Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 30-2-0217-0300

217 og ie ze ntr um at STUDIEN ww bio l IM ive rsi tyl ibr ary or g/; w GEBIETE NUMERISCHER GLEICHUNGEN bio d MIT ZUGRUNDELEGUNG DER yh ttp ://w ww ANALYTISCH-GEOMETRISCHEN ANSCHAUUNG IM RÄUME He rita ge Lib rar NEBST EINEM ANHANGE ÜBER ERWEITERTE FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONSMITTEL DER GEOMETRIE, iod ive rsi ty - Th eB VON loa df rom LORENZ ZMURKO, IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM IS FEREUAR 1869 eZ oo log y( Ca mb rid VORGELEGT ge ,M A) ;O rig ina lD ow n PROFESSOR PFR MATltKMATIK AN DER K K TECHNISCHER AK.\DEMIE IN LEMBERG COKRESPONDIREMnEM MITOUETIE HER GELEHETEN-GESELLSCHAPT IN KRAKAr UND THÄTIGEM MITGLIEDE DER K K GALIZISCHEN LANDWIRTHSCHAFTS-QKSELLSCHAFT ewton stellt mit Hilfe der von ihm gegründeten Näherungsmethode die in = folgender decadisch fallend geordneten Reihe dar: in Xq Vo X^ — Vo X^ Tg Vo Vo welcher a;^ Eine oder einige Anfangsstellen der Wurzel repräsentirt, und die mit als Initialwerth Q ange- ay rL in ibr ary of the ^^^ ^0 Mu se um einer numerischen Gleichung/(a;) Rechnung stehende Wurzel of JM Co mp ara tiv Vorerinnerung rns tM deuteten Folgeglieder vor Allem den Relationen ity ,E Xr—i *^r — Vo i j the Ha rva rd Un iv ers *^r ^^^ kommen haben, itis ed by zu genügen, und in der Weise zur Verwendung zu Dig blos je Eine oder nur einige wenige Anfangsstellen benutzt denselben man von einem jeden dass — nach Massgabe des Umstandes, einzelnen Q wie viele von decadischen Folgeglieder der Wurzel selbst erkannt werden Im Verlaufe dieser Abhandlung werden wir diese mit Q bezeichneten Folgeglieder mit der Benennung Orientirungsquotienten kennzeichnen als die richtigen dem Falle, wo von Abnahme beurkundet, aj In rische x^ aus, für numerisch leistet die zunehmende a;-Werthe, der Ausdruck/, Newton'sche Methode bei der (x) eine nume- Berechnung der Wurzeln entschie- dene Dienste Die entgegengesetzt genommenen Orientirungsquotienten bilden eine dekadisch abnehmende Dunkschriften dnr mathem.-natui-w Cl XXX lid Abhandl von Nichtmitgliedern CO Lorenz 218 Reihe von Aggregaten, welche mit gleichbezeichnet erscheinen, und zu x^ hinzugezählt, die a^^ stehende Wurzel desto besser darstellen in je , grösserer Anzahl dieselben zur numerischer Beziehung bilden die Näherungswerthe sich der Zmii7'ko Wurzel desto mehr, je grösser a-,, in Rechnung Verwendung gelangen In und nähern x^, x^, x^, x^+i eine steigende Reihe, ihr Zeiger ist dem Falle aber, wo von x^ ans, für numerisch wachsende x-Werthe, die derivirte /, (x) eine numerische Zunahme beurkundet, bieten die Newton'schen Orientirungsquotienten bei der Bestimmung der numerisch steigenden Näherungswerthe x^, x^, x^, in dem Masse numerisch zu grosse Aggregate je rascher die Zunahme von /,(a-) vor sich geht Bei einer erheblich raschen Zunahme von fiix) geht die Bestimmung der Wurzelaggregate in ein förmliches Tappen über, und man könnte leicht geneigt sein, der Newton'schen Methode ihren gehörigen Werth abzusprechen Gibt man jedoch das Bestreben auf, den In ze ntr um at l) Näherungswerthen x^, x^, x.^ aufzuzwingen die Eigenschaft ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww bio l og ie , dass selbe durch numerische , — wenn man vielmehr zufolge der bio d den wahren Wurzelwerth immer näher und näher rücken; x^>x, und wird Folge genüthigt sein, die Rechnung in weiterer dass die Näherungswerthe x^, x^, x^, durch fortgesetzte numerische in man in dem numeri- der Art fortzusetzen, Abnahme an den wahren Wurzel- Lib rar scher Beziehung yh ttp ://w ww Orientirungsquotus inhaftenden Beschaffenheit das Aggregat Q^ zu gross annimmt, so erhält Zunahme an diesfällig He rita ge werth immer näher und näher treten Bei der Fortsetzung der diesfälligen Operation wird der Ausdruck/, (a-) und die weiteren Orientirungsquotienten gelangen demgemäss bei der Bestimeine Abnahme beurkunden iod ive rsi ty , mung der nun entgegengesetzten Aggregate zur entschiedenen Geltung Th eB rom der Gleichung Anfangsstellen nicht einer einzelnen, sondern mehreren, etwa r Wurzeln, wo mehrere In den Fällen, gemeinschaftlich angehören, bildet der Orientirungsquotus Q^ durchaus keinen An- f{x)= loa df c) ina lD ow n haltspunkt, und erscheint zur Bestimmung der decadischen Wurzelaggregate völlig unfähig Dies sind Er;O rig scheinungen, welche die Newton'sche Methode in völligen Misscredit brachten, ja für eine völlige Verwerf- aber bedenkt, dass in diesen Fällen in Bezug auf die gemeinschaftlichen Anfangsstellen die = eZ oo log y( betreffenden r Wurzeln der Gleichung /(a-) Ca mb rid Wenn man ge ,M A) lichkeit derselben sprachen weiter erwägt, dass eben diese Erscheinung in als einander gleich angesehen werden können Bezug auf die derivirten Gleichungen Co mp ara tiv Mu se um of sich derart maniiestirt, dass die gemeinschaftlichen Anfangsstellen in der ersten bei {r Wurzeln, in der the of , ibr ary ; rL ay in der f^ix), /,(«) /_2(a;) Weise bewirkt dass diese Werthe , rns tM (ar), , /,_,(a;) eine gesetzmässige Depres- um desto rascher gegen die Nulle zu — so wird man bald gewahr, ity ,E convergiren, einem je kleineren Derivationszeiger sie angehören, Un iv ers mittlung der erwähnten mehren Wurzeln gemeinschaftlich angehörigen Aggregate, die Gleichung /_i(a;) = Ü rd in ihre vollen Rechte tritt, dass zur Er- Newton'sche Methode weil die erwähnten Anfangsstellen in dieser rva erst bei der 1) Beziehung auf die Werthe der Polynome/, den Anfangsstellen — in der vorletzten bei zwei, und in der letzten bei einer ein(?— 3) wenn man ferner auch des Umstandes gedenkt dass diese Erscheinung in zweiten bei (?•—-2), in der dritten bei sion in wenn mau ./_,(x) = 0, /_,(x) = /,H = 0, /.H = 0, zigen Wurzel sich kundgeber, ; : by the Ha Gleichung nur einer einzigen Wurzel angehören man nicht den Ausdruck Q^^, sondern vielmehr den Ausdruck: Dig itis ed In diesem Falle wird a_,=/-.(-r) als :/.(*) den Newton'schen Orientirungsquotus ausersehen, und denselben zur Ermittlung der successiven Wurzel- aggregate so lange verwenden , lange die oberwähnte gesetzmässige Dei)ression der Anfangsstellen in in so angefangen, /(«) /(x) /i,(x), ./,_i(a-) sich bethätigt Von der Stelle Wurzeln einzeln oder gruppenwelche die erwähnte gesetzmässige Depression nicht bewirkt, erhalten die Bezug auf die Functionswerthe , , /• 219 Studien im Gebilde mimerischer Gleichungen weise verschiedenartige Folgeglieder, werden somit mittelst passender Orientirungsquotienten Q,_s von ein- ander getrennt und der weiteren Rechnung unterworfen Newton'sche Methode genügende Auskunft, um sich jeder erwünschten Genauigkeit zu nähern und ist nur in der einzigen In allen sub a) h) c) angeführten Fällen bietet die der in Rechnung stehenden Wurzel mit Beziehung als mangelhaft anzusehen, dass man mittelst derselben nicht erfährt, wie viele von den Anfangs- Verwendung stehenden Orientirungsquotus als ein wirkliches Wurzelaggregat zu gelten haben Erst der Mathematiker Fourier hat der Newton'schen Methode eine solche Vervollkommnung verliehen, dass man mit Hilfe seiner Methode bei jedem einzelnen Orientirungsquotus ganz genau erfahrt, bis zu welcher dekadischen Stelle die Darstellung der Wurzel bereits gediehen ist Das einschlägige, von Fouww bio l og ie ze ntr um at stellen des in Sei etwa x, Näheruugswerth, welcher ein derartiger allen in ive rsi tyl ibr ary or g/; w rier begründete Verfahren besteht im Folgenden: seinen Stellen mit den \nfangsstei!en der Wurzel übereinstimmt, und iv eine Zahl, welche aus Xr durch Vermehrung der decadischen Schlussstelle um 32-577 findet, so wird 32-576, x^ eine Einheit hervorgeht, dergestalt, dass man beispielweise für x^ ww yh ttp ://w , die numerisch grössere mit/, (a;) , und man: Th eB — Xr= lO"" voraussetzt, und den Werth von k aus : tn 7ii' jưl+r + Jư^ + • • • bestimmt dem Ausdrucke für a;,.^_i x^, Xr, der Vorgang betreiFenden Quotus die wie ersichtlich, — iiv+i .gelangt, eZ oo log y( a-,, ist man den dem decadischen Zeiger ( 2« k) entsprechende Ziffer erhält man von x^ aus nach und nach zu den Gliedern der Reihe x,, und demgemäss jede erwünschte Näherung an den wahren Wurzelwerth be- man blos so weit zu entwickeln habe, bis Hieraus beigefügte Zeiger 2n-\-k deutet an, dass ge ,M A) in Ca mb rid Der ;O rig ina lD : ow n M^r) 2/ (^.) = loa df rom sobald man: Xr iod ive rsi ty He rita ge so erhält f,{x) rar man ganz allgemein von den Grössen /; (.r), die numerisch kleinere fi{x), = und x^ zu liegen kommen Lib Bezeichnet x, bio d = ganz gewiss der wahre Werth der Wurzel zwischen Co mp ara tiv wirken kann Diese in ihrer Entwicklung sehr elegante und in der Anwendung äusserst einfache Methode hatte Fou- of rier aus der Betrachtung der Descartes'schen Curve abgeleitet und zunächst zur Berechnung der primären in Mu se um Wurzeln einer Zahlengleichung mit nur einer Unbekannten bestimmt Die betreffende Entwicklung man dem nach seinem Tode gedruckten Werke „Analyse des Equations determinees par M Fou- ibr ary of rier premiere partie" niedergelegt aber schon den Titel dieses Werkes, das darin niedergelegte „Expose synoptique« und nebst- zahlreiche, im zweiten Capitel niedergelegte Aussagen aufmerksam tM ay rL Wenn man rns dem : the (reellen) findet dem Tode ers ity ,E schliesslichen Überzeugung, dass mit vielleicht aller in das Gebiet der Un iv gung der meisten, ja rd rva Ha the by um als eine vollständige Dig Werkes ganz gewiss itis ed punkte dieser Wissenschaft zu erklimmen Seite 231, Artikel 37 liest in kleinen , so erwehrt man sich nicht der Gleichungen einschlägigen theoretischen und prakti- schen Fragen der Nachwelt auf eine längere Zeit vorenthalten seitigen Schaffens noch bedürfen wird, prüft, dieses grossen Denkers eigentlich die vollständige Erledi- ist, dass es des mühevollen Strebens und viel- Portionen Stufe für Stufe wenigstens einzelne Haupt- welche diesem erhabenen Genius schon bei der Anlage seines Schöpfung zu Tage lag man: „Cette remarque n'est point bornee aux fonctions qui ne contiennent qu'une seule variable On peut en g6neral resoudre la question suivante qui se presente dans les applications principales de l'aualyse algebrique Une fonction algebrique f(x,y,s ) de plusieurs variables etant proposee betreffenden Stellen p 227 und andern mehreren ist deutlich etc." zu ersehen, dass es während der Abhandlung der Gleichung mit nur Einer Unbekannten Hieraus und aus den dem Verfasser schon bei jeder sich darbietenden Gelegenheit Lorenz Zmurko 220 daran liegt, Zeit als und Auffassungen die Gesichtspunkte Überbrückung zu einer mehren unbekannten anwendbar Von Weise zu in der stellen um selbe seiner sein sollte Überzeugung durchdrungen, habe ich den Entschluss dieser und vorzubereiten, Methode dienstbar zu machen, welche anf Systeme von Gleichungen mit meine Studien auf dem Gebiete gefasst, der Zahlengleichungen vornehmlich jener Partie zuzuwenden, welche die methodische Berechnung der Glei- Fourier zur Berechnung der primären Wurzeln von Gleichungen at Die Methode von betrifft zum Muster nehmend, war mit nur Einer Unbekannten es mein Bestreben, dieselbe auf die ze ntr um chuugswurzeln og ie plexer Wurzeln einer solchen Gleichung auszudehnen und schliesslich eine Methode Berechnung com- aufzustellen, welche zur bar an die Gleichungstheorie von Fourier anzureihen; bald wurde ich jedoch gewahr, dass die derselben zu Grunde liegenden räumlichen Anschauungsweisen um in einem zu geringen Maassstabe entwickelt sind, als dies zur Begründung der aligemeinen Näherungsmethode hieraus die erforderlichen Subsidien bio d nöthig war, ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww bio l Berechnung der Wurzeln eines Systems von coexistenten Gleichungen mit mehren Unbekannten sich eignen soll Ursprünglich habe ich es für zweckmässig erachtet, diese verallgemeinerte Näheruugsmethode unmittel- yh ttp ://w ww schöpfen zu können Ich habe mich desshalb entschlossen, nach einem solchen Ausgangspunkte mich umzu- theils sich gegenseitig unterstützend Lib um , theils , einander ergänzend sich zu He rita ge nisches Ganze hervorgehen rar sehen, von welchem aus die hauptsächlichsten, bereits bekannt gewordenen Gleichmigstheorien als ein orga- in weiterer Folge in der zweckmässigen und gründlichen Ausbildung der von Th eB kannten und iod ive rsi ty einem harmonischen Systeme zu vereinigen Diesen Ausgangspunkt fand ich einestheils in der Verallgemeinerung des C au chy'schen Existenzbeweises für wenigstens Eine Wurzel einer Gleichung mit einer Unbe- Von da aus war Spitzer Ca es mir leicht, die von rom cirten räumlichen Darstellungsmethode der Gleichungswurzeln S u chy und mit loa df angeregten Kriterien einer horizontalen Einschliessung der complexen Wurzelpuukte zu begründen publi- ina lD ow n Zuhilfenahme der St urm'schen Restmethode zu einem prägnanten Trcnnungsmittel der Wurzelpunkte aus;O rig zubilden Bezug auf Deutung und Auszählung der complexen Wurzeln eine wesentliche Belebung, und es die gelang mir, diese ganze Theorie in einer Ca mb rid lich in ge ,M A) Die Fourier'sche Gleichungstheorie selbst gewann auf Grund der räumlichen Anschauung, nament- überraschend kurzen Abhandlung zu verkưrpern Siehe § eZ oo log y( Im Anhange brachte ich die successive Ausmittelung der Gleichungscocfficienten in zweierlei Weise zur Co mp ara tiv Darstellung, nach Massgabe des Umstaudes, ob bei der Ausmittelung der Wurzel blos EinRechncr oder mehre Auch gleichzeitig thätig sein können findet man daselbst die Anweisung zur constructiven Ausmitteluug der of successiven Coefticientreihen, wie auch eine constructive Näherungsmethode zur Ausmittelung der primären Mu se um Gleichungswurzeln Eine zweite constructive Methode zur Bestimipung der primären Gleichungswurzeln auf the Grundlage der Bildung der sogenannten Integralcurven dem of ibr ary geometrischen Probleme bewerkstelligen kann aller Grade angehörigen Gleichung abhängen, rns höchstens Lösung ay die tM Weise diesem Paragraphe Constructionsmittel angegeben, mittelst welchen man in rL Ferner sind zum welche von der Auflösung einer, und eben hiedurch ersichtlich gemacht, dass Grade in geschlossenen Ausdrücken zu lösen ers ity ,E gleichwie die Mathematik nur Gleichungen bis höchstens , in directer Un iv vermag, auch die geometrische Construction bis dahin fähig sei, rd geschieht der Erzeugung der Cycloiden eine Auflösungen zu vermitteln Erwähnung und wird rva Schliesslich gezeigt, wie man sich the Ha derselben zur Rectification gegebener Kreisbögen, zur Polysection eines gegebenen Winkels und überhaupt Dig itis ed by zur Auflösung einiger transcendenten Gleichungen bedienen kann Lemberg am 10 August 1868 Studien 221 Gebiete numerischer Gleichungen ine 1- Đ Fundamentaleigenschaften der Gleichnngspolynome algebraische Gleicliung, j^^ A^u-{- A^u^ -\- (1) welcher sowohl /(z(m) = in endlicher Gliedei-zahl dargestellt sind Auf Grund der Taylor'schen Reihe man : ive rsi tyl ibr ary or g/; w ww bio l findet og ie Sei + f ' _ f {«) + ijY-f «' + ff f ''"' +&, F(„ ) yh ttp ://w ww bio d worin ganz allgemein: (2) und = pCos«jx+ i\c-siu«,a f = pcospi + «f ei^' siü/ji = Aa; -|- ^Ay (4) soll man eben Setzt so : iod ive rsi ty verstanden werden He rita ge Lib , rar pe"i" ^ 4-^' (ä'.w^t.w (7) spielenden, syml)oli.sch rL und in (6) ay Die of the Mu se um of s\s,=s\G,s,m OL, =flx) -\*' cos a, =/;(«) cos 2) Co mp ara tiv s = f »(*) cos D ge ,M A) iij) ;O rig ina lD =ß{x) e^"'==f,(x) cos D +ifs(x) sin D /, {x Ca mb rid + f,(x + ow n auf Grund des Taylor'schen Satzes in symbolischer Form: eZ oo log y( man SO erhọlt loa df rom Th eB â/(ô)=/.( ), y,(ar) cos erhält der Ausdruck /.(a;) -p jedesmal den Nullwerth, so- > m zutrifft Hiedurch ist die Behauptung gerechtfertigt, D f,{x)s,\\iD je eine endliche Gliederanzahl besitzen dass die in (7) spielen- , in (2) an die Stelle von u die complese Grösse x-\-iy setzt, und dann die Ausdrücke [Q) und (7) deutet, so erhält F{x -f iy + p e^O man = F [{x + A = : o:) -f e' (y +A = +» //)] (7yeV-|-p5|e^('.+i^)-}-p2c;2e'('-'= -(- = Z^^ ik^^ i^^e^^' (^) horenz Zmurko 222 wobei: = aCOSäj = + l)(i4- ar+ - a„J i + & ) dem hier eingeklammerten Polynome sind bei gehörig kleinem Un iv In zwei der Anfangsglieder genügend, p auch steht es uns frei, rva ; die Erfüllung der s Bedingung p'-Zle['> Dig (19) itis ed by the kleines positives rd seinen Werth in Bezug auf Grösse und Vorzeichen zu beurtheilen Ha um ers ity ,E rns tM ay 5j,e'*ü (18) + «r— «0'» = _jr zu beanspruchen Hieraus folgt pei^' (-^0) = Aa-+t A ?/=£(— I)rp5r, («0 — «') l und A = (-l)f[j']7cos(^^^ A2,= (-l)7[|>]lsin^^ für ein gehörig 223 Studien im Gebiete numerischer Gleiclmngen Dann findet man aus (18) e"o' 5,, "0 = 5^ «« f [ _ und vTCgen £'•] £'"S>S im) >'^o>°o- • • • (22) so lange fortsetzen, bis wir zu einem Grưssensystem etwa (") («) (") yy -^üj (") kommen, wobei mit erwünschter Genauigkeit man eben so genau (23) iod ive rsi ty [•^' He rita ge Lib rar und kưnnen selbstverständlich dieses Verfahren • yh ttp ://w 'o : mit der Bedingung [x,y,a^] In erzielt ive rsi tyl ibr ary or g/; w Weise verfahrend, gelangen wir nach und nach zu den Grössensystemen \x,fi,ö^, Bezug auf (7j>0, immerhin zu einem anderen Grössen- falls gelangen kann, wobei man eine Verkleinerung der mit