bài giảng Cơ học kĩ thuật 1

ĐÂY LÀ BÀI GIẢNG CƠ HỌC KĨ THUẬT 1 . ĐỀ THI QUA CÁC NĂM ĐÁP ÁN CHI TIẾT, ĐẦY ĐỦ ĐƯỢC CHỌN LỌC . ĐÂY LÀ TÀI LIỆU MÌNH SƯU TẦM RẤT HAY VA CẦN THIẾT CHO CÁC BẠN CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA. CHÚC CÁC BẠN ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KÌ THI .

Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle Chương Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC Engineering Mechanics: KINEMATICS Động học điểm Nguyễn Quang Hoàng Bộ môn Cơ học ứng dụng Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -2- Nội dung Hai đại lượng đặc trưng động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm hệ tọa độ đề-các • Khảo sát chuyển động thẳng điểm Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thơng số hình học quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong quĩ đạo) • Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -3- Vận tốc gia tốc điểm Xét chuyển động điểm P khơng gian, vị trí P so với O cố định   r = r (t ) – véc tơ định vị Quĩ đạo chuyển động đường mà điểm P vẽ không gian (quĩ tích điểm P) Quĩ đạo thẳng Chuyển động thẳng Quĩ đạo O P  r (t ) Quĩ đạo cong Chuyển động cong Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -4- Vận tốc gia tốc điểm  Véc tơ vận tốc: đặc trưng cho thay đổi vị trí điểm theo thời gian P r Giả sử chuyển động điểm khoảng thời gian t r (từ P sang P’), vận tốc trung bình điểm khoảng thời gian t này:   Dr vtb = Dt r(t) r+r O - Đơn vị [m/s] v P Vận tốc thời điểm t r(t)    Dr dr  v = lim = = r Dt  Dt dt Véc tơ vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo O Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -5- Vận tốc gia tốc điểm  Véc tơ gia tốc – đặc trưng cho thay đổi vận tốc theo thời gian Giả sử vận tốc điểm thay đổi khoảng thời gian t v, gia tốc trung bình v(t) khoảng thời gian t P v(t+t)    Dv v (t + Dt ) - v (t )  [m/s2] r(t) atb = = Dt Dt O Gia tốc thời điểm t     Dv dv  a = lim = = v = r Dt  Dt dt   d 2 v = 2v ⋅ a dt Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần v Véc tơ gia tốc hướng phía lõm quĩ đạo ìï> ï í ï< ïỵ Nhanh dần Chậm dần Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -6- Phương pháp tọa độ đề - Phương trình chuyển động z x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) - Véctơ định vị  ez     r  xe x  ye y  ze z  ex - Vận tốc     v = xe x + y e y + ze z v = x + y + z - Gia tốc O P r(t)  ey Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần ìï>      z v ⋅ a = xx a = xe x + ye y + ze  + yy  + zz  ïí a = x2 + y2 + z2 y x ï< ïỵ Nhanh dần Chậm dần Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -7- Ví dụ (xét chuyển động parabol điểm mặt phẳng đứng) Xét chuyển động không cản viên đạn mặt phẳng đứng x = v0t cos a y y = v 0t sin a - 21 gt P v 0, a, g = const  ey v0 Xác định phương trình quĩ đạo, độ cao cực đại tầm xa viên đạn O Lời giải   ex x Khử biến thời gian t hai phương trình chuyển động x y ta nhận t= x  v cos a y= sin a g x- x2 cos a 2v cos2 a Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -8- Ví dụ (tiếp) Xác định vận tốc gia tốc điểm x (t ) = v 0t cos a d dt d dt P  ey v0 y(t ) = v 0t sin a - gt 2 vx = vy = y O  ax = x = v cos a y = v0 sin a - gt ay = -g  ex xmax Xác định độ cao tầm xa từ phương trình quĩ đạo y(x max ) =  x max = 2v 02 y max = y( 21 x max ) = sin a cos a v = sin 2a g g sin a g ( x )- ( x max )2 = cos a max 2v0 cos2 a Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -9- Phương pháp tọa độ đề các: Chuyển động thẳng điểm - Phương trình chuyển động x = x (t ), O - Vận tốc   v = xe x x   r (t ) = x (t )ex M x v = x Chuyển động - Gia tốc   a = xe x a = x Dấu hiệu nhanh dần / chậm dần ì Nhanh dần ï>    ï v ⋅ a = xx í ï< Chậm dần ï ỵ v = const, x = x + vt Chuyển động biến đổi a = const, v = v + at x = x + v 0t + 12 at Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -10- Ví dụ Ví dụ Xe tơ chuyển động đường thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian Xác định gia tốc xe quãng đường xe sau s d v(t )  6t  2, m/s2 dt d v(t )  s(t )  (3t  2t ), dt v  3t  2t [m/s] a(t  3)  20, m/s2 a(t )  ds(t )  v(t )dt  (3t  2t )dt s(t )  s  t  t  s(t )  t  t s(t  3)  27   36 m Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -11- Ví dụ Ví dụ Tìm phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc phương trình chuyển động điểm dạng tọa độ Descartes x  t3  2, y   t3 Lời giải Quĩ đạo nhận cách khử biến thời gian t x  y  Quĩ đạo điểm đoạn thẳng Vận tốc gia tốc điểm vx  x  3t2, vy  y  3t2  v  vx2  vy2  2t2 ax  x  6t, ay  y  6t  a  ax2  ay2  2t Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -12- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Các khái niệm liên quan đến đường cong: mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong, hệ trục tọa độ tự nhiên Mặt phẳng mật tiếp quĩ đạo P Trong trường hợp tổng quát, quĩ đạo đường cong không gian Gọi P P’ hai vị trí khác điểm quĩ đạo  đủ nhỏ, Nếu khoảng cách s  PP  coi cung PP phẳng Mặt phẳng chứa cung mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo P  e n  en s  e  Đối với đường cong phẳng: Mặt phẳng mật tiếp mặt phẳng chứa đường cong Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -13- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Độ cong quĩ đạo P k  lim s 0  e  d  s ds  e Bán kính cong quĩ đạo P:  k r Ví dụ, quĩ đạo tròn bán kính r có độ cong k  const r Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -14- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Hệ trục tọa độ tự nhiên Trên mặt phẳng mật tiếp với quĩ đạo P:  • Trục tiếp tuyến  (véctơ đơn vị e )  • Trục pháp tuyến n (véctơ đơn vị en ) n  e  en  e s   • Trục trùng pháp tuyến b (véc tơ đơn vị eb )    eb  et  e n Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -15- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong  eb Phương trình chuyển động s(t) s  s(t ) Tính tốn vận tốc điểm   dr ds    t, v   et  se dt dt P0 v  s P ds  det dt P  ???  en  en   dr  etds   dr / ds  et Tính tốn gia tốc điểm   de d   dv   t )  se  t  s t a   (se dt dt dt r+dr r O  et  et P‘  et ' Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -16- Phương pháp tọa độ tự nhiên khảo sát chuyển động cong Tính tốn gia tốc điểm    t  s a  se  det dt     t  (s2 /  )en a  se    a  at  a n    t , at  se   an  (s2 /  )en  det dt P‘  et '     en d  det  et   et det   1d en  det d  d ds     e  e  se dt dt n ds dt n  n  at P at  s  v, an  s2 / ,  et P  ???  a  an ab  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle Ví dụ  et Điểm P chuyển động cung tròn bán kính R theo luật s(t) = at2/2 Xác định vận tốc gia tốc điểm t = s v P R s(t) Lời giải -17-     t  atet , v  se   v (t  2)  2aet m/s  en P0  at    s2   (at )2   t  en  aet  a  v  se e , R R n   4a  a (t  2)  aet  e , m/s2 R n P R P0  an Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -18- Ví dụ: Chuyển động theo đường đinh ốc điểm P cho tọa độ đề sau x  r cos t, y  r sin t, z  pt r , , p  const Hãy xác định: • vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp điểm • bán kính cong quĩ đạo P Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -19- Ví dụ Lời giải x  r  sin t, y  r  cos t, z  p Tính vận tốc: v  x  y  z2  r 2  p  const Tính gia tốc: x  r  cos t, y  r  sin t, z  a  x  y  z  r   const 2 2  a  at2  an2 at  v   an  a  v /  Bán kính cong quĩ đạo   v / an  r 2  p r2 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -20- Phương pháp tọa độ cực Thông số định vị r  r (t ),   (t ) M   Sử dụng véc tơ đơn vị er , e Véc tơ định vị  er  e   r  r (t )er r  x O Vận tốc   de  1der  d  d  v  r  [r (t )er ] dt dt de   r r r  re dt       r  re  vr  v , v  re   der  1de  e d O  der d  er d   e  e  dt dt  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -21- Phương pháp tọa độ cực  d   er  e  e dt d    e   e  er dt r   de  1der   der  1de  e d  er d O  v Gia tốc   d     r e ) a  v  (re dt r       r  re  r  re  re  r e  re    (r  r  )er  (r  2r )e  a  e e r M r  O x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -22- Phương pháp tọa độ cực r  const  r  0, Xét chuyển động tròn r       r  r e  r e v  re y y  er  e  rM M  aj  ar M  O y  v  x M  O O x x    a  (r  r  )er  (r   2r )e    a  (r )er  (r)e    a n  at Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -23- Phương pháp tọa độ cực y Liên hệ tọa độ cực – tọa độ đề   r  r (t )er M yM x M  r cos  yM  r sin   er  e r  O xM  r cos   r  sin  yM  r sin   r  cos  xM x xM  (r  r  ) cos   (r   2r ) sin  yM  (r  r  ) sin   (r   2r ) cos  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -24- Phương pháp tọa độ trụ Thông số định vị r  r (t ), z  z (t )   (t ), Vận tốc M  ez Véc tơ định vị    r  rer  zez zM xM O   er   v  r      r  rer  ze  z  zez  re     r  r e  ze z  re r  e z r  yM   er  e ,   e  er ,  ez  Gia tốc       z a  v  (r  r  )er  (r   2r )e  ze Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -25- Phương pháp tọa độ trụ Liên hệ tọa độ trụ – tọa độ đề zM x M  r cos  yM  r sin  zM  z M r  ez xM  r cos   r  sin  yM  r sin   r  cos  zM  z  e O z r   er xM yM xM  (r  r  ) cos   (r   2r ) sin  yM  (r  r  ) sin   (r   2r ) cos  zM  z Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -26- Phương pháp tọa độ cầu Thông số định vị r  r (t ), z    (t ),    (t ) P  Chuyển sang tọa độ đề r x M  r sin  cos  yM  r sin  sin  z M  r cos   x y Các thành phần vận tốc xM  r sin  cos   r cos  cos   r sin  sin  yM  r sin  sin   r cos  sin   r sin  cos  zM  r cos   r sin  x   M  yM  zM   Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -27- Phương pháp tọa độ cầu Thông số định vị r  r (t ),    (t ), zM    (t ) Chuyển sang tọa độ đề x M  r sin  cos  yM  r sin  sin  z M  r cos  M  O xM r  yM Các thành phần vận tốc xM  r sin  cos   r cos  cos   r sin  sin  yM  r sin  sin   r cos  sin   r sin  cos  zM  r cos   r sin  xM  x(r , ,  , r, , , r, , ) Các thành phần gia tốc yM  y(r , ,  , r, , , r, , ) z  z(r , ,  , r, , , r, , ) M Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Động học điểm - Chapter Kinematics of a Particle -28- Tóm tắt nội dung chương Hai đại lượng đặc trưng động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ đề-các khảo sát động học điểm • Vận tốc gia tốc điểm tọa độ đề • Khảo sát chuyển động thẳng điểm Phương pháp tọa độ tự nhiên • Một số thơng số hình học quĩ đạo (mặt phẳng mật tiếp, độ cong, bán kính cong quĩ đạo) • Hệ tọa độ tự nhiên • Vận tốc gia tốc điểm Phương pháp tọa độ cực / tọa độ trụ / tọa độ cầu Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 10 Chương Ma sát – Friction -25- Lực ma sát truyền vít me – đai ốc (ren vuông) Frictional Force in Square Threaded Screws M h W r Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -26- Lực ma sát truyền vít me – đai ốc (ren vng) Yêu cầu cấu ép (hay hệ thống kích): Với mơ men tác dụng M nhỏ tạo lực ép W lớn Vít me giữ đứng yên không tác dụng mô men, M = 0, (tự hãm) M h Phân tích lực tương tự trường hợp vật mặt nghiêng W W r W tan   p 2 r p = bước ren Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -27- Lực ma sát truyền vít me – đai ốc (ren vng) Trục ren có xu hướng lên W M Giả sử M đủ lớn làm trục vít có xu hướng lên Chiều lực ma sát hướng xuống Xét cân khối A     (W , S , N , F )  Các PTCB   S  M /r S  R sin(   )  R cos(   )  W  r W Điều kiện để khối A cân (không xảy chuyển động) A     atan(s ) S max  W tan(   )   M  Wr tan(   ) F S  R N Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -28- Lực ma sát truyền vít me – đai ốc (ren vng) Trục ren có xu hướng xuống W M Giả sử M đủ nhỏ làm trục vít có xu hướng xuống Chiều lực ma sát hướng lên Xét cân khối A     (W , S , N , F )  Các PTCB S  M /r S  R sin(   )  R cos(   ) W  r W S  W tan(   ) A S’  Wr tan(   )  M  R Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -29- Lực ma sát truyền vít me – đai ốc (ren vuông) Kết hợp hai trường hợp: Dải giá trị M giữ trục vít đứng yên: W M Wr tan(   )  M  Wr tan(   ) M  M  M max r – bán kính trung bình trục vít;  – góc nghiêng ren, tan = p/2r;  – góc ma sát, tan  = s ; p – bước ren r Phân tích trường hợp tương tự đảo chiều mô men M W Trường hợp tự hãm Khi bỏ tác dụng mô men M (S = 0), trục vít phải có khả tự hãm (khơng xuống W) Phản lực toàn phần R phải nằm nón ma sát, tức    Trường hợp tới hạn  =  = atan(s)  R  Tự hãm, trường hợp tới hạn θ =  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -30- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts  Bài tốn: cho biết góc ơm , hệ số ma sát trượt tĩnh , lực T1, cần xác định T2 : 1) để không xảy trượt đai bánh đai (yêu cầu truyền động đai) 2) để kéo dây đai trượt phía T2  Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME 10 Chương Ma sát – Friction -31- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Tách xét cân phân tố nhỏ dây đai trạng thái trượt Vị trí phân tố độ dài phân tố xác định (, d) Các lực tác dụng lên phân tố:     (T ,T  dT , dN , dF )  d  dF  dN Viết PTCB (chiếu hai phương tiếp pháp tuyến) (T  dT )cos(d / 2)  T cos(d / 2)  dN  dN  (T  dT ) sin(d / 2)  T sin(d / 2)  2 d Sử dụng xấp xỉ cos(d / 2)  1, sin(d / 2)  d / dT sin(d / 2)  d d dT  dN  dN  Td  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -32- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Giải hai PTCB cho ta dN  dT , dN  Td  dT  d T  Tích phân với cận: T = T1 θ = T = T2 θ = β  T2 T1  dT    d T  ln T2   T1 Giải T2 T2  T1e  ,  - hệ số ma sát trượt tĩnh β – góc ơm tính radian T2  T1 Để không xảy trượt,  T2  Te Nếu T1 > T2, kết nhận T1  T2e  T1e    T2  T1e  Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -33- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Ví dụ Trụ bán kính r chịu tác dụng mơ men Md Để giữ trụ không quay, người ta dùng lực F tác dụng lên tay đòn nằm ngang Biết hệ số ma sát tĩnh đai trụ μ0 Xác định giá trị nhỏ F để giữ trụ cân (phanh dung đai) Bỏ qua trọng lượng vật - Sơ đồ tách vật hình - Ở không quan tâm đến phản lực gối (ổ) đỡ, cần phương trình mơ men cho hai vật Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 11 Chương Ma sát – Friction -34- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Rõ ràng là, S2 > S1 để giữ Md Từ hình vẽ suy góc ơm  = π Đối với trường hợp tới hạn Do Ta nhận lực nhỏ cần thiết Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -35- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Ví dụ Hai ụ nửa trụ tròn B C cố định, pulli A quay tự Hệ số ma sát đai hai ụ B & C μs = 0.25 Lực kéo T thẳng đứng lớn 500 N Xác định khối lượng lớn vật nặng nâng lên lực T 1 2 Quay tự D C B 45o 45o A T W = mg Lưu ý: cần chuyển đổi góc ơm sang radian 1 = 2 =  - /4 = 3/4 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Ma sát – Friction -36- Ma sát đai bánh đai - Frictional Forces on Flat Belts Xét trường hợp tới hạn: đai trượt Xu hướng trượt Đối với ụ B Xu hướng trượt 135o 135o T2  T1e T1  s  : 500 N  T1e 500 N exp{0.25[(3 / 4) ]}  0.25[(3/4) ] 500 N 1.80 D B T2‘ T1 T2 (b)  277.4 N 277.4 N  We 0.25[(3 / 4) ] W  153.9 N Khối lượng lớn nâng m  153.9 N W   15.7 kg g 9.81 m/s2 (c) 500 N Đối với ụ C T2  T1e s  : C 277.4 N T1‘ W=mg Quay tự T2‘ T1 45o 45o A T1 = T2‘ Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 12 Chương Ma sát – Friction -37- TỔNG KẾT BÀI HỌC Mở đầu phân loại ma sát Ma sát trượt khô – Ma sát Coulomb Ma sát lăn Nêm Ma sát vít me-đai ốc ren chữ nhật Ma sát dây đai đai – Công thức Euler: Bộ truyền đai, phanh đai Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 13 Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity Chương Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC Engineering Mechanics: STATICS Trọng tâm vật rắn Nguyễn Quang Hồng Bộ mơn Cơ học ứng dụng Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -2- Nội dung • Trọng tâm hệ chất điểm • Trọng tâm vật rắn     Công thức xác định Trọng tâm vật rắn đồng chất Trọng tâm vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm vật ghép • Các cơng thức Pappus Guldinus • Xác định trọng tâm thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi  Phương pháp cân Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -3- Mở đầu b c ?Qmax P A ?Wmax B a G Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -4- Trọng tâm hệ chất điểm z Từ điều kiện tương đương mô men trục, ta nhận công thức W  Wn n W G k k 1  my (W )   m (W )  x W   x W   mx (W )   m (W )  y W n y k 1 n n k G  x k 1 k k k 1 O k n   ykWk G k 1 Quay hệ với hệ trục tọa độ 90o quanh trục x y  mx (W )   n G n k 1 k G k 1 y W1  m (W )  z W  W z x y xG yG x W1 zG W2 k k Cơng thức xác định vị trí trọng tâm G  x kWk  ykWk  z kWk , yG  , zG  xG  Wk Wk Wk W2 Wn O z zG xG x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -5- Trọng tâm vật rắn: công thức xác định Trọng lượng vật z W   dW  mg dV Vị trí trọng tâm vật    my (W )  xGW   my (dW )   xdW xG  z x y xG yG x yG  zG O 1  xdW , W  W y     xdW  xG  W G=C dW  ydW , W  zG   zdW W  Khi gia tốc trọng trường g = const, trọng tâm G khối tâm C vật trùng Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -6- Trọng tâm vật rắn đồng chất Đối với vật thể đồng chất dạng khối dW  g  dm  g    dV , g  const,  [kg/ m ] g [m/ s2 ], z   const V G z O Trọng tâm vật thể đồng chất dạng khối (3D) x xG  V  V  , xdV yG  V  V  , ydV zG  dV x y V  V y  zdV Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -7- Trọng tâm vật rắn đồng chất Đối với vật thể đồng chất dạng vỏ dW  g  dm  g    dA, g [m/ s2 ], z A dA  [kg/ m2 ] z Đối với vật thể dạng (vỏ) bề dày không đổi (phẳng, cong) xG  x y x 1  , yG   ydA  , zG   zdA  xdA A A A A A A z L dL Đối với vật thể dạng (dây) diện tích mặt cắt khơng đổi (phẳng, cong) xG  y z 1  , yG   ydL  , zG   zdL  xdL L L L L L L y x y x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -8- Trọng tâm vật rắn đồng chất y Đối với phẳng (2D) xC   , xdA A A  ydA A A yC  yC y O dA C xC x x Đối với vật thể dạng (dây) diện tích mặt cắt khơng đổi (phẳng) xC   , xds L L yC   yds L L Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -9- Trọng tâm vật rắn đồng chất đối xứng Nếu vật rắn có mặt phẳng (trục điểm) đối xứng, trọng tâm vật nằm mặt phẳng (trục điểm) đối xứng Nếu vật có số mặt phẳng (trục) đối xứng, trọng tâm vật rắn nằm giao mặt phẳng (trục) đối xứng y O x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -10- Xác định trọng tâm công thức tích phân Ví dụ Xác định trọng tâm dây cung tròn bán kính R, góc mở 2α y L Lời giải Dựng hệ Oxy, x trục đối xứng  yC = Chọn phân tố chiều dài dL (xác định , d) dL = Rd j, L= ò a -a ò a O a C Rd j = 2aR A y  = xdL L x R x = R cos j xC = L B B dL sin a ò-a R cos jRdj = R a a O dj j x x R Trường hợp nửa đường tròn α = π/2 A xC = 2R / p < R Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -11- Xác định trọng tâm công thức tích phân Ví dụ Xác định trọng tâm hình quạt bán kính R, góc mở 2α Lời giải Dựng hệ Oxy, x trục đối xứng  yC = Chọn phân tố diện tích dA dạng tam giác, (xác định , d) dA = 21 RRd j = 21 R 2d j, A= ò dA = ò a -a x = 23 R cos j R ⋅ Rd j = aR y A  O  x R y A dA O 1 a  = ò 23 R cos j 21 RRd j xdA Aò A -a sin a = 23 R a dj j a x xC = x R xC = 4R / 3p Trh nửa đĩa tròn, α = π/2 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -12- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân Trọng tâm phẳng xác định hai hàm y1(x) y2(x) y y2 = f2(x) Xác định miền giới hạn y1(x) = y2(x)  x1 & x2 d A y Chọn phân tố diện tích dạng hình chữ nhật vị trí x có bề rộng dx y1 = f1(x) dx O x1 x2 x x dA = [f2 (x ) - f1(x )]dx , x = x , y = 21 [f2 (x ) + f1(x )] Tính tích phân  = ò xdA ò x2  = ò ydA ò x2 x1 x1 A = ò dA = ò x2 x1 [f2 (x ) - f1 (x )]dx x [f2 (x ) - f1 (x )]dx [f2 (x ) + f1 (x )][f2 (x ) - f1 (x )]dx  xC = A-1 ò xdA  yC = A-1 ò ydA Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -13- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân y Ví dụ: Xác định diện tích trọng tâm phẳng cho hình bên y = 9– x2 HD 9m f2 (x ) = - x , f1(x ) = dA = (9 - x )dx , O x = x , y = 21 y = 21 (9 - x ) y A = ò dA = ò   xdA A   yC   ydA A xC  y = 9– x2 (9 - x )dx = 18 m2 9m y x (9  x )dx  1,125 m A 0 31 (9  x )(9  x )dx  5, m O A 0 x 3m C dA dx x x Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -14- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân Ví dụ Xác định vị trí trọng tâm phẳng rộng 2a cao h, đường bao parabol HD Dựng hệ Oxy, với trục y trục đối xứng: xC = Chọn phân tố diện tích dA song song trục x, dA = 2x dy Khoảng cách từ phân tố đến trục x xác định từ phương trình parabol Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -15- Xác định trọng tâm cơng thức tích phân yC = Cần tính yC theo cơng thức A= ò dA =  = 2ò ò ydA h ò 2xdy = ò h ò ydA ò dA a 2y a 2y dy = ⋅ h h a 2y a 2y y dy = ⋅ h h h = ah h = ah Thay vào cơng thức tính yC cho ta kết qủa yC =  ò ydA = h ò dA Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -16- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Nếu vật rắn ghép từ nhiều phần, trọng tâm xác định theo xG   x kWk  ykWk , yG  Wk Wk , zG  z G1  z kWk G3 G2 Wk O y Wk , x k , yk , z k trọng lượng tọa độ trọng tâm phần ghép thứ k x Lưu ý: Wk  Vk , Ak , Lk Đối với vật rắn đồng chất: Phần khuyết nằm vật coi có trọng lượng âm Nếu Gk nằm đường (mặt) G nằm đường (mặt) Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -17- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Vật ghép đồng chất dạng khối 3D Wk  kVk Wk  Vk xG  yG  zG  Vật ghép đồng chất dạng 2D  x kVk Vk  ykVk Vk  z kVk , xG  , yG  zG  Vk  kVk  yk kVk  kVk  z k kVk Wk  k Ak Wk  Ak  x k kVk , xG  , yG   kVk zG  Vật ghép đồng chất dạng dây (thanh)  x k Ak  Ak  yk Ak  Ak  z k Ak  Ak , xG  , yG  zG  Gi  k Ak  yk k Ak  k Ak  z k k Ak Wk  k Lk Wk  Lk  x k k Ak , ,  k Ak xG  yG  zG   x k Lk  Lk  yk Lk  Lk  z k Lk , xG  , yG   Lk  x k k Lk  k Lk  yk k Lk  k Lk  z k k Lk zG  , ,  k Lk G1 G2 Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -18- Trọng tâm vật ghép – composite bodies y Vi dụ Phần Tam giác b + a/2 r - Phần Đĩa tròn (trọng lượng âm) a/2 a/2 k Area [m2] xk [m] a/2 Phần Vuông x yk [m] xkAk [m3] ykAk [m3] ? ? a /3 a b /3 ?  12  r a /2 a /2 ? a2 a/2 a/2 Ak ab ? xkAk Trọng tâm xC  ? ykAk yC   x k Ak  ?,  Ak  yk Ak  Ak ? Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -19- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Ví dụ Một lập phương nhỏ cạnh 2a cắt bỏ từ lập phương lớn cạnh 4a (Hình a) a) Xác định trọng tâm phần lại b) Xác định trọng tâm lập phương lớn, bù chỗ khuyết lập phương nhỏ làm vật liệu khác có khối lượng riêng 2 = 21 (Hình b) Nguyễn Quang Hồng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -20- Trọng tâm vật ghép – composite bodies Trong hai trường hợp ta coi vật thể ghép từ nhiều vật dạng hôp chữ nhật a) PA1 Coi vật thể đồng chất ghép từ vật thể dạng hộp chữ nhật (cùng khối lượng riêng 1) Lập bảng, tính nhận kết Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -21- Trọng tâm vật ghép – composite bodies a) PA2 Coi vật thể đồng chất ghép từ lập phương cạnh 4a cạnh 2a, phần cạnh 2a coi có trọng lượng âm Lập bảng, tính nhận kết Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -22- Trọng tâm vật ghép – composite bodies b) Vật thể ghép từ phần (phần biết từ câu a, khối lượng riêng 1 ) phần lập phương cạnh 2a, khối lượng riêng 2 = 21 : Lập bảng, tính nhận kết quả, Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -23- Các công thức Pappus Guldinus Định lý Diện tích mặt tròn xoay sinh đường cong phẳng L quay quanh trục  đồng phẳng khơng cắt tích chiều dài đường cong với chiều dài đường tròn tạo trọng tâm đường cong quay quanh trục  A  2 yC L  2 yL y C yC dL y x  L dA  2 r  dL  2 y  dL A   dA   2 y  dL  2 yC L Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -24- Các công thức Pappus Guldinus Định lý Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục đồng phẳng  khơng cắt tích diện tích hình phẳng chiều dài đường tròn tạo trọng tâm hình phẳng quay quanh trục V  2 yC A  2 yA dA C y y yC x  dV  2 r  dA  2 y  dA V   dV   2 y  dA  2 yC A  2 rC A Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -25- Các công thức Pappus Guldinus y Ví dụ Tính diện tích tang trống L  2 R, O d  xC  R 1 sin  A  2 dL  2 R y B O a xC a L sin  L x x R A 2 R  4 R sin      /  A  4 R z a a r Ví dụ Tính thể tích hình xuyến rC = r, A = a  V = 2prC A = 2pra Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -26- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L B A B C E E A D D Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -27- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp đường dọi xác định trọng tâm phẳng B A A B n C A B a) b) n c) m Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -28- Xác định trọng tâm thực nghiệm Phương pháp cân đo l l cân x N2 x N P P cân Sử dụng cân (hai lần cân) Cân lần (cả vật) xác định P Cân lần (một đầu), xác định N N1 cân Sử dụng hai cân (cân lần) Cân hai đầu xác định N1 N2, P = N1 + N2 Đo L x  lN / P Đo L x  lN / P  lN / (N  N ) Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME Chương Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -29- Tóm tắt nội dung • Trọng tâm hệ chất điểm • Trọng tâm vật rắn  Cơng thức xác định  Trọng tâm vật rắn đồng chất/đối xứng  Trọng tâm vật ghép • Các cơng thức Pappus Guldinus  Tính diện tích mặt tròn xoay, tính thể tích hình xuyến • Xác định trọng tâm thực nghiệm  Phương pháp vẽ xác định trọng tâm phẳng dạng chữ L  Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi  Phương pháp cân Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME 10 ... Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body - 21- Truyền động khí đơn giản Truyền động đai (xích) v1 1 v1 1 2 v2 v2 v1  v2 , 2 Bỏ qua trượt đai dây đai i12  r1 1  r22 1 r2 z   2 r1 z1... rắn–Kinematics of a Rigid Body -19 - Truyền động khí đơn giản Truyền động bánh trụ Ăn khớp v1=v2 1 Ăn khớp v1=v2 1 2 v1  v2 2 r1 1  r22  i12  1 r2 z   2 r1 z1 Nguyễn Quang Hoàng-Department... Động học vật rắn–Kinematics of a Rigid Body -24- Ví dụ Tính vận tốc vB w1 = q 1 = a0t w1 r z z z = =  w = w1 = a 0t w2 r1 z1 z2 z2 v A = v B = r w2 = r z1 z2 a0t 2 r B r2 A K 1 1 r1 v1=v2