Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 38-2-0163-0192

ze ntr um at 163 htt p:/ /w ww bi od iv ers AN KilliELfLiUEN, PP I I H C ge Lib r L ary VON F STIlillLK^'SISTEl ity lib rar y II or g/; ww w ß T n^H bio log ie ÜBER UEK MATHEMATI.SCHNATUKWISSEN.SCH AKTMCHEN CLASSE AM :) MAI 1S77 MA ); O rig ina lD ow VOUOKLlit-iT IN 1>EU SITZUNG nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty He rita IN l'KAU Ca mb ri dg e, Vorbemerkungen den Fall mit sehr geringen Hilfsmitteln entwickelt werden, tiv e lür Zo kann bekanntlich flächeu begrenzter Medien, die Mittelpunkte der Kugclflächen sehr nahe an einer Geraden, Co mp ara als olo g y( Die Abhängigkeit zwischen Bild und Object bezüglich eines Systeme« an einander gereihter durch Kugel- liegen und die Betrav-htung auf unendlich optisch en Axe of Funda niental|)unkte eines Systemes centrirtcr us kleineu Schrift: eM einer durch möglichst elementare geometrische Betrachtungen die Eigen- versucht, ary ich brechender of th In Kugelflächen' habe des Systemes, m verlaufen eu Axe sehr nahe der dünne Strahlcnsysteme beschränkt wird, die überall der optischen ei'niitteln und hieran die Constructionen und ay rL ibr schaften solcher axialer unendlich dünner Strahleiisystcine zu ns tM metrischen Beziehungen zu fügen, welche Object- und Bildpunkte mit einander verknüpfen der neueren synthetischen Geometrie noch Möbius von rsi ty, Er man von Un ive verschiedener Seite und in viel Natürlich kann umfassenderen Gebrauch machen, wie dies verschiedenem Grade geschehen ist, seit indem die geometrische Um den Ha ist l l)ergang von dem dioi)trischen he verwandten Räumen rva rd Beziehung zwischen Bildraum und Objectrauni nur ein specieller Fall der Beziehung zwischen zwei collinear es, Probleme zu den geometrischen Eigenschaften folgenden Satz zu erweisen: itis ed by t coUineaver Verwandtschaft zu vermitteln, genügt Dig Weist man jedem Strahl im ersten Medium als entsprechenden jenen Strahl im letzten zu, der aus ersterein durch successive Brechung an den auf einander folgenden Kugelflächen hervorgeht und weist mau ebenso jedem Punkte im ersten Medium jenen Medium Punkt im letzten ersterem; so ist Medium entsprechenden zu, welcher optischer Bildpunkt der von den Strahlen und Punkten des ersten Mediums gebildete als Mitthcilungcn des iiutiirwisseiisch.-iftlichen Vereines tlir Steienuink, 1871, II, Band, III Heft V* ist zu Raum F Lijrpifk \Qi dem von entsprechenden Strahlen und Punkten im letzten Medium gebildeten Räume- in jeder dureh die optische Axe g-elegten Ei»eue fallen zwei entsprechende Ebenen zusammen; einemKrei.se im ersten Räume, der seinen Mittelpunkt auf der Axe colliuear zu hat und dessen Ebene senkrecht zu dieser steht, entspricht eiu ebenso gelegener Kreis im Räume dem Umstände, dass jedem einfallenden homo- ze ntr um at sofort aus ergibt sich Strahlenbündel ein eben solcher nach beliebig vielen Brechungen entspricht; centrischen weil in einer Axcnebene einfallende Strahlen durch die Brechungen aus Gründen der Symmetrie Nunmehr erkennt man leicht die specielle gegenseitige Ebenen entspricht ehier Schaar paralleler dem in der zweite Theil, nicht aus derselben heraustreten, Lage der beiden collinearen Räume ity lib rar y dritte dieses Satzes erste Tlieil bio log ie Der or g/; ww w letzten einen Räume, die senkrecht stehen zur Axe und der In Folge eine ebenso ww bi od iv ers gelegene Schaar im zweiten Diesen beiden Schaaren entsprechender paralleler Ebenen müssen aber auch Gegenehenen der Systeme parallel liegen, es stehen somit diese Brennebenen htt p:/ /w die beiden in Folge ihrer optischen Bedeutung zu nennen pflegt, die Gegenebenen man oder, wie in der optischen Axe ge Lib r ary beiden sich entsiircchendeii, zu den Gegenebenen senkrechten Geraden aber, fallen und 3) man erkennt weiter, dass sie im gegenwärtigen Falle ähnlich sind, alsd Lage perspectivisch zu einander und liegen eB iod ive rsi ty 'I) He rita über einander Zwei zu den Gegenebenen parallele entsjjrechende ebene Systeme sind im Allgemeinen wegen |ierspectivisches ihr sie senkrecht zur optischen Axe; die wegen der affin; parallelen Centrum auf der Axe haben Dieselben man ferner für zwei collineare Räume in allgemeiner Lage gegen einander die Existenz entsprechender, gleicher runktreiiien und Strahlenbüschel nachweist (^mögen sie gleichlaufend oder ungleichlaufend sein) und ihre Lage gegen die Gegenebenen bestimmt, führen in unserem specicUen Fall zu den entsprechenden gleichen ebenen Systemen und Strahlbündel, d h zu den Hau])tnlo ad f ow lD Knotenpunkten; ); O rig ina ebenen und den Doppelpunkte der die u s fallenden projecti- w Hiedurch werden schliesslich dg e, MA Axe übereinander gewissen specielleren gegenseitigen Lagen sich befinden olo g y( Ca in coniplicirte Abhängigkeit, sobald Strahlen Beziehung zwischen Objectraum und Bildraum in mehr sehr kleine Grössen erster Ordnung den Gang einiger weniger Strahlen dur(di das Linsen- eu m diesem Falle sich meist damit, of In sind eine sehr Betracht gezogen werden, die nicht mehr sehr nahe der optischen verlaufen, für welche also Einfalls- oder Brechungswinkel nicht begnügt man ti'itt Zo Stelle dieser einfachen geometrischen Co mp ara An mb ri Punktreihen und Strahlenbiindel, die Axe der dioptrischen Constructioncn und Formeln einfach Reproductionen bekannter Sätze über projectivische tiv e alle in symptotischen Punkte vischen Punktreiheu sind die Listing'schen ' sehr practische Irigonometrische Formeln aufgefunden Ans eM us system zu untersuchen und hiefür hat Seidel of th ihnen resultirt aber unmittelbar kein einfaches Gesetz der Abhängigkeit zwischen einfallendem und austre- etwa für unendlich dünne axiale Strahlenbündel aufgestellt werden kann und es war ary tendem Strahle wie rL ibr es tM ay auch gar nicht der Zweck der Scidel'schen Abhandlung zu ty, Er ns Einen solchen Zweck verfolgt eine von Zincken- inem solchen Sommer unter hinzufiiin-cn dem veröffentlichte Arlieit Titel: „Über die Brechung In dieser wird gezeigt, „dass Abhängigkeit des gebrochenen Strahles vom einfallemlen ohne jedwede Vernachlässigung und zwar rva rd sich die c Un ive rsi eines Lichtstrahles durch ein Linsensystem"" lässt, wenn man die Gauss'scheu Definitionen derart erweitert, dass Lage besondere Brennweiten, sowie auch besondere Brenn-, Haupt- und by t nach seiner ed jedem Strahle je he Ha durch sehr einfache Gesetze darstellen itis Kreuzungspunkte zugethciit werden" Dig rom Th Betraclitungen, durch die gigkcitsgesetzes im Um den Inhalt des von Zusammenhange mit dem für eine erste Zincken-Sommer Näherung Axe unendlich nahes Strahlensyslem Es entsprechende austretende Strahl Diese beiden Strahlen mögen die wir zuerst eiu der optischen ' - Ciul's Ucpertoriiini für Borchardt-Crcllc jiiiy.'sikjilisoiic lounial, Tcclinik, L.XXXII IJand, lll p üaiid, 31— 14 |> isü7 — 183 giltigen ausgesi)rochenen Abliän zu übersehen, sei v z.B., welcher der Figur entspricht, S', Zu irgend der mit ersterem und ist i; virtuelles Bild i]' das virtuelle Bild des anderen In von der nbeii pitlitcu sduill S'.' (p dem Falle Tim für irgend ein Paar solcher Punkte lli gft'iiinleii worden a Über Brevhuiig und jenen um lullich dünner Uiß('.i:io)i der liroclienflen Knj;plflS'7,-, *S, E dessen Ebenen E bezeichnet sei, Liegt aber und alle E' Beschränkt in der Ebene 8k, jene Strahlen, die von zweitem Bild punkte und T man nach Brechung demnach nur auf sich respective 8' unendlich nahe verlaufen, so haben die ebenen Systeme der 7' und T" die Eigen- rd die in /" Un ive rsi vereinigen, verlaufen in den zusammenfallenden Strahlen, die mit tM Ebene gelegenen Punkte ausgehend sich ty, T ay heissen mag, einem auf Punkte ausgehend, sich nach der Brechung im ersten Ebene P, beziehungsweise ns die T gelegenen jene Strahlen, die von einem auf rL alle Bildpunkt Er auch eM us (durch 8' senkrecht zur Einfallsebene geführten) Ebene I" und mit demselben Grade der Genauigkeit werden P rva in Ha einem gelegenen homocentrischen Strahlenbündel ein eben solches he schaft, dass itis in / gilt ', Dig den gebrochenen ed by t zukommt und Gleiches 7' zu P' und E beziehungsweise E seinen zu E' col linear ersten, jedem Punkte dass von den ebenen Systemen in in E und E' als entsprechenden, jedem Punkte zweiten Bildpunkt sind, E' in in i" als gebrochenes Weist man daher jedem Strahle E' als in 7' entsprechenden aber in in P P oder seinen zu, so zeigt sich, denn entsprechende Strahlen gehen durch entsprechende Punkte und ei.tsprechende Punkte werden durch entsprechende Strahlen verbunden Bemerkt man überdies, dass und /" ' die in der zur Einfallsebene Z B aus tlcr in (1} E senkrechten Tangente an die gczcigtou Cuiistnictiuu des gebrocheuen Strahles P brechende Kugel gelegene Reihe der Brechung und Rcßexion unendlich dünner t^irahlensysteme an Kugelflächen Üb('r E und Einfallspiinkte, E' aber, die 171 der Einfallsebeue gelegene Kugeltangeute entsprechend gemein haben, in so ergibt sich die Eichtigkeit des folgenden Satzes: Schneidet man ein beliebiges, unendlich dünnes, einfallendes Strahlensystem und das durch Brechung daraus entstandene, durch zwei Ebenen I' und 7", welche beziehungsweise durch die Axen S und S' der Systeme hindurchgehen und auf der Ebene SS' senkrecht stehen, so sind die ebenen Systeme 1' und J' zu einander perspectivisch und Gleiches gilt von den in einander liegenden ebenen Systemen E und E', die zusammenfallen mit der Ebene SS' Von je zwei entsprechenden Strahlen dieser Systeme ist dereine der gebrochene des anderen und von je zwei entsprechenden Punkten in 7' und 7" ist dereine der erste Bi Idp unkt des anderen, der zweite Bi Idp u n k t des anderen aber in E u n d E' Es sind also auch perspectivisch die R e h e n der ersten und zweiten Bildpunkte in der einen Axe zur Reihe der in der anderen Axe gelegenen Centras homocentrischer Strahlenbüschel und die beiden erstgenannten Reihen unter einander proj ectiviscli ity lib rar y or g/; ww w bio log ie ze ntr um at (()) k geht, dass der Kugelmittelpnnkt k das perspectivische Centrum der Systeme folgt sofort, eB iod ive rsi ty dui-cli Es erüi)rigt noch, das CoUineationscentrum der beiden /" ist Zu diesem Zwecke aufzufinden einen Winkel gleicii l-u'n die Gerade, welclie mit sei in Fig dem Brecliungswinkel einander liegenden Systeme in Th immer und oder liegt, der Einf'allsnormale in einer Ebene liegen müssen, die Zu einschiiesst dem einfallenden Strahle rom / P mit einer Punktreihe auf nlo ad f nlso gehörige erste Bildpunkt a[ auf der Geraden ak ge Lib r P und dass zwei entsprechende Strahlen von 6' He rita Daraus, dass der zu einem Punkte a auf ary htt p:/ /w ww bi od iv ers i S gehören auf E und E' Sm S' die bei n beiden m lD nun offenbar ist Doppelpunkt, aber auch ein und zweiter Bildpunkt zusammen Die Punkte w auf S, in n' w' in Folge des Satzes dg e, da sonach kn'n die Verbindungslinie von n mit seinem zweiten Biidpunkte Ca mb ri E y( und in «' (4), so sofort ersichtlich, dass bb'^ h'^ in n' ist, ist, muss so mit Rücksicht der zweite Bildpunkt mit kn das gesuchte CoUineationscentrum l tiv e Zo somit liefert der Durchschnitt der Verbindungslinie der Systeme E' m of Die Systeme P und 7" schneiden sich in einer Tangente an die brechende c he und haben h r p e r s p e c t v s c h e s Centrum im M 1 e p u n k t e k d e r s e b e n Die in einander liegenden Systeme £ und E' haben zur CoUineatio nsaxe die Tangente an die brechende Kugelfläche im Einfallspunkte, ihr Coli ineation scentrunW liegt auf einer durch den Kugelmittelpnnkt gezogenen Geraden, die mit dem einfallenden und gebrochenen Strahl Winkel bildet, die gleich sind dem Brechungs-, beziehungsweise dem Einfallswinkel und auf der Geraden, welche die Schnittpunkte eines um den Einfallsradius als Durchmesser geschlagenen Kreises mit f'l ii i i i i 1 rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of th eM K uge eu (7) gegebene Definition der zweiten Bildpunkte, olo g in (5) ist, us // und Co mp ara auf die in m d h zusammenfallenden Bildpunkte entsprechen dem das gesuchte Centrum auf dieser Geradon liegen Erinnern wir uns noch des Satzes von (2), MA fallen' erster ); O rig ina Punktreiiien ow Reihen, gebildet von den ersten und zweiten Bildpunkten Für diese in einander liegenden projectivischen he Ha rva den einfallenden und gebrochenen Strahl verbindet zu einem Centrum eines einfallenden honiocentiischen Strahlenbündels die beiden Biidpunkte itis d h oder die Bildstrecke Die (8) zu projection Dig punkte, Oftject- ed by t Sehr einfach und elegant wird hiernach die Construction, durch welche man zu irgend einem findet einem Objectpunktc gehörige Bildstrecke ist die Centralder zugehörigen Strecke // auf die Axe des geljroclienen Strahlenirgend bündels aus dem Objectpunktc Zieht auf S', man durch /• und / Paralle zu /S' und S', so ergeben sieh die Brennpunkte und Brennst recken respective auf S \v * ' 1V2 Lippi.ch J^ Beziehung- /wischen Objectraum N Räume Sind im uiul Bild i;iuni irgendwelche reelle oder imaginäre Objectpunkte gegeben centrischer Strahlenbiischel, alle gelegen unendlich nahe an S, Fig als eines Flächenelcnientes der brechenden Kugelfläche bei m, so soll die Beziehung den Punkten Durch die N' at Räume Beziehung zwischen Object- und liildpunkten nur aufgefunden worden ze ntr um die ist in werden zwischen ermittelt diesen Objectpunkten und den ihnen entsprechenden ersten und zweiten Bildpiinkten im vorhergehenden Betrachtungen Mittelpunkte homo- deren Strahlen einfallen 2, specielle Lagen ebener Systeme Ausserdem war diese aufgefundene Beziehung beschränkt durch die Annahmen, dass entsprechende Strahlen unendlich wie E', sie in respective mit und (7) ausgesprochen wurde, ity lib rar y ((5) ohne welche 6", ist die ers Objectpunkte zwei Bildlinien entsprechen und jeder Punkt einer solchen Bildlinie angesehen werden kann, so eben gestellte Aufgabe keine eindeutige so Hie ww bi od iv Da einem punkt E und werden könnte nicht behauptet i = — ^^^ 'f'ä\/ i2 -2 sin*£ eu 1- eM —— = eos£ (pcos£ us m of f Co mp ara wo olo g y( Ca V - ; of th — £ zu setzen und erliält tM ay rL ibr ary Für den Fall der Reflexion hat man t'^^n U V V ^=-y'=2^'^ = -?' = ^- rsi A'^ und A^' betreffend, Un ive Räume £' rva ed X-^^r itis = /fi, ml-fi at so folgt sofort aus tlor Alinliolikcit der Dreiecke r somit werden die Brennweiten der J^tralden, die zugleich die Brennweiten und E' sind: 1^2 ^' ,r, tili der ebenen Systeme , 1* htt p:/ /w ary demnach wegen = '?['^-l,^ ^'"' ^ ist in s Folge der für die Brennpunkte -^1 = '/ 1- ^'"' Ơ ' ( der Strahlen /'^y^ ''1 S und S" • giltigen Construction: lD ow nlo ad f rom Th Ferner und N2 werden aus diesen durch Multiplication mit cos i und cos He rita i\^ eB iod ive rsi ty erhalten, sind Räume der •/ ge Lib r Die Brennweiten 1, ww bi od iv ers I '^^ or g/; ww w und ^, ity lib rar y E 183 ze ntr um iirifl bio log ie tn)er r>richni)q = f, cos" 77lf\ und j? p', mf'^ , m von = VJ, COS^ £' dann ergibt sich Ca Für die Entfernungen der Punkte £ MA dg e, mb ri ); O rig ina und wenn man die früher gefundenen Werthe berücksichtigt olo g y( = W, (C0S*J — COS^e'), mp'i = y, (cos*s' — cos'e), Zo mp Entfernungen der Haiipteljcneu vom Punkte tiv e für die m Co mp ara und — m/).cos£^^o surs, ) eu m of \y"- eM us »ij>2.cos£=y' — sin^c' ibr ary of th -^ x, x' der Axeu A'j und A'^ vom Punkte in zu berechnen, welche die den Punkten q und ns in q',^ tretfen, die Brennebenen F^ und F[^ in den Brennpunkten Er m tM ay rL Es erübrigt noch, die Entfci-nungen FJiene // durch ist »• sin (s+j') und Un ive rsi ty, Die Entfernung des Mittelpunktes h von der auf i/ seidvrechten Geraden mt' s Bestimmung der Brennpunkte lür die Kj^ und ti\ gegebenen Construction: rva rd dann weiter nus der by t he Ha >h/„cos£ x= st.-^^ ms a;' = f'«'-—»i/icoss mt' 5^ • Dig itis ed Und ferner , kSubstituirt man hierin noch ằ(g 80 erhilit o man = /ô_(-j-cos(t-i-j'), m =— f'^ '^otg« £ rsi die Kntl'ernungen der Oegenebenen von den zusamnicnfallendcn Ilauptebenen, indem man mit Un ive und hieraus ty, Er ns tM 10 rL ibr ary Ahnlicddvcit der Dreiecke kn"f\, ^//'j Ha rva rd cos£ multiplicirt '"'**8'^ -' ,2 X' ' = f' ^(*^S^ ^ ed by t he X="f' werden können Im N[ und A'^ durch /.-/^ tn, Fig Die Gegenpiinkte f, und f^ 10' = — «: £ Räume ergeben sich wieder als Schnittpunkte von S' mit und/,/, und da diese Punkte als Specialfälle der entsprechenden Punkte für die Brechung erhalten werden, so gelten auch für die Entfernungen der £' verschiedene andere Formen gebracht Falle der Reflexion gehen die zusanniicnfallcnden Ilauptebenen der perspectivisch gelegenen den Geraden man in Dig itis welche Ausdrücke nnt Benützung der frülieren Gleichungen noch setzt; es Gegenpunkte von wird so: -j^, = = /; '^, cot gô £ m die Gleichungen 10, wenn imd Biflcxinn Ül'cr Jh-cchniig \\()i-in 'im y, V der Wertli aus ((lU'ndlivh dihuter StrahlfU^ijtilemc konmd siilistituircn /.n In (Ut Tliat tin(U't man auch an 185 Kugvlflächcii dirccte IJcrcclinitn.ij durcli dieselben Wertlic für diese Ent1'evnuni;on Die Gegcnchenen gelien durcli Nennt man und f,^ sowie dureli die aut BS' senkreeliten Geraden u und fj, v liindurch den Winkel dieser Ebenen mit der Einfalisuormalen, so ergibt sich mit Berücksichtigung der r, Beziehung-eu 'ö^ £ bio log ie sin' at h •/.= , ze ntr um mu=-— sin: or g/; ww w aus der Bctraciitiing des Dreieckes \\inu für diesen Winkel ='2o ^^S^, ity lib rar y tng^' cotg^ £ ww bi od iv -^2 sinEiAl-t-Scos^e htt p:/ /w /=-/ ers und hiemit ferner Nachdem im Vorhergehenden ge Lib r ary Relationen zwischen entsprechenden Punkten und Geraden durch Angabe der Brenn- und HauptHe rita die fraglichen Raunil)eziehungen eB iod ive rsi ty ebenen, sowie der zu ihnen senkrechten Axen vollkommen bestimmt sind, können sofort die aus der nearen Verwandtschaft fliessenden metrischen Relationen auf in möglichstem Anschluss an die Theorie axialer Strahlenbündel eines centrirten Systemes ausgewählt rom werden Räume gegeben, von denen wir aber conform mit den aufgefundenen nlo ad f Es seien irgend zwei collineare Beziehungen voraussetzen, die lD ow dass je zwei entsprechende ebene Systeme, Räume A' und ); O rig ina die den respectiven Brennebenen Hauptebenen mit II und H', die und F' senkrechten entsprechenden Geraden |j., jx', n, n' heissen, so Bestimmen wir auf den Axen zwei Punkte y( x' Co mp ara /., ^ n' so, ix' = IJ.'t:' p' dass , -/i' Tt' = TT |X kix, p.' als die positiven rJ eu wobei die Richtungen Richtungen der Axen genommen werden, so erhalten eM us ist, m of XK = p, Zo (A7i Ca mb ri den Haupt- und Brennebenen olo g dass also ist die ihre Schnitte mit A'' und F, zu /' MA p oder die Axen der mögen bezeichnet Ferner p' dg e, und F Die Brennebenen seien mit liegen, ähnlich sind Brennweiten mit tiv e l)arallel Hiebei sollen die Th Formeln angewendet werden sie colli- zusammen, wenn man die Räume so über einander ary legt, dass die Hauptebenen und die positiven ibr diese Bündel of th wir die Listing'schen Knotenpunkte, welche Mittelpunkte congruenter Strahlenbündel sind, und zwar fallen all- U irgend zwei entsprechende Gerade, ihre Haupt- und Brennpunkte, d h die Un ive rsi und ns Er U Ferner seien bestimmt werden sofort ty, gemeine Lage der Räume tM ay rL Axenriciitungen sich decken Auch die Töpler'schen Hauptebenen und Knotenpunkte können für die rd Schnitte mit den zugehưrigen Haupt- und Brennebenen h,f\ «, 5, «', h', hat man dann ihre Brennweiten p„ und pj, Für irgend bekanntlich Dig itis ed by t he Ha rva zwei entsprechende Punktepaare J>',f", ah a' ab aj Wir legen durch einen Punkt a auf Z7eine Ebene A durcli in den Punkten a ist l)tMiksihrifieii dann a^ parallel zur und a'^ der niaihtm n;Uurw Brennebene Vermöge der - C'l WXVIII F'\ Ä dritten der Bd .^.bliaiidl b' ' bf A parallel zur Brennebene F, die entsprechende und A' mögen die zugehörigen Axen A' und A'' Gleichungen 12 hat man vöu Nichtmitgliederu y Ebene schneiden ISO Lip pich /'' a^Y a^n «pfjL a'gx' k'x' a'^fx' a^K n' [>.' und hicnius die Projectionen von p„, «/?, p'a,a'h' auf die respeetiven Axen, daher auch schreiben Knotenpunkte einander gleich sind und Axen der Räume während a und wenn man sieh decken, so fallen die ^0 und der links stehende Quotient wird zu bezeichnen sein den Punkten Nach den «, «' .or g/; ww w v und x' wegen der Eigenschaft die aus xx' laufenden Seiten •/.' dieser und die zusammen, grossen verhält niss der Geraden Relationen hat man für dieses Verhältniss als das früher aus 12 gefolgerten B il d nlo ad f rom in • Th ü entsprechende, im so über einander legt, dass x und somit ist a' ü bio log ie Räume di(> Ebenen der Dreiecke und zu einander parallel werden Es «' Winkel bei so erhalten wir zwei Dreiecke, deren x', ihr Verbinden wir die Endpunkte von a mit «' ww bi od iv rt' die von «' mit und nennen die die Strecke a sein wird htt p:/ /w z, A Ebene A! gelegen ge Lib r Punkte welclie in der beginnende, P" Ebene Punlite a aus verzeichnen wir in der «'^* ity lib rar y «o"' Vom ah P" ers a^y 13 ary Inv obige Gleicburig kann man ze ntr um at p, «„p., p', «„/j.' He rita sind eB iod ive rsi ty Nim a^n n' ow « «' ^' ); O rig ina lD X.' man zu den entsprechenden Strecken %' U und auf U' übergeht MA oder, indem y.K dg e, ^_af^_p^ mb ri 14 a «'/ olo g y( Ca p„ Beziehung zum tiv e Zo In der Theorie axialer Strahlenbündel steht das Bildgrössenverhälfniss in einer einfachen Co mp ara Verhältniss der Neigungstangenten entsprechender Um in m durch a' trifft dass hh^^^h' h\ wegen der Eigenschaft dieser Ebenen Es so, //, h' a'h\ beziehungsweise mit a ary h' V eu einem Punkte beziehungsweise mit ibr und }i Gerade n und o' und «', die äusseren dann die Haupt- mögen nun Winkel der Dreiecke hah^ und die h' a' h\ bezeichnet, ferner die Quotienten ay rL bei die entsprechende us E' /;„ of th ebene Winkel hah^ und im Punkte treffe zu erhalten, ziehen wir aus a eine beliebige Gerade P, sie eM H welche die Hanptebene of analoge im gegenwärtigen allgemeineren Falle Strahlen; auch dieser Beziehung entspricht eine h'h' a'h' Un ive rsi ty, Er ns tM hh ah' genannt werden die Tangenten der Winkel a und Basis n und n', wie solches bereits mehrfach rva rd «' für die -'^^Tnga, ah -^=«Tnga' an Dig itis ed by t he Ha geschehen, und hiefür die Bezeichnung gewählt werden Nach der C W früher aus 12 gezogenen Gleichung 13 hat "'Tngw' ah "Tng« alh' man dann p„ «„x p'a a\y!^ Siehe z.B die Theorie goniometrisehini und longimctrischen Qnatennoaeii von K Kreidel 1876 W Unverzagt Wiesbaden, bei : und Reflexion unendlich dünner tjbfv Brc'chuiiq hieraus 187 Strahlensysterne an Kugc/ßnche^i 14 weaen &>"'Tngg' "Tnga ^ _ af^ _ p: ^ a'f und endlich die Beziehung: « "Tngci -I- p'„ «' "'Tngu' p^ = o und mau für dasselbe die zu 14 man «^^p;,^ "'Tugo'.^'Tng&' ^p^ af »Tnga.»Tng5 p'u'b'f ers p.b'f" a'.ß' und bio log ie stellt or g/; ww w 15 analogen Gleichungen auf, so hat ww bi od iv dritten der Gleichungen 12 ist aber ab ge Lib r ary af htt p:/ /w wegen der U zweites Paar entsprechender Punkte auf P^und ity lib rar y Ist hh' ein ze ntr um at 16 He rita somit folgen die Relationen eB iod ive rsi ty ab ^b 17 = Wir wollen noch nlo ad f rom Th ab.p,, "Tnga^Tngb-i-a' b'.p'^ ^Tngre'f'Tngt' einige Specialisirungen hervorheben, die sich durch ); O rig ina lD ow meln auf die Räume N^ N[ und A^ ergeben Zunächst erhalten wir aus zusammenfallen lassen und für bb' den Doppelpunkt?» nehmen, ü, den Einfallspunkt, U' mit in S und *S'' welchem der auch mit seinem zweiten Bildpunkt zusammenfällt, Beziehungen MA als und seiner Bildpunkte a[ «j von m., und zwar mit mb ri eines Objectpunktes « und G olo g y( der gefundenen For- indem wir Ca Benützung der Gleichungen 12, dg e, Objectpunkt sowohl mit seinem ersten zwischen den Entfernungen d h Anwendung V \' ina Zo _J_ tiv e ma\