Đề thi giải tích 1 K53

ĐH QUỐC GIA HN ĐH CƠNG NGHỆ Đề thi mơn: GIẢI TÍCH I Lớp K53 CQ-CB, CC, CD, Đ Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề (Đề số 1) Câu (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a) | sin x − sin y| ≤ |x − y|; b) py p−1(x − y) ≤ xp − y p ≤ pxp−1 (x − y), < y < x; c) | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|; d) a a−b a−b < ln < , < b < a a b b Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: lim x→±∞ lim x→0 √ √ x4 − 2x3 + 5x + − x2 + 3x + ln x x Câu (3 điểm) Bằng cách chuyển sang tọa độ cực, tính diện tích miền phẳng giới hạn đường (x2 + y )2 = 2a2 xy (lemnixcat) Tính độ dài đường cong axtroit x = a cos3 t, y = a sin3 t Câu (1 điểm) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: +∞ xm dx (n ≥ 0, m có dấu tùy ý) + xn Câu (2 điểm) Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa x tìm miền hội tụ chuỗi đó: f (x) = ln(1 + 3x + 2x2 ) Hãy tính f (100) (0)  0, Khai triển hàm số f (x) = −0, < x < 0, 0, < x < thành chuỗi Fourier chứa hàm cosin ĐH QUỐC GIA HN ĐH CƠNG NGHỆ Đề thi mơn: GIẢI TÍCH I Lớp K53 CQ-CB, CC, CD, Đ Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề (Đề số 2) Câu (2 điểm) Tìm f ′ (a), f (x) = (x − a)ϕ(x), hàm ϕ(x) liên tục x = a Chứng tỏ hàm f (x) = |x − a|ϕ(x), ϕ(x) hàm liên tục ϕ(a) = 0, khơng có đạo hàm điểm a Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: sh2 x x→0 ln(ch 3x) lim lim x 1+ln x k x→+0 Câu (3 điểm) Bằng cách đưa phương trình dạng tham số, tính diện tích giới hạn đường x2/3 + y 2/3 = a2/3 (axtroit) Tính độ dài đường cong ρ = a(1 + cos ϕ) Câu (1 điểm) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng: +∞ arctg ax dx (a = 0) xn Câu (2 điểm) Khai triển hàm số sau thành chuỗi lũy thừa tìm miền hội tụ nó: f (x) = (1 − x)2 (Gợi ý: khai triển theo nguyên hàm f (x))  0, Khai triển hàm số f (x) = −0, < x < 0, 0, < x < thành chuỗi Fourier chứa hàm sin Đáp án Đề số Câu (2 điểm) Theo công thức Lagrange: a) sin x − sin y = (x − y) cos ξ ⇒ | sin x − sin y| = | cos ξ||x − y| ≤ |x − y|; b) xp − y p = pξ p−1(x − y), y < ξ < x, ⇒ (x − y)py p−1 ≤ xp − y p ≤ (x − y)pxp−1; (a − b) ⇒ | arctg a − arctg b| ≤ |a − b|; + ξ2 c) arctg a − arctg b = ξ d) ln a − ln b = (a − b), b < ξ < a, ⇒ a−b a a−b < ln < a b b Câu (2 điểm) Đặt y = 1/x, ta có: lim x→±∞ = lim y→±0 = lim x4 − 2x3 + 5x + − − + +1− y4 y3 y − 2y + 5y + y − |y| x2 + 3x + + +5 y2 y + 3y + 5y − + (3y + 5y 2) + (y + 5y − 2y) − + lim |y| |y| (y + 5y − 2y) − (3y + 5y ) = lim + lim = L |y| |y| = lim = −2 ; 2 Khi x → −∞, y → − 0, ⇒ L = + = Khi x → +∞, y → + 0, ⇒ L = − − Dạng ∞0 lim x→0 ln x x t=1/x lim = elim x ln(ln x ) = et→∞ ln(ln t) t = e0 = (Có thể dùng L’Hospital) Câu (3 điểm) Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ta phương trình lemnixcat dạng: r2 = a2 sin 2ϕ, đối xứng qua đường r sin ϕ = r cos ϕ qua gốc tọa độ Do đó: a2 S = π sin 2ϕdϕ = a2 cos 2ϕ π = a2 Đường cong đối xứng qua trục tọa độ, ta có: π L=4 x′2 + y ′2dt = xn−m 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt = 6a Câu (1 điểm) Khi x → +0, o π xm = o + xn x−m , x → +∞, xm = + xn Vì tích phân hội tụ −m < 1, n−m > 1, tức m > −1, n − m > Câu (2 điểm) ln(1 + 3x + 2x2 ) = ln(1 + x) + ln(1 + 2x) = +∞ (−1)n−1 n=1 +∞ (−1)n−1 (1 + 2n ) = n=1 +∞ f (100) (−1)n−1 (x) = n=100 xn +∞ 2n xn + (−1)n−1 = n n=1 n 1 xn ; − 1, tức 1