1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số : y = 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1) x mx m x m (1) a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) . b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ 4 ) = 0 b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 2 2 1 x x y x a x y Câu 3 : Tìm : 3 sin (sin 3cos ) xdx x x Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ' ' ' . ABC A BC có thể tích V. Các mặt phẳng ( ' ' ' ),( ),( ) ABC AB C ABC cắt nhau . tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V. Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng : P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) x y z x y y z z x y z x 12 Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B ) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 4 4 4 0 x y x y và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn . . . (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình : 1 1 2 ( ): 2 2 1 x y z d ' 2 ' 4 ( ): 2 3 x t d y z t Viết phương trình đường thẳng ( )đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d 1 ), (d 2 ). Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 7 4 3 1 x x ( với x > 0 ) B . Theo chương trình nâng cao Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và . . đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng ( ) có phương trình : 2 1 0 2 0 x y z x y z Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng ( )sao cho : MA + MB nhỏ nhất . Câu 7b : Cho 2 12 2 24 0 1 2 24 (1 ) x x a a x a x a x . Tính hệ số a 4 . 2 Hết. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số : y = 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1) x mx m x m (1) a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) . b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Ta cú y’= 3x 2 -6mx+3(m 2 -1) y’=0 1 1 x m x m Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thỡ ta phải cú: ' 2 2 2 ' 0 . 0 ( 1)( 3)( 2 1) 0 0 1 0 1 0 0 ( 1) 0 (0) 0 y CD CT CD CT m R f f m m m m x m m x m f V 1 2 1 3 1 3 1 2 3 1 2 1 m m m m m Vậy giỏ trị m cần tỡm là: ( 3;1 2) m Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ 4 ) = 0 <=> Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + 4 )=0 sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + 2 ) sinx + sin4x = 1+ sin4x sinx = 1 x = 2 + k2 , k Z b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 2 2 1 x x y x a x y Nhận xột: Nếu (x;y) là nghiệm thỡ (-x;y) cũng là nghiệm của hệSuy ra, hệ cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x =0 + Với x = 0 ta cú a =0 hoặc a = 2-Với a = 0, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) (I) 1 1 (2) x x x y x x x y x y x y Từ (2) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 x y x x x y x x y ( I ) cú nghiệm 2 2 2 1 0 2 1 1 1 x x y x x x y y -Với a=2, ta cú hệ: 2 2 2 2 2 1 x x y x x y Dễ thấy hệ cú 2 nghiệm là: (0;-1) và (1;0) khụng TM Vậy a = 0 TM Câu 3 : Tìm : 3 sin (sin 3cos ) xdx x x 3 Ta cú 3 3 sin[(x- ) ] sinx 6 6 (sinx+ 3 osx) 8 os ( ) 6 c c x 3 1 sin( ) os(x- ) 2 6 2 6 8 os(x- ) 6 x c c 3 2 sin( ) 3 1 1 6 16 16 os ( ) os ( ) 6 6 x c x c x 3 2 sinxdx 3 1 tan( ) 16 6 (sinx+ 3 osx) 32 os ( ) 6 x c c c x Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ' ' ' . ABC A BC có thể tích V. Các mặt phẳng ( ' ' ' ),( ),( ) ABC AB C ABC c ắt nhau . tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V. Gọi I = AC ’A’C, J = A’B AB’ (BA'C) (ABC') = BI (BA'C) (AB'C) = CJ Goi O = BI CJ O là điểm cần tỡm Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC) Do V ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của V BA’C trờn (ABC) nờn H là trọng tõm V ABC Gọi M là trung điểm BC. Ta có: 1 ' 3 OH HM A B AM 1 1 1 . ' . 3 9 9 OABC ABC ABC V OH S A B S V V V Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng : P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) x y z x y y z z x y z x 12 Ta cú: 4(x 3 +y 3 ) (x+y) 3 , với x,y>0 Thật vậy: 4(x 3 +y 3 ) (x+y) 3 4(x 2 -xy+y 2 ) (x+y) 2 (vỡ x+y>0) 3x 2 +3y 2 -6xy 0 (x-y) 2 0 luôn đúng Tương tự: 4(x 3 +z 3 ) (x+z) 3 4(y 3 +z 3 ) (y+z) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6 x y x z y z x y z xyz Mặt khỏc: 3 2 2 2 1 2( ) 6 x y z y z x xyz 3 3 1 6( ) 12 P xyz xyz Dấu ‘=’ xảy ra 2 2 2 1 1 x y z x y z x y z y z x xyz xyz Vậy P 12, dấu ‘=’ xảy ra x = y = z =1 Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B ) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 4 4 4 0 x y x y và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. (C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2 J I O H M B' A' C' C B A 4 y M C 4 Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ: 2 2 0 2 2 0 4 4 4 0 2 0 x y x y x y x y x y Hay A(2;0), B(0;2) Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B Ta cú 1 . 2 ABC S CH AB V (H là hỡnh chiếu của C trờn AB) ax CH max ABC S m V Dễ dàng thấy CH max ( ) ( ) 2 C C C x V Hay V : y = x với : (2;2) d I V V V (2 2;2 2) C Vậy (2 2;2 2) C thỡ ax ABC S m V b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình : 1 1 2 ( ) : 2 2 1 x y z d ' 2 ' 4 ( ): 2 3 x t d y z t Viết phương trình đường thẳng ( )đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d 1 ), (d 2 ). Nhận xột: M (d1) và M (d2) Giả sử ( ) ( 1) ( ) ( 2) d I d H V V Vỡ I d1 I(2t-1; -1-2t; 2+t) H d2 H(4t’; -2; 3t’) 1 2 (1 4 ') 23 3 2 (2 2) 10 , 0 1 (3 3 ') 23 18 3 ( ; ; ) 5 5 10 cbt t k t TM kHM y t k t k R k t k t T uuur uuuur Vậy phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm I và H là: 1 56 2 16 3 33 x t y t z t hoặc là: 5 8 17 0 12 9 16 18 0 x y z x y z Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 7 4 3 1 x x ( với x > 0 ) Ta cú: 1 1 7 7 7 4 34 7 3 0 1 ( ) ( ) .( ) k k k k x C x x x Để số hạng thứ k không chứa x thỡ: 1 1 (7 ) 0 4 4 3 [0;7] k k k k Vậy số hạng khụng chứa x trong khai triển là: 4 7 1 35 C B . Theo chương trình nâng cao Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . Phươngtrỡnh đường thẳng chứa cạnh BC: 5 1 ( ) qua B ( ):4 3 5 0 BC d BC BC x y Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 4 3 5 0 ( 1;3) 2 5 0 x y C x y Gọi K AC , K BC , K 2 theo thứ tự là hệ số góc của các đường thẳng AC, BC, d 2 Ta cú: 2 2 2 2 3 1 1 4 2 2 1 3 1 1 . 1 . 1 . 1 2 4 2 0 1 (loai) 3 AC BC d d AC BC d d AC AC AC AC K K K K K K K K K K K K Vậy pt đường thẳng AC đi qua C và có hệ ssó góc k=0 là: y = 3 + Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 4 27 0 ( 5;3) 3 0 x y A y Pt cạnh AB là: 5 3 4 7 1 0 2 5 1 3 x y x y Vậy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0 b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng ( ) có phương trình : 2 1 0 2 0 x y z x y z Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng ( )sao cho : MA + MB nhỏ nhất . + Xét vị trí tương đối giữa AB và V , ta có: V cắt AB tại K(1;3;0) Ta có 2 KB KA uuur uuur A, B nằm về cùng phía đối với V Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua V và H là hình chiếu của A trên V . H( 1;t;-3+t) (vì PTTS của V : 1 3 x y t z t )Ta có . 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4 (1;4;1) '(0;4;1) AH u t t t H A uuuur r Gọi M là giao điểm của A’B và d 13 4 (1; ; ) 3 3 M Lấy điểm N bất kỳ trên V Ta có MA+MB=MB+MA’=A’B NA+NBVậy 13 4 (1; ; ) 3 3 M C©u 7b : Cho 2 12 2 24 0 1 2 24 (1 ) x x a a x a x a x . Tính hệ số a 4 . Ta có: (1+x+x 2 ) 12 = [(1+x)+x 2 ] 12 = = 0 12 1 11 2 12 2 12 24 12 12 12 12 (1 ) (1 ) . (1 ) .( ) k k k C x C x x C x x C x = 0 0 12 1 11 8 4 1 2 0 11 9 2 12 12 12 12 12 11 11 2 4 0 10 10 12 10 10 [C ]+C x [C ] +C [C ]+ C x C x C x x C x x x C Chỉ có 3 số hạng đầu chứa x 4 0 8 1 9 2 10 4 12 12 12 11 12 10 . . . 1221 a C C C C C C . trình đường thẳng ( ) i qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). Nhận xột: M (d1 ) và M (d2 ) Giả sử ( ) ( 1) ( ) ( 2) d I d H . vậy: 4( x 3 +y 3 ) (x+y) 3 4( x 2 -xy+y 2 ) (x+y) 2 (vỡ x+y> 0) 3x 2 +3y 2 -6 xy 0 (x-y) 2 0 luôn đúng Tương tự: 4( x 3 +z 3 ) (x+z) 3