Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 51-1-0069-0105

09 bio log iez en tru m at ENTWURF EINER MONDTHEORIE Rittf.u OPPOLZER, v WIRKLICHEM MITGLIEDS HER KAISERLICHEN AKADEMIE WISSENSCHAFTEN 1>EK DER SITZUNG AM NOVEMBER 188:> rita ge Lib rar yh ttp IN ://w VORGELEGT ww bi od ive rsi t ylib THEODOR Hofkath Pkof rar y.o rg/ ;w ww VON He Einleitende Bemerkungen ive rsi ty eB iod Die Ermittlung der Bewegung des Mondes gehört zu den schwierigsten Aufgaben der theoretischen m Th Astronomie; es fehlt nicht an zahlreichen Versuchen, die Schwierigkeiten der Mondtheorie zu überwinden, immerhin als eine in manchen Stücken dankbare Aufgabe, das Problem in einer lD ow es scheint mir daher nlo Etwas zu wünschen übrig; ad fro doch nur wenige der bislang befolgten Methoden sind vorwurfsfrei, und selbst diese lassen rig ina solchen Weise zu lösen, dass, so weit ich die Sachlage zu beurtheilen vermag, ein stichhältiger Einwurf gegen Methode werden kann, und objectiv bestätigen möge ich will hoffen, dass sich Auf dieses Problem näher ein- dg e, die vorliegende MA ) ;O die Richtigkeit und Convergenz der Entwicklungen nicht erhoben mein subjectives Urtheil über am bri zugehen, wurde ich durch die noch immer nicht endgiltig behobene Schwierigkeit veranlasst, die sich derErmitt- olo gy (C lung derSäcularacceleration des Mondes entgegenstellt; die vorliegende Methode, einmal praktisch durchgeführt, Annahme über Form rat die Auflösung der Integrationsdivisoren Co auftritt of ; m se u genügende Annäherung erreichen Mu will, die hiefür erforderlichen Operationen erhalten, derartigen Umfang, einen the eine bemessen werden muss; doch wird dass die es für die definitive Beurtheilung der Leistungs- ary Rechnung vorzulegen, und ich hoffe binnen kurzer Zeit jene vorläufigen Resultate, die etwa alle Glieder Er ns tM Ordnung mitnehmen, welche Annäherung durch- in den störenden Kräften auftreten, zu erlangen Aufstellung der Differentialgleichungen the [, (7, ive und und l tz ina die bekannten Präcessionsgrössen ;O man wird ow nlo diese Coordinaten auf die fixe Ekliptik zu beziehen, zu der die Coordinaten MA ) um nun ad fro m Th eB [/,]=(,-,) sin^ ty K]=(*-i) cos («i+-P0 — 11—/) — /)cos»r— — — sin/>, sinre II rat = sin&j cos ~-f-cos/>, sin(/, 11 12) /)sin,-r Co mp a sin6 l [•,) rva rd Un r, =r >\ multiplicirt y, ive rsi t Wenn man ] /•, Er ns tM y = = = ary [:*/,] se u m of den gemachten Annahmen nach: ibr ist ay rL und es the Ha besteht, so findet sich nach einer entsprechenden Transformation: —H — itis ed by [x t ]z=(r ) jcos(7, t Dig [yi ]-=(r i ) {cos(7, [,3, Nun ist ]=(/-,) sin(Z, II II /)cosIl — — /)sin + sin(/ II — /)sin — — II— /)sin IIcosü} +^/,sin Ilsinrc /) cos II cos*} — 2:{cosllsin7r l 15) ) aber: t man t II n+z[ cos n l setzt sin (7, = Vl +P', daher: P=P'—l, Denkschriften der mathem naturw CA LI Bd 115) 11 ^ — : — Th 78 Pdie um Länge man in den Gleichungen — —— Länge des tropischen Sonnenperiganms sein, ist als« und man hat auch: identisch, l -l=v +P 17) i t 15) = cos — + sin — COS K = COS —2 — sin — /T /t , Z i • 7T C 7Z bio log iez en tru Setzt , Oppolzer v die allgemeine Präcession verminderte mit seiner siderischen — : m at so wird — /; w ww > ist [vergl sin« sin (»,+P und 2) +P) — sin i-^" sin sin (p t — IT) (/-, + P—a 11) -j-^cosir 70 3) des Absatzes, pag ry ibr a —^ cos [ 18) II sinrc ( 71] u He ri Weiter ?r /w ww bi od ive rsi tyl (»-,) |- -H^sinllsiu^ p:/ = cos P—SU) htt (r ) t i- n;* cos («,H- ibr ary [y,}= fo] Jcos^-jr*cos(t>1 -4-P)+sin i) tag eL = (r [x i ] org so wird: + sin (A — tn)[y eojhrj] -+- t] } ; ina lD ow +sin*'sintd[s1 ] nlo a df rom — Th eB sin-/ |+cos(Ä 4- iod ive rsi ty = cos -** {+cos(Jl+w)Lc,] +sin (ß-t-w)|y,]| + /-, rig = cos -/* (— sin(A+w)[ir ]4-cos(u Form Glieder von der od ergeben, welche Ha rva rd —-f- fehlt; die Integration des ersten Ausdruckes würde also ; dies lässt sich aber auch in der That leisten Der Coefficient, der dieses constante itis ed by the weggeschafft werden müssen Glied zusammensetzt, enthält neben anderen völlig bestimmten Parametern die völlig willkürliche Grösse dieser Grösse demnach leicht einen solchen und hat somit zweiVortheile mit einem Schlage und man ist zu einer Bestimmung der Rücksicht genommen, so treten in Werth ertheilen, dass das constante Glied verschwindet, erreicht; die Glieder von der Knotenbewegung der Mondbahn —-i durch passende Wahl von ß', Form welches selbst von der Form sind in »4 verschwunden, Bt- ^ -^ = «'"_ M [b'"dt- us eu 8^ J 8* Cdf"it+ J c dt UJ(>»t+J3 J(V"8*+Iö"(J >8*+ Flf J { A'"8*| ) yo f th 3/J eM 8? m rar Form Jbdt dt T und ay r mehr tM daher, ohne TTT —- — d als Glieder fünfter Ordnung beziehungsweise durch a\ a" und dt cdt und zu übergehen, rechts a!" ersetzen Will man Un rd sein; beschränkt man Gleichheitszeichen the wenn man in den ursprünglichen Differentialgleichungen by erhält, wegläset, so wird dieser Forderung nicht genügt; die hieraus entstehenden und (/-Grössen auf alle Glieder fünfter Ordnung Bedenken siud ähnlicher Natur, Dig i tis ed b, c sich alter nur auf jene Glieder allein, Ha rva Grössen zweiter Ordnung inclusive genau bekannt man erster Ord- diese Gleichungen völlig richtig innerhalb der Grössen vierter Ordnung haben, so müssten eigentlich die Integrale der welche vom $ddt rsi j" ive R Er —— dt J ty, — c> sind alle zweiter Ordnung, die Integrale ns man kann nung; Lib Die Integrale von der wie dieselben oben bei der Betrachtung der Gleichungen 6) erhoben und daselbst beseitigt wurden; wird aber auch hier keine Schwierigkeit haben durch ähnliche Schlussfolgen die Bedenken zu beheben es Da aber die Mitnahme der hiezu erforderlichen Glieder keine Schwierigkeit darbietet, so wird man, wenn es gerade auch nicht nöthig ist, dieselben mitnehmen, um sofort in der ersten Annäherung einige Glieder höherer Ordnung richtig zu finden, Hieran wird und d' können man die sonst wohl erst in den folgenden Annäherungen erlangt würden aber eine für die Folge nicht unwichtige Bemerkung knüpfen können: die Glieder in bei der Integration höchstens um eine Ordnung herabgesetzt werden; mau c' erhält daher auch, Entwurf Wenn man Ordnung die höheren Glieder fortlässt, richtig; die dungen niemals die den zu in um / nochmalige Integration, etwa 99 einer Mondtheorie hinzutretenden Gliedern jedenfalls die Glieder dritter a' zu erhalten, kann aber in Folge der auftretenden Verbin- um diesen Ausdrücken fehlenden Glieder vierter Ordnung in eine weitere Ordnung herabsetzen; das Integral / wird daher in der ersten Annäherung stets richtig erhalten auf alle Glieder dritter Ordnung Um inclusive VI bilden zu können, nochmalige Integration von I erforderlich; bei die ist kein Fehler zweiter Ordnung zu befürchten sein also ähnlich wie früher mit (', C und C3 , ;w = C, 4- — a' j ylib ( the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita ge Lib rar yh ttp ://w ww bi od ive rsi t diu by im die willkürlichen Integrationsconstanten bezeichnend: ww , rar y.o rg/ n itis ed man Dig Setzt VI bio log iez ungünstigsten Falle in en tru m at dieser wieder treten niemals kleinere Integrationsdivisoren auf als erster Ordnung; es wird daher selbst Th 100 so wird: Oppolzer v -A! +B'VI II- A" +B"VI I III=A'"+B"'VI, Unbekannte VI ausreichend genau die vorläufig noch m at womit / // und III durch bekannte Glieder und durch log iez en tru bestimmt erscheinen; die ß-Glieder sind, wie dies die oben gemachten Bemerkungen über die Integrale von darthun, notkwendig zweiter Ordnung, es sind also 7, II und /// durch A!, A" und A'" allein, abgesehen // der Bestimmung der ^-Grössen selbst, die in einigen Gliedern von bio in A" und A!" möglicher- /; w ww von den Fehlern Ordnung inclusive richtig bestimmt; an sich sind = cos g II — sin glll —=— V - II— 2m III+ R —m! t—m" # m 1+ m ^ bis und a man auf Grössen zweiter Ordnung inclusive richtig hingeschrieben werden müssen, df a hiefür mindestens zu setzen haben: Annäherung in der ersten —=ö cos (—l'I+ ^ ) 3) Ha rva rd A W5= Dig itis ed by the AIF=An4 ^*+An5 JV* Indem man in den /',) (pag 97) des vorangehenden Abschnittes erfolgen, nur dass die vorhandenen Näherungen eine genauere Ermittlung gestatten werden; bezeichnet man den Überschnss, den dieser genauere Werth gegen jenen, welcher in der vorange- — , zieht die so erhalteneu Incremente m at VT A —- ergibt, mit + c"II + lD ow ( ') " } 6) "' "-^J '"" ]"''"' -»TT 8' ") es wird: = NlA^+NlA^+N^Aris y( Ca und mb ri dg e, >* =.j>«"'-47 i MA ); O rig ina A„s eZ oo log A.4' j + NlA„ +NlAn + NlAn Co mp ara tiv AA" =N*A>i +NlAn AÄ' = X lA lll ! i i B" und £'" der Voraussetzung noch unverändert 7) ) , Um bleiben nun den Übergang auf die Glei- us eu m ff, i : of während r , AA" und AA'" und durch diejenigen einen Zuwachs erhält durch die Einsetzung des genau- rar diesen Näherung A Zuwachs kann man sich, wenn man den Werth von VI aus der vorangehenden Er ns geschlagen denken und erhält so: rsi ty, benutzt, zu tM eren Werthes von R'; einerseits in R, welch' letztere mit B bezeichnet werden mögen, anderseits aber auch Lib AR yo f th ein Increment erhält durch die Zuwächse AA', ay r A eM chung 28) (pag 100) des vorangehenden Abschnittes zu machen, wird man zu beachten haben, dass Ä AA"—2m Ä AA"'+AR+ VI AR' 8) Ha jetzt die Schlussgleichung: the und hat rva rd Un ive AA=—SmAA'+2m ed by dVI welcher B 9) Dig i tis in = (A+AA)+BVI, 8< wieder ein für allemal dieselbe Bedeutung erhält Durch die Integration dieser Gleichung findet diese Annäherung ihren Abschlags, und man kann, wenn es wünschenswerth erscheint, in ganz analoger Weise zur Erreichung einer weiteren Annäherung schreiten und dieses Verfahren so lange fortsetzen, bis Das man die vorgesteckte Genauigkeitsgrenze erreicht hat hier vorgeschlagene Näherungsverfahren erscheint mir für die doch wird man je nach Wunsch Näherungen empfehlenswert!! dasselbe modificiren können, und sein, gleich bei der ersten Rechnung ziemlieh vorteilhaft zu es sein, wird sogar für die Convergenz der Annäherung eine kleine Modification des in Vorschlag Entwurf 105 einer Mondtheorie gebrachten Verfahrens eintreten zu lassen Es sind nämlich die constanten Anfangsglieder d" und d" (vergl den Text nach 17), pag 98) zwar That theoretisch in der dritter in den Ausdrücken Ordnung, wachsen aber in der Mondtheorie zu so grossen Beträgen an, dass dieselben fast den Gliedern zweiter Ordnung an Grösse gleichkommen; würden dieselben der That zweiter Ordnung sein, so wäre die Convergenz für jene Glieder, in welche Integrationsdivisoren zweiter Ordnung erhalten, Frage in gestellt; in dem vorliegenden Falle erscheint Man kann aber leicht die genannten constanten Anfangsglieder auf Glieder vierter Ordnung herabbringen; setzt man nämlich in den Gleichungen 18), p 98 rechts vom Gleichheitszeichen für die Differentialquotienten der Elemente 7, //und III nach 3), p 93 ein, so erhält man zunächst Glieder, die theils völlig bekannt sind, theils die unbekannten Elemente enthalten; auf diese Gleichungen wendet man ;w ww bio log iez en tru m at somit die Convergenz vermindert ganz ähnliches Integrationsverfahren an wie und dann, nachdem dies durchgeführt zerlegt, die Producte in ist, 2, in das Element II und 777 ähnlich rsi t VI, analog wie frühe-, indem mau zunächst die Producte früher, rar y.o rg/ ein ylib nun ww bi od ive behandelt; die bei diesen Operationen auftretenden neuen constanten Factoren vereinigen sich mit jenen, in ://w e"'und d" vorhandenen, in derThat in der Weise, dass die übrig bleibenden constanten Autheile vierter Ordnung ttp werden allgemeinen Umrissen zur Darstellung gebracht werden sollte ge in Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita Behandlung des Mondproblems nur Lib rar yh Ich begnüge mich hier mit diesen Hinweisen, da in der vorliegenden Abhandlung die Methode der Denkschriften der mathem.-naturw Cl LI Bd 15 ... nlo lung der störenden Kräfte als Functionen der Zeit und der Störungen selbst, welch' letztere aber erst in den ist Es stellt sich nun die Aufgabe, ina lD Gliedern von der zweiten Potenz der störenden... die erforderliche Transformation ergeben als wenn man im Wechselverhältnis der ot et Cofunctionen stehen, so wird eine einfache Abänderung der Argumente ist, um 01 und das Zufügen der Glieder Oppolzer... Annäherung daher das Erfordernis auf, das Integrationsverfahren derartig Glieder vierter, in der zweiten alle Glieder fünfter Ordnung alle ive rsi einzurichten, dass in der ersten Un w in den Differentialgleichungen