HÌNH HSG 12 BÌNH ĐỊNH 2018-2019 CMR tứ giác ngoại tiếp có dộ dài cạnh a,b,c,d diện tích S = tứ giác tứ giác nội tiếp abcd Bổ đề: Tứ giác ABCD ngoại tiếp AB+CD = AD+BC HD: Theo tính chất tiếp tuyến B AB+CD = (AM+MB) + (CP+DP) M = (AN+QB) + (CQ+DN) C c P A Trở lại tốn: Ta có Q a = (AN+DN) + (CQ+QB) = AD + BC d 1 abcd = SABD + SCBD = absinA + cdsinC 2 b N D cd cd = sinA + sinC (*) ab ab Mặt khác a2 + b2 -2abcosA = c2 + d2 -2cdcosC (=BD2) A C a2 + b2 -2ab(1-2sin2 ) = c2 + d2 -2cd(1-2sin2 ) A C (a-b)2 + 4ab sin2 = (c-d)2 + 4cd sin2 C A (a – b – c - d)(a - b + c - d) = 4cd sin2 - 4ab sin2 C A cd sin2 = ab sin2 (Vì ABCD tứ giác ngoại tiếp nên a - b + c – d = 0) A cd = , Thế vào (*) ab C sin sin A A A A sin sin 2 C2 = sinA + sinC sin C = 2.cos + sinC C C sin sin sin 2 2 sin A C A C A C = 2.cos sin + 2.sin cos sin( + ) = A + C = đpcm Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC Gọi , , góc mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD hình chiếu A (BCD) thuộc miền tam giác BCD Tìm GTLN T = cos + cos cos + cos cos cos (Trùng với đề HSG Tốn 11 Bình Định năm học 2009-2010) Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần với , , góc mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD cos + cos + cos = A HD: Từ giả thiết mặt tứ diện tam giác ADCT diện tích hình chiếu, ta có S = SBCD E B = SHBD + SHBC + SHCD = SABD.cos + SABC.cos + SACD.cos F D H K = S(cos + cos + cos ) (vì mặt diện tích nhau) C Từ cos + cos + cos = Trở lại toán: Đặt x = cos ; y = cos ; z = cos , hiển nhiên x,y,z >0 x+y+z=1 T=x+ =x+ xy + xyz x.4 y + Vậy maxT = x.4 y.16 z x + x 4y x y 16 z 4 + = (x+y+z) = 2 3 x = 4y 4y = 16z x+y+z = x>0,y>0,z>0 x = cos = 16 ; y = cos = z = cos = 21 21 21 Good luck! ... (BCD) thuộc miền tam giác BCD Tìm GTLN T = cos + cos cos + cos cos cos (Trùng với đề HSG Tốn 11 Bình Định năm học 2009-2010) Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần