Analysis 2016 bồi dưỡng học sinh giỏi

Chương Dãy số Chuỗi số Trong toàn chương ta làm việc trường số thực R 1.1 1.1.1 Dãy số Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Xét số thực a ∈ R Lân cận bán kính ε (hay ε-lân cận a tập hợp điểm x ∈ R cho |x − a| < ε , ε > Ta ký hiệu lân cận Vε (a) (hay đơn giản V (a) ) Vε (a) := {x ∈ R : |x − a| < ε} Định nghĩa 1.1.2 Cho tập hợp A ⊂ R Cận A định nghĩa sau m := inf(A) : m x , ∀x ∈ A ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < m + ε Cận A định nghĩa sau M := sup(A) : M x , ∀x ∈ A ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > M − ε Nhận xét Cận (tương ứng cận đúng) tập hợp khơng nằm tập hợp Khi inf(A) ∈ A min(A) (tương ứng sup(A) ∈ A max(A)) Chương Dãy số Chuỗi số Định nghĩa 1.1.3 Hàm f : N → R gọi dãy số Các giá trị f (n) gọi phần tử dãy Ta ký hiệu xn := f (n) dãy {xn } gồm phần tử x1 , x2 , , xn , Định nghĩa 1.1.4 Số a ∈ R gọi giới hạn dãy số {xn } n → ∞ với lân cận đủ nhỏ a , tồn thứ tự N (phụ thuộc vào lân cận) cho kể từ thứ tự trở phần tử dãy rơi vào lân cận nói Nói cách khác, ∀ε > 0, ∃N (ε) : |xn − a| < ε, ∀n N Ký hiệu lim xn = a n→∞ Dãy {xn } có giới hạn gọi dãy hội tụ, ngược lại gọi dãy phân kỳ Ví dụ 1.1.1 +) Xét dãy {xn = 1 } Ta thấy lim = , n→∞ n n 1 −0 0, a = n→∞ √ √ n Ta thấy | a − 1| < ε ⇔ − ε < n a < + ε Ví dụ 1.1.2 Xét dãy {xn = Vì ε > nhỏ tuỳ ý, ta coi − ε > Khi bất đẳng thức ln(1 − ε) < Đến có khả năng: ln a < ln(1 + ε) n (∗) 1.1 Dãy số +) Nếu < a < ln a < , ln(1 − ε) < , ln(1 + ε) > , (∗) có vế phải hiển nhiên ∀n ∈ N vế trái tương đương với n> ln a ln(1 − ε) ln a + (∗) ∀n N1 ln(1 − ε) +) Nếu a > ln a > , ln(1 − ε) < , ln(1 + ε) > , (∗) có nên cần chọn N1 = vế trái hiển nhiên ∀n ∈ N vế phải tương đương với n> ln a ln(1 + ε) ln a + thì (∗) ∀n N2 ln(1 + ε) Chọn N = max{N1 , N2 } (∗) với a > 0, a = ∀n N nên cần chọn N2 = Ví dụ 1.1.3 Với < |q| < , ta chứng tỏ lim q n = n→∞ Ta có |q| > , nên đặt |q| = + p (p > 0) Khi n(n − 1) = (1 + p)n = + np + p + · · · > np n |q| dẫn tới |q|n < Từ np < ε |q|n < ε , nên ta cần chọn N = [ pε ]+1 √ Ví dụ 1.1.4 Ta chứng minh lim n n = n→∞ √ Đặt xn = n n − , ta chứng tỏ lim xn = Ta có Thế mà np np pε n→∞ √ n(n − 1) n(n − 1) n = ( n n)n = (1 + xn )n = + nxn + xn + · · · > xn 2 2 Từ n−1 < ε2 xn < ε n−1 < ε2 ⇔ n > ε22 + , nên cần chọn n−1 dẫn tới x2n < Thế mà N = [ ε22 + 1] + an =0 n→∞ n! Giả sử số nguyên dương M > |a| Khi với n M + ta có Ví dụ 1.1.5 Cho trước số a ∈ R , ta chứng tỏ lim |a|M an |a| |a| |a| = · · ··· n! M! M + M + n |a|M |a| · M! n Chương Dãy số Chuỗi số Từ |a|M M! · |a| < ε n an n! < ε Thế mà |a|M M! · |a| n |a|M +1 , M !ε M +1 nên ta cần chọn N = max{M + 1, [ |a|M !ε ] + 1} 1.1.2 Các tính chất Định nghĩa 1.1.5 Dãy {xn } gọi bị chặn (hoặc trên) tồn số m (hoặc M ) cho xn m (hoặc xn M ) , ∀n ∈ N Dãy {xn } gọi bị chặn đồng thời bị chặn bị chặn trên, tức m xn M , ∀n ∈ N Nhận xét Thực bất đẳng thức định nghĩa cần cho dãy {xn } thứ tự N (giải thích?) Đặt K = max{|m|, |M |} từ bất đẳng thức m |xn | xn M ta suy K (giải thích?), nên định nghĩa dãy {xn } bị chặn nghĩa tồn số K > cho |xn | K , ∀n ∈ N Mệnh đề 1.1.1 Dãy {xn } hội tụ bị chặn Chứng minh Giả sử lim xn = a Lấy ε = , tồn thứ tự N cho n→∞ ∀n N |xn − a| < ⇔ a − < xn < a + Đặt m = min{x1 , , xN −1 , a − 1} M = max{x1 , , xN −1 , a + 1} , ta m xn M , ∀n ∈ N Mệnh đề 1.1.2 Dãy {xn } hội tụ giới hạn Chứng minh Giả sử lim xn = a1 lim xn = a2 mà a1 = a2 , chẳng n→∞ n→∞ hạn a1 < a2 Đặt ε = 13 (a2 − a1 ) Khi tồn thứ tự N1 N2 cho |xn − a1 | < ε , ∀n N1 |xn − a2 | < ε , ∀n Lấy N = max{N1 , N2 } ∀n N2 N ta có xn < a1 + ε < a2 − ε < xn , điều vơ lý Vậy phải có a1 = a2 , hay giới hạn dãy hội tụ 1.1 Dãy số ∞ Định nghĩa 1.1.6 Cho dãy {xn }∞ n=1 Dãy {xnk }k=1 , k ∈ N gọi dãy dãy {xn } Mệnh đề 1.1.3 Dãy {xn } hội tụ dãy hội tụ có giới hạn với dãy cho Chứng minh đơn giản, dành cho bạn đọc xem tập Ví dụ 1.1.6 Dãy {xn = sin n} bị chăn, −1 sin n , ∀n ∈ N Tuy nhiên dãy không hội tụ (phân kỳ), có dãy tiến tới giới hạn khác {sin(kπ)}∞ , sin(kπ) → (k → ∞) k=1 π π {sin(2k + 1) }∞ , sin(2k + 1) → (k → ∞) k=1 2 Ví dụ 1.1.7 Cho dãy {xn } có dãy {x2n }, {x2n+1 }, {x3n } hội tụ Ta chứng tỏ dãy {xn } hội tụ Thật vậy, đặt lim x2n = l1 , lim x2n+1 = l2 , lim x3n = l3 n→∞ n→∞ n→∞ Vì {x6n } dãy dãy {x2n }, {x3n } nên theo mệnh đề (1.1.3) ta có lim x6n = lim x2n = lim x3n , dẫn tới l1 = l3 n→∞ n→∞ n→∞ Vì {x6n+3 } dãy dãy {x2n+1 }, {x3n } nên theo mệnh đề (1.1.3) ta có lim x6n+3 = lim x2n+1 = lim x3n , dẫn tới l2 = l3 n→∞ n→∞ n→∞ Do suy lim x2n = lim x2n+1 := l n→∞ n→∞ Khi ∀ε > 0, ∃n1 để |x2n − l| < ε, ∀n |x2n+1 − l| < ε, ∀n n1 ∀ε > 0, ∃n2 để n2 Lấy n0 = max{2n1 , 2n2 + 1} ta dễ dàng (giải thích?) suy |xn − l| < ε, ∀n n0 , lim xn = l n→∞ Mệnh đề 1.1.4 Cho dãy hội tụ {xn }, {yn } lim xn = a, lim yn = b n→∞ n→∞ i) Khi dãy {xn ± yn }, {xn yn } hội tụ lim (xn ± yn ) = a ± b, n→∞ lim (xn yn ) = ab n→∞ xn ii) Nếu từ thứ tự n0 trở yn = b = dãy { } hội tụ yn xn a lim = n→∞ yn b Chương Dãy số Chuỗi số Chứng minh Ta chứng minh kết luận sau Các kết luận khác xem tập, dành cho bạn đọc Không giảm tổng quát, coi yn = 0, ∀n ∈ N (giải thích?) Ta thấy xn a xn b − y n a |xn (b − yn ) − yn (a − xn )| − = = yn b yn b |yn b| |xn ||yn − b| + |yn ||xn − a| |xn ||yn − b| |xn − a| = + |yn ||b| |yn ||b| |b| Theo định nghĩa giới hạn, ∀ε > 0, ∃N1 (ε) cho |xn −a| < ε|b| , ∀n N2 , |xn − a| ε dẫn tới < , ∀n N1 |b| Mặt khác, dãy {xn } hội tụ nên bị chặn, tức tồn số K > cho |xn | K , ∀n ∈ N εb |b| , } , Vẫn theo định nghĩa giới hạn, ∀ε > ta lấy ε = min{ 4K εb2 4K ∃N2 (ε ) = N2 (ε) cho |yn − b| < ε |b| − |yn | |yn − b| < |b| , nên |yn | > |b| |yn − b| < ε |b| , suy Từ ta K εb |xn ||yn − b| ε < |b| 4K = , ∀n |yn ||b| |b| N2 Bây lấy N = max{N1 , N2 } ∀ε > 0, ∀n xn a − yn b N ta có |xn ||yn − b| |xn − a| ε ε + < + =ε |yn ||b| |b| 2 Điều hoàn thành chứng minh Hệ 1.1.1 Với số k ∈ R dãy {kxn } hội tụ lim (kxn ) = ka n→∞ Bạn đọc tự giải thích? Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy hội tụ {xn }, {yn } lim xn = a, lim yn = b n→∞ i) Nếu từ thứ tự n0 trở xn yn a b ii) Nếu a < b từ thứ tự N trở xn < yn n→∞ 1.1 Dãy số Chứng minh Ta chứng minh ii) Lấy c : a < c < b Chọn ε1 = c − a > ε2 = b − c > Theo định nghĩa giới hạn, ∃N1 (ε1 ) ∃N2 (ε2 ) cho |xn − a| < ε , ∀n N1 |yn − a| < ε , ∀n N2 Lúc xn − a < ε1 = c − a ⇒ xn < c , ∀n N1 yn − b > −ε2 = c − b ⇒ yn > c , ∀n N2 Lấy N = max{N1 , N2 } ta xn < c < yn , ∀n N Bạn đọc tự chứng minh kết luận i) Hệ 1.1.2 Cho dãy hội tụ {xn }, {yn } lim xn = a, lim yn = b n→∞ i) Nếu từ thứ tự n0 trở xn < yn a n→∞ b ii) Nếu Nếu từ thứ tự n0 trở xn < b (hoặc xn b) a b Bạn đọc tự giải thích? Mệnh đề 1.1.6 (Định lý "kẹp") Cho dãy {xn }, {yn }, {zn } Nếu từ thứ tự n0 trở xn yn lim yn = a zn lim xn = lim zn = a , n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh Theo định nghĩa giới hạn, ∀ε > tồn N1 (ε) N2 (ε) cho |xn − a| < ε , ∀n N1 |yn − a| < ε , ∀n max{N1 , N2 } ta suy ∀n N a − ε < xn yn N2 Lấy N = zn < a + ε ⇒ |yn − a| < ε Điều chứng tỏ lim yn = a n→∞ Ví dụ 1.1.8 Với định lý "kẹp", ta trở lại ví dụ (1.1.4) lim n→∞ √ n n=1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trung bình cộng trung bình √ nhân cho số dương a1 = a2 = n, a3 = a4 = = an = ta có √ √ √ n+n−2 2 n n n hay √ + − n n n n √ 2 2 n Suy n − √ − < √ Thế mà lim √ = , nên theo n→∞ n n n n định lý "kẹp" ta √ √ lim n n − = lim n n = n→∞ n→∞ Chương Dãy số Chuỗi số 1.1.3 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } gọi dãy Cauchy(1) (hay dãy bản) ∀ε > nhỏ tùy ý cho trước, ∃ thứ tự N (ε) cho |xm − xn | < ε , ∀m, n N Định lí 1.1.1 Dãy {xn } hội tụ dãy Cauchy Chứng minh +) Giả sử dãy {xn } hội tụ lim xn = a Khi ∀ε > n→∞ 0, ∃N1 (ε) ∃N2 (ε) cho ε |xm − a| < , ∀m N1 Lấy N = max{N1 , N2 } ta |xn − a| < ε , ∀n N2 |xm − xn | = |xm − a + a − xn | |xm − a| + |xm − a| < ε ε + = ε , ∀m, n > N 2 hay {xn } dãy Cauchy +) Giả sử {xn } dãy Cauchy Khi ∀ε > 0, ∃N (ε) cho ε |xm − xn | < , ∀m, n N Ta lấy m = N |xn − xN | < 3ε , ∀n N Tức ε ε xN − < xn < xN + , ∀n N 3 Đặt an = inf xk , bn = sup xk Từ định nghĩa inf, sup bất đẳng k n thức trên, ta có xN − có bn − an 2ε Rõ ràng an k n ε an xn bn xN + 3ε , ∀n N Từ ta n· = n+1 n+2 2n 2n nên {xn } dãy Cauchy, dãy khơng hội tụ 1.1.4 Dãy đơn điệu Định nghĩa 1.1.8 Dãy {xn } gọi đơn điệu giảm (tương ứng đơn điệu tăng) từ thứ tự n0 trở xn+1 < xn (tương ứng xn+1 > xn ) Dãy {xn } gọi đơn điệu không tăng (tương ứng đơn điệu không giảm) từ thứ tự n0 trở xn+1 xn (tương ứng xn+1 xn ) Mệnh đề 1.1.7 Dãy đơn điệu giảm (hoặc không tăng) bị chặn hội tụ Dãy đơn điệu tăng (hoặc khơng giảm) bị chặn hội tụ Chứng minh Ta chứng minh cho dãy tăng (hoặc không giảm) bị chặn Đặt s = sup xn , ∀ε > tồn thứ tự N để s − ε < xN xn s < s + ε , ∀n N Suy |xn − s| < ε , ∀n N Vậy lim xn = s n→∞ Với dãy giảm (hoặc khơng tăng) ta có lim xn = inf xn (giải thích?) n→∞ Ví dụ 1.1.10 Cho {xn } dãy bị chặn thoả mãn điều kiện xn+1 xn − n , n ∈ N Ta chứng tỏ dãy đơn điệu hội tụ Đặt yn = xn − n−1 Vì {xn } bị chặn, giả sử m xn M , n ∈ N Do < n−1 < , nên m − < yn < M , n ∈ N Tức {yn } bị chặn Lại có 1 yn+1 − yn = xn+1 − n − xn − n−1 = xn+1 − xn − n 2 Như {yn } đơn điệu không giảm Vậy {yn } hội tụ Dẫn đến {xn } hội tụ, hiển nhiên lim xn = lim yn n→∞ n→∞ Ví dụ 1.1.11 Cho dãy {an } xác định truy hồi a1 = , an = 3an−1 − với n 10 Chương Dãy số Chuỗi số Ta chứng tỏ dãy đơn điệu hội tụ Bằng quy nạp ta chứng minh an+1 − an = √ an < , n ∈ N Khi 3an − − a2n (2 − an )(an − 1) 3an − − an = √ = √ >0 3an − + an 3an − + an nên dãy {an } tăng thực Suy dãy {an } hội tụ Đặt g = lim an n→∞ √ √ Do an = 3an−1 − ta có g = 3g − , suy g = Ví dụ 1.1.12 (Định lý Stolz (2) ) Cho dãy {un } {vn } thỏa mãn i) {vn } dãy tăng lim = +∞ n→∞ un+1 − un =g ii) lim n→∞ vn+1 − un Khi lim =g n→∞ Chứng minh Theo định nghĩa giới hạn, ∀ε > tồn thứ tự N (ε) cho ∀n N un+1 − un −g N cho vk+1 > (do lim = +∞) ta có n→∞ (g − ε)(vi+1 − vi ) < ui+1 − ui < (g + ε)(vi+1 − vi ) , (∀i = N, N + 1, , k) Lấy tổng bất đẳng thức theo i = N ÷ k ta ⇔ (g − ε)(vk+1 − vN ) < uk+1 − uN < (g + ε)(vk+1 − vN ) vN uk+1 uN vN (g − ε) − < − < (g + ε) − vk+1 vk+1 vk+1 vk+1 Cho k → ∞ lim vk+1 = +∞ ta có k→∞ uk+1 , n dn bn = an bn n=1 n=1 Khi dãy {dn : n chặn (0 < dn 1} có giới hạn hữu hạn C, nên dãy bị L, ∀n 1) Theo bổ đề (1.2.1) suy chuỗi (A) hội tụ bn Giả sử C > , lim = < +∞ Theo điều vừa chứng n→∞ an C minh ta suy chuỗi (A) hội tụ chuỗi (B) hội tụ, tức chuỗi (B) phân kỳ chuỗi (A) phân kỳ Ta phần lại mệnh đề Ví dụ 1.2.8 Cho α > , xét chuỗi ∞ √ ( n2 + − n)α n=1 Ta có (giải thích?) ∞ √ 1 ( n2 + − n)α ∼ α α (n → ∞) , n n=1 ∞ √ ( n2 + − n)α n=1 nα ∼ (n → ∞) 2α Đến chuỗi điều hoà tổng quát xét (xem ví dụ (1.2.4)), ta suy chuỗi cho phân kỳ α hội tụ α > Ví dụ 1.2.9 Chứng minh γn := + 1 + + · · · + − ln n → γ (n → ∞) , n γ ≈ 0, 577215 · · · số Euler Một điều thú vị từ trước đến người ta chưa biết γ có phải số vơ tỷ hay khơng Thật vậy, ta có γn = + n − ln + − ln + ··· + − ln n n−1 1.2 Chuỗi số 21 tổng riêng chuỗi ∞ n − ln n n−1 1+ n=2 Thế mà ta thấy (giải thích?) n − ln ∼ (n → ∞) n n−1 2n ∞ Mệnh đề 1.2.6 Cho chuỗi (A) = ∞ an , (B) = n=1 an+1 an an > , bn > , bn thoả mãn n=1 bn+1 , ∀n bn Khi từ hội tụ chuỗi (B) suy hội tụ chuỗi (A) Chứng minh Giả sử chuỗi (B) hội tụ Ta đặt an > , ∀n bn dn = Do an+1 bn+1 an+1 an nên dn+1 = = dn an bn bn+1 bn Như dãy {dn : n 1} bị chặn < dn dn+1 d1 , ∀n d1 Khi theo bổ đề (1.2.1) chuỗi ∞ ∞ dn bn = n=1 an n=1 hội tụ Ví dụ 1.2.10 Chứng minh hội tụ chuỗi ∞ n=1 Thật vậy, với n nn−2 en n! ta có an+1 (n + 1)n−1 en n! 1 = n−2 n+1 = 1+ an n e (n + 1)! e n n < n+1 = (n+1)2 n2 = n−2 bn+1 , với bn = bn n 22 Chương Dãy số Chuỗi số 1.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số • Tiêu chuẩn d’Alembert(4) ∞ Định lí 1.2.3 (Tiêu chuẩn thứ nhất) Cho chuỗi (A) = an với n=1 1) an > , ∀n 2) ∃ , < , ∃n0 ∈ N : Khi chuỗi (A) hội tụ Nếu với điều kiện 1) ) ∃n0 ∈ N : (A) phân kỳ Chứng minh Với điều kiện 2) ∀n an+1 an ∞ Do n = an+1 an , ∀n n0 n0 , chuỗi n0 ta có bn+1 , bn = bn n n hội tụ, nên theo mệnh đề (1.2.6) chuỗi (A) hội tụ n=1 Còn với điều kiện ) ta có an+1 an , ∀n ∞ bn = n=1 n+1 = an+1 an an > , ∀n n0 , nên n → ∞ Do trường hợp chuỗi (A) phân kỳ ∞ an thoả mãn Định lí 1.2.4 (Tiêu chuẩn thứ hai) Cho chuỗi (A) = n=1 1) an > , ∀n an+1 2) ∃ lim =r , n→∞ an r +∞ Khi chuỗi (A) hội tụ r < , phân kỳ r > Chứng minh Là hệ định lý (1.2.3) (giải thích?) (4) Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), nhà bác học người Pháp 1.2 Chuỗi số 23 x2 x3 xn + + ··· + + ··· , x 2! 3! n! an+1 xn+1 n! x = n Ta có = → (n → ∞) an x (n + 1)! n+1 Do theo định lý (1.2.4) chuỗi cho hội tụ Ví dụ 1.2.11 Xét chuỗi + x + • Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Định lí 1.2.5 (Tiêu chuẩn thứ nhất) Cho chuỗi (A) = an với n=1 1) an , ∀n 2) ∃ , < , ∃n0 ∈ N : √ n an Khi chuỗi (A) hội tụ Nếu với điều kiện 1) ) , ∀n n0 √ n an với vô hạn n Thế mà chuỗi số n , chuỗi (A) phân kỳ Chứng minh Với điều kiện 2) ∀n ∞ n n0 ta có an hội tụ, nên theo mệnh đề (1.2.4) (dấu hiệu so sánh) ta suy chuỗi n=1 (A) hội tụ Còn với điều kiện ) ta có an n , nên (giải thích?) an với vơ hạn số n → ∞ Do trường hợp chuỗi (A) phân kỳ ∞ Định lí 1.2.6 (Tiêu chuẩn thứ hai) Cho chuỗi (A) = an thoả mãn n=1 1) 2) an , ∀n √ ∃ lim n an = r , n→∞ r +∞ Khi chuỗi (A) hội tụ r < , phân kỳ r > Chứng minh Đây hệ định lý (1.2.5) (giải thích?) ∞ nn 2n Ví dụ 1.2.12 Xét chuỗi (n + 1)n2 n=1 n √ n → < (n → ∞) Ta thấy n an = n+1 e Do theo định lý (1.2.6) chuỗi cho hội tụ 24 Chương Dãy số Chuỗi số 1.3 Bài tập Chứng tỏ dãy {an }∞ n=1 , với an = n 2n , n > , giảm thực tìm giới hạn Chứng minh hội tụ dãy: √ 1 (a) an = −2 n + √ + √ + · · · + √ , n √ 1 (b) bn = −2 n + + √ + √ + · · · + √ n Giả sử dãy) {an }∞ n=1 thoả mãn điều kiện < an < , an (1 − an+1 ) > for (với) n ∈ N Khẳng định hội tụ dãy tìm giới hạn Khẳng định hội tụ tìm giới hạn dãy {an }∞ n=1 cho a1 = , an+1 = √ + an với n Cho dãy số {xn }∞ n=1 xác định x1 = x2 = xn , n∈N xn+2 = x2n+1 − Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Chứng tỏ dãy {an }∞ n=1 cho a1 = , a = 1 , an+1 = (1 + an + a3n−1 ) với n > , hội tụ xác định giới hạn Cho dãy số {xn }∞ n=1 xác định x1 = n+2 xn = (xn−1 + 2) , n 3n Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn 1.3 Bài tập 25 Cho dãy số {xn }∞ n=1 xác định sau: x1 ∈ (1, 2) x2n , ∀n Chứng minh dãy hội tụ tìm lim xn ? xn+1 = + xn − n→∞ Khảo sát tính đơn điệu dãy {an }∞ n=1 cho an = n! , n (2n + 1)!! 1, xác định giới hạn 10 Xác định hội tụ hay phân kỳ dãy {an }∞ n=1 cho an = (2n)!! , n (2n + 1)!! 11 Chứng minh hội tụ dãy 1 + + ··· + , n ∈ N , 2 n 1 (b) an = + + + · · · + n , n ∈ N n (a) an = + 12 Chứng minh hội tụ dãy {an }∞ n=1 cho an = n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + ··· + (2n − 1)2n , n∈N 13 Với p ∈ N , a > a1 > , xác định dãy {an }∞ n=1 sau an+1 = a (p − 1)an + p−1 , n ∈ N p an Tính lim an n→∞ 14 Định nghĩa {an }∞ n=1 truy hồi a1 = √ , an+1 = 2+ √ an với n Chứng minh hội tụ dãy tìm giới hạn 26 Chương Dãy số Chuỗi số 15 Định nghĩa dãy truy hồi {an }∞ n=1 sau: a1 = , an+1 = 2(2an + 1) an + với n ∈ N Khẳng định hội tụ dãy tìm giới hạn + 2an , n∈N + an Chứng minh lim an tồn tìm giá trị 16 Cho a1 = an+1 = n→∞ 17 Tìm tất c > cho dãy truy hồi {an }∞ n=1 xác định sau c , an+1 = (c + a2n ) với n ∈ N 2 hội tụ Trong trường hợp hội tụ tìm lim an a1 = n→∞ 18 Cho số thực α Tính giới hạn α + 2α + · · · + nα lim n→∞ nα+1 19 Cho dãy {un }∞ n=1 xác định u1 √ un+1 = u1 + u2 + · · · + un un Tìm giới hạn lim n→∞ n 20 Tính giới hạn sau a) b) c) d) e) f) g) + 12 + 13 + · · · + n1 n→∞ ln n 1 1 lim √ + √ + √ + · · · + √ n→∞ n n 1 1 lim √ √ + √ +√ + ··· + √ n→∞ n n n+1 n+2 2n (k + 1)! (k + n)! lim k+1 k! + + ··· + ,k ∈ N n→∞ n 1! n! a2 a3 n an lim n+1 a + + + ··· + ,a > n→∞ a n + a + 2a2 + · · · + nan lim ,a > n→∞ nan+1 k n lim (1 + 2k + · · · + nk ) − ,k ∈ N k n→∞ n k+1 lim 1.3 Bài tập 27 21 Cho biết lim an = a Tính n→∞ a2 a3 an lim √ a1 + √ + √ + · · · + √ n→∞ n n 22 Cho biết lim an = a Chứng tỏ n→∞ lim n→∞ a1 a2 a3 an + + + ··· + ln n n =a 23 Cho a > cố định định nghĩa dãy {an }∞ n=1 sau a1 > an+1 a2n + 3a = an 3an + a với n Tìm tất a1 cho dãy hội tụ tìm giới hạn 24 Cho dãy số dương {an }∞ n=1 thỏa mãn + am+n (1 + am )(1 + an ) , Xác định dãy số {xn }∞ n=1 với xn = √ n ∀m, n ∈ N + an Chứng minh tồn giới hạn lim xn n→∞ ∞ 25 (OLP-2009) Cho hai dãy số {xn }∞ n=1 {yn }n=1 thoả mãn √ x1 = y = yn xn+1 = xn + + x2n , yn+1 = , ∀n 1 + + yn2 Chứng minh < xn yn < , ∀n Ngoài chứng tỏ lim xn = ∞ lim yn = n→∞ n→∞ 26 Cho ab > dãy số {xn }∞ n=1 xác định sau x1 = a , xn+1 = x2n + xn , ∀n ∈ N b x1 x2 xn−1 + + ··· + x2 x3 xn Chứng minh tồn giới hạn lim Sn tìm giới hạn Đặt Sn = n→∞ 28 Chương Dãy số Chuỗi số 27 Cho dãy {an }∞ n=1 thoả mãn lim (an+2 − an ) = Chứng tỏ n→∞ an+1 − an =0 n→∞ n lim 28 Cho dãy số {xn }∞ n=1 xác định x1 = , x2 = a > xn+2 = xn x2n+1 , ∀n ∈ N Chứng minh tồn giới hạn lim xn tìm giới hạn n→∞ −xn 29 Dãy {xn }∞ , ∀n ∈ N n=1 xác định x1 = xn+1 = xn + e xn ? Tính giới hạn lim n→∞ ln n 30 Cho a > dãy {xn }∞ n=1 xác định x1 = a , xn+1 = a + x2n , ∀n ∈ N Tìm điều kiện cần đủ a để dãy cho hội tụ 31 Cho α ∈ (0, 2) dãy {xn }∞ n=0 xác định xn+1 = αxn + (1 − α)xn−1 , ∀n ∈ N Tìm giới hạn dãy cho theo α, x0 , x1 32 Cho dãy {xn }∞ n=1 thỏa mãn lim (x2n + x2n+1 ) = 195 , lim (x2n + x2n−1 ) = 2015 n→∞ n→∞ Hãy tính lim n→∞ x2n ? x2n+1 n 33 Cho dãy {an }∞ n=1 n→∞ Chứng tỏ lim √ n→∞ n 34 Cho Sn = 1+ k=1 a2k = thỏa mãn lim k=1 3nan = k − Chứng tỏ lim Sn = n→∞ n 1.3 Bài tập 29 35 Cho a1 = an+1 = an + 2a1n với n Chứng tỏ √ √ n a2n < n + n lim (an − n) = n→∞ 36 Cho a1 > an+1 = an + i) ii) n an với n Chứng tỏ an n với n an Dãy { }n hội tụ tìm giới hạn n 37 Cho dãy {an }∞ n=1 đặt bn = an−1 + 2an ∞ Giả sử dãy {an }∞ n=1 hội tụ, chứng tỏ dãy {bn }n=2 hội tụ 38 Cho dãy {an }∞ n=1 thỏa mãn lim (2an+1 − an ) = l n→∞ Chứng tỏ lim an = l n→∞ 39 Cho dãy {an }∞ n=1 thỏa mãn a1 ∈ (0, 1) an+1 = an (1 − an ) Chứng minh lim nan = n→∞ n(1 − nan ) =1 n→∞ ln n lim 40 Cho dãy {an }∞ n=0 bị chặn thỏa mãn an+2 (an + an+1 ) , ∀n i) Chứng tỏ dãy {An }∞ n=0 với An = max{an , an+1 } dãy hội tụ ii) Từ suy dãy {an }∞ n=0 hội tụ 41 Cho dãy {an }, n ∈ N định nghĩa sau a1 = a , a2 = b , an+2 = (1 − p)an+1 + pan (n ∈ N) Hãy xác định a, b, p để dãy {an } hội tụ 42 Giả sử dãy {an }, n ∈ N thoả mãn an+2 an+1 + an (n ∈ N) 3 Chứng minh dãy {an } hội tụ 30 Chương Dãy số Chuỗi số 43 Cho dãy {un }, n ∈ N xác định sau u1 > , un+1 = a2 un + un , (n ∈ N, a > 0) Chứng minh dãy {un } hội tụ tìm giới hạn 44 Chứng tỏ dãy √ 7, 7− √ 7, 7− 7+ √ 7, 7− 7+ 7− hội tụ tìm giới hạn 45 Cho dãy số xn = 6+ 6+ + + √ lần n Hãy tính giới hạn lim xn ? , lim 6n (2 − xn )? n→∞ n→∞ 46 Khảo sát hội tụ dãy {xn } với xn = √ n2 n2 n2 +√ + ··· + √ n2 + n2 + n2 + n 47 Khảo sát hội tụ dãy {xn } với xn = √ 4n2 − 12 +√ 4n2 − 22 + ··· + √ 48 Cho dãy {xn } xác định x1 = xn+1 = Chứng tỏ dãy hội tụ 49 Cho x Chứng tỏ √ lim (2 n x − 1)n = x2 n→∞ 4n2 − n2 x2n + 2n √ 7, 1.3 Bài tập 31 50 Chứng minh √ (2 n n − 1)n lim =1 n→∞ n2 51 Cho dãy số dương {an }∞ n=1 thỏa mãn + am+n (1 + am )(1 + an ) , Xác định dãy số {xn }∞ n=1 với xn = √ n ∀m, n ∈ N + an Chứng minh tồn giới hạn lim xn n→∞ 52 Cho dãy {xn } thỏa mãn x1 = a ∈ (0, 2) , xn+1 = + 2xn − x2n Xác định a để dãy {xn } hội tụ 53 Cho dãy {an }∞ n=1 thỏa mãn a1 = 2015 , an+1 = an − i) Gọi p, q nghiệm phương trình x2 − 2015x + = Chứng tỏ an = p2 n−1 n−1 + q2 , ∀n an+1 ? n→∞ a1 a2 ···an ii) Tính giới hạn lim ∞ 54 Cho dãy {an }∞ n=1 , {bn }n=1 thỏa mãn điều kiện lim (an + bn ) = n→∞ lim (a2k+1 − b2k+1 ) = 0, với số k nguyên khơng âm n n n→∞ Chứng minh lim an = lim bn = n→∞ n→∞ 55 Cho dãy {an }, {bn }, {cn } với a1 > 0, b1 > 0, c1 > 0, a1 +b1 +c1 = an+1 = a2n + 2bn cn , bn+1 = b2n + 2cn an , cn+1 = c2n + 2an bn Chứng minh dãy hội tụ tới giới hạn 56 Khảo sát hội tụ dãy {xn }nn=1 với αn − β n xn = n , với |α| = |β| α + βn 32 Chương Dãy số Chuỗi số n 57 Chứng minh dãy {xn } xác định xn = cos t dt t2 dãy Cauchy 58 Tuỳ theo giá trị x ∈ R , khảo sát hội tụ chuỗi + x + x2 + · · · + xn + · · · 59 Chứng minh chuỗi điều hồ ta có bất đẳng thức < Sn − ln(n + 1) < , ∀n 60 Chứng tỏ điều kiện bị chặn dãy {dn } bổ đề (1.2.1) điều kiện cần ∞ 61 Chứng minh n=1 n = 3.5.7 · · · (2n + 1) 62 Chứng minh chuỗi sau hội tụ tìm tổng chúng ∞ (a) n=1 ∞ (b) n=1 ∞ (c) n=1 ∞ (d) (e) 2n + + 1)2 n2 (n n (2n − 1)2 (2n + 1)2 √ √ ( n + n + 1) n(n + 1) −1 n=1 √ ∞ n − n2 − 4n2 n=1 ∞ (f) n=1 n(n + 1) , m∈N n(n + m) ∞ 63 Chứng minh chuỗi sin n phân kỳ n=1 1.3 Bài tập 33 64 Chứng minh hội tụ chuỗi sau ∞ ∞ (i) √ n=1 n , (ii) n=1 √ n ∞ n , n2 n+1 n2 n (iii) n=1 n 65 Chứng minh hội tụ chuỗi sau ∞ (i) n=1 1 ln + n n ∞ ∞ 1 − cos n , (ii) n=1 n n+1 , (iii) n=1 n(n+1) 66 Chứng minh chuỗi sau hội tụ sin 12 sin 22 sin 32 sin n2 + + + · · · + + ··· 12 22 32 n2 67 Giả sử [α, β] ⊂ R Với giá trị α, β chuỗi sau hội tụ ∞ nα arctan nβ ? n=1 68 Chứng minh chuỗi sau hội tụ 1 + + ··· + − ln ln n , n ln ln n ln n 69 Chứng minh hội tụ chuỗi sau ∞ (i) n=1 n2 3n ∞ 70 Chứng minh chuỗi n=1 ∞ , (i) n=1 (n!)2 (2n)! nn phân kỳ en n! ∞ 71 Cho chuỗi dương hội tụ an Chứng tỏ hội tụ chuỗi n=1 (i) (ii) √ √ √ a1 a2 + a2 a3 + · · · + an an+1 + · · · √ √ √ a1 a2 an + + ··· + + ··· n 34 Chương Dãy số Chuỗi số 72 Chứng minh hội tụ chuỗi sau ∞ ∞ 3n (n!)2 (2n)! (i) n=1 , (ii) n=1 7n (n!)2 n2n 73 Chứng minh hội tụ chuỗi sau ∞ (i) n=1 ∞ n3 2n 74 Cho dãy số {an > : n , (ii) n=1 3n (ln n)n an+1 =r n→∞ an 1} thoả mãn lim √ n Chứng minh lim n→∞ an = r Hãy ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không x 75 Cho biết f (x) = dt t(t + 1) ∞ Khảo sát hội tụ chuỗi f (n) n=1 76 Cho dãy {an }∞ n=1 thỏa mãn a1 = an=1 = a2n a2n − an + ∞ an hội tụ tìm tổng Chứng minh chuỗi n=1 77 Cho hai dãy số thực (an ), (bn ) thỏa mãn i) (an + bn )an = với n , ∞ a ∞ a n n ii) chuỗi hội tụ n=1 bn n=1 bn ∞ an Chứng minh chuỗi hội tụ n=1 an + bn