Vận dụng cao đạo hàm phần 1 gv trần công diệu

CHƯƠNG 01: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI Đầu tiên xin nhắc lại kiến thức đạo hàm, phần kiến thức chương trình tốn THPT lớp 11 học kì II Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  điểm x0   a; b  tồn giới hạn xlim x f ( x)  f ( x0 ) hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm hàm số x  x0 y  f  x  x0 Ký hiệu y '  x0  xlim x f ( x)  f ( x0 ) f '  x0  x  x0 Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng  a; b  liên tục khoảng ngược lại chưa Các quy tắc tính đạo hàm Chú ý: u u  x  , v v  x  •  u v  ' u 'v ' •  u.v  ' u '.v  u.v '  ku  ' ku ' ' ' k v '  u  u '.v  v '.u k •      ;  v 0  v v v v BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP Hàm số Hàm số hợp  C  ' 0 (C số)  x  ' 1  x    x   u    u 1  1 u      với x 0 x  x u      với u 0 u u  x  2 x  u    2uu với x>0  sin x   cos x với u>0  sin u   u.cos u Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  cos x    sin x  tan x     với x   k cos x  tanu    với x k sin x  cot u     cot x     ln x    với x  x  log a x     e   e x với x  x ln a  ln u    u  với u   k cos u  log a u    u x u với u k sin u u với u  u  e   u.e x  a   a ln a x  cos u    u.sin u u với u  u ln a u  a   u '.a ln a u u Tiếp theo xin trình bày cách tìm GTLN, GTNN hàm số biến đạo hàm, kỹ quan trọng để ứng dụng giải Bài toán thực tế Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng) + Nếu có x0  K cho f  x   f  x0  , x  K f  x0  gọi giá trị lớn hất y  f  x0  hàm số khoảng K Kí hiệu: max K + Nếu có x0  K cho f  x   f  x0  , x  K f  x0  gọi giá trị nhỏ hất y  f  x0  hàm số khoảng K Kí hiệu: K Phương pháp tìm GTLN, GTNN Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên khoảng K, nhìn để kết luận max, Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  đoạn  a; b  : Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên khoảng kết luận Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] ta có bước làm sau: Tính đạo hàm hàm số y  f  x  cho Tìm điểm x1; x2 ; ; xn đoạn  a; b  , f '  x  0 f '  x  không xác định Tính: f  a  ; f ( x1 ); f ( x2 ); ; f ( xn ); f (b) Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Tìm số lớn M số nhỏ m số (ở mục 3) Khi đó: M max f  x  ;m min f  x   a ;b  a ;b Chú ý: Hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  hàm số f(x) ln tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tất giá trị trung gian nằm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x) đoạn Nếu đề khơng cho rõ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn cón nghĩa ta tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định hàm số min f  x   f  a  Tính đạo hàm y ' Nếu y ' 0, x   a; b    max f  x   f  b  min f  x   f  b  y '  0,  x  a ; b  y '   Tính đạo hàm Nếu  max f  x   f  a  Ngoài cần trang bị thêm số kiến thức bất đẳng thức để giải nhanh hơn: Bất đẳng thức Cauchy cho số: Hai số: Với A, B 0 ta ln có A  B 2 AB , dấu xảy A B Ba số: Với A, B, C 0 ta ln có A  B  C 3 ABC , dấu xảy A  B C BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng Một số toán ứng dụng kinh doanh, sản suất sống Ý tưởng giải cố gắng thiết lập hàm số biến sau ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN Bài 1: Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho th với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Lời giải: Gọi x giá thuê thực tế hộ, ( x : đồng ; x 2000.000 đồng) Ta lập luận sau: Tăng giá 100.000 đồng có hộ bị bỏ trống Tăng giá x  2.000.000 đồng có hộ bị bỏ trống Theo quy tắc tam xuất ta có số hộ bị bỏ trống là: Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  x  2.000.000  x  2.000.000  100.000 50.000 Do cho th với giá x đồng số hộ cho thuê là: x  2.000.000 x 50    90 50.000 50.000 Gọi F  x  hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, (F(x): đồng) x    90  x  x  90 x ( số hộ cho thuê Ta có: F ( x)   50.000  50.000  nhân với giá cho thuê hộ) x  90 x , ĐK: Bài tốn trở thành tìm GTLN F  x   50.000 x 2.000.000 F '  x   x  90 25.000 F '  x  0   x  90 0  x 2.250.000 25.000 Bảng biến thiên: X 2.000.000 F’(x) + 2.250.000  − Fmax F(x) Suy F(x) đạt giá trị lớn x 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Chọn A Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: x  90 x Ta không cần phải khảo sát 50.000 vẽ bảng biến thiên Đề cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC MTCT để thay giá trị vào, làm cho F(x) lớn giá trị cần tìm Sau tìm hàm F ( x)  Bài 2: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 bưởi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số bưởi bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Lời giải: Gọi x giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; 30.000  x 50.000 đồng) Ta lập luận sau: Giá 50.000 đồng bán 40 bưởi Giảm giá 5.000 đồng bán thêm 50 Giảm giá 50.000 – x bán thêm quả? Theo quy tắc tam xuất số bán thêm là: 50   50000  x   50000  x  5000 100 Do Số bưởi bán tương ứng với giá bán x: 1 40  x  540  50000  x   100 100 Gọi F ( x ) hàm lợi nhuận thu ( F ( x ) : đồng)   x  540   x  30.000   x  840 x  16.200.000 Ta có: F ( x)   100  100  Bài tốn trở thành tìm GTLN F ( x)  x  840 x  16.200.000 , Đk: 30.000  x 50.000 100 F '  x   x  840 50 F '  x  0   x  840 0  x 42.000 50 Vì hàm F(x) liên tục 30.000  x 50.000 nên ta có: Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải F  30.000  0 F  42.000  1.440.000 F  50.000  800.000 Vậy với x 42.000 F  x  đạt GTLN Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng 42.000 đồng Chọn C Bài Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách 5m   tính  30   đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu   lợi nhuận chuyến xe lớn nhất.? A 30 B 40 C 50 D 60 Lời giải: Gọi x số hành khách chuyến xe để số tiền thu lớn nhất, (0  x 60) Gọi F(x) hàm lợi nhuận thu (F(x): đồng) Số tiền thu : 5x  25  F  x   300   x 90.000 x  1500 x  x   Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn 75 F '  x  90000  3000 x  x  x 120(loai ) 75 F '  x  0  90000  3000 x  x 0    x 40(t/ m) Bảng biến thiên X 40 F’(x) F(x) + 60 − Fmax Vậy để thu số tiền lớn chuyến xe khách phải chở 40 người Chọn B Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận đơn đặt hàng với yêu cầu thùng phi phải chứa 16  m  Hỏi thùng phải có kích thước để sản suất tốn vật liệu nhất? A R 2  m  , h 4  m  B R 4  m  , h 2  m  C R 3  m  , h 4  m  D R 4  m  , h 4  m  Lời giải: Do thùng phi có dạng hình trụ nên: 16 Vtru  R h 16  h  ,  1 R Diện tích tồn phần thùng phi là: STp 2 R  2 Rh 2 R  h  R  ,   Thay (1) vào (2) ta được:  16   16  STp 2 R   R  2   R  R  R   16  4 S 'Tp 2    R    R    R  R 4 S 'Tp 0   R   0  R 2 R Bảng biến thiên R S’(R) −  + S(R) Smin Vậy để sản xuất thùng phi tốn vật liệu R= 2(m) chiều cao h = (m) Chọn A Bài Gia đình ơng Thanh ni tơm với diện tích ao ni 100m Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ 1 kg / m  tôm giống sản lượng tôm thu hoạch khoảng tôm Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết thả giảm Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  200 g / m  tôm giống sản lượng tơm thu hoạch 2,2 tôm Vậy vụ tới ông phải thả kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch lớn nhất? (Giả sử khơng có dịch bệnh, hao hụt nuôi tôm giống) 230 kg A B 70kg C 72kg D 69kg Giải: Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg) Gọi x (0