Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 47-2-0001-0024

m at tru bio log iez en ÜBER ibr a ry org /; w ww DIE GEMEINSAMKEIT PAETICULÄRER INTEGRALE ZWEI LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ww bi od ive rs ity l BEI ibr a ry htt p:/ /w n VORGELEGT IN ESCHERICH yH V fro m Th eB iod ive rsi t G eri tag eL VON MÄRZ 1883 MA ) der vorliegenden Arbeit suche ich die Resultate, die in der Abhandlung' e, In ;O rig ina lD ow nlo ad DER SITZUNG AM gewonnen wurden, auf homogene die Gemeinsamkeit lineare Differentialgleichungen mb rid g particulärer Integrale bei zwei linearen Dilferentialgleichungen" lUr „Über „vollständigen" linearen Differentialgleichungen auszudehnen Ich y( Ca die sogenannten ive gegebene lineare Differentialgleichungen gemeinsam haben und leite die lineare Differen- rat läre Integrale zwei Zo o log entwickele also zunächst die Criterien, aus welchen erkannt wird, ob und wie viele linear-unabhängige particu- mp a tialgleichung derselben ab Die Absicht, diese Gleichung zur Vereinfachung der Integration der beiden gegebenen Co of dieser Criterien, welche die bekannte Analogie zwischen den linearen Differentialse Form Mu aufweine andere — was die Verallgemeinerung eines bekannten Theorems in sichschliesst — führte mich um Gleichungen zu benutzen Probleme der Elimination Am Faden dieser Analogie wurde und ich zu einem of the den algebraischen Gleichungen auch hier hervortreten lässt das auf Grund der vorangegangenen Entwicklungen auch zu einer allgeibr ary geleitet, tM ay rL meinen Bemerkung über die Gleichung Veranlassung gab, welche aus der Elimination einer abhängigen resultirt Darnach erscheint Er ns Variabein aus zwei simultanen Differentialgleichungen zwischen drei Variabein Annahme rsi ty, nämlich die gewöhnliche als unbegründet, dass jedes particuläre Integral dieser Gleichung gemein- particuläre Integrale in den beiden gegebenen Gleichungen hervorrufe Eine spätere Arbeit wird die Un ive same dem bekannten Verfahren zur Auflösung eines Systemes Ha rv ard Modificationen darlegen, die in Folge dessen an the simultaner linearer Differentialgleichungen angebracht werden müssen In enger Verbindung hiemit stehen die am itis ed by Functionen, gebildet aus linear unabhängigen Integralen einer linearen Differentialgleichung, auf welche Dig Schlüsse der Arbeit hingewiesen wird Dieselben führen in der Theorie der linearen Differentialgleichungen zu Functionen, die eine ähnliche Rolle spielen, wie die symmetrischen in der Theorie der algebraischen Glei- chungen; sie lassen sich auch, analog diesen, auf die gemeinsamen Lösungen eines Systems simultaner linearer Differentialgleichungen ausdehnen und gestatten ganz analoge Verwerthung, wie aus einer demnächst zu veröffentlichenden Arbeit hervorgehen wird Denkschriften dieser Akademie, Bd XXVI, Uenkschriften der mathem naturw Ol p 61 iSV H dd Abhandlungen von Nichtmitpliedern -t : G Es eher ich t\ I Es seien -I) -a„y-ha «oi/*'''^-«!^'" - fixjijj ,y(")^-(-« = (1) iez en m at -y^"') • tru ^(•>^> i/»- /; w ww bio log nnd und die letztere i//(r, = y'"') y, ity l = i/"'') x ergebe htt = ibr a ry y(a/ ,, «/("+*-'))-(-aW eL _(-!> ive (n+1) (m-(-i) findet: log Aber auch mb rid g e, MA ) FR = /"'(y.) ow F^'"\{z^) I Co rim-l-l yn^\ F{z,„^,) Mu se um of • -M) ary of the rL ibr fcS+' Ayn+i) /«(«/.n+l aber Er ist rsi ty, Nun ns tM ay m+i 12/1— ^"+0 Vi • Vi—yn+i y(^-') J y"+' (,«/„— jl"^') :r; ; = dB dB dB_ da'f da':' rL ibr ary of Tji") the Mu se aui" of Co mp a ipi'x) dr dr tM ay dr ns ' dal'»-*) c p 67 folgt jedoch der zweite Fall ein, so bleibt es unentschieden, ob die Gleichungen Integral gemeinsam haben, wogegen dann deren reducirte (1) gemeinsame und (2) gar kein particuläre Integrale by particuläres Ha rv Tritt ard Un welcher Propoi-tion die zweite Zeile aus the in ive rsi ty, Er da'^-^'> 'rfa',™-'' itis ed besitzen müssen, oder ob (1) und (2) mehrere solche Integrale haben Die Entscheidung hierüber liefert die Dig Betrachtung der zweiten Differentialquotienten von B, in die jetzt eingegangen werden Da r = so haben die beiden reducirten Gleichungen von (1) ist, particuläres Integral —pp, so ersieht r, gemeinsam und es lässt sich daher dem R und die obige man, da das selbstverständliche gemeinsame Integrale " /; (2) soll schon aus diesem Grunde ein Form geben ^ dB cliungen von der Betrachtung ausgeschlossen bleibt, dass die Voraussetzung daV Bildet man hieraus der beiden reducirten Glei- =u zur Folge hat — ; über die Gemeinsamkeit parficulärer Integrale zwei linearen Differentialgleichungen bei F(z„+t) F' (z^i) 2r("-')(03) i^"'-' (^,„+,) tru m at iiX'»-')(^,) = iez en Diese Identität zeigt aber an, dass entweder auch die Gleichungen (1) und (2) ein Integral gemeinsam /; w ww bio log haben oder deren Reducirten noch ein zweites von dem ersten linear unabhängiges Unter den gemachten Voraussetzungen haben also entweder die Gleichungen (1) und (2) selbst oder Ä = = r und überdies ist ibr a also der Reihe der Diiferentialquotienten in dB ww bi od dB gemeinsam verschwindenden p 68), c ry (1 d*B dr ^,, , 1)"+' b ( - dal'-'^r/a'"" dr ,, ^, ^i — l)"+*b , eri tag d^B eL ibr a einer Null ist, aber keiner der beiden htt p:/ /w dR ive rs ity l Wenn ry org deren Reducirten mindestens zwei linear unabhängige particuläre Integrale gemeinsam • C, und ?, dann darf bezeichnet, in (6) ?, ^ C^ und ^J := C^ gesetzt werden und aus m mit zwei linear unabhängige Integrale gemeinsam B folgt: ad Form von (2) ?('-*) ffa^^Vai"' lD f(n— 1.(11— i) ina \ ;O rig d*B ow nlo dieser und eB iod Werden dieselben (1) Th haben die Gleichungen fro so ive rsi t yH dai C^"-*) FC^'Kz^) F'"-'\z^,) e, MA ) mb rid g also log F^'"-%z^+i) mp a rat F^'"-%z^) das Integral bezeichnet wird, das die reducirten Gleichungen gemeinsam haben müssen ?, B folgt aber: the Mu Aus derselben Form von = l—lY+% of , F{z^+,) "^ = (-1)"+' Cn, ibr , ary ^\f F{z,) rL , Zo o ive da„2ida, Co Cj F(z^i) of = — um >;, se wenn mit ^„=-c(?;''.-^i++' Un ive ^L? Fiz^+,) Crj,' da„-i ard da F'^'){z^) by the Ha rv fja„_i rsi ty, Fiz,) in die obige Gleichung für Dig itis ed Die Substitution dieser Ausdrücke Voraussetzungen jedes den beiden Gleichungen (1) und (2) — d*B ^ ^r F'^'){z^i) zeigt, gemeinsame Integral dass unter den gemachten (J die lineare Differential- gleichung befriedigt: d^B ,(™-.)^^(., _ d*B ^ : d2 p als Von den übrigen sind blos die näher untersucht werden, in denen = (7 Differentialquotienten dieser da diese ist, allein eine weitere Ordnung Verwendung sollen nun finden werden Ihre Bildungsweise ergibt sich aus den beiden Formeln: indem man die erste Formel auf je org /; w ww bio log iez en tru m at ^p{m-k+l+-,) und die zweite auf die jedesmal übrigen der {k —1) den übrigen {k der /Zeilen, welche der ersten Formel unterworfen wurden, v welche in der Beziehung stehen 1) Zeilen vortiudet, i ity l ive rs —— B ww bi od in von =p V welches nach /-maliger Differentiation nach eri tag [>., eL offenbar das kleinste zur Verfügung bleibt, der Bedingung w«^Z;-Hl-t-jüi.>OT muss, so verschwinden Summe obigen in der ^"-i-p, noch für die Differen d h ,ui>p — genügen Determinanten, bei denen die erste Formel nicht auf die alle Zeilen angewandt wird, in denen Th = p-2 m 2, 1, Sind daher in einer Determinante, welche diese Bedingung erfüllt, der übrigen Zeilen, welche der ersten der obigen Formeln unterworfen werden, so rid g e, v mb hervorgehende Determinante nicht verschwinden, mindestens ein Theil der Folge l^_(p_3); 2+(p-3) 2p-3; ^p_.+(p-3), i>,_(p_,)-H(p-3) («) Zo o y( Ca soll die log muss, Pi-(9~^) MA ) numerisch geordnet, die Pf > ;O rig Pf-i ina lD ow ist nlo ad fro V — «('»-*+-) rsi t yH «t^^-^+r') ive nach eB iod Da nun tiation ibr a ry [3 /w fx letzten Zeilen nun, wie die obigen Formeln lehren, p:/ jede Determinante verschwinden, in der zu einem sich ein Von diesen wird addiit htt anwendet und die so gewonnenen Determinanten ibr a ry / ive obigen Folge mp a rat in der um während der andere Theil über (k Pi-(f-i) — 1) hinaus (ß) liegt se enthalten sein, of Co Pp_i; Pf of the Mu Sind daher rL ibr ary Pf-i um (p 2h-i vermehrt, nicht grösser als {k — 1) ist, so müssen p, Er X— Un ive rsi ty, p— 1, in (ß) folgende Glied muss p-, also ^zk — aber> ^)_i-t-l sein und es wird somit auf ard Das auf ^,_) the Ha rv die Zeile von B, in der by -+-;?)._ = p ed itis die zweite der obigen Dig ist, Formeln angewandt l-H^x-i— (p sobald nur p>3 ist, sein Da aber —3) =^x-i-l-4— = p X-i-3 —p , in der Folge: 1, also sie die ns Folge bilden — 3) Pp tM ay die Glieder dieser Folge, deren jedes , auch in der identischen 2, (p-3), (p-2) X-1, : 1, 2, p— 2, Pp_, Denkschriften der mathem oaturw Cl.-fiXTn Bd Abhandlungen von Nichtmitgliedem V px-j l) : : : 10 G enthalten so findet sich zu ist, = [x Es eher ich V l-t-^j,_i ein v == A-h3 ;A— V = —p vor, für welches p- Ist unter den gemachten Voraussetzungen jeder DiiTerentialquotient von E, Hieraus folgt also, dass der m at Form die ist und die Folge (a) mit (ß) identisch es hat also ry org ist /; w ww p ^ hingegen bio wenn p>3 hat, verschwindet, Für log iez en tru dJ'-'R [da), ity l ibr a d'-'B '] ive rs [a.a„_i ww bi od I /w so lange zu den früheren Voraussetzungen keine weiteren hinzugefügt werden, den von Null verschiedenen htt p:/ Werth: »Ji C, 1)! F'{z,) ive ,(*-2)^(*-2) 2, C F^>'+'\z,,+i) m verschiedenen leicht bestimmbaren Ausdruck bezeichnet werden so fro = Th eB iod F(m->=+i){z,) Summe in der von Determinanten, aus welchen ow nlo Ist p von F'iz^^i) ad C^ einen rsi t [dai'!:i*+'^]*-'-'[^/«i'"-*+^']-' wo yH = (fc— eri tag d*-*i? eL ibr a ry "'Js ina lD d^-'B e, denen sich zu einem V v ein — = pi ausser denen, in welchen von den letzten wurde Somit ive jede der übrigen nach differentiirt = m — k-i-2\ 1) mp a Co Zeilen jede der« ersten nach «^"'— *+2) y^j wenn m — 11 ( m k—2 se um of C' — ist, rat «;,!!::^*+^' (Je Zo o ist; also alle vorfindet, deren Differenz pi log y( Ca mb rid g besteht, alle verschwinden, in MA ) ;O rig [da^:ri''+y-'-'[daf'^' the Mu gesetzt vnrd ^t—i '''9 F{z^+,) rL ibr ary of »J ay ,(.-i) Er ns tM #-*Ä '' ^^ 1)! ' „(.-i) ^tr ^'\ (.+*)„(.•+.) [da d>'-'R ' /w dB wo p^3ist, 1) linear-unab- yH hängige particuläre Integrale gemeinsam." rsi t obigen Satze lässt sich hiedurch die folgende Fassung geben: eB iod ive Dem — eri tag eL so besitzen die beiden reducirten Gleichungen von (1) und (2) mindestens (k fro m Th „Damit die beiden linearen Differentialgleichungen (1) und (2) k, aber auch nicht mehr linear-unabhängige particuläre Integrale gemein haben, ist es nothweudig und hinreichend, dass mit ihrer Resultante i?, noch (fc 1) Differentialquotienten derselben von der Form: dB ina lD ow nlo ad — d"-'B mb Null sind; aber keiner der gemeinsam verschwindenden von der Form: y( Ca ^ ist, p Co mp a rat ive Zo o log wo rid g e, MA ) ;O rig d^B diese, ist aber für irgend ein i: Mu se um of Verschwinden hingegen auch the d"B of r.^0, tM nicht grösser als drei ns p ist, so haben zwar die linearen Gleichungen kein Integral, aber Er wo ay rL ibr ary [(iaill*+'']*'[dai"'-*+P-"]*" Ha rv ard Un ive rsi ty, ihre reducirten k linear-unabhängige particuläre Integrale gemeinsam." itis ed by the IV Dig Die voransteheuden Betrachtungen führen auch mit Leichtigkeit zu einer linearen Differentialgleichung, der jedes gemeinsame Integral von (1) und (2) genügt und deren jedes particuläre Integral auch umgekehrt diesen Gleichungen Um gemeinsam ist dieselbe abzuleiten, werde angenommen, hängige particuläre Integrale gemein und Ci — = C/t J?! ; Cj — = Ci 'Jj;- same linear-unabhängige -C*-! — = ?i ''/-t-i particuläre Integrale «iud und die beiden Gleichungen (1) werden dieselben mit dann (k — 1) Dem B kann man C, , Cj • • C/, (2) haben k linear-unab- bezeichnet Die Grössen den beiden reducirten Gleichungen gemeindann die Form geben: über die Gemeinsamkeit particulärer Integrale B= C p,,,-,+i, : zwei linearen Differentialgleichungen bei ibr a ry org /; w ww bio log iez en tru m at (t,_,)i''^"'-*-^" (C,)i^("'-*+') (0,+,) ity l Fi'«-*''(2„,+,) yW(rj,_,) i^i-'C«*) -F'""(2,.+l) für B rsi t Aus dem obigen Ausdrucke yH welchen sich hieraus die gewünschte Gleichung ziehen Weise wie ergibt sich iu derselben eB iod eine ableiten iu ive Vou den verschiedenen Formen, eri tag eL ibr a y('")(yj,) ry htt p:/ /w ww bi od ive rs =C will ich in (III) F{z, +1' n^k+i) ow nlo ad fro m Th lässt, ina c Ai+i) v(.-+i)v(i+i) »1 '=8 • • ^k y( Ca mb rid g e, MA ) [rfailT'+'f-V«»"'"'''''! ;O rig ==iiik-iy £(1-1) lD {.-l)/-(i fl #ü; Zo o log wo rat ive ^=1 • J- mp a Ji U-iJ''' of Co und aus f(yk-i) F{Zk+i} y("'-*X>!i-l) F^'"-"^ {z,+ >) um F{z„+i) dB ary of the Mu se y(vji) y("'-*)(y5,) J^-i'"-*)(2!™+i) rL ibr = (_l)'"+iC' the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay da