HSG binh dinh20182019

HÌNH HSG 12 BÌNH ĐỊNH 2018-2019 CMR tứ giác ngoại tiếp có dộ dài cạnh a,b,c,d diện tích S = tứ giác tứ giác nội tiếp abcd Bổ đề: Tứ giác ABCD ngoại tiếp AB+CD = AD+BC HD: Theo tính chất tiếp tuyến B AB+CD = (AM+MB) + (CP+DP) M = (AN+QB) + (CQ+DN)  C c P A Trở lại tốn: Ta có Q a = (AN+DN) + (CQ+QB) = AD + BC d 1 abcd = SABD + SCBD = absinA + cdsinC 2 b N D cd cd = sinA + sinC (*) ab ab Mặt khác a2 + b2 -2abcosA = c2 + d2 -2cdcosC (=BD2)  A C a2 + b2 -2ab(1-2sin2 ) = c2 + d2 -2cd(1-2sin2 )  A C (a-b)2 + 4ab sin2 = (c-d)2 + 4cd sin2  C A (a – b – c - d)(a - b + c - d) = 4cd sin2 - 4ab sin2  C A cd sin2 = ab sin2 (Vì ABCD tứ giác ngoại tiếp nên a - b + c – d = 0) A cd  = , Thế vào (*) ab C sin sin A A A A sin sin 2 C2 = sinA + sinC  sin C = 2.cos + sinC C C sin sin sin 2 2 sin  A C A C A C    = 2.cos sin + 2.sin cos sin( + ) = A + C = đpcm Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC Gọi  ,  ,  góc mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD hình chiếu A (BCD) thuộc miền tam giác BCD Tìm GTLN T = cos  + cos cos  + cos cos  cos  (Trùng với đề HSG Tốn 11 Bình Định năm học 2009-2010) Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần với  ,  ,  góc mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD cos  + cos  + cos  = A HD: Từ giả thiết  mặt tứ diện tam giác ADCT diện tích hình chiếu, ta có S = SBCD E B = SHBD + SHBC + SHCD = SABD.cos  + SABC.cos  + SACD.cos  F D H K = S(cos  + cos  + cos  ) (vì mặt diện tích nhau) C Từ cos  + cos  + cos  = Trở lại toán: Đặt x = cos  ; y = cos  ; z = cos  , hiển nhiên x,y,z >0 x+y+z=1 T=x+ =x+ xy + xyz x.4 y + Vậy maxT = x.4 y.16 z  x + x  4y x  y  16 z 4 + = (x+y+z) = 2 3 x = 4y 4y = 16z x+y+z = x>0,y>0,z>0 x = cos  = 16 ; y = cos  = z = cos  = 21 21 21 Good luck! ... (BCD) thuộc miền tam giác BCD Tìm GTLN T = cos  + cos cos  + cos cos  cos  (Trùng với đề HSG Tốn 11 Bình Định năm học 2009-2010) Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần