Một số khía cạnh về mặt cực tiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TẠ THỊ KIM ANH MỘT SỐ KHÍA CẠNH VỀ MẶT CỰC TIỂU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TẠ THỊ KIM ANH MỘT SỐ KHÍA CẠNH VỀ MẶT CỰC TIỂU Chun ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội – Năm 2018 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hồn thành với giúp đỡ bảo thầy tổ Hình học Khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo, bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Tạ Thị Kim Anh i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu tổng hợp em tạo điều kiện thầy tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội , đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Thạc Dũng - giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Một số khía cạnh mặt cực tiểu" khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Tạ Thị Kim Anh ii Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Mặt cực tiểu R3 1.2 Biến phân theo phương vng góc 1.3 Sự biến dạng từ mặt xoắn ốc đến mặt catenoid Các mặt tròn xoay cực tiểu vài ví dụ mặt cực tiểu 13 2.1 Các mặt tròn xoay cực tiểu 13 2.2 Một vài ví dụ mặt cực tiểu 16 2.2.1 Mặt cực tiểu Enneper 16 2.2.2 Mặt cực tiểu Catalan 17 2.2.3 Mặt cực tiểu Henneberg 20 Mảnh Monge mặt cực tiểu Scherk 22 2.3 Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu Các tọa độ đẳng nhiệt 26 3.1 Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu 26 3.2 Các tọa độ đẳng nhiệt 29 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh KẾT LUẬN 35 Tài liệu tham khảo 35 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Lời mở đầu Học thuyết mặt cực tiểu Euler, Lagrange Meusnier từ năm kỉ 18 Nền toán học giới phải chờ 50 năm Scherk tìm thấy ví dụ khác mà ngày gọi "mặt cực tiểu Scherk" họ gồm mặt catenoid mặt xoắn ốc Tầm quan trọng mặt cực tiểu minh họa thí nghiệm Plateau Ông nghiên cứu mặt cực tiểu với biên đường cong cho trước Điều nhà toán học xây dựng nghiên cứu cách tổng qt u thích hình học, u thích mặt cực tiểu muốn nghiên cứu chúng nên em chọn đề tài: "Một số khía cạnh mặt cực tiểu" để thực khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu mặt cực tiểu bới việc mặt cực tiểu điểm tới hạn hàm diện tích chiều thích hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: mặt cực tiểu, ánh xạ mặt cực tiểu tọa độ đẳng nhiệt Phạm vi nghiên cứu: mặt cực tiểu ví dụ mặt cực tiểu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề, tài liệu tham khảo liên quan Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" Chương 2: "Các mặt tròn xoay cực tiểu Một vài ví dụ mặt cực tiểu" Chương 3: "Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu Các tọa độ đẳng nhiệt" Trong suốt trình nghiên cứu, để hồn thành khóa luận em nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Thạc Dũng thầy tổ Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nghiên cứu mặt cực tiểu, biến phân theo phương vng góc biến dạng mặt cực tiểu đẳng cự Kiến thức chủ yếu lấy từ "Hình học vi phân đại đường cong mặt cong với phần mềm Mathematica" Alfred Gray 1.1 Mặt cực tiểu R3 Cho U tập mở khác rỗng R2 Ta gọi ánh xạ khả vi r : U → Rn , (u, v) → r(u, v) mảnh tham số Rn Điểm (u0 , v0 ) gọi điểm quy mảnh tham số r r dìm (u0 , v0 ), tức hai véc tơ ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính Một điểm khơng quy mảnh tham số r gọi điểm kì dị Mảnh tham số r mà điểm điểm quy gọi mảnh tham số quy Mặt cực tiểu R3 mặt có độ cong trung bình khơng Ta kí hiệu độ cong trung bình mặt H mặt cực tiểu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh mặt mà H = Đây mặt có diện tích nhỏ tất mặt có biên Biến phân theo phương vng góc mặt M R3 họ bề mặt t → M(t) M(t) biến đổi mặt M theo phương pháp tuyến Gọi A(t) diện tích mặt M(t) ta độ cong trung bình M đạo hàm cấp A(t) M Cho U tập mở R2 , x : U → R3 đơn ánh khả vi liên tục cho với (u, v) ∈ U hai véc tơ xu , xv độc lập tuyến tính, gọi R tập compact x(U) Khi cơng thức tính diện tích miền R cho EG − F dudv, xu × xv dudv = SR = x−1 (R) x−1 (R) E, F, G hàm khả vi U xác định E = xu · x u , 1.2 F = xu · xv , G = x v · xv Biến phân theo phương vng góc Bổ đề 1.1 Cho U tập mở R2 , M mặt quy R3 x : U → M mảnh quy Q miền bị chặn U, diện tích x(Q) ||xu × xv || dudv Sx(Q) = Q Định nghĩa 1.1 Cho U tập mở R2 x : U → R3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Tạ Thị Kim Anh Mảnh Monge mặt cực tiểu Scherk Chúng ta có hệ trực tiếp từ Bổ đề 13.34, trang 409, [1] Bổ đề 2.2 Một mảnh Monge (u, v) → (u, v, h(u, v)) mặt cực tiểu (1 + h2v )huu − 2hu hv huv + (1 + h2u )hvv = (2.10) Bổ đề cho phép hi vọng tìm mặt cực tiểu thú vị cách giả sử hàm h có dạng đặc biệt Năm 1835, Scherk xác định mặt cực tiểu có dạng (u, v) → (u, v, f (u) + g(v)) Định lý 2.2 Nếu mảnh Monge x : U → M với h(u, v) = f (u) + g(v) mặt cực tiểu M phần mặt phẳng có số a, c1 , c2 , c3 , c4 với a = cho f (u) = − log(cos(au + c1 )) + c2 , a g(v) = log(cos(au + c3 )) + c4 a Chứng minh Khi h(u, v) = f (u) + g(v), ta có huu = f (u), huv = 0, hvv = g (v) Khi phương trình (2.10) trở thành (1 + h2v )f (u) + (1 + h2u )g (v) = 22 (2.11) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh thực biến đổi ta thu f (u) −g (v) = + hu + h2v nên −g (v) f (u) = + f (u)2 + g (v)2 (2.12) Chú ý rằng, có u v biến độc lập, vế phương trình (2.12) phải số, giả sử a Nếu a = f g tuyến tính, M phần mặt phẳng Nếu a = 0, ta lấy nguyên hàm hai lần hai vế hai phương trình −g (v) f (u) = a = + f (u)2 + g (v)2 (2.13) ta thu cơng thức (2.11) Hình 2.5: Một phần mặt cực tiểu Scherk Theo gợi ý Định lý 2.2, ta định nghĩa mặt cực tiểu Scherk 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh công thức scherk [a] (u, v) = (u, v, cos av log( )) a cos au Để đơn giản, ta lấy a = Hình 2.5 minh họa hình ảnh mặt hình chữ nhật mở −π/2 < u, v < π/2 Trong thực tế, scherk[1] [u, v] định nghĩa tốt tập R = {(u, v)| cos u cos v > 0} miền minh họa hợp tất ô vuông màu đen bàn cờ vô hạn Thật để chứng minh điều ta xem xét hình vng Q(m, n) = (x, y)|mπ − π π π π < x < mπ + , nπ − < y < nπ + 2 2 tô hình vng màu đen m + n chẵn tô màu trắng m + n lẻ Khi R= {Q(m, n)} , với m, n ∈ Z m + n chẵn Dễ thấy scherk [1] (u + 2mπ, v + 2nπ) = scherk [1] (u, v) với u, v ∈ R, m, n ∈ Z Do phần mặt cong Scherk ô vuông màu đen Q(m, n), m + n lẻ tịnh tiến phần mặt cong Scherk hình vng Q(0, 0) Bây vẽ phần giống hệt mặt cong Scherk ô vuông màu 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh đen, sau đặt phần lại với để biểu diễn tồn mặt cong Hình 2.6: Bàn cờ vơ hạn Hình 2.7: Mặt cực tiểu Scherk 25 Chương Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu Các tọa độ đẳng nhiệt 3.1 Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu Một mặt quy M ⊂ R3 gọi định hướng khơng gian tiếp xúc Mp có cấu trúc phức Jp : Mp → Mp cho ánh xạ p → Jp hàm liên tục Cho M mặt quy định hướng R3 , U trường véc tơ pháp tuyến đơn vị M S (1) mặt cầu đơn vị R3 Khi đó, ánh xạ khả vi U : M → S (1) gọi ánh xạ Gauss M Bây ánh xạ Gauss mặt cực tiểu có tính chất đặc biệt dẫn tới sử dụng giải tích phức để nghiên cứu mặt cực tiểu cách thuận tiện Trước hết, ta cần khái niệm sau Định nghĩa 3.1 Cho M1 , M2 mặt quy định hướng R3 với J1 , J2 cấu trúc phức tương ứng Ánh xạ Φ : M1 → M2 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh gọi (i) ánh xạ phức hay ánh xạ chỉnh hình Φ∗ ◦ J1 = J2 ◦ Φ∗ (3.1) (ii) ánh xạ phức ngược hay ánh xạ phản chỉnh hình Φ∗ ◦ J1 = −J2 ◦ Φ∗ (3.2) Dưới tính chất quan trọng ánh xạ phức ánh xạ phức ngược Bổ đề 3.1 Cho Φ : M1 → M2 ánh xạ phức phức ngược mà Φ∗ khơng đâu Khi Φ ánh xạ bảo giác Chứng minh Lấy p ∈ M1 Chọn vp véc tơ tiếp xúc khác Mp p Ta giả thiết Φ∗ (vp ) = λ vp m, n ∈ Z với λ > Từ giả thiết Φ ánh xạ phức phức ngược, viết tắt (J1 )p Jp , ta có Φ∗ (Jp vp ) = λ vp Φ∗ (vp ).Φ∗ (Jp vp ) = Do ta có Φ∗ (avp + bJp vp ) = λ2 avp + bJp vp , ∀a, b ∈ R Vì {vp , Jp vp } sở Mp , ta đặt λ = λ(p) Định nghĩa 12.22, [1], trang 370 để kết luận Φ ánh xạ bảo giác Định lý cho ta ví dụ ánh xạ phức ngược 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Định lý 3.1 Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu định hướng M ⊂ R3 phức ngược (hay phản chỉnh hình) Jp Sp = −Sp Jp , (3.3) ∀p ∈ M, Sp tốn tử hình dạng M p Chứng minh Cho p → U(p) ánh xạ Gauss M Cho p ∈ M {e1 , e2 } sở trực chuẩn Mp mà chéo hóa Sp , đặt k1 , k2 độ cong tương ứng Véc tơ đơn vị Up xác định cấu trúc phức Jp Mp , thỏa mãn Jp e1 = ±e2 Jp e2 = ∓e1 Do M mặt cực tiểu nên ta tính toán Jp Sp e1 = Jp k1 e1 = ±k1 e2 = ∓k2 e2 = ∓Sp e2 = −Sp Jp e1 Tương tự, Jp Sp e2 = −Sp Jp e2 nên ta thiết lập công thức (3.3) Nhưng Bổ đề 13.5, trang 388, [1] nói Sp trừ ánh xạ tiếp xúc U p Do cơng thức (3.3) có nghĩa ánh xạ Gauss ánh xạ phản chỉnh hình Tốn tử hình dạng Sp điểm M suy biến k1 = = k2 , p điểm phẳng Trên mặt cực tiểu điều tương đương với việc khẳng định độ cong Gauss K(p) = Nói cách chặt chẽ, ta cần loại trừ điểm áp dụng Bổ đề 3.1 cho kết luận Định lý 3.1 Do ta có kết sau Hệ 3.1 Ánh xạ Gauss mặt cực tiểu mà khơng có điểm phẳng bảo giác 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Hình 3.1: Mặt cực tiểu Enneper ảnh ánh xạ Gauss Thuật ngữ bảo giác có nghĩa ánh xạ Gauss bảo tồn tỉ lệ hình chữ nhật đủ nhỏ Như thông thường, vẽ mặt cong với lưới đường tọa độ đủ mịn, mặt cong chia thành nhiều mảnh nhỏ, mảnh xấp xỉ hình chữ nhật Ánh xạ Gauss giữ nguyên tỷ lệ độ dài cạnh góc cạnh hình chữ nhật Điều minh họa hình 3.1 3.2 Các tọa độ đẳng nhiệt Trong phần cuối này, định nghĩa loại mảnh quan trọng tìm thấy mặt Nó có ý nghĩa đặc biệt mặt cực tiểu, đóng vai trò quan trọng nghiên cứu phần mà ta làm rõ vai trò cấu trúc phức 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Định nghĩa 3.2 Cho U ⊆ R3 tập mở Một mảnh x : U → Rn gọi đẳng nhiệt tồn hàm khả vi λ : U → R cho xu · xu = xv · xv = λ2 , xu · xv = (3.4) Ta gọi λ hàm co mảnh đẳng nhiệt Chú ý với hệ tọa độ đẳng nhiệt, mảnh quy điểm mà λ = Ý nghĩa trực giác mảnh đẳng nhiệt x mơ tả sau Vì xu , xv có độ dài trực giao, hệ tọa độ đẳng nhiệt, ánh xạ hình vng nhỏ U thành hình vng nhỏ tập ảnh Một hệ tọa độ tổng qt chuyển hình vng nhỏ thành hình thoi nhỏ Hiển nhiên từ định nghĩa ánh xạ bảo giác ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2 Một mảnh x : U → Rn đẳng nhiệt bảo giác, đây, ta có x ánh xạ từ U vào x(U) Trước hết ta xét trường hợp mặt cầu Tham số hóa chuẩn đưa x(u, v) = a(cos u cos v, sin u cos v, sin v) (3.5) Metric mảnh tính ds2 = a2 (cos2 vdu2 + dv ) nên chắn mảnh không đẳng nhiệt Ta sử dụng số phức để đổi biến vế phải (3.6) thành 30 (3.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh dv ds = a cos v(du + ), cos2 v 2 2 i2 = −1 nên ta có dv ) ds = a cos v(du − i cos2 v 2 2 Do idv idv )(du − ) cos v cos v ds2 = a2 cos2 v(du + (3.7) Cơng thức có hiệu việc tách biến Nếu ta đặt w = log(tan v + sec v) dw = dv cos v Hơn nữa, tan v + sec v sin v + cos v = + cos v sin v + sin v + sin v + + cos2 v = cos v(sin v + 1) = cos v ew + e−w = tan v + sec v + nên cos u = sechw Do (3.7) trở thành ds2 = λ2 (du2 + dw2 ) với λ = asechw 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Bổ đề 3.3 Một mảnh y(u, w) = a(cos usechw, sin usechw, w) (3.8) mảnh đẳng nhiệt mặt cầu S (a) bán kính a Định lý 3.2 Cho M mặt, giả sử ds2 metric M Lấy p ∈ M Khi tồn tập mở U ⊂ R2 mảnh đẳng nhiệt x : U → M cho p ∈ x(U) ds2 = λ2 (du2 + dv ) Ta không đưa chứng minh Định lý này, chứng minh chi tiết xem tài liệu [3] trang 31 Mặt khác, ta lập luận Bổ đề 3.3 Ta phân tích metric ds2 = Edp2 + 2F dpdq + Gdq , thực biến đổi ta thu √ √ √ √ F + i EG − F F − i EG − F 2 √ √ ds = ( Edp + dq)( Edp + dq) E E Sau ta tìm nhân tử giá trị phức µ cho hệ phương trình vi phân √ F + i EG − F √ µ(du + idv) = Edp + dq E √ √ F − i EG − F √ µ(du − idv) = Edp + dq E √ giải với hàm giá trị thực u, v, xem tài liệu [2] trang 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh 125 - 126 Đặt λ = |µ| ds2 = |µ|2 (du + idv)(du − idv) = λ2 (du2 + dv ), tọa độ u, v cho mảnh đẳng nhiệt Bổ đề 3.4 Cho x : U → R3 mảnh đẳng nhiệt quy với hàm co λ độ cong trung bình H Khi ta có xuu + xvv = 2λ2 HU, (3.9) U = (xu × xv )/ xu × xv ) véc tơ pháp tuyến đơn vị Chứng minh Vì x đẳng nhiệt nên ta lấy đạo hàm phương trình (3.4) để nhận   x x = x x uu u uv v x x = −x x vv u vu v Do đó: (xuu + xvv ).xu = xuv xv − xvu xv = Tương tự (xuu + xvv ).xv = Điều chứng tỏ xuu + xvv vng góc tới M, xuu + xvv bội U Để xác định xác nhân tử này, sử dụng giả thiết tính đẳng nhiệt tính toán H= eG − 2f F + gE e+g (xuu + xvv ).U = = 2 2(EG − F ) 2λ 2λ2 Do đó, nhận điều phải chứng minh 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Ta kí hiệu tốn tử Laplace R2 ∂2 ∂2 ∆= 2+ ∂u ∂v Mở rộng toán tử này đến hàm có giá trị véc tơ, ta viết ∆x = xuu + xvv Hệ 3.2 Một mảnh đẳng nhiệt cực tiểu thỏa mãn phương trình Laplace ∆x = 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Kim Anh Kết luận Khi nghiên cứu tốn học nói chung hình học nói riêng, sâu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng cơng cụ thích hợp cho loại tốn học khác việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách hiệu Qua việc tổng hợp kiến thức liên quan đến mặt cực tiểu, ta thấy tầm quan trọng số ứng dụng mặt cực tiểu kiến thức khác tốn học mơn khoa học khác Do bước đầu làm quen việc nghiên cứu nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 35 Tài liệu tham khảo [1] Alfred Gray, Mordern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition by Elsa Abbeba and Simon Salamon [2] L V Ahlfors and L Sario, Riemann Surfaces, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1960 [3] R Osserman, A Survey of Minimal Surfaces, Dover Publications, New York, 1986 36 ... Các mặt tròn xoay cực tiểu 13 2.2 Một vài ví dụ mặt cực tiểu 16 2.2.1 Mặt cực tiểu Enneper 16 2.2.2 Mặt cực tiểu Catalan 17 2.2.3 Mặt cực tiểu. .. Các mặt tròn xoay cực tiểu vài ví dụ mặt cực tiểu 2.1 Các mặt tròn xoay cực tiểu Mặt catenoid mặt họ z [t] có dạng mặt tròn xoay cực tiểu Trong phần này, ta chứng minh rằng, thực tế, có mặt catenoid... số mặt xoắn ốc z π tham số mặt catenoid Định lý 1.2 Họ tham số mặt cong (1.6) biến dạng từ mặt xoắn ốc đến mặt catenoid cho z [0] tham số mặt xoắn ốc z π tham số mặt catenoid Hơn nữa, z [t] mặt