)tz,y

y y

x xG

dzu

dyu

dx

=

=

(L Euler, nhà toán học người Thụy Sĩ, 1707-1783)

2 Phương pháp Euler

Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);

) y 2 xy (

dy x

2 y x

dx

2

Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về

cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này

sau trong chương thế lưu

Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0

xy 6

dy x

dx 2 y

dy x

xdx 2

Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:

C y x C ln ) y ln(

) x ln(

2

y

dy x

dx 2

⇔+

Tích phân hai vế:

Vậy phương trình đường dòng có dạng: x 2 y = C

Thiết lập phương trình đường dòng:

II CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG

udAdA

uQ

uot c / Am Abatky

Bán kính thủy lực R=A/P

Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích

của biểu đồ phân bố vận tốc : Biểu đồ phân bố vận tốc

¾Thí nghiệm Reynolds

III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:

1 Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát

Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) -rối(Re>2300)

-2 Theo thời gian: ổn định-không ổn định.

3 Theo không gian: đều-không đều

4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a

a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất

dưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1)

trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1)

t.ph.cục

-z

uuy

uux

uut

udt

dua

z

uuy

uux

uut

udt

dua

z

uuy

uux

uut

udt

dua

z z

z y

z x z

z z

y z

y y

y x y y

y

x z

x y

x x x x

x

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

u d a

) t , z , y , x ( u

G G

IV GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT :

•Theo Euler:

•Theo Lagrange:

V PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT:

Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và

M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có:

vận tốc biếndạng dài vận tốc biến dạng gócvà vận tốc quay

vận tốc chuyển

động tịnh tiến

dz z

u dy y

u dx

x

u u

u

dz z

u dy y

u dx

x

u u

u

dz z

u dy y

u dx

x

u u

u

z z

z z

1 z

y y

y y

1

x x

x x

1

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

=

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

G G

k j

u z y x

u x z y

Biến dạng dài

Suất biến dạng dài

Biến dạng góc

Suất biến dạng góc

u2

1ε

u2

1ε

u 2

1 ε

yx

xy

•Chuyển động quay của phần tử lưu chất:

u y Δt x

y

dy dx

u x Δt

βα

∂u x / ∂ydyΔ t

∂u y / ∂xdxΔ t

+

z x

y

y x

rotu2

1y

ux

dy

tΔdyyu

tΔ2

1t

0)u(rot G ≠

chuyển động không quay (thế)chuyển động quay

Ví dụ 2: Xác định đường dòng của một dòng chảy có : ux= 2y và uy= 4x

y

x u

dy u

dx =

x

dy y

dx

4

ydy xdx 2

ydy xdx= 2

C y

2 2

C y

x2 − 2 = 2

Dòng chảy qua một đoạn ống thu hẹp dần với vậntốc dòng vào và ra lần lượt là 10 m/s và 50 m/s

Chiều dài của ống là 0,5m

Hãy tìm quy luật biến thiên của vận tốc và gia tốc theo trục ống Từ đó suy ra gia tốc tại đầu vào và ra của vòi

Giả thiết dòng một chiều, và vận tốc biến đổituyến tính dọc theo trục ngang của ống

Ví dụ 3:

Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống:

u = ax + b a, b là hằng sốChọn trục x như hình vẽ, với gốc “0” ở đầu ống, ta cótại x=0, u =10 m/s; tại x=0,5m, u = 50 m/s Thế cá điềukiện trên vào ta suy ra được a=80; b=10 Suy ra quyluật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là:

u = (80x + 10) m/sTừ đó suy ra quy luật biến thiên gia tốc như sau:

Thế giá trị x=0 và x=0,5 vào ta suy ra được gia tốc tại đầu vào và ra

của ống lần lượt là: 800 m/s2và 4000m/s2

Lời Giải:

VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT

A

dw

CV

W: thể tích kiểm soát

X : Đại lượng cần nghiên cứu

k : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng)

∫∫∫ ρ

=

W

dW u

u X

Ví dụ: X là khối lượng: k=1 ;

X là động lượng:

X là động năng: k=u2/2 ;

1 Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu:

∫∫∫

=

WkρdWX

Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động W có diện tích bao

quanh là A Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển

động qua không gian này Đại lượng X của lưu chất trong không gian W

Định lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát:

Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích

kiểm soát W

Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động

đến và chiếm khoảng không gian W1

¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W

t

)XX()XX

(limt

XXlimt

XX

limt

Xlim

dt

0 t

W W 0 t

t t t 0 t 0

=Δ

−

=Δ

−

=Δ

Δ

→ Δ

→ Δ

Δ +

→ Δ

→

Δ

t

XX

limt

XX

lim

t

XX

limt

)XX()XX

(lim

t t A t t C 0 t

t W t t W 0 t

t t A t t C 0 t

t B

t A t

t A t t B 0 t

Δ

−+

Δ

+

−+

=

Δ + Δ

+

→ Δ

Δ +

→ Δ

Δ + Δ

+

→ Δ

Δ + Δ

+

→ Δ

A

n A

n 0

t Δ W

dA u ρ k t

X

t Δ

dA u ρ k t Δ dA u ρ k t Δ lim t

dAukt

Xdt

dX