Phân tích một số sai lầm thường gặp của học sinh. Từ đó phát huy tính sáng tạo của các em trong quá trình học nội dung đại số và giải tích lớp 11 Dạy học toán ở trường phổ thông là giáo viên tổ chức các hoạt động tư duy đặc trưng của toán học cho học sinh như: dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học giải bài tập toán và vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn. Thông qua các hoạt động trên giáo viên từng bước rèn luyện cho học sinh thói quen: Dự đoán, mò mẫm, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,… thay đổi cách nhìn, giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau, chọn cách giải tối ưu, tư duy phản biện. …Qua đó bồi dưỡng năng lực phát hiện giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh trọng học tập.
1 MỤC LỤC A, ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN Cơ sở lý luận thực tiển a) Các chức tập toán b) Dạy học giải tập Toán học c) Chương trình Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 hành Thực trạng việc dạy học giải Toán trường phổ trông II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI B, NỘI DUNG I) THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TRONGCHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 Một số cơng trình có liên quan Sự cần thiết phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh giải toán .9 Một số kiểu sai lầm học sinh trung học phổ thông tập Đại số giải tích lớp 11 10 a) Sai lầm giải tập lượng giác .10 b) Sai lầm giải tập tổ hợp – Xác suất 16 c) Sai lầm giải tập Dãy số – Cấp số cộng cấp số nhân 27 d) Sai lầm giải tập giới hạn .29 e) Sai lầm giải tập Đạo hàm 40 f) Sai lầm giải tốn trắc nghiệm 42 II GĨP PHẦN PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 .50 Cơ sở lý luận 50 Những quan điểm chủ đạo việc phòng tránh, sửa chữa sai lầm học sinh Trung học phổ thơng giải tốn Đại số giải tích lớp 11 57 a) Quan điểm 1: 57 b) Quan điểm 2: 64 c) Quan điểm 3: 68 Thực nghiệm sư phạm 70 a) Mục đích thực nghiệm 70 b) Tổ chức nội dung thực nghiệm 70 c) Đánh giá kết thực nghiệm 74 d) Kết luận chung thực nghiệm sư phạm .75 C) KẾT LUẬN .76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 A, ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN Cơ sở lý luận thực tiển Giáo dục Tốn học cho học sinh q trình phức tạp bao gồm phận, vấn đề sau đây: + Truyền thụ cho học sinh hệ thống định kiến thức Toán học; + Rèn luyện kỹ kỹ xảo Toán học; + Phát triển tư Toán học Toán học chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc bồi dưỡng phát huy lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải tập sách giáo khoa, giáo viên khai thác tiềm thơng qua việc xây dựng hệ thống tập sở hệ thống tập bản, thông qua hướng dẫn giáo viên, học sinh huy động kiến thức để giải hệ thống tập đó, đồng thời để em phát vấn đề khác, để từ em phát triển lực sáng tạo a) Các chức tập tốn Ở trường phổ thơng, dạy Tốn dạy hoạt động Tốn học cho học sinh, giải tập tốn hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải tập tốn có tầm quan trọng đặc biệt từ lâu vấn đề trọng tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh coi việc giải tập tốn hình thức chủ yếu việc học Tốn, tập tốn có chức sau: - Chức dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vấn đề lý thuyết học Trong nhiều trường hợp giải tốn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự đến kiến thức Có tập lại định lý, mà lí khơng đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải tập mà học sinh mở rộng tầm hiểu biết - Chức giáo dục: Thông qua việc giải tập mà hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động Qua tốn có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đắn tính chất thực tiễn Tốn học, giáo dục lòng u nước thơng qua tốn từ sống chiến đấu xây dựng tổ quốc Đồng thời, học sinh phải thể số phẩm chất đạo đức người lao động qua hoạt động Toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật, suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiết kiệm, biết sai Toán học thực tiễn - Chức phát triển: Giải tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt phát triển tư sáng tạo, hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết dạy học, đánh giá khả học Tốn trình độ phát triển học sinh khả vận dụng kiến thức học Trong việc lựa chọn tập toán hướng dẫn học sinh giải tập toán, giáo viên cần phải ý đầy đủ đến tác dụng nhiều mặt tập tốn Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa ý đến việc phát huy tác dụng giáo dục toán, mà thường trọng cho học sinh làm nhiều tập tốn Trong q trình dạy học, việc ý đến chức tập toán chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải tập toán Lời giải tập toán phải đảm bảo yêu cầu sau: - Lời giải khơng có sai lầm Học sinh phạm sai lầm giải tập thường ba nguyên nhân sau: + Sai sót kiến thức tốn học, tức hiểu sai định nghĩa khái niệm, giả thiết hay kết luận định lý, + Sai sót phương pháp suy luận + Sai sót tính sai, sử dụng ký hiệu, ngơn ngữ diễn đạt hay hình vẽ sai - Lời giải phải có sở lý luận - Lời giải phải đầy đủ - Lời giải đơn giản b) Dạy học giải tập Toán học Trong dạy học giải toán, kỹ tìm kiếm lời giải kỹ quan trọng, mà việc rèn luyện thao tác tư thành phần thiếu dạy học giải Tốn G Pơlya [23] đưa bước để đến lời giải toán 1) Hiểu rõ toán: Để giải toán, trước hết phải hiểu toán phải có hứng thú giải tốn Vì điều người giáo viên cần ý hướng dẫn học sinh giải Tốn khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Tốn em, giúp em hiểu toán phải giải, muốn cần phải: Phân tích giả thiết kết luận toán: Đâu ẩn, đâu kiện? Đâu điều kiện? Điều kiện, kiện liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn tốn hình thức khác khơng? Như vậy, bước “Hiểu rõ đề toán” ta thấy vai trò tư sáng tạo việc định hướng để tìm tòi lời giải 2) Xây dựng chương trình giải: Trong bước thứ này, ta lại thấy vai trò tư sáng tạo thể rõ nét qua việc phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Biến đổi tốn cho, mò mẫm dự đốn thơng qua xét trường hợp đặc biệt, xét toán tương tự hay khái qt hố vv thơng qua kỹ sau cách đặt câu hỏi: - Huy động kiến thức có liên quan: * Bài tốn có thuật giải hay khơng? * Em gặp toán hay dạng khác lần chưa? Em có biết liên quan khơng? Một định lý dùng khơng? * Thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay ẩn số tương tự? * Có thể sử dụng tốn mà em có lần giải sử dụng kết khơng? - Dự đốn kết phải tìm: * Em nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng? Một toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một tốn tương tự? Em giải phần toán? * Em sử dụng kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa? * Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần kia, ẩn xác định đến chừng mực biến đổi nào? - Sử dụng phép phân tích lên phép phân tích xuống để tìm kiếm hướng giải vấn đề Trong trình dạy học giáo viên khai thác triệt để gợi ý hình thành phát triển học sinh kỹ tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên để đạt điều giáo viên phải thực kiên trì tất dạy Tốn, đồng thời học sinh phải tự áp dụng vào hoạt động giải tốn 3) Thực chương trình giải: Khi thực chương trình giải kiểm tra lại bước Em thấy rõ ràng bước chưa? Em chứng minh khơng? 4) Kiểm tra nghiên cứu lời giải tìm được: Học sinh phổ thơng thường có thói quen tìm lời giải tốn thoả mãn, sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót khơng, quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì trình dạy học, giáo viên cần ý cho học sinh thường xuyên thực yêu cầu sau: - Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận - Xem xét đầy đủ trường hợp xảy tốn - Tìm cách giải khác tốn: Một tốn thường có nhiều cách giải, học sinh thường có suy nghĩ khác trước tốn, kết có nhiều lời giải độc đáo sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo học sinh việc tìm lời giải gọn, hay tốn Tuy nhiên khơng nên q thiên lời giải hay, làm cho học sinh trung bình chán nản Đối với tốn trắc nghiệm, dạng tập khả diễn đạt, sử dụng ngôn ngữ trình tư học sinh, sáng tạo học sinh làm Nhưng có ưu điểm kiểm tra đánh giá có hệ thống, tồn diện kiến thức học sinh Ta thấy tập tốn trắc nghiệm tự luận có tính tương hỗ lẫn việc dạy học nhằm phát triển tư giáo dục học sinh Nên người giáo viên cần biết kết hợp hai hình thức dạy học cách linh hoạt phù hợp với nội dung đối tượng học sinh c) Chương trình Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 hành Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 hành bố trí gồm chương, với nội dung : - Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác - Chương II: Tổ hợp - Xác suất - Chương III: Dãy số - Cấp số cộng cấp số nhân - Chương IV: Giới hạn - Chương V: Đạo hàm Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Tốn trường phổ thơng có lúc, có chỗ chưa tốt, biểu qua việc lực giải Tốn học sinh hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Tốn Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Đã có nhiều quan điểm ý kiến nêu xoay quanh vấn đề sai lầm sống nghiên cứu khoa học Khổng Tử nói: “Sai lầm chân thật khơng sửa chữa sai lầm trước mình” Albert Einstein nói sai lầm nghiên cứu khoa học: “Nếu tơi mắc sai lầm lần đủ rồi” Nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm học sinh trình giảng dạy Toán, chẳng hạn, G Polia phát biểu: “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình”, A A Stơliar nhấn mạnh rằng: “Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” Viện sĩ A N Kơlmơgơrơv viết: “Năng lực bình thường học sinh trung học đủ để em nắm Tốn học nhà trường phổ thơng có hướng dẫn tốt thầy giáo” Như khẳng định rằng, sai lầm học sinh giải Tốn cần khắc phục Số cơng trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm học sinh giải Tốn nói chung, chương trình Đại số giải tích lớp 11 nói riêng tương đối ít, cơng trình kể tới nhóm tác giả Nguyễn Vĩnh Cận - Lê Thống Nhất Phan Thanh Quang: "Sai lầm phổ biến giải tốn” (1997) Nhóm tác giả xem xét sai lầm học sinh chủ đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số, Tuy nhiên, hạn chế lại chỗ: đưa ví dụ sai lầm cách sửa sai, chưa hệ thống thành lý luận Các nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Tốn (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam Mẹo bẫy đề thi mơn Tốn (1992); Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) có cách làm tương tự Cách nghiên cứu tác giả nói chưa thể giải thích cách tường minh, dễ hiểu bao quát hết tất kiểu sai lầm cho học sinh, chưa hệ thống thành lý luận Hơn chưa thể đề cập số kiểu sai lầm thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến thao tác tư duy, sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng, Có thể nói, chưa có cơng trình nghiên cứu sai lầm học sinh giải tốn Đại số giải tích lớp 11 cách hoàn chỉnh Thực trạng việc dạy học giải Tốn trường phổ trơng Thực tế dạy học phần tập trường phổ thơng mơ tả sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị nhà chuẩn bị phút lớp, sau gọi vài học sinh lên bảng chữa, học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa đưa lời giải mẫu qua củng cố kiến thức cho học sinh Một số toán phát triển theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa cho đối tượng học sinh giỏi Việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thường ý đến việc rèn luyện khả suy diễn, coi nhẹ khả quy nạp Giáo viên ý đến việc dạy Tốn cách tổ chức tình có vấn đề đòi hỏi dự đốn, nêu giả thuyết, tranh luận ý kiến trái ngược hay tình có chứa số điều kiện xuất phát yêu cầu học sinh đề xuất giải pháp Hầu hết giáo viên sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình đàm thoại chưa ý đến nhu cầu, hứng thú học sinh trình học Từ phân tích đây, tơi chọn đề tài SKKN là: “ Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc sửa chữa sai lầm giải tập Đại số giải tích lớp 11” II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI Đề tài SKKN làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm học sinh Trung học phổ thơng giải tốn Đại số Giải tích mà tài liệu khác chưa có dịp đề cập, đề cập mức độ sơ chưa có tính hệ thống SKKN phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm Cùng với cơng trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đưa tranh toàn cảnh tương đối đầy đủ kiểu sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải tốn Đại số giải tích lớp 11 hành Tiến hành thực nghiệm để kiểm nghiệm Giả thuyết khoa học B, NỘI DUNG I) THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TRONGCHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 Một số cơng trình có liên quan Những cơng trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm học sinh giải Tốn tương đối ít, cơng trình phải kể tới Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện lực giải Tốn cho học sinh phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Toán" (1996) Luận án xem xét sai lầm học sinh chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề phương trình, bất phương trình, giới hạn, hàm số Nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Toán (2004) đề cập đến số sai lầm học sinh Trong cơng trình này, tác giả đưa số kĩ thuật chọn điểm rơi để tránh sai lầm sử dụng Bất đẳng thức Cơsi Bunhiacơpski Ngồi phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam cơng trình Mẹo bẫy đề thi mơn Tốn (1992), cơng trình tác giả đưa thuật ngữ "bẫy" phân tích nhiều ví dụ cho rằng, học sinh mắc sai lầm đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" tốn tình tác giả cài đặt mà học sinh khơng vững kiến thức mắc phải sai lầm Sự cần thiết phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh giải toán Dạy Toán dạy hoạt động toán học (A A Stôliar, 1969) luận điểm người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu học sinh hoạt động giải tập Tốn Trình độ học Tốn học sinh đến mức độ thể rõ nét qua chất lượng giải Tốn Vai trò tập dạy học Tốn vơ quan trọng, lí nhiều cơng trình nghiên cứu phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống tập (chẳng hạn, công trình: Tơn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)) Tuy nhiên dạy học giải Tốn khơng thể tách rời cách cô 10 lập với dạy học khái niệm tốn học dạy học định lí, phát thấy học sinh mắc phải nhiều khó khăn sai lầm giải Tốn điều có tác dụng khuyến cáo điểm cần ý trình dạy khái niệm định lí tốn học Đặt vấn đề nghiên cứu khó khăn sai lầm học sinh giải Toán cấp thiết, lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh mắc nhiều kiểu sai lầm Từ sai lầm tính tốn đến sai lầm suy luận chí kiểu sai lầm tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ giáo viên chưa trọng cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Tốn Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Rất nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm cho học sinh q trình giảng dạy Tốn, chẳng hạn G Polia cho rằng: "Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình", A A Stơliar phát biểu: "Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh" Tâm lí học khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thường khơng có bệnh tật có khả đạt học vấn tốn học phổ thơng, chương trình tốn đại hóa" Như khẳng định rằng, sai lầm học sinh giải Tốn cần khắc phục Một số kiểu sai lầm học sinh trung học phổ thông tập Đại số giải tích lớp 11 Trong mục để ám lời giải có mắc phải sai lầm, tơi dùng kí hiệu (?) sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm học sinh a) Sai lầm giải tập lượng giác Các sai lầm giải Toán thường ngun nhân từ góc độ khác tính cách, trình độ nắm kiến thức kĩ Do biện pháp chủ yếu dành cho học sinh lẽ đối tượng tập dượt nghiên cứu sáng tạo, làm quen với cách tiếp cận, phát giải vấn đề Nhiệm vụ giáo viên phải dự đoán giúp đỡ học sinh khắc phục sai lầm giải Toán 65 thường xuyên qua toán dễ dẫn đến sai lầm V A Cruchetxki cho rằng: “giáo viên cần nghiên cứu mặt lực yếu học sinh để tìm cách giúp em phát triển mặt lực này”, giáo viên phải nhanh nhạy với tình điển hình, nhằm tác động hoạt động học học sinh - Tính xác Giáo viên cần phải diễn đạt xác, từ ngơn ngữ thơng thường đến ngơn ngữ tốn học, phải mẫu mực phương pháp, tư lời giải phải xác cho tốn, sai lầm, nguyên nhân sai lầm học sinh phải xác thuyết phục, khơng phủ định lời giải học sinh cách chung chung Ví dụ 62: Khi tính đạo hàm hàm số cho nhiều công thức, chẳng hạn sin x x ≠ f (x) = x , nhiều học sinh trình bày f(0) = ⇒ f ' ( ) = ( ) ' = 0 x = Nếu giáo viên đưa cách giải thích cho học sinh là: “Thay x = đạo hàm, đạo hàm điểm hàm số 0!” Cách giải thích chưa hồn tồn thỏa đáng, chừng sai đích thực lời giải thích Cơ sở quan trọng để đánh giá kiểm tra (miệng hay viết) cần vào trình theo dõi học sinh Hai học sinh có điểm số nhận lời đánh giá khác Mục đích việc kiểm tra đánh giá khơng chỗ học sinh nhận điểm số Điều quan trọng qua cho học sinh thấy chỗ mạnh chỗ yếu mình, chỗ nắm vững chỗ lỗ hổng hay sai sót để khắc phục Ví dụ 63: Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị: y = x4 – x2 + Có học sinh giải sau: Giả sử A(0; m) điểm trục tung Khi phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x - 0) + m 66 Để có ba tiếp tuyến kẻ từ A hệ phương trình sau phải có ba nghiệm: 3x − x + m − = (1) , hay phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt , đặt (2) 4x − 2x = k x2 = t ≥ ta 3t - t + m - = có nghiệm t 1, t2 thỏa mãn = t1< t2 ⇔ m= Vậy A (0; 1) điểm cần tìm Và học sinh khác giải sau: Đồ thị có trục đối xứng 0y Do đó, d tiếp tuyến đồ thị khơng vng góc với 0y d , đối xứng với d qua 0y tiếp tuyến đồ thị Suy từ điểm 0y kẻ tiếp tuyến tới đồ thị tiếp tuyến phải có tiếp tuyến vng góc với 0y Gọi x − x + = m (3) tiếp tuyến y = m hệ có nghiệm, ta có (4) 4x − 2x = (4) x = ⇔ x = ± Nếu x = thay vào (1) ta có m = suy tiếp tuyến y = cắt 0y A ( 0;1) , nên A (0; 1) thỏa mãn Nếu x = ± (0; 3 thay vào (1) ta có m = suy tiếp tuyến y = cắt 0y B 4 3 ), nên B (0; ) thỏa mãn Vậy có hai điểm cần tìm là: A (0; 1); B (0; ) 4 Trong hai lời giải trên, Lời giải cho kết đúng, học sinh không chặt chẽ cho rằng: số tiếp tuyến số tiếp điểm” Còn Lời giải 2, thực tế điểm B khơng thỏa mãn, có nghĩa kết học sinh tìm chưa chuẩn, giáo viên khơng nên đánh giá Lời giải chặt chẽ Lời giải Giáo viên cần phải hướng dẫn điều chỉnh, sửa chữa lời giải sai tìm lời giải đúng, phải biết lựa chọn biện pháp tối ưu tình điển hình 67 - Tính giáo dục Tính giáo dục giúp cho học sinh xác định động học tập mơn Tốn, người thầy cần phải làm cho học sinh thấy hấp dẫn mơn Tốn, hấp dẫn mong muốn chiếm lĩnh kiến thức, từ học sinh có động hồn thiện tri thức mơn Tốn Giáo viên cần phải có phẩm chất lực, uy tín xứng đáng người thầy, trước hết giáo viên phải tận tụy với nghề dạy Tốn, tận tụy tiền đề cho hoàn thiện tri thức môn tri thức sư phạm Giáo viên cần nắm vững tri thức mơn Tốn, cần phải trang bị kiến thức sai lầm học sinh giải Tốn Bởi có vậy, việc hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh hoàn toàn chủ động, đặc biệt phải tránh sai lầm giải Tốn giáo viên, đồng thời giáo viên cần phải nhận sai lầm lời giải cách đánh giá học sinh Giáo viên không làm cho học sinh bị xúc phạm nhân cách bị mắc sai lầm Do giáo viên phải rèn luyện thái độ ứng xử khéo léo sư phạm, Disterweg yêu cầu người thầy giáo phải hiểu tâm lý học sinh, phải dựa vào sở tâm lý học sinh Đó nguyên tắc bản, “nguyên tắc Bắc đẩu tảng sư phạm, chung quanh quay tròn tất phương pháp, tất cách thức giáo dục, ý tưởng mà phải hướng tới” (dẫn theo Đỗ Ngọc Đạt 2000), nên giáo viên cần né tránh kết luận chạm tới lòng tự học sinh là: “yêu cầu cao không hạ thấp phẩm giá học sinh” Phải biết biểu dương kịp thời, khích lệ học sinh sửa chữa sai lầm, khơng nóng vội việc thực biện pháp để mong muốn chấm dứt sai lầm học sinh Có sai lầm đòi hỏi qua q trình lâu dài cần phối hợp nhiều biện pháp đồng khắc phục Giáo dục cho học sinh khơng ngại khó, biết kiên trì cẩn thận để tới lời giải đúng, giúp cho học sinh có thói quen tốt: cẩn thận, biết tự kiểm tra việc giải Tốn mình, biết phủ định sai lầm mình, giúp cho học sinh thấy sai lầm sửa chữa tìm ngun nhân có ý chí khắc phục Việc kiểm tra đánh giá có tác dụng giáo dục học sinh: tình thần, trách nhiệm học tập, thói quen làm việc có kế hoạch, thái độ trung thực Nội dung kiểm 68 tra đánh giá giáo viên có tác dụng lớn đến thái độ, tinh thần học tập, đến tư tưởng, tình cảm học sinh mơn Tính giáo dục làm cho học sinh biết ưu điểm trực giác giúp nghĩ lời giải, kiểm tra lời giải trực giác đưa học sinh đến sai lầm Chẳng hạn, số học sinh thường kết luận vội vàng, thiếu sở lí luận học sinh cảm nhận trực giác Họ hay dùng “Ta thấy” mà khơng giải thích cả, hay “Theo định lí ” mà khơng nêu rõ định lí c) Quan điểm 3: Giáo viên kiến tạo tình dễ dẫn tới sai lầm để học sinh thử thách với sai lầm Đây quan điểm thường trực kể sai lầm phân tích Bởi vậy, chất vấn đề cần cho học sinh thử thách với toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với sai lầm sửa chữa sai lầm Quan điểm phù hợp với quan điểm J Piaget: "Chỉ có hoạt động giáo viên thường xuyên định hướng khích lệ, ln ln tự việc mò mẫm sai lầm, đưa đến độc lập mặt trí tuệ" (Dẫn theo IREM GRENOBLE) Thơng qua quan tâm, theo dõi đó, giáo viên phân loại sai lầm, tiên lượng sai lầm bắt đầu xuất Và từ dẫn dắt học sinh theo đường tránh sai lầm Thầy biết đặt vào vị trí học sinh, hình dung bình luận sai lầm mà học sinh thường mắc phải, biết xoay chuyển hướng suy nghĩ gặp khó khăn, khơng phải đưa lời giải G Polia [22] cho rằng: "Hãy biết cách hiểu học sinh theo nét mặt họ Hãy cố gắng thấy họ chờ mong điều bạn, hiểu khó khăn họ, biết tự đặt vào vị trí họ" Khơng nên nghĩ phương thức dạy học bình thường phòng tránh sai lầm học sinh Mặc dù giáo viên trọng tới pha lập luận Nhưng học sinh phạm phải sai lầm Để học sinh ý thức sai lầm họ cần phải thường xuyên thử thách sai lầm, từ rút kinh nghiệm chấm dứt cách thức trình bày thân 69 Một phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải cài đặt tốn có chứa “bẫy” (cho học sinh va chạm) Thuật ngữ “bẫy” tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam cơng trình "Mẹo bẫy đề thi mơn Tốn" (1992), cơng trình tác giả đưa thuật ngữ "bẫy" phân tích nhiều ví dụ cho rằng, học sinh mắc sai lầm đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" tốn tình tác giả cài đặt mà học sinh không vững kiến thức mắc phải sai lầm Trong dạy học mơn Tốn trường phổ thơng cần thiết phải đưa vào loại tập ngụy biện Toán học Đối với loại tập này, thân học sinh muốn tìm chân lí cần phải suy nghĩ, phân tích cẩn thận lập luận đưa ra, biết vận dụng linh hoạt sâu sắc kiến thức học để tìm sai lầm tồn lập luận, từ mà bác bỏ kết luận vơ lí Sự cố gắng giải tập thuộc loại nhiều dạng tập thơng thường khác Chính thơng qua loại tập vậy, mà óc phê phán khả suy luận Tốn học phương pháp tư không ngừng mở mang phát triển, kiến thức toán học đào sâu, củng cố nâng cao Ví dụ 64: Sau dạy Định lí: “Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f ' ( x ) > với x∈ (a; b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng đó”, ta cho học sinh giải Bài toán: giả sử a − 1 = b − , khẳng a b định chắn a = b hay không? Ý đồ việc tốn này: tìm hiểu xem học sinh sử dụng cơng cụ hàm số giải tốn có xác không? Nhiều học sinh xét hàm số f (x) = x − với x ≠ 0, từ giả thiết suy f(a) = f(b), mặt khác f ' ( x ) = + x > ∀x ≠ ⇒ f ( x ) x2 đồng biến D = R \ {0} Vì từ f(a) = f(b) suy a = b 70 Cần phải làm cho học sinh thấy phát biểu cho trường hợp khoảng (a; b) hợp hai khoảng, nói cách khác miền ta xét khoảng liên tục không chứa điểm gián đoạn Nếu có chứa điểm gián đoạn ta phải tách riêng xét khoảng Sự cài “bẫy” liên tiếp ví dụ trên, học sinh vượt qua tất “bẫy” để đến lời giải xác, qua hình thức đo kiến thức Ngồi việc giáo viên thiết kế tình để học sinh thử thách với sai lầm Giáo viên cần quan tâm tới giải thích nguồn gốc sai lầm học sinh, có sai lầm rõ ràng giáo viên biết học sinh giải sai Nhưng phân tích, sửa chữa sai lầm học sinh cách khơng phải dễ Trong dạy học mơn Tốn, việc sử dụng hợp lý phương tiện dạy học trực quan tượng trưng đóng vai trò vơ quan trọng, phương tiện trực quan tượng trưng không tham gia vào q trình hình thành khái niệm mà hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý; dạy học giải tập Toán; Đồng thời sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng để vạch sai lầm, sửa chữa sai lầm Thực nghiệm sư phạm a) Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi, tính hiệu biện pháp nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc sửa chữa sai lầm giải toán Đại số giải tích lớp 11; kiểm nghiệm tính đắn Giả thuyết khoa học b) Tổ chức nội dung thực nghiệm - Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Quỳnh Lưu 2, huyện Quỳnh Lưu, tỉnh Nghệ An Thời gian thực nghiệm tiến hành năm học 2016-2017 Lớp thực nghiệm: 11A1 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Phạm Ngọc Chuyên Lớp đối chứng: 11A Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cơ Hồ Thị Hồi Liên 71 Được đồng ý Ban giám hiệu tổ Toán Trường THPT Quỳnh Lưu 2, chúng tơi tìm hiểu kết học tập lớp khối 11 trường nhận thấy trình độ chung mơn Tốn hai lớp 11A1 11A2 tương đương Đặc biệt, hai lớp 11A1 11A2 lớp chọn khối A khối B trường, nên hầu hết học sinh có học lực mơn Tốn trung bình trở lên Chúng đề xuất thực nghiệm lớp 11A lấy lớp 11 A2 làm lớp đối chứng Ban giám hiệu nhà trường, thầy tổ Tốn chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm - Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 18 tiết Chương Phương trình lượng giác (từ tiết đến tiết 21 phân phối chương trình) Sau dạy thực nghiệm, chúng tơi cho học sinh làm kiểm tra chung cho hai lớp Nội dung đề kiểm tra sau: Đề kiểm tra (thời gian 45 phút) Bài 1: Giải phương trình: tan4x + cot4x = (tanx + cotx)2 - Bài 2: Giải phương trình: π sin x − x + + − 1 = + x 2 Bài 3: Giải phương trình: tan3x = tan5x Lưu ý: Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh lớp 11A1 11A2 trường THPT Quỳnh Lưu năm học 2016-2017 Mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba câu đề kiểm tra khơng nặng tính toán, mà chủ yếu kiểm tra khả suy luận, vận dụng kiến thức, kiểm tra kết thu Ba toán đưa với dụng ý sư phạm khác nhau, cụ thể: +) Đối với Bài 1, giải phương trình: tan4x + cot4x = (tanx + cotx)2 - 72 Với mục đích sư phạm là: đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương trình lượng giác, thành thạo phép biến đổi, thể tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính nhạy cảm tư sáng tạo để định hướng đúng, tìm cơng cụ phù hợp cho toán tránh sai lầm trình biến đổi Đặt ẩn phụ: u = tan2x + cot2x Tới học sinh đặt điều kiện cho ẩn phụ khơng Nếu đặt điều kiện học sinh đặt là: Điều kiện: u ≥ (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ) Điều kiện: u ≥ (Tìm điều kiện cho ẩn phụ) Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ ta thu phương trình: u2 - 8u - = ⇔ u = - u = Từ đây, phải trở tìm ẩn cho x nên buộc phải giải phương trình: u = tan2x + cot2x Nên với u = ta có: tan2x +cot2x = (Điều kiện: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0) ⇔ sin4x + cos4x = 9sin2x cos2x ⇔ cos4x = cosα = ⇔ x=± 11 α π +k Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: x = ± α π +k Với u = - không tồn x, nhiên có học sinh ”quen” với cách giải trên, vẩn cho kết nghiệm, dẫn tới sai lầm học Như vậy, không đặt điều kiện cho ẩn phụ u tốn giải đúng, đặt điều kiện cho ẩn phụ u ≥ dẫn tới loại trường hợp u = - Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ xác giúp loại trường hợp u = mà thơi Chính tốn khơng chứa tham số làm cho học sinh hay quên bước đặt điều kiện xác cho ẩn phụ, em đặt khơng, đặt thừa điều kiện ẩn phụ mà không ảnh hưởng đến lời giải toán 73 lối suy nghĩ dễ dẫn học sinh đến sai lầm tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số Bởi dạng tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số, điều kiện kiên ảnh hưởng đến lời giải điều kiện ẩn phụ, sở cho lập luận, toán - toán ẩn phụ +) Đối với Bài 2, giải phương trình: π sin x − x + + − 1 = + x 2 Mục đích sư phạm toán yêu cầu học sinh phát huy tính độc đáo, đặc trưng quan trọng tư sáng tạo Mới nhìn phương trình thấy hình thức rắc rối: Vế phải hàm đa thức bậc hai, vế trái lại hàm lượng giác phức tạp, học sinh thường không khỏi hoang mang, bế tắc Nhưng giáo viên thường xuyên bồi dưỡng lực giải tốn, cộng với tư sáng tạo mình, học sinh suy nhanh chóng phát vấn đề: Với tốn có dạng “đặc biệt” phải dùng phương pháp “đặc biệt”, tốn phương pháp đánh giá hai vế phương trình +) Đối với Bài 3, giải phương trình: tan3x= tan5x Mục đích sư phạm toán yêu cầu học sinh phát huy tính hồn thiện thơng qua việc kiểm tra, đánh giá lời giải toán phát toán Đa số em học sinh hai lớp có lời giải sau: Ta có: tan3x=tan5x ⇔ 3x=5x+ kπ ⇔ x = k π , k ∈Z Ta thấy k=1 x = π khơng phải nghiệm, lời giải em mắc sai lầm chổ, phương trình dạng f ( x) = g ( x) + kπ tương đương với hệ π f ( x ) ≠ + lπ tan f(x)=tang(x) 74 Sau sữa chữa sai lầm cho em (thông qua tiết tự chọn trả kiểm tra), nhiều em (trước làm sai này) tự tìm phương pháp để giải toán tương tự dạng: cotf (x) = cotg (x) tanf (x) = cotg(x) c) Đánh giá kết thực nghiệm - Đánh giá định tính Chủ đề phương trình bất phương trình lượng giác nội dung khó chương trình Tốn trung học phổ thơng Thơng qua q trình thực nghiệm, quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, lời giải tập học sinh, rút số nhận xét sau: - Khi đứng trước tốn giải phương trình lượng giác, học sinh lúng túng lựa chọn công cụ giải tốn Các em khơng biết nên dùng cơng thức để biến đổi cho phù hợp với tốn (điều có phần từ ngun nhân: Số lượng cơng thức lượng giác chương trình phổ thơng lớn tương đối khó nhớ) - Các em hay quyên đặt điều kiện ẩn, đặt điều kiện ẩn việc kiểm tra loại giá trị khơng thích hợp khó khăn - Khi giải tốn có dùng đến ẩn số phụ, học sinh thường thực yêu cầu toán ban đầu vào toán với ẩn phụ (biến mới) mà không lưu ý đến quy luật tương ứng hai biến - Năng lực liên tưởng huy động kiến thức hạn chế Khi đứng trước tốn, có thói quen xem xét biểu thức, số, có mặt tốn có liên quan với kiến thức học hay khơng Sau nghiên cứu kỹ vận dụng biện pháp sư phạm xây dựng vào trình dạy học, giáo viên dạy thực nghiệm có ý kiến rằng: khơng có trở ngại, khó khăn vận dụng biện pháp vào giảng dạy lớp học khối 11 Đặc biệt gợi ý cách sử dụng quy tắc bốn bước, trọng cách phân tích để tìm tòi lời giải tốn, sửa chữa sai lầm, cần thiết áp dụng phù hợp học sinh học trường, đặc biệt với học sinh khá, giỏi Giáo viên hứng thú dùng biện pháp đó, học sinh học tập cách tích cực hơn, khó khăn sai lầm học sinh 75 giảm nhiều đặc biệt hình thành cho học sinh “phong cách” tư khác trước nhiều Học sinh bắt đầu ham thích dạng tốn mà trước họ “ngại” - ln gặp phải thiếu sót sai lầm đứng trước dạng tốn - Đánh giá định lượng Hầu hết em học sinh lớp thực nghịệm lớp đối chứng làm hoàn thiện Bài 3, 70% số học sinh lớp thực nghiệm làm hoàn thiện Bài 2, lớp đối chứng đạt chưa đến 30% số học sinh hồn thành tốt cơng việc Còn Bài tất học sinh hai lớp khơng hồn thiện, lớp dạy thực nghiệm làm tốt Kết điểm cụ thể sau: Điểm 10 Tổng số Đối chứng 11A2 0 15 12 0 41 Thực 11A1 0 0 16 43 Lớp nghiệm Lớp thực nghiệm: Yếu 4,5%; Trung bình 27,3%; Khá 59,1%; Giỏi 9,1% Lớp đối chứng: Yếu 20%; Trung bình 64,4%; Khá 15,6%; Giỏi 0% Căn vào trình dạy học kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông qua việc sửa chữa sai lầm giải tốn Đại số giải tích lớp 11 d) Kết luận chung thực nghiệm sư phạm Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm hồn thành, tính khả thi tính hiệu biện pháp khẳng định Thực biện pháp góp phần bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc sửa chữa sai lầm giải toán Đại số giải tích lớp 11, góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn cho học sinh Trung học phổ thông 76 C) KẾT LUẬN Đề tài SKKN thu kết sau đây: Đã hệ thống hóa quan điểm nhiều nhà khoa học sai lầm sửa chữa sai lầm học sinh giải Toán; Đề tài hệ thông dạng sai lầm phổ biến giải tập chương trình Đại số giải tích 11, đồng thời phân tích nguyên nhân chủ yếu dẫn đến khó khăn, sai lầm đó; 77 Đã đề xuất ba quan điểm chủ đạo nhằm phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh Trung học phổ thơng giải Tốn Đại số giải tích chương trình lớp 11; Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu quan điểm đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành Giả thuyết khoa học chấp nhận TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến giải Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Mạnh Chung (2001), Nâng cao hiệu dạy học khái niệm toán học biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức hàm số (thông qua dạy học khái niệm “hàm số giới "hạn” cho học sinh THPT), Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội 78 Hoàng Chúng (1997), Những vấn đề lơgic mơn Tốn trường phổ thông Trung học sở, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả sáng tạo Tốn học trường phổ thơng, Nxb Giáo dục, Hà Nội Cruchetxki V A (1973), Tâm lý lực toán học học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội Đỗ Ngọc Đạt (2000), Bài giảng lí luận dạy học, Nxb Đại học quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên Đại số Giải tích 11 (Năm 2007), Nxb Giáo dục, Hà Nội Phạm Văn Hồn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (1981), Giáo dục học mơn Tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thái Hoè (1997), Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội 10 Đỗ Mạnh Hùng (1993), Nội dung phương pháp dạy học số yếu tố Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán cho học sinh chuyên Toán bậc PTTH Việt Nam, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm – Tâm lý, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội 11 IREM GRENOBLE (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán Pháp, Nxb Giáo dục, Hà Nội 12 Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội 13 Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội 14 Luật Giáo dục (1998), Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội 15 Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện lực giải Tốn cho học sinh PTTH thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Tốn, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm - Tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh 79 16 Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên Trung học phổ thơng chu kì III (2004 2006), Viện Nghiên cứu sư phạm, Trường đại học Sư phạm Hà Nội 17 Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội 18 Trần Phương (2002), Tuyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn, Nxb Hà Nội, Hà Nội 19 Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Toán , Nxb Hà Nội, Hà Nội 20 Pơlya G (1975), Sáng tạo tốn học, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội 21 Pôlya G (1976), Sáng tạo toán học, Tập 3, Nxb Giáo dục, Hà Nội 22 Pơlya G (1995), Tốn học suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội 23 Pơlya G (1997), Giải tốn nào?, Nxb Giáo dục, Hà Nội 24 Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên dạy Chương trình Sách giáo khoa lớp 11 thí điểm mơn Tốn (2005), (Phần kiểm tra đánh giá soạn mơn Tốn) ... Sai lầm chân thật không sửa chữa sai lầm trước mình” Albert Einstein nói sai lầm nghiên cứu khoa học: “Nếu mắc sai lầm lần đủ rồi” Nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm. .. qua việc sửa chữa sai lầm giải tập Đại số giải tích lớp 11 II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI Đề tài SKKN làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm học sinh Trung học phổ thơng giải tốn Đại số Giải tích... nghiên cứu khó khăn sai lầm học sinh giải Toán cấp thiết, lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh mắc nhiều kiểu sai lầm Từ sai lầm tính toán đến sai lầm suy luận chí kiểu sai lầm tinh vi Một nguyên