Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 34-2-0021-0062

Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 21 DIE mmm iinHOM m M mk iKsoLEitHid JP( Du ü ZAHLREICHEN BEOBACHTUNGEN BEI VOK D« DIENGER, J IN KARLSRIHF VORGELEGT im Folgenden IN DER SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICH KN soll die von Laplace und aufgestellte Theorie verallgemeinert soll in dem Kapitel CI.ASSK (§§ und Bedeutung genau festgesetzt werden in ihrer eine Reihe allgemeiner Sätze über Es 9) sind, behufs OCTOKER in in darauf berufen, dass für die Fọlle ô Đ = gelangt, und n ist =2 (§§ ihrem Werthe hier nicht bereits näher Laplace nưthige Allgemeinheit festzusetzen war; andererseits aber gibt § erưrtert — Dieselbe 6) für die Anwenin § räthlich erschien Zunächst kann man sich dasselbe gethan, hier also nur die den eigentlichen Grund der ganzen An- — Übereinstimmung mit der Methode der kleinsten Quadrate Selbstverständlich genügt der in den §§ und geführte Beweis, gleichviel, wie der Gleichung (70) gelangte Naiur der Saciie, und alle Dass die Grösse k des Wege, die man § endgiltig nicht bestimmbar man ist, wobei jedoch die dortige u^ter V geführte Untersuchung von Bedeutung der Zweck zur liegt Annahme wohl in der behufs Bestinimun?- derselben aus den gemachten Beobachtungen eingeschlagen hat, können zu keinem klaren Ziele führen Anders verhält sich die Sache Da 1874 Durehfühning der nöthigen Entwicklungen, Umformungen nothwendig geworden, deren Aufnahme Die Art, wie mau zu der Annahme nahme an seiner Theorie analytique des probabilites (1812) dann mit der Methode der kleinsten Quadrate verglichen und dadurch dung klar gelegt werden AM freilich in § y, sein dürfte der folgenden Abhandlung ein rein theoretischer war, so musste begreiflieh jede Anwen- dung vermieden werden Ebenso ist aber auch das Theoretische auf das Unerlässliche beschränkt, und sind Untersuchungen, die sich an das Gegebene naturgemọss anschliessen lassen wỹrden, hier nicht eingefỹhrt worden Đ I Es seien die Werthe der /> 1- Grössen ?;:^c„)^ ist +i^!:' also C„Y (95) , da und wo A den Werth Die (94) wird von '^ffr4 für die aus (78) gezogenen u bedeutet jetzt -l-oo ''''' ;-i^""™ ^'-''-'-.,, *.' - oo und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein angenommenes System der Fehler dass die um die ^ corrigirten Werthe u, wie sie t das richtige (d h sei aus (78) sich fanden, die richtigen Werthe der u des § liefern) Das setzt, Integral des sodann Nenners hat genau die Form des Integrals (33) , wenn man in letzterem die ? = Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 56 Dicn(jer J _ /,2 /'")_„('•) •'^'- r,—t wird das dortige Diiuii i^^k^-^^ffrpY'n alsd 7' (p3)^= ^ in Ä^ und das Integral nach folg'licli 4Ä« I § 4, so dass endlich dl:, (2^1/ ein gewisses die Wahrscheinlichkeit darstellt, Es in ist wenn man C System der das wahre System der Felder C sei in // (96) und ^ in der durch (64) bezeichneten Weise zusammenhängen Wahrscheinlichkeit, der Werth gen Fehler (96) (/;:„ ;r)" sind, eiiksrhrifleu der nu-ithein.-Datut w Cl XXXIV lij Abhaudl Vüii NichlDiitgliederu.- dz , ist Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 58 Dienger J S* =M =— du Yü' ' «< ds , j— n oo s'-" e ' Js ^u z =^ , e-« '* c?M 12 2 1' so dass endlich \lNA._„_, die Wahrscheinlichkeit ist, ?, ?„ 7,vvischen und 1 -XJ:^^''^'•' ^ + -+''n O' dh dt^ dt„ e e is—n pf*"** 2'-Y"" — oo _-^- ;^_ (98) I und die gewählten h h-c«, so erhält man ? seien die richtigen Werthe als Wahrscheinlichkeit, der Integrirt man hier gewählte Werth von // nach sei der wahre A_ Tis (99) Der Werth von d h., // , für wenn wir denselben den die grösste Wahrscheinlichkeit besteht, findet sich aus h^ nennen, so ist Ä» Ä = II Setzen wir in (99) (100) 2{s-ny « nunmehr h^fi^-i-r, so der Fehler, den r ist man begeht, wenn man /„ für // nimmt Dadurch wird aber (99) zu MAo+T)" e l und gibt die Wahrscheinlichkeit an der Fehler r liege zwischen — -p und t sei der , -\-p dr , ' wahre Werth des Fehlers Somit ist die Wahrscheinlichkeit, gleich A +? ^A'-"-* _ (101) -.r(l^_|) -P (A.+0'-" Setzen wir - ^« " ' ""^' 2« so ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, der Fehler r liege zwischen -Cio-P) ( ô w II -ằ-'' ' p: e-"' du ) C'o+P) Diesen Ausdruck kfinnen wir hier nicht weiter behandeln setzen In (lol) können wir wegen (100) übrigens n rr — — —" p p ; , Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Die Laplaceache Methode der Ausgleichung von Beobachtungsfehlern etc 59 und erhalten ^+p ( V »-") rfr (y^j+r)-" V" Setzen wir noch T so = h^u, diese Grưsse ist , « p n (*— «) ^,^^,,_,_1 oder endlich, es ist (1 J -km)— " rfw die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler in k^ zwischen —n— liege — * -f-p ±h^p {s-n) '-"-3 — 2~2 III du [- (1_Hm)»-» g_,;_H Wir denken uns nun einmal s—n sehr (101') J Dann gross Grösse unter dera Integralzeichen die Potenzen von a ist sicher p sehr klein, so dass wir in der welche über die zweite gehen, vernachlässigen , können Dadurch wird (1 —n -t-M)-» g —n $ —n — = e~ cC-") ' («+«) ^(._„) („_ I e- ('"") "' „,) so dass obiges Integral zu «—II »— n— — 2—i — (s n « I -i-p c- (—")»'