Tuyển tập 8 đề thi thử đại học môn toán 2013
Đề 1 Câu1: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x 3 + ax 2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành. 2) Cho hàm số: y = x 3 - 3mx 2 + 2x(m - 4)x + 9m 2 - m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau. Câu2: (2 điểm) 1) Cho hệ phương trình: ( ) +=+− =− 126 2 cbyxb acybx Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với ∀b. 2) Giải hệ phương trình: +=++ =+ +−+ 113 2322 2 3213 xxyx . xyyx Câu3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: cos3xcos 3 x - sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 2) Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: cosAcosBcosC ≤ 8 1 . Dấu "=" xảy ra khi nào? Câu4: (2 điểm) 1) Tìm họ nguyên hàm: I = ( )( ) ∫ +−++ − dx xxxx x 1315 1 22 2 2) Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A 1 A 2 .A 10 . a) Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của các tam giác này là các đỉnh của thập giác lồi trên. b) Hỏi trong số các tam giác trên có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác. Câu5: (2 điểm) 1) Lập phương trình các cạnh ∆ABC nếu cho B(-4; -5) và hai đường cao có phương trình: (d 1 ): 5x + 3y - 4 = 0 và (d 2 ): 3x + 8y + 13 = 0 2) Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình: (P): 2x + y + z - 1 = 0 (d): 3 2 12 1 − + == − z y x Viết phương trình của đường thẳng qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với (d) và nằm trong (P). Đề 2 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y = -x 4 + 2x 2 + 3 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C). hãy xác định các giá trị của m để phương trình: x 4 - 2x 2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt. Câu2: (3 điểm) 1)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = x x 2 sin 2 + trên − 2 ; 2 ππ 2) Giải hệ phương trình: =+− −=− 01sin32cos sinsin yx yxyx 3) Giải phương trình: 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x Câu3: (2 điểm) 1) Tính giới hạn: x xxx x 3 3 3 2 0 11 lim +−++ → 2) Tính tích phân: I = ( ) ∫ +++ 1 0 2 11 xxx dx Câu4: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(2; 1) B(0; 1) C(3; 5) D(-3; -1). Tính toạ độ các đỉnh hình vuông có hai cạnh song song đi qua A và C, hai cạnh song song còn lại đi qua B và D, biết rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dương. 2) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BD và SC theo a. Bài5: (1 điểm) Tìm a để hệ sau có nghiệm: ( ) =+−++ ≤+ 212 2 ayxyx yx Đề 3 Câu1: (3 điểm) Cho hàm số: y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6(m - 2)x - 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1). 3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đường thẳng y = kx (k cho trước)? Biện luận theo k số giá trị của m. Câu2: (1 điểm) Giải hệ phương trình: =+ =+ 2 2 ycosxcos ysinxsin Câu3: (3 điểm) 1) Xác định m để mọi nghiệm của bất phương trình: 12 3 1 3 3 1 1 12 > + + xx cũng là nghiệm của bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 01632 2 2 <+−−−− mxmxm 2) x, y là hai số thay đổi luôn luôn thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 Xác định các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: A = xyyx +++ 11 Câu4: (1,75 điểm) Tính: I(a) = ∫ − 1 0 dxaxx với a là tham số. Sau đó vẽ đồ thị hàm I(a) của đối số a. Câu5: (1,25 điểm) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của Hypebol 1 2 2 2 2 =− b y a x đến các tiệm cận của nó là một số không đổi. Đề 4 Câu1: (2,5 điểm) 1) Giải và biện luận hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) =++− =−++ bybaxba aybaxba 22 2) Giải và biện luận phương trình: xxmx =−+− 122 22 Câu2: (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: xsinxsinxcos 4 2 2 11 =+ 2) Xác định a để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: =+ ++=+ 1 2 22 2 yx axyx x Câu3: (2 điểm) Cho hàm số: y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0. 2) Với những giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại? Câu4: (1,5 điểm) Cho phương trình: x 2 + (2a - 6)x + a - 13 = 0 với 1 ≤ a <+ ∞ Tìm a để nghiệm lớn của phương trình nhận giá trị lớn nhất. Câu5: (1,5 điểm) Xét hình có diện tích chắn bởi Parabol y = x 2 và đường thẳng có hệ số góc k, đi qua điểm trong A(x 0 ; y 0 ) của Parabol (tức là điểm A với tọa độ thoả mãn điều kiện y 0 > x 2 0 ). Xác định k để diện tích ấy nhỏ nhất. Đề 5 Câu1: (2,25 điểm) Cho phương trình: x 4 - 4x 3 + 8x 1) Giải phương trình với k = 5. 2) Tìm k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Câu2: (2 điểm) Biết rằng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và S là diện tích tam giác đó, hãy xác định dạng của tam giác nếu: 1) S = ( )( ) cbacba +−−+ 4 1 2) S = ( ) 2 36 3 cba ++ Câu3: (2,25 điểm) Cho hàm số: y = 2 12 + + x x 1) Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất. 2) Tìm t sao cho phương trình: t xsin xsin = + + 2 12 có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x ≤ π. Câu4: (3,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với độ dài cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên cạnh AA', điểm N chạy trên cạnh BC sao cho AM = BN = h với 0 < h < 1. 1) Chứng minh rằng khi h thay đổi, MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định. 2) Gọi T là trung điểm cạnh C'D'. Hãy dựng thiết diện tạo với mặt phẳng (MNT) cắt hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng mặt phẳng đó chia hình lập phương ra hai phần có thể tích bằng nhau. 3) Tìm h để thiết diện có chu vi ngắn nhất. Đề 6 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 − +− x xx 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm tất cả những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Câu2: (2 điểm) Cho f(x) = ( ) 12 6 2 61 ++−− mm x x 1) Giải bất phương trình f(x) ≥ 0 với m = 3 2 . 2) Tìm m để: ( ) ( ) xfx x − − 1 6 ≥ 0 với ∀x ∈ [0; 1]. Câu3: (1,5 điểm) 1) Tính tích phân: I = dxxsin ∫ π 4 0 4 2) Tính tích phân: J = ( ) ∫ π 1 0 2 dxxsine x Câu4: (2,5 điểm) 1) Có bao nhiêu số chẵn gồn 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 2) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn? 3) Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A 1 A 2 .A 10 . a) Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của các tam giác này là các đỉnh của thập giác lồi trên. b) Hỏi trong số các tam giác trên có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác. Câu5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm I(1; 1; 1) và đường thẳng (D) có phương trình: =++ =−+− 052 092 zy zyx 1) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đường thẳng (D). 2) Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đường thẳng (D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16. Đề 7 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + mx + m. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0. 2) Tìm tất cả các giá trị của hàm số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng1. Câu2: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: ( ) =+++ =++ 283 11 22 yxyx xyyx 2) Giải phương trình: 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x Câu3: (3 điểm) 1) Giải phương trình: 1 + 3tgx = 2sin2x 2) Với A, B, C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng: 2221 B C gcot B tg A tg CcosBcosAcos CsinsinAsin = +−+ −+ 3) Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn đẳng thức: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: 3 222 222222 ≥ + + + + + ca ca bc bc ab ab Câu4: (2 điểm) Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, góc ABC = α, BC' hợp với đáy (ABC) góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết góc BIC là góc vuông 1) Chứng minh rằng ∆BCI vuông cân. 2) Chứng minh rằng: tg 2 α +tg 2 β = 1 Câu5: (1 điểm) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = π + 4 1 xcosxcos Đề 8 Câu1: (2,5 điểm) 1) Số đo ba góc của ∆ABC lập thành một cấp số cộng và thoả mãn đẳng thức: sinA + sinB + sinC = 2 33 + a) Tính các góc A, B, C. b) Biết nửa chu vi tam giác bằng 50 (đơn vị dài). Tính các cạnh của tam giác. 2) Giải phương trình: xsin tgxgxcot 1 += Câu2: (2 điểm) Cho bất phương trình: mx - 3−x ≤ m + 1 1) Giải bất phương trình với m = 2 1 . 2) Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm. Câu3: (2 điểm) 1) Với giá trị nào của m thì phương trình: 23 2 1 1 −= − m x cớ nghiệm duy nhất. 2) Cho các số x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 thoả mãn các điều kiện: x 1 x 2 > 0 x 1 z 1 ≥ 2 1 y x 2 z 2 ≥ 2 2 y Chứng minh rằng: ( )( ) ( ) 2 212121 yyzzxx +≥++ Câu4: (1,5 điểm) Tính: I = ∫ π + 2 0 2222 dx xsinbxcosa xcosxsin (a,b ≠ 0) Câu5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P). Hai điểm M, N di động trên cạnh CB và CD, đặt CM = x, CN = y. Trên đường thẳng At vuông góc với (P), lấy điểm S. Tìm liên hệ giữa x và y để: 1) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45 0 . 2) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. . bằng nhau. 3) Tìm h để thi t diện có chu vi ngắn nhất. Đề 6 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1 1 2 − +− x xx 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm. vuông góc với (d) và nằm trong (P). Đề 2 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y = -x 4 + 2x 2 + 3 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. 2)