1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tích phân dành cho học sinh lớp 12

153 552 4
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 153
Dung lượng 1,13 MB

Nội dung

Tích phân là một phần trong phân môn Giải tích lớp 12 và nó cũng thường có trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Tích phân không phải đơn giản và nó thường gây lúng túng cho các bạn học sinh. Để góp phần giúp cho các bạn học sinh giảm bớt sự lúng túng khi “đụng độ” với tích phân, thầy giáo Trần Sĩ Tùng – giáo viên dạy toán của trường THPT Trưng Vương, Qui Nhơn, Bình Định đã biên soạn một e-book về chuyên đề này. Trong e-book này, thầy đã đưa ra những vấn đề liên quan đến tích phân, nhắc lại một số kiến thức đã học ở lớp dưới, các công thức tính tích phân, một số dạng bài toán tích phân... và đặc biệt là thầy đã đưa ra một số bài toán về tích phân kèm theo lời giải cụ thể, trong đó là một số bài trong các đề thi đại học trong các năm trước. Đây thật sự là một e-book mà các bạn học sinh lớp 12 nên có.

Tích phân dành cho học sinh lớp 12 Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x Hệ quả: ® = x0 x lim1 sinx ® = u(x)0 sinu(x) lim1 u(x) ® = u(x)0 u(x) lim1 sinu(x) b) x x 1 lim1e,xR x ®¥ ỉư +=Ỵ ç÷ èø Hệ quả: 1 x x0 lim(1x)e. ® += x0 ln(1x) lim1 x ® + = x x0 e1 lim1 x ® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1 (x)'x aa- =a 1 (u)'uu' aa- =a 2 11 ' xx ỉư =- ç÷ èø 2 1u' ' uu ỉư =- ç÷ èø ( ) 1 x' 2x = ( ) u' u' 2u = xx (e)'e= uu (e)'u'.e= xx (a)'a.lna= uu (a)'a.lna.u'= 1 (lnx)' x = u' (lnu)' u = a 1 (logx') x.lna = a u' (logu)' u.lna = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1 (tgx)'1tgx cosx ==+ 2 2 u' (tgu)'(1tgu).u' cosu ==+ 2 2 1 (cotgx)'(1cotgx) sinx - ==-+ 2 2 u' (cotgu)'(1cotgu).u' sinu - ==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b) +- == 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C=+ ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( ) f(x)dx'f(x)= ò · af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹ òò · [ ] f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+ òòò · [ ] [ ] f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+= òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC=+ ò duuC=+ ò 1 x xdxC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò 1 u uduC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò dx lnxC(x0) x =+¹ ò du lnuC(uu(x)0) u =+=¹ ò xx edxeC=+ ò uu edueC=+ ò x x a adxC(0a1) lna =+<¹ ò u u a aduC(0a1) lna =+<¹ ò cosxdxsinxC=+ ò cosudusinuC=+ ò sinxdxcosxC=-+ ò sinuducosuC=-+ ò 2 2 dx (1tgx)dxtgxC cosx =+=+ òò 2 2 du (1tgu)dutguC cosu =+=+ òò 2 2 dx (1cotgx)dxcotgxC sinx =+=-+ òò 2 2 du (1cotgu)ducotguC sinu =+=-+ òò dx xC(x0) 2x =+> ò du uC(u0) 2u =+> ò 1 cos(axb)dxsin(axb)C(a0) a +=++¹ ò 1 sin(axb)dxcos(axb)C(a0) a +=-++¹ ò dx1 lnaxbC axba =++ + ò axbaxb 1 edxeC(a0) a ++ =+¹ ò dx2 axbC(a0) a axb =++¹ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2 F(x)ln(xxa)=++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1 f(x) xa = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 22 2x 1 (xxa)' 2xa F'(x)[ln(xxa)]' xxaxxa + ++ + =++== ++++ 2 222 xax1 f(x) xa(xxa)xa ++ === ++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 ekhix0 F(x) xx1khix0 ì ³ ï = í ++< ï ỵ Là một nguyên hàm của hàm số x ekhix0 f(x) 2x1khix0 ì ³ = í +< ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x0¹ , ta có: x ekhix0 F'(x) 2x1khix0 ì > = í +< ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Só Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x 0 = 0. 20 x0x0 F(x)F(0)xx1e F'(0)limlim1. x0x -- - ®® -++- === - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x 0 = 0. x0 x0x0 F(x)F(0)ee F'(0)limlim1. x0x ++ + ®® -- === - Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1. -+ ==Þ= Tóm lại: x ekhix0 F'(x)f(x) 2x1khix0 ì ³ == í +< ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Þ giá trò của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Só Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: 2 xkhix1 F(x) axbkhix1 ì £ = í +> ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2xkhix1 f(x) 2khix1 £ ì = í > ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x1¹ , ta có: 2xkhix1 F'(x) 2khix1 < ì = í > ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x1x1 limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1) -+ ®® ==Û+=Û=- · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x1 x1 f(x)F(1)x1 F'(1)=limlim2. x1x1 - ® ® -- == -- · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 = 0. x1x1x1 F(x)F(1)axb1ax1a1 F'(1)limlimlima. x1x1x1 +++ + ®®® -+-+-- ==== --- Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2. -+ Û=Û= (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: - =++ 22x F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của 22x F(x)(2x8x7)e - =--+ trên R. Giải: Ta có: 2x22x F'(x)(2axb)e2(axbxc)e -- =+-++ 22x 2ax2(ab)xb2ce - éù =-+-+- ëû Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F'(x)f(x),xRÛ="Ỵ Û-+-+-=-+-"Ỵ 22 2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1 ab4b3 b2c7c2 == ìì ïï Û-=Û=- íí ïï -=-= ỵỵ Vậy - =-+ 22x F(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x F(x)lntg 24 p ỉư =+ ç÷ èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1 f(x) cosx = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2 ln(x1) ,x0 F(x) x 0,x0 ì + ¹ ï = í ï = ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 22 2ln(x1) ,x0 f(x) x1x 1,x0 ì + -¹ ï = + í ï = ỵ Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số 2x F(x)(axbxc).e - =++ là một nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(2x5x2)e - =-+ trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 32 2 x3x3x7 F(x)củaf(x)vàF(0)8. (x1) ++- == + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 x f(x)sinvàF. 224 pp ỉư == ç÷ èø ĐS: a/ 2 x8 F(x)x; 2x1 =++ + b/ 1 F(x)(xsinx1) 2 =-+ Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2 F(x)(axbxc)2x3=++- là một nguyên hàm của hàm số: 2 20x30x73 f(x)trênkhoảng; 2 2x3 -+ ỉư =+¥ ç÷ èø - b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/ 2 G(x)(4x2x10)2x322.=-+-- Tích phân Trần Só Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dxF(x)C=+ ò thì 1 f(axb)dxF(axb)Cvớia0. a +=++¹ ò Giải: Ta luôn có: 1 f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0. a +=++¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 11 f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm) aa +=++++ òò . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)=+Þ=+= òò Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 3 (2x3)dx+ ò b/ 4 cosx.sinxdx ò c/ x x 2e dx e1+ ò d/ 2 (2lnx1) dx x + ò Giải: a/ Ta có: 44 33 11(2x3)(2x3) (2x3)dx(2x3)d(2x3).CC. 2248 ++ +=++=+=+ òò b/ Ta có: 5 44 cosx cosx.sinxdxcosxd(cosx)C 5 =-=-+ òò c/ Ta có: xx x xx 2ed(e1) dx22ln(e1)C e1e1 + ==++ ++ òò d/ Ta có: 2 23 (2lnx1)11 dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C. x22 + =++=++ òò Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x 2sindx 2 ò b/ 2 cotgxdx ò c/ tgxdx ò d/ 3 tgx dx cosx ò Giải: a/ Ta có: 2 x 2sindx(1cosx)dxxsinxC 2 =-=-+ òò b/ Ta có: 2 2 1 cotgxdx1dxcotgxxC sinx ỉư =-=--+ ç÷ èø òò c/ Ta có: sinxd(cosx) tgxdxdxlncosxC cosxcosx ==-=-+ òòò Trần Só Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 3 3443 tgxsinxd(cosx)11 dxdxcosxCC. cosxcosxcosx33cosx - ==-=-+=-+ òòò Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x dx 1x+ ò b/ 2 1 dx x3x2-+ ò Giải: a/ Ta có: 2 2 22 x1d(1x)1 dxln(1x)C 1x21x2 + ==++ ++ òò b/ Ta có: 2 1111 dxdxdx x3x2(x1)(x2)x2x1 ỉư ==- ç÷ -+----èø òòò x2 lnx2lnx1ClnC. x1 - =---+=+ - BÀI TẬP Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 x f(x)cos; 2 = b/ 3 f(x)sinx. ĐS: a/ 1 (xsinx)C; 2 ++ b/ 3 1 cosxcosxC. 3 -++ Bài 7. Tính các tích phân bất đònh : a/ xx e(2e)dx; - - ò b/ x x e dx; 2 ò c/ 2xxx x 2.3.5 dx 10 ò . d/ 25x x e1 dx; e - + ò e/ x x e dx e2+ ò ĐS: a/ x 2exC;-+ b/ x x e C; (1ln2)2 + - c/ x 6 C ln6 + d/ 26xx 1 eeC; 6 -- --+ e/ x ln(e2)C++. Bài 8. Tính các tích phân bất đònh : a/ 44 xx2dx - ++ ò ; b/ 3 5 xxdx ò ; c/ 2 xx1dx+ ò ; d/ 2001 (12x)dx;- ò e/ 34lnx dx x - ò ĐS: a/ 3 x1 C; 3x -+ b/ 57 5 xC; 7 + c/ 22 1 (x1)x1C 3 +++ ; d/ 2002 1(12x) .C; 22002 - -+ e/ 1 (34lnx)34lnxC. 6 +++ . Tích phân dành cho học sinh lớp 12 Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt:. 1(12x) .C; 22002 - -+ e/ 1 (34lnx)34lnxC. 6 +++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 10 Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân

Ngày đăng: 16/08/2013, 10:39

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (Trang 2)
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên  hàm  của  các  hàm  số  sơ  cấp  - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
guy ên hàm của các hàm số sơ cấp (Trang 4)
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM  Nguyên  hàm  của  các  hàm  số  sơ  cấp - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
guy ên hàm của các hàm số sơ cấp (Trang 4)
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN  - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN (Trang 9)
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví dụ 1:   Tính tích phân bất định: I= ịx(1 x)- 2002 dx. - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
ch ỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I= ịx(1 x)- 2002 dx (Trang 11)
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:   - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
h ú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau: (Trang 85)
2. Ý nghĩa hình học của tích phân: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
2. Ý nghĩa hình học của tích phân: (Trang 87)
1. Định nghĩa tích phân: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
1. Định nghĩa tích phân: (Trang 87)
Ta có bảng xét dấu: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
a có bảng xét dấu: (Trang 88)
1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. 2.  Phương pháp phân tích   - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. 2. Phương pháp phân tích (Trang 90)
· Giả sử ta có bảng xét dấu: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i ả sử ta có bảng xét dấu: (Trang 105)
Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG (Trang 132)
Vấn đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C1), (C2) - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C1), (C2) (Trang 134)
Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG (Trang 136)
Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S. - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
m diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S (Trang 137)
* Gọi S2 là phần diện tích hình tròn còn lại S 2S SOBAC 8 24 3 - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i S2 là phần diện tích hình tròn còn lại S 2S SOBAC 8 24 3 (Trang 139)
* Diện tích hình phẳng S cần tìm: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i ện tích hình phẳng S cần tìm: (Trang 140)
Bảng xét dấu: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
Bảng x ét dấu: (Trang 141)
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (Trang 143)
Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C) :y f(x); y 0; x a;x b (a b)====&lt;sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công  thức:   - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C) :y f(x); y 0; x a;x b (a b)====&lt;sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: (Trang 145)
* Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường :x =..., x= ..., y= ..., y= ...) *  (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i ền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường :x =..., x= ..., y= ..., y= ...) * (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp (Trang 145)
Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (Trang 146)
Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
n đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (Trang 147)
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) :y 2x x= -2. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H)  - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
d ụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) :y 2x x= -2. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) (Trang 148)
Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong y 1; x - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong y 1; x (Trang 149)
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn bởi các đường:  - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: (Trang 149)
Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) :y 1; y x - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) :y 1; y x (Trang 152)
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y 3 x1 x 1 - Tích phân dành cho học sinh lớp 12
i 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y 3 x1 x 1 (Trang 153)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w