gốm bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh và của 1 số khu vực. có nhiều bài tập khó để rèn luyện kĩ năng. chúc các bạn vui vẻ khi xem tài liệu này.
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 21 tháng năm 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Câu ( điểm): Giải hệ phương trình sau: x3 − y − y = 2 x + y = x − y Câu (4 điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh bất đẳng thức: x2 x +8 + y2 y +8 + z2 z +8 ≥ Câu (4 điểm): Trên cạnh BC, CA, AB phía tam giác ABC ta dựng hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Kí hiệu A1 giao điểm AG FQ; B1 giao điểm BG NE; C1 giao điểm CG MP Ta xác định điểm A 2, B2, C2 cho AGC2F, BGA2N, CGB2P hình bình hành Chứng minh đường thẳng qua A 2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy Câu (4 điểm): Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn: 4m + m = 12n + n Chứng minh m − n lập phương số nguyên Câu (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M điểm có toạ độ (x; y) với x, y ∈ R* x ≤ 12; y ≤ 12 Mỗi điểm M tô ba màu: màu đỏ, màu trắng màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ mà tất đỉnh thuộc M tô màu ……………………… HẾT …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có trang, gồm câu) Câu a) Giải bất phương trình x − x + ≥ 2(2 − x) x − x + xy = y10 + y b) Giải hệ phương trình: 4x + + y + = Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x − m = y ( x + my ) x − y = xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) đường thẳng d1 : x − y − = 0, d : x + y − = Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I cho (C ) cắt d1 A, B cắt d C , D thỏa mãn AB + CD + 16 = AB.CD Câu4 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vuông góc với phân giác CM = 5−2 AL AL b Tính cos A c Cho a,b ∈ ¡ thỏa mãn: (2 + a )(1 + b) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 + a + + b Câu Cho f ( x ) = x − ax + b với a,b∈ ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt ≤ m, n, p ≤ cho: f ( m ) = f ( n ) = f ( p ) = Tìm tất số (a;b) _ Hết _ - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Giám thị không giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 —————— ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (4,0 điểm) ( x∈¡ ) Giải phương trình: 2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x − ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = có x2 + x + + x2 − x + = hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 3 biểu thức sau: P = x1 + x2 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + ) Câu (1,5 điểm) x + x y − xy + xy − y = ( x, y ∈ ¡ ) Giải hệ phương trình: x + y − xy (2 x − 1) = Câu (1,5 điểm) ( Cho x, y hai số thực dương thoả mãn điều kiện x + + x )( y+ ) + y = 2012 Tìm giá trị nhỏ P = x + y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng uuu uuu uuu uuur r r r tâm tam giác MNP Chứng minh OA + OB + OC = OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho · · · · MAB = MBC = MCD = MDA = ϕ Chứng minh đẳng thức sau: AB + BC + CD + DA2 , AC.BD.sin α α số đo góc hai đường thẳng AC BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cot ϕ = 13 điểm M ( 1; −5 ) , N ; ÷, P − ; ÷ (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác 2 2 2 ABC) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q ( −1; 1) điểm A có hoành độ dương —Hết— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (6 điểm) a) Giải phương trình sau ¡ : x + 12 x x + = 27( x + 1) b) Giải bất phương trình sau: ≥ x−2 x−5 −3 Bài (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình chiếu B · · AK, F trung điểm BC, biết KAB = KAC Chứng minh FL vuông góc với AC Bài (4 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Bµi (4điểm) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: ( x + 1) ( y + 1) 3 z x2 + ( y + 1) ( z + 1) + 3 x2 y + ( z + 1) ( x + 1) + 33 y2 z2 + ≥ x+ y+ z+3 Hết Họ tên : Số báo danh : SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 —————— ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm) (2 x + 3) x − + (2 y + 3) y − = (2 x + 3)(2 y + 3) Giải hệ phương trình: y + x = xy Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn: f ( x) f ( x + y ) = f ( x) + y ∀x, y ∈ ¡ f ÷ = ∀x ≠ x x Câu (2,0 điểm) p p q q Tìm tất số nguyên tố p , q cho ( − ) ( − ) chia hết cho pq Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng đường ∆ qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối tia CD tương ứng E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I1 , I I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Tiếp tuyến đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt ∆ H Chứng minh H trực tâm tam giác I1 I I Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức L = a+b+c+ + + × a 2b c Câu (1,0 điểm) Tìm tất tập hợp X tập tập số nguyên dương thoả mãn tính chất: X chứa hai phần tử với m, n ∈ X , m < n tồn k ∈ X cho n = mk —Hết— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) a) Cho hàm số y = x − 3x + hàm số y = − x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ b) Giải bất phương trình: − x2 + 4x − − >0 2x − Câu (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng ∆ đường phân giác góc A có phương trình 2x + y − = ; Khoảng cách từ C đến ∆ gấp lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung b) Cho tam giác ABC vuông A, gọi α góc hai đường trung tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin α ≤ Câu (2,5 điểm) uuu r r uuu a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD = BC; uuu uuu r r AE = AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I uu r uu r uu r r thỏa mãn hệ thức: b IB + c IC − 2a IA = ; Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB2 + c MC − 2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: + ( x + ) x − = ( x + x ) b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z …………………Hết………………… KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 (Đề thi co 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4 điểm): Giải phương trình sau tập số thực ( x − 3) − x + ( 15 − x ) 3x − = −9 x + 27 x − 14 + 11 Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC ( BC < AC ) Gọi M trung điểm AB , AP vuông góc với BC P , BQ vuông góc với AC Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T Chứng minh TH ⊥ CM , H trực tâm tam giác ABC Bài (4 điểm): Cho hàm số f : ¡ → ¡ ( ¡ tập số thực) thỏa mãn f ( f ( x) ) = x + x với x ∈ ¡ Chứng minh tồn số thực phân biệt f ( a ) + f (b ) + f ( c ) = a, b, c cho Bài (4 điểm): Tìm giá trị lớn k để bất đẳng thức sau với giá trị a, b, c : a + b + c + abc(a + b + c) ≥ k (ab + bc + ca ) Bài (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013n - chia hết cho 22014 -HẾT - SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm 150 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm câu) Câu a) Giải phương trình: x − x + 10 = x − x − y − x + y = −3 b) Giải hệ phương trình: y − xy + x = −4 Câu Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c có diện tích Chứng minh rằng: 2012a + 2010b − 1005c ≥ 2010 Câu a) Xác định hình dạng tam giác ABC biết góc A, B, C tam giác thỏa mãn hệ thức: sin C = SinA cos B b) Cho hình thoi ABCD, biết đường thẳng AB, AC có phương trình 2x – y + = 0, 3x – y + = đường thẳng BC qua điểm M(-4; 13 ) Lập phương trình đường thẳng CD Câu Các số thực x, y, z dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = nhỏ biểu thức: M = x + xy + y + yz + Tìm giá trị y + yz + z z + zx + x + zx + xy + Hết - Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………………………………… Số báo danh :…………………………………………………………………