SKKN cuc tri 2018 Xuất phát từ vấn đề thực tiễn đã nêu nên tôi quyết định chọn đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng trong chương trình toán THCS” để giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức, qua đó tạo nguồn học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi các cấp, thi tuyển vào 10, đồng thời giúp cho giáo viên có thêm tài liệu tham khảo bổ ích trong giảng dạy. Để hạn chế được những sai lầm , giáo viên cần trang bị cho HS các kiến thức cơ bản về GTLNGTNN của một biểu thức, các phương pháp thường sử dụng để tìm GTLNGTNN một biểu thức.
Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG I ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài a Cơ sở lý luận: Theo định hướng đổi phương pháp dạy học giai đoạn xác định là: “Phương pháp dạy học tốn nhà trường phải phát huy tính tính cực , tự giác, chủ động người học , hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư duy” Theo định hướng dạy học GV người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điều khiển trình học tập HS chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện, từ hình thành phát triển nhân cách, lực cần thiết người lao động theo mục tiêu đề Tính tích cực học tập biểu dấu hiệu : hăng hái trả lời câu hỏi giáo viên , bổ sung câu trả lời bạn ; mạnh dạn phát biểu ý kiến trước vấn đề nêu , nêu thắc mắc thân , đòi hỏi phải giải thích cặn kẻ vấn đề chưa rõ , chủ động vận dụng kiến thức kỹ học để nhận thức vấn đề , tập trung ý vào vấn đề học , kiên trì hồn thành tập , khơng nản chí trước tình khó khăn … Tính tích cực học tập đạt cấp độ từ thấp đến cao : +Bắt chước gắng sức làm theo mẫu hành động thầy, bạn + Tìm tòi , độc lập giải vấn đề nêu , tìm kiếm cách giải khác vấn đề … + Sáng tạo , tìm cách giải , độc đáo , hữu hiệu … Kinh nghiệm dạy học giúp ta khẳng định việc học tập toán nhà trường phổ thông thực hứng thú đạt kết cao học sinh hướng dẫn để biết cách độc lập giải , nắm bắt thật vững vàng sáng tạo lại kiến thức học Để đạt điều , có nhiều vấn đề đặt đòi hỏi giáo viên đứng lớp nói chung , giáo viên giảng dạy mơn Tốn nói riêng cần đầu tư thực quan tâm để tìm hướng thích hợp , biết chọn lọc kiến thức tiêu biểu kết hợp với phương pháp dạy học tích cực , thật phù hợp với đối tượng học sinh nhằm đạt kết cao dạy học b Cơ sở thực tiễn: Bản thân giáo viên vào ngành năm Trong năm qua phân cơng giảng dạy mơn tốn nhiều khối lớp Tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường Tơi nhận thấy học sinh nhiều vướng mắc giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Điều dẫn đến chất lượng mơn tốn học sinh tham gia thi toán cấp trường, cấp huyện kết chưa cao Để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh khá, giỏi, cải thiện chất lượng mơn tham gia thi, ngồi phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt kiến thức cách nhuần nhuyễn Đó lý tơi đưa đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài: Nếu đề tài nghiên cứu thành công tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Với học sinh rèn luyện kỹ linh hoạt tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Giúp em biết cách làm tốn liên quan đến tốn học khơng riêng toán đề tài mà GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng cho tất tốn khác chương trình học Giúp học sinh khắc phục tình trạng thiếu tự tin, bế tắc giải tập dạng Mục đích đề tài phục vụ cho cơng tác dạy học tốn THCS, bồi dưỡng cho học sinh giỏi làm tài liệu cho học sinh học tập Nhằm giúp học sinh có nhìn tổng qt dạng tốn “giải tốn cách lập phương trình” để học sinh sau học xong chương trình tốn THCS phải nắm loại toán biết cách giải chúng Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng tâm lý ngại ngùng việc giải tốn cách lập phương trình Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh làm cho học sinh hứng thú học mơn Tốn Học sinh thấy mơn tốn gần gũi với môn học khác thực tiễn sống Đối tượng nghiên cứu Cơ sở thực hành đối tượng học sinh trường THCS Hoài Đức năm học: 2015 - 2016 Phương pháp nghiên cứu: Thông qua thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – đề thi…) Vận dụng thực hành giảng dạy So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm Phạm vi kế hoạch nghiên cứu: Viết sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 10/ 2015 Hoàn thiện vào tháng 12/2016 II NỘI DUNG: Cơ sở lý luận có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài Dạng toán cực trị mảng kiến thức hay khó tốn học phổ thơng Để giải tốn cực trị, người học toán hiểu kĩ sâu sắc phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Đối với học sinh muốn giải đòi hỏi phải trang bị kiến thức tốt phương pháp giải hợp lí Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải Trong trình giảng dạy trường THCS tơi nhận thấy kiến thức tìm cực trị (hay tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức) nội dung cho việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Nội dung học sinh tiếp cận chương trình thơng qua tập đơn lẻ, rời rạc không lĩnh hội kiến thức kĩ cách có hệ thống Một số học sinh nắm vận dụng gặp dạng toán Xuất phát từ vấn đề thực tiễn nêu nên định chọn đề tài “Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng chương trình tốn THCS” để giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức, qua tạo nguồn học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi cấp, thi tuyển vào 10, đồng thời giúp cho giáo viên có thêm tài liệu tham khảo bổ ích giảng dạy Mô tả giải pháp đề tài * Thuyết minh tính mới: Tính đề tài là: Đưa số phương pháp giải dạng toán cực trị đại số 3.1 Mơ tả tình trạng, việc tại: * Khi giảng dạy chuyên đề cực trị, giáo viên thường trang bị cho học sinh định nghĩa mở đầu sau : Cho biểu thức f(x,y,…)xác định miền D Ta nói: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hồi Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng a/ M GTLN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…)≤ M , với M số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…) = M b/ m GTNN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…)≥ m , với m số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…) = m * Tuy vậy, qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh thường không vận dụng định nghĩa vào việc tìm cực trị biểu thức hay mắc số sai lầm sau: 1/ Với tốn tìm cực trị biểu thức có điều kiện ràng buộc biến, học sinh thường kết luận GTLN , GTNN biểu thức mà khơng để ý đến điều kiện ràng buộc đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 3x + với x ≥ 2 9 11 11 HS giải: A = x – 3x + = (x – 3x + )+ - = x − ÷ + ≥ 4 2 11 Vậy A = x = Phân tích sai lầm: x = không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 2 11 11 Lời giải đúng: A = x − ÷ + A = x − + 2 2 2 2 3 3 Với x ≥ x − ÷ ≥ ⇒ A ≥ x − ≥ ⇒ A ≥ 2 2 Vậy A = x = 2/ Khi tìm cực trị biểu thức f(x,y,…) cách biến đổi f(x,y,…)≥g(x,y,…) ≥m f(x,y,…)≤g(x,y,…)≤M , học sinh thường không quan tâm đến xảy đồng thời dấu có bất đẳng thức: Ví dụ 2: Tìm GTNN f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x HS giải: f(x,y) = x2 – 4xy + 4y2 + 2x2 – 4x + + x2 + x – = (x – 2y)2 + 2(x - 1)2 + x2 + x – ≥ x2 + x – ∀x (1) 1 9 Vì g(x) = x + x – = x + ÷ − ≥ − (2) x = 2 4 1 Nên f(x,y) có GTNN - x = - x - 2y = ⇒ y= 4 Phân tích sai lầm: Dấu xảy (1) x = 2y x = Dấu xảy (2) x = - Hai dấu “=” xảy không đồng thời nên GTNN g(x) GTNN f(x,y) Vậy theo cách không tìm GTNN f(x,y) Lời giải đúng: f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x = 4y2 – 4xy + x2 + 3(x2 - x) 1 3 = (2y - x)2 + x − ÷ ≥ 4 2 x ,y= = 2 1 Vậy GTNN f(x,y) - x = , y = 4 Đẳng thức xảy x = GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng 3/ Khi HS chứng minh f(x,y,…) ≥ g(x,y,…) f(x,y,…) ≤ g(x,y,…), thấy thuận lợi vội vàng kết luận GTNN, GTLN chưa chứng minh f(x,y,…)≥ m f(x,y,…)≤ M Ví dụ 3: Tìm GTNN A = x2 + y2 biết x + y = HS giải: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = (do x + y = 4) Khi A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Kết khơng sai lập luận mắc sai lầm Học sinh chứng minh f(x,y)≥g(x,y) chưa chứng minh f(x,y,…)≥ m với m số Lời giải đúng: Ta có x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16 (1) 2 Ta lại có (x - y) ≥ ∀x,y ⇒ x - 2xy + y ≥ (2) 2 2 Từ (1) (2): 2(x + y ) ≥ 16 ⇒ x + y ≥ Vậy A = ⇔ x = y = 4/ Khi tìm cực trị phân thức mà tử thức mẫu thức khơng phải ln dương HS thường máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên Ví dụ 4: Với giá trị x A = ( ) ( x 1− x ) đạt giá trị nhỏ x − x đạt giá trị lớn HS giải: A nhỏ 1 x , ta có : t(1-t) = - t2 + t = - (t2 – t) = - t − t + − ÷ 4 = − t − ÷ − với t > t ≠ 1 Ta thấy − t − ÷ − lớn t − ÷ − nhỏ nhất, 2 1 1 t = hay x = ⇒ x = ; A = Vậy A = x = 2 4 Đặt t = Phân tích sai lầm: Với x > x ≠ mẫu thức A dương, ( ) ta khơng lý luận “A nhỏ x − x đạt giá trị lớn Lời giải đúng: A khơng có GTNN Thật vậy, A < ⇔ x > nên giả sử A có GTNN x = xo xo >1 Khi : xét xo > x1>1 ( ) ( xo + x1 > ⇒ xo2 − x12 > xo − x1 ⇒ ) xo − xo < x1 − x1 < ⇒ ( xo − xo ) > ( x1 − x1 ) ⇒ A(x ) > A(x ) o Điều mâu thuẫn với giả thiết A(xo) GTNN A Vậy A khơng có GTNN 5/ Thiếu linh hoạt sáng tạo trình biến đổi, áp dụng bất đẳng thức cách cứng nhắc máy móc dẫn đến bế tắc q trình tìm cực trị biểu thức, chẳng hạn chứng tỏ f(x,y,…)≤ M f(x,y,…)≥ m (M,m ∈ R ) song không tồn giá trị (xo,yo,…) cho f(xo,yo,…)=M f(xo,yo,…)=m GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng 1 1 Ví dụ 5: Tìm GTNN B = ( + x ) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷ x,y số dương y x thỏa mãn x2 + y2 = x y 1 1 x y x y Vì x,y > nên x + ≥ , y + ≥ , + ≥ (Bất đẳng thức tổng hai số nghịch đảo) y y x x HS giải: B = + + x + ÷+ 1 + + y + ÷ = + x + ÷+ y + ÷+ + ÷ y y x x x y y x Suy B≥ 8, dấu “=” xảy x = y = Kết hợp với điều kiện x + y2 = x,y khơng tồn Do có hai xu hướng xảy ra: - Bế tắc trình tìm minB - Min B khơng tồn Phân tích sai lầm:Thiếu linh hoạt trình biến đổi chưa tận dụng giả thiết x2 + y2 = x y + x + ÷+ + + y + ÷ y y x x x y 11 1 = x + ÷+ y + ÷+ + ÷+ + ÷+ 2x 2y y x x y x y ≥ 2, + ≥2 Vì x,y ≥ nên áp dụng BĐT Cơsi ta có: x + ≥ , y + 2y y x 2x Lời giải đúng: B = + Và 11 1 ≥ + ÷≥ 2 x y xy = (Vì x2 + y2 = 1) ⇒ B ≥ + 2 x +y Do minB = + ⇔ x = y = 2 * Để hạn chế sai lầm trên, giáo viên cần trang bị cho HS kiến thức GTLN-GTNN biểu thức, phương pháp thường sử dụng để tìm GTLNGTNN biểu thức 3.2 Mơ tả nội dung giải pháp mới: a Các kiến thức cần thiết: Các định nghĩa: Định nghĩa giá trị lớn Cho biểu thức f(x,y,…)xác định miền D Ta nói: M GTLN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…)≤ M , với M số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…) = M Ký hiệu: M = Max f(x,y, ) = fmax, với (x, y, ) ∈ D Định nghĩa giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x,y,…)xác định miền D Ta nói: m GTNN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…) ≥ m , với m số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…) = m Ký hiệu: m = Min f(x,y, ) = fmin, với (x, y, ) ∈ D Các kiến thức thường dùng: Lũy thừa: a) x2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ x2k ≥ 0, ∀x ∈ R, k ∈ Z ⇒ - x2k ≤ GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng Tổng quát : [f (x)]2k ≥ ∀x ∈ R, k ∈ Z ⇒ - [f (x)]2k ≤ Từ suy : [f (x)]2k + m ≥ m ∀x ∈ R, k ∈ Z M - [f (x)]2k ≤ M b) x ≥ ∀x ≥ ⇒ ( x )2k ≥ ∀x≥ ; k ∈Z Tổng quát : ( A )2k ≥ ∀ A ≥ (A biểu thức) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a) |x| ≥ ∀ x∈R b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; "=" xảy ⇔ x.y ≥ c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; "=" xảy ⇔ x.y ≥ |x| ≥ |y| Chuỗi bất đẳng thức bản: (a - b)2≥ (1) ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (2) (4) ↕ (3) 4ab ≤ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ↕ ⇓ 1 2 + ≥ (5) (a1+a2+ +an)2 ≤ n a1 + a2 + + an ,…(6) a b a +b ( ) Với BĐT (1), ,(5): dấu “=” xảy a = b Bất đẳng thức Cauchy(Cô - si): ∀ai ≥ ; i = 1, n : a1 + a + + a n ≥ n BĐT (6):dấu “=” xảy a = a2 = = an n a1 a .a n ∀n∈N, n ≥ Dấu "=" xảy ⇔ a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunyakovsky(Bu-nhi-a-cốp-xki): Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có: (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ≤ ( a12 + a 22 + + a n2 ).(b12 + b22 + + bn2 ) Dấu "=" xảy ⇔ a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Bất đẳng thức Bunyakovsky(Bu-nhi-a-cốp-xki) dạng phân thức: Với (a1, a2, a3, , an ) số thực (b 1, b2, b3, , bn) số thực dương, ta có an a1 a2 a (a + a + + an ) a12 a22 + + + n ≥ Đẳng thức xảy = = = b1 b2 bn b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Nếu bi = xem = Bất đẳng thức Trê-bư-sép: Cho hai dãy thứ tự giống nhau: a1 ≤ a2 ≤…≤an ; b1≤b2≤…≤bn : (a1 + a2 +…+an)( b1 + b2 +…+ bn)≤ n(a1b1 + a2b2 +… + anbn) đẳng thức xảy a1 = a2 =…=an, b1 = b2 =…= bn … b Các phương pháp Để giúp học sinh giải tốt dạng toán cực trị đại số THCS tổng hợp đưa pháp sau: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức phương Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng Phương pháp (Sử dụng phép biến đổi đồng nhất) Nội dung: Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lí, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm( không dương) số Từ đó: Để tìm Max f(x, y, ) miền D ta cần ra: f ( x, y , ) ≤ M ∃( x0 , y0 , ) ∈ D cho f ( x0 , y0 , ) = M Để tìm Min f(x, y, ) miền D ta cần ra: f ( x, y , ) ≥ m ∃( x0 , y0 , ) ∈ D cho f ( x0 , y0 , ) = m Dạng 1: Tìm cực trị tam thức bậc hai Phương pháp: Biến đổi P( x, y, ) = ± [ F ( x, y, ) ] + m ( m ∈R ) 2 - Nếu P(x,y, ) = F(x,y, ) + m ≥ m suy ra: Min P = m F(x, y, ) = - Nếu P(x,y, ) = − F(x,y, ) + m ≤ m suy ra: Max P = m F(x, y, ) = Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: a) Tìm GTNN A = x2 - 8x + b) Tìm GTLN B = - 5x2 - 4x + * Nhận xét: Các biểu thức dạng tam thức bậc hai Biến đổi đưa dạng P( x) = ± [ F ( x) ] + m (m ∈R ) * Hướng dẫn: a) A = x2 - 8x + = (x2 - 8x + 16) - 15 = (x - 4)2 - 15 ≥ - 15 Vậy Min A = -15 ⇔ x - = ⇔ x = 2 9 ÷+ = −5 x + ÷ + ≤ 25 5 5 2 Vậy Max B = ⇔ x + = ⇔ x = − 5 5 b) B = - 5x2 - 4x + = −5 x + x + * Nhận xét: Như vậy, biến x nhận giá trị thuộc R đa thức f(x) đạt cực trị b b Sau ta xét trường hợp biến x không nhận giá trị - 2a 2a Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức : A = 4x - 12x + 2, với x ≤ -1 x ≥ x= - * Hướng dẫn: Ta có A = 4x2 - 12x + = (2x - 3)2 - 2 - Với x ≥ : 2x - ≥ 2.3 − = ⇔ ( x − 3) ≥ ⇒ A = ( x − 3) − ≥ − = - Với x ≤ −1 : 2x - ≤ 2.(−1) − = −5 ⇔ ( x − 3) ≥ 25 ⇒ A = ( x − ) − ≥ 25 − = 18 So sánh hai trường hợp trên, ta thấy A = ⇔ x = 2 * Chú ý: Mặc dù A = ( x − 3) − ≥ −7, A = −7 ⇔ x = giá trị không thỏa mãn x ≤ -1 không thỏa mãn x ≥ Do khơng kết luận giá trị nhỏ A - Bài tập tự luyện GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x2 - 5x + b) B = 2x2 - 6x c) C = (x + 1)2 + (x + 3)2 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức: a) D = 4x - x2 + b) E = x - x2 c) F = 2x - 2x2 - Dạng 2: Tìm cực trị đa thức bậc cao Phương pháp: - Đổi biến để hạ bậc đa thức - Biến đổi dạng tổng bình phương: k ∑ [ F ( x, y, )] i =1 i + m với m ∈R Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + * Nhận xét: Đa thức có bậc lớn Để tìm GTNN phải hạ bậc đa thức biến đổi đưa dạng P( x) = [ F ( x) ] + m ( m ∈R ) * Hướng dẫn: A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + = (x2 – x + 1)2 + A nhỏ x2 – x + nhỏ 1 3 Ta có x – x + = x − ÷ + ≥ Khi (x2 – x + 1) = ⇔ x = 2 4 Suy A = + = x = 4 Vậy GTNN A x = 2 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B = x(x – 3)(x -4)(x – 7) * Hướng dẫn: Đối với ta thực đổi biến để tìm GTNN B = x(x – 3)(x -4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12) Cách : Đặt y = x2 – 7x Ta có B = y(y + 12) = y2 + 12y + 36 – 36 = (y + 6) -36 ≥ -36 Vậy B = - 36 ⇔ y = -6 ⇔ x – 7x + = ⇔ x = x = Cách 2: Đặt y = x2 – 7x + Ta có B = (y -6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36 Vậy B = - 36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x = x = Bài tập tự luyện Tìm GTNN biểu thức: a) C = (x + 4)4 + (x + 6)4 b) D = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5) c) E = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + d) F = (x2 +x - 6)(x2 + x + 2) Dạng 3: Tìm cực trị phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Phương pháp: Sử dụng tính chất a ≥ b ; ab > suy 1 ≤ theo quy tắc so sánh hai phân số có a b tử, tử mẫu dương Các ví dụ minh hoạ: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng Ví dụ 1: Tìm GTLN M = 4x − 4x + * Nhận xét: Phân thức có tử số dương Giá trị biểu thức phụ thuộc vào mẫu thức Mẫu nhỏ giá trị phân thức lớn ngược lại * Hướng dẫn: 3 = 4x − 4x + (2x-1) + Ta thấy (2x-1) ≥ nên (2x-1) + ≥ 3 ≤ Do (2x-1) + 4 Vậy max M = 2x -1 = ⇔ x = 2 Ví dụ 2: Tìm GTNN N = 6x- − 9x Xét M = * Hướng dẫn: −2 −2 = = 6x- − 9x 9x − 6x + (3x - 1) + Ta thấy (3x-1) ≥ nên (3x-1) + ≥ 1 −2 −2 −1 ≤ ⇒ ≥ = Do 2 (3x-1) + 4 (3x-1) + 4 1 Vậy N = − 3x -1 = ⇔ x = 1 Chú ý: Tính chất a ≥ b suy ≤ a b dấu a b 1 1 ≤ f Ví dụ : x2 - ≥ -3 ⇒ sai Vì với x = ta có x − −3 − −3 Xét N = Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm GTNN biểu thức A = Bài 2: Tìm GTLN biểu thức : 2x − x − x − 4x + b) C = x − x + 17 c) D = x − x +1 a) B = Dạng 4: Tìm cực trị phân thức có tử tam thức bậc hai, mẫu bình phương nhị thức Phương pháp: Viết phân thức dạng tổng hiệu số với biểu thức không âm Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x − 8x + x − 2x + * Hướng dẫn: Cách 1: Viết A dạng tổng hai biểu thức khơng âm: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hồi Đức Trang Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng ( x − 4x + 2) + ( x2 − x + 4) = + ( x − 2) ≥ A= x − 2x + ( x − 1) Vậy A = ⇔ x = Cách 2: Đặt x - = y x = y + Ta có A = = 3( y + 1) − 8( y + 1) + y − y + = = 3− + 2 y y y y = z A = - 2z + z2 = ( z − 1) + ≥ y Vậy A = ⇔ z = ⇔ y = ⇔ x = Lại đặt Ví dụ 2: Tìm GTLN P = − x2 + x +1 ( x + 1) * Hướng dẫn: Cách 1: Viết (- P) dạng tổng số với biểu thức không âm: -P = x2 + x + 4 ( x + 1) ⇒P≤− = ( x + x + 1) + ( x − x + 1) ( x + 1) 2 x −1 = + ≥ ( x + 1) 4 Vậy max P = − ⇔ x = 1 Cách 2: - P = − x + + ( x + 1) 1 3 Đặt y = , ta có - P = y2 - y + = y − ÷ + ≥ ⇒ P ≤ − x +1 2 4 Vậy max P = − ⇔ y = ⇔ x = Bài tập tự luyện Tìm GTNN của: a) I = b) L = 4x − 6x+1 ( x − 1) x − 4x+1 x2 Dạng 5: Tìm cực trị phân thức dạng khác Phương pháp: Viết phân thức dạng tổng hiệu số với biểu thức không âm Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN A = * Hướng dẫn: - Để tìm GTLN, viết A dạng: − 4x x2 +1 4x + − 4x − 4x − (2 x + 1) = − ≤4 x2 +1 x2 + 1 ⇒ Max A = ⇔ x = − A= - Để tìm GTNN, viết A dạng: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 10 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng (2 + + − 3) = 2 ⇔ a = b = c ⇔ x = y = z , x, y, z > Vậy Min D = Bài tập tự luyện ⇒D≥ Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: E = x2 + - x + x − x +1 50 ≤a≤ 2 x y x y Bài 4: Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức: D = + − + ÷+ y x y x Bài 2: Tìm GTLN biểu thức: F = a + + 2a − + 50 − 3a với Phương pháp 4: (Phương pháp miền giá trị hàm số) Phương pháp: - Dùng kỹ biện luận phương trình để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) sau: Giả sử y = yo (yo số) Xét phương trình yo = f(x) ⇔ f(x) – yo = (1) Trong x ẩn số , yo tham số yo thuộc miền giá trị f ⇔ phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤ yo ≤ M ⇔ m ≤ y ≤ M Kết luận: Max y = M Min y = m - Phương pháp thường chuyển xét điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai với ∆ ≥ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức: y = x2 + x + x2 + * Hướng dẫn: Vì x2 + > với x , nên y xác định với x Do đó, để y đạt giá trị yo phương trình : yo (x2 + 1) = x2 + x + ⇔ (yo – 1)x2 - 2x + yo – = (1) phải có nghiệm ẩn x Khi ta xét trường hợp: − +/ Nếu y o = (1) ⇔ x = Vậy yo = thuộc miền giá trị f(x) (1) +/ Nếu yo ≠ (1) có nghiệm ⇔ = - yo2 + yo + ≥ ⇔ ( yo- 5) (yo + 1) ≤ ⇔ -1 ≤ yo ≤ (y ≠ 1) Với yo = -1 , từ (1) ⇒ x = − ; yo = ⇒ x = 2 (2) Từ (1) (2) suy ra: Min y = -1 x = - ; Max y = x = 2 Ví dụ 2: Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – = (1) Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = -2x + y + (2) * Hướng dẫn: Để thành lập phương trình có ẩn x y P tham số ,ta cần rút x y phương trình (2) vào phương trình (1) nhằm khử bớt ẩn, đơn giản ta nên rút y GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 20 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng y = 2x + P - ⇒ 36x2 + 16(2x + P - 5)2 – = ⇔ 100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – = (3) (3) có nghiệm ⇔ ’ ≥ ⇔ 576 (P - 5)2 ≤ 900 ⇔ 15 : Từ (3) ⇒ x = 25 P= ⇒x = - ; y = 25 Vậy max P = (x,y) = Với P = ; (2) ⇒ y = − 15 25 ≤P≤ 4 20 20 15 2 − ; ÷, P = (x,y) = ; − ÷ 20 20 Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN biểu thức : C = x + − x + 2 * Hướng dẫn: Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt z = x , y = − x z2 + y2 = (1) Ta cần tìm GTLN , GTNN d = 4z + 3y với 2C = d + Điều kiện : ≤ z, y ≤ < d < Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta : 25z2 – 8dz + d2 – = Để phương trình có nghiệm z ≥ ⇒ d2 ≤ 25 ⇒ d ≤ + GTLN d ⇔ GTLN C 6, z = 4d 16 = ⇒ x = z2 = (thoả ĐK) 25 25 + d = 4z + 3y ≥ 12 yz Đẳng thức xảy 4z = 3y (2) ⇒x= (thỏa ĐK) 25 59 24 ⇒ GTNN C Khi GTNN d 12 = 10 5 Thay (2) vào (1) ta z = ; y = Bài tập tự luyện x2 + x + Bài 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = x + x + 10 x + 2y +1 Bài 2: Tìm GTLN GTNN biểu thức : Q = x + y2 + Phương pháp 5: (Phương pháp sử dụng biểu thức phụ) Phương pháp: - Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị việc tìm cực trị biểu thức sau đơn giản - Để tìm cực trị A , ta xét biểu thức phụ khác : - A ; ; A2 ; A A biểu thức B sai khác với A số Ví dụ : -A lớn ⇔ A nhỏ GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 21 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng lớn ⇔ B nhỏ (B > 0) B C lớn ⇔ C2 lớn ( C > 0), Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = + − x2 * Hướng dẫn: - Ta thấy A>0 với x thuộc MXĐ A - Biểu thức A nghịch đảo biểu thức B= + − x với B ln dương, ta thay việc tìm cực trị A thành tìm cực trị B đơn giản *Giải: Điều kiện : x ≤ Ta có : A > Xét biểu thức : B = = + − x Ta có : ≤ − x ≤ A ⇒ ≤ + − x2 ≤ + Min B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi Max A = Max B = 5+2 ⇔ = − x ⇔ x = Khi Min A = = 5−2 5+2 + x + 3x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : C = (1 + x ) * Hướng dẫn: Biểu thức C xác định với giá trị x , ngồi việc tìm cực trị phương pháp miền giá trị hàm số , ta tách biểu thức C để xét biểu thức phụ: x2 C= 3- = - D x + x2 + Khi , D ≥ ∀x nên ta có: maxC = – minD, C = – maxD + D ≥ ⇒ minD = ⇒ max C = x=0 + x4 + ≥ 2x2 ⇒ x4 + 2x2 + ≥ 4x2 ⇒ D ≤ ⇒ minC = x2 = ⇒ maxD = 2 4x x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn : A = − x + x + 12 − − x + x + * Hướng dẫn:Ta thấy A >0 với x, ta thay việc tìm cực trị A việc tìm cực trị A2 để làm bớt dấu *Giải:2 Điều kiện : − x + x + 12 ≥ − x + 2x + ≥ ⇔ ( x + 2)(6 − x) ≥ ( x + 1)(3 − x ) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (1) Xét hiệu : (− x + x + 12) − (− x + x + 2) = x + Do (1) nên 2x + > ⇒ A > Xét A2 = ( ( x + 2)(6 − x) − ( x + 1)(3 − x) ) Hiển nhiên A2 ≥ 0, dấu “=” khơng xảy A > A2 = ( x + 2)(6 − x) + ( x + 1)(3 − x) − ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 22 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng = ( x + 1)(6 − x) + (6 − x) + ( x + 2)(3 − x) − (3 − x) − ( x + 1)(6 − x)( x + 2)(3 − x) = ( ( x + 1)(6 − x) − ( x + 2)(3 − x) ) +3 ⇒ A2 ≥ Do A > nên A = Khi : (x+1)(6-x) = (x+2)(3-x) ⇔ x = + Với < x < Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ C = 1− x x * Phân tích: - Với < x < C > Nếu quy đồng mẫu chuyển thành phân thức, có điều kiện < x < nên việc tìm cực trị khó khăn - Ta cần tìm biểu thức D sai khác với C số D sử dụng BĐT để khử biến *Giải: Xét biểu thức : D = 2x − x + 1− x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương : 2x 1− x 1− x x 2x − x =2 1− x x 1− x 2x (1) = x D = 2 ⇔ 1 − x 0 < x < (2) D ≥2 2 (1) ⇔ x = (1 − x) ⇔ x = − x ⇔ x = − x ⇔ x = − Như Min D = 2 ⇔ x = − (thỏa ĐK(2)) 2x 1− x − 2x + ÷− + + Ta có : C – D = ÷= x 1− x 1− x x 1− x Do : Min C = 2 + ⇔ x = − Bài tập tự luyện 1−1+ x =3 x x2 + x + Bài 1: Tìm GTNN,GTLN biểu thức y = x2 + Bài 2: Tìm GTNN,GTLN biểu thức A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 3: a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b – 3c Bài 4: Cho a, b ∈ R Tìm GTNN G = a + (1 − b) + b + (1 − a ) Phương pháp 6: (Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị) Phương pháp: - Để tìm cực trị biểu thức, ta chia tập xác định khoảng Sau ta tiến hành tìm cực trị biểu thức khoảng biến, so sánh cực trị để tìm giá trị cực trị (GTNN; GTLN) toàn tập xác định biểu thức - Phương pháp thường sử dụng biểu thức có dạng tích mà dấu biểu thức phụ thuộc vào dấu vài nhân tử Đồng thời, tính biến thiên biểu thức khơng thay đổi khoảng chia - Phương pháp áp dụng với biểu thức chứa giá trị tuyệt đối - Phương pháp giúp cho ta giới hạn khoảng giá trị biến để biểu thức đạt giá trị cực trị cần tìm Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản Các ví dụ minh hoạ: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 23 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: A = x ( − x ) với x ≤ * Nhận xét: Ta thấy: x ≥ với x ∈R , nên dấu A phụ thuộc vào dấu ( − x ) +) Với x < ⇒ A ≥ +) Với ≤ x ≤ ⇒ A ≤ Do để tìm GTNN ta xét giá trị A với x ∈ [ 2;4] * Hướng dẫn giải: Với x < ⇒ A ≥ (1) Với ≤ x ≤ ⇒ A ≤ Khi đó: Xét biểu thức: − A = x ( x − ) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số không âm: x x ; ; ( x − 2) 2 Ta có: (2) x x + + x −2 A x x 2x − 2 = − = ( x − ) ≤ ≤ ⇒ − A ≤ 32 ⇒ A ≥ −32 2 Từ (1) (2) ⇒ A = −32 với x = −4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức: B = x 1− x * Nhận xét: Ta thấy: − x ≥ với − ≤ x ≤ , nên dấu B phụ thuộc vào dấu x Với ≤ x ≤ ⇒ B ≥ Với − ≤ x ≤ ⇒ B ≤ Do để tìm GTLN ta xét giá trị B với x ∈ [ 0;1] ; GTNN ta xét giá trị B với x ∈ [ − 1;0] * Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định B là: x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Với ≤ x ≤ ⇒ B ≥ 2 Ta có: B = x (1 − x ) ≤ Với − ≤ x ≤ ⇒ B ≤ x2 = − x2 ⇔x= (BĐT Cô – si) ⇒ max B = ⇔ 2 0 < x ≤ Ta có: − B = x (1 − x ) ≤ (BĐT Cô – si) x2 = − x2 1 ⇒ B ≥ − ⇒ B = − ⇔ ⇔x=− 2 − < x < Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: C = y với x; y ∈Ν − ( x + y) * Nhận xét: - Ta thấy: y ∈ Ν , nên dấu C phụ thuộc vào dấu [ − ( x + y ) ] * Với ≤ x + y ≤ ⇒ C ≥ * Với x + y ≥ ⇒ C ≤ Do để tìm GTLN C ta xét giá trị với x; y thoả: ≤ x + y ≤ * Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định C là: − ( x + y ) ≠ ⇔ x + y ≠ GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 24 Phương pháp giải số dạng tốn cực trị đại số ứng dụng Vì x; y ∈Ν ; nên: Với ≤ x + y ≤ ⇒ ≤ y ≤ Do ta xét trường hợp sau: + Nếu y = C = (a) + Nếu ≤ y ≤ C ≤ (b) + Nếu y = ⇒ x = C = (c) Với x + y ≥ ⇒ C ≤ (d) Từ (a); (b); (c) (d) suy ra: max C = ⇔ x = 0; y = Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm GTNN M = x − 2004 + x − 2005 HD: Xét M khoảng: x ≤ 2004;2004 < x ≤ 2005;2005 < x Bài 2: Tìm GTNN N = ( x − 1) − x − + 2 HD: Xét N khoảng: x < ; x ≥ Phương pháp 7: (Phương pháp thứ tự) Phương pháp: - Nếu việc thứ tự lại số; biến số không làm tính tổng qt tốn nên thực chúng cho thêm giả thiết để tìm GTLN GTNN - Khi thứ tự lại số biến ta nên ý đến phần tử Min Max chúng - Phương pháp thường sử dụng biểu thức đối xứng, hoán vị vòng quanh số biểu thức có điều kiện ràng buộc biến - Phương pháp giúp cho ta giảm số lượng biến Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: S = x y + y z + z x Với x, y, z ≥ 0; x + y + z = * Nhận xét: Ta thấy: Biểu thức S có dạng hốn vị vòng quanh x→y→z→x , ta giả sử x số lớn để có thêm giả thiết so sánh S với biểu thức trung gian * Giải: Giả sử: x = Max{ x, y , z} Ta có: S = x2 y + y z + z x = x2 y + y z + z2x z2x z2x z2x + ⇒ S ≤ x y + xyz + + 2 2 zx ( x + z) z x x z z x+ y+z ⇒ S ≤ x ( x + z ) y + ÷⇒ S ≤ + ÷ y + ÷ ≤ ÷ = 2 2 2 27 ⇒ S ≤ xy ( x + z ) + (BĐT Cô – si ) S= x x z z ⇔ = + = y + ⇔ z = 0; x = ; y = 27 2 2 3 1 1 2 Vậy MaxS = ( x, y, z ) = ; ;0 ÷, 0; ; , ;0; ÷ 27 3 3 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 25 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng ( x + y ) x3 + y x6 + y P= Với x, y > x10 + y10 ( )( ) * Nhận xét: Ta thấy: P biểu thức đối xứng có dạng phân thức tử mẫu bậc, nên khơng tính tổng qt ta thứ tự biến để có thêm giả thiết so sánh P với biểu thức trung gian số * Giải: Giả sử: x ≤ y ⇒ x3 ≤ y ; x ≤ y , x ≤ y Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức Trê – bư – sép ta có: ( x + y ) ( x + y ) ≤ 2( x + y ) (1) 4 6 10 10 ( x + y )( x + y ) ≤ 2( x + y ) (2) Từ (1) (2) ⇒ ( x + y ) ( x3 + y )( x + y ) ≤ 4( x10 + y10 ) ⇒ P ≤ Vậy MaxP = x = y Bài tập tự luyện a b c + + b+c c+a a+b 2 a + b + c = Tìm GTNN Bài 1: Cho ba số a, b, c > Tìm GTNN A = a, b, c > Bài 2: Cho ba số B= 3 a b c + + b+c c+a a+b (HD: B = a2 Áp dụng kết với a b c + b2 + c2 ⇒ MinB = b+c c+a a+b a = b = c = ) c Ứng dụng dạng tốn tìm cực trị Giải phương trình, hệ phương trình chứng minh đẳng thức: Như ta biết: A( x, y , ) ≤ m Max A( x, y, ) = m, m ∈ R ⇔ ∃( x0 , y0 , ) ∈ D cho A( x0 , y0 , ) = m A( x, y, ) ≥ n Min A( x, y, ) = n, n ∈ R ⇔ ∃( x0 , y0 , ) ∈ D cho A( x0 , y0 , ) = n Điều chứng tỏ giá trị ( x0 , y0 , ) nghiệm phương trình: A( x , y , ) = m A( x , y , ) = n Từ cho phép ta sử dụng cực trị việc giải số phương trình hệ phương trình dạng đặc biệt 0 0 Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + − x − x + x − = (*) * Hướng dẫn giải: Ta có: + (*) ⇔ x − + − x = x − x + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki: Ta có: ( 2x − + − 2x ) ≤ (1 + )( x − + − x ) = ⇒ ( 2 Dấu "=" xảy x = (1) GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức ) 2x − + − 2x ≤ Trang 26 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng + Mặt khác: x − x + = ( x − 2) + ≥ Dấu "=" xảy x = (2) * Từ (1) (2) suy ra: Phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: + x1 + + x2 + + + x2007 = 2007 − x + − x + + − x 2007 = 2007 2008 (1) 2007 2006 (2) 2007 * Hướng dẫn giải: ĐK: − ≤ xi ≤ Với : i = 1;2007 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki: Từ (1), ta có: 2007 2008 = 2007 ( + x1 + + x2 + + + x2007 ) ≤ 2007 ( 2007 + x1 + x2 + + x2007 ) ⇒ x1 + x2 + + x2007≥ ⇒ x1 + x2 + + x2007 = Tương tự từ (2) ta có: x1 + x2 + + x2007 ≤ Lúc hệ phương trình cho tương đương với hệ: 1 + x1 = + x2 = = + x2007 1 − x1 = − x2 = = − x2007 ⇔ x1 = x2 = x2007 = 2007 x + x + + x 2007 = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: x1 = x2 = = x2007 = 2007 Ví dụ 3: Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 =1 * Hướng dẫn giải: Ta có : x − y + y − x = ( ≤ x, y ≤ ) Áp dụng BĐT Bunyakovsky ( x − y + y − x ) ≤ ( x + y )(1 − y + − x ) ⇔ ≤ ( x + y )(2 − x − y ) (1) Đặt x2 + y2 = t (t ≥ 0) (1) ⇔ ≤ t(2 - t) ⇔ t2 - 2t + ≤ ⇔ (t - 1)2 ≤ Mặt khác ta ln có (t - 1)2 ≥ 0, suy t - = ⇔ t = Vậy x2 + y2 =1 Khi x = y = Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình sau: a) ( x + 1)( y + )( z + 8) = 32 xyz (Với x; y; z > ) b) x + x + = ( x + x + 1)( x + x + ) 2 GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 27 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng 2 x + y + x − xy − = (Với y nhỏ nhất) c) Bài 2: Giải hệ phương trình: 697 x + y = 81 x + y + xy − x − y + = Bài 3: Cho x a − y + y a − x = a, a số dương Chứng minh rằng: x2 + y2 = a Giải toán cực trị hình học: Ta giả sử A( x , y , ) biểu thức xác định yếu tố hình học Chẳng hạn: Tổng độ dài đoạn thẳng, chu vi diện tích hình hình học, ….Dựa vào tốn tìm cực trị: A = m ; max A = n ( x, y , ) = ( x0 , y0 , ) Ta xác định giá trị lớn nhất, nhỏ yếu tố Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho ∆ABC Qua điểm M thuộc cạnh AC kẻ đường song song với hai cạnh lại; chúng tạo với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn * Hướng dẫn giải: Gọi S ′ diện tích BEMF ; S diện tích ∆ABC Kẻ AH ⊥ BC , AH cắt EM K Ta có: A 0 S ′ = EM KH S′ EM KH ⇒ = S BC AH K S = BC AH E M - Đặt: MA = x; MC = y Ta có: EM x = BC x + y S′ xy = B H C F ⇒ KH y S ( x + y)2 = AH x + y S' xy 1 ≤ ⇒ MaxS ' = S x = y ; tức M Theo bất đẳng thức Cơ – si thì: S = ( x + y) trung điểm AC Ví dụ 2: Hai đường chéo tứ giác lồi ABCD cắt O Biết S ∆AOB = 4; S ∆COD = Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD * Hướng dẫn giải: C Ta có: S AOB AO S AOD = = (hai tam giác có chiều cao) S BOC CO SCOD ⇒ S BOC S AOD = S AOB SCOD = 4.9 = 36 Mà ( S BOC + S AOD ) ≥ 4.S BOC S AOD = 144 O D B ⇒ S BOC + S AOD ≥ 12 ⇒ S ABCD ≥ 25 A Dấu "=" xảy S BOC = S AOD ⇒ S BCA = S ABD ⇒ AB // CD Vậy MinS ABCD = 25 AB // CD hay ABCD hình thang Ví dụ 3: Cho ∆ ABC Điểm M nằm ∆ ABC Kẻ MA1 ⊥ BC , MB1 ⊥ CA , MC1 ⊥ AB GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 28 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng BC CA AB + + Tìm vị trí điểm M để biểu thức: có giá trị nhỏ MA1 MB1 MC1 * Hướng dẫn giải: Ta có: A MA1.BC = 2SMBC, B1 C1 MB1.CA = 2SMAC, MC1.AB = 2SMAB M Do đó: MA1.BC + MB1.CA + MC1.AB = 2SMBC + 2SMAC + 2SMAB = 2SABC Mặt khác: BC CA AB + + = MA1 MB1 MC1 B C A1 BC CA2 AB + + MA1.BC MB1.CA MC1 AB Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức ta có: ( BC + CA + AB ) ( BC + CA + AB ) = Const BC CA AB + + ≥ = MA1 MB1 MC1 MA1.BC + MB1.CA + MC1 AB 2S ∆ABC 2 Suy ra: BC CA AB ( BC + CA + AB ) + + đạt giá trị nhỏ khi: MA1 MB1 MC1 S ∆ABC MA1 = MB1 = MC1 ⇔ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đoạn thẳng AB đường thẳng d song song với điểm M ( M d khác phía AB ) cho tia MA; MB tạo với d tam giác có diện tích nhỏ Hiệu đề tài: Tôi tiếp tục áp dụng đề tài với học sinh đảm nhận năm học vừa qua , kết tăng lên rõ rệt , đặc biệt phần lớn học sinh say mê giải tốn cách lập phương trình Các em khơng lúng túng lập phương trình Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học tốn Từ đó, tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em khơng ngại khó, mà tự tin vào khả học tập Nhiều em giỏi tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp Thời gian áp dụng, thử nghiệm có hiệu quả: Thời gian áp dụng bắt đầu vào năm học từ năm học 2015 - 2016 trở lại đây, hiệu chất lượng học sinh giỏi cấp năm học cao năm trước học sinh linh hoạt việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Từ áp dụng đề tài vào bồi dưỡng học sinh giỏi trường kết đạt sau: Năm học SL dự thi Cấp trường Đạt giải GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Cấp huyện SL dự thi Đạt Trang 29 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng 2014 – 2015 (Chưa dạy theo SKKN) (2 giải khuyến khích) 2015 – 2016 (Dạy theo SKKN) ( giải ba, giải khuyến khích) giải (1 giải khuyến khích) Tuy nhiên, kết chưa cao có đóng góp phần làm thay đổi chất lượng làm học sinh Có khả thay giải pháp có: Nội dung đề tài bổ sung thêm nội dung sách giáo khoa có Có khả áp dụng tiết luyện tập, ôn tập trường hợp cần đưa tập nâng cao cho học sinh - giỏi, kì bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Qua tập dạng giúp kích thích tính tìm tòi, khám phá kiến thức học sinh Khả áp dụng đơn vị: Đề tài mở rộng áp dụng cho thầy (cơ) giảng dạy mơn tốn trường THCS Hồi Đức Bản thân tơi hy vọng đề tài áp dụng rộng rãi III KẾT LUẬN : 1.Đánh giá sáng kiến kinh nghiệm: a) Nội dung: Với số phương pháp đưa đề tài giúp em học sinh biết cách làm chủ kiến thức mình, thêm u mến mơn tốn, tự tin q trình học tập nghiên cứu sau Các toán minh hoạ dạng toán thường gặp (tuy nhiên chưa đầy đủ dạng) hướng dẫn chi tiết , dễ hiểu để học sinh tự nắm được, tự lập phương trình giải toán Những tập tương tự GV đưa nhằm mục đích giúp học sinh tự rèn thêm nhà nhằm nắm kĩ toán GV đưa Tuy nhiên để phát huy hết hiệu nội dung này, GV cần có kế hoạch kiểm tra , nhắc nhở HS tự làm nhà b) Ý nghĩa: Là người thầy đứng bục giảng hiểu được, dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học.Trong hoạt động đó, học sinh cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần này, để áp dụng đề tài cách có hiệu giáo viên người tổ chức đạo cho học sinh tiến hành hoạt động học tập Khi gặp dạng toán cực trị đề thi học sinh giỏi cấp cần phân tích sử dụng phương pháp cách hợp lí Tóm lại giáo viên khơng cung cấp, khơng áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành kĩ vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết suy luận, biết cách tự tìm lại điều quên, biết cách tự tìm tòi phát kiến thức Các tri thức phương pháp thường quy tắc, quy trình, nói chung phương pháp có tính chất thuật tốn Học sinh cần rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm tri thức phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 30 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân Nghiên cứu kỹ chương trình toán học trung học sở, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, tài liệu liên quan, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, kể chương trình tốn học trung học phổ thông giúp cho giáo viên định hướng tốt cho trình thực tiết lên lớp xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu c) Hiệu Kinh nghiệm giúp cho giáo viên trường, giáo viên dạy bồi dưỡng có thêm kinh nghiệm phương pháp có định hướng nội dung giảng dạy phần cực trị đại số Khi đề tài mà ứng dụng rộng rãi, có hiệu nhiều giáo viên tham khảo lần sau viết tiếp phần nội dung phân mơn lại để hồn chỉnh nội dung bồi dưỡng Sáng kiến chủ yếu bồi dưỡng lực tư cho học sinh giỏi đáp ứng nhu cầu học tập học sinh có nguyện vọng đạt điểm cao kì thi học kì, thi tuyển vào 10, vào trường chuyên kì thi học sinh giỏi Mọi giáo viên làm tài liệu tham khảo để có hội giảng dạy tốt mơn tốn kết hợp với kinh nghiệm thân để hoàn thiện, bổ sung, nâng cấp thường xuyên sáng kiến thành tài liệu riêng Phạm vi kiến thức sáng kiến không rộng, nhiên sáng kiến mang lại cho học sinh nhiều kĩ cần thiết bổ ích để học sinh học tốt mơn tốn 2.Đề xuất ,kiến nghị: Để có kết mong muốn yêu cầu chung giáo viên phải có lực chun mơn sư phạm vững vàng đòi hỏi giáo viên phải có lòng say mê, nhiệt tình tâm huyết với nghề nghiệp Dành nhiều thời gian đầu tư cho công tác soạn giảng, nghiên cứu kĩ chương trình tốn THCS, đọc nhiều sách tài liệu tham khảo liên quan đến vấn đề trực tiếp giảng dạy để tích luỹ số kinh nghiệm cần thiết, vững vàng tự tin đứng lớp làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi … giúp học sinh hoàn thiện kiến thức tạo cho em hứng thú đến học toán say mê sáng tác thêm toán Nhà trường mặt phải có biện pháp kích thích, ni dưỡng lòng nhiệt tình giáo viên lớn tuổi đồng thời phải có kế hoạch bồi dưỡng lớp giáo viên trẻ có lực để kịp thời bổ sung vào lực lượng giáo viên cốt cán nhà trường Xuất phát từ đặc điểm tâm sinh lí lứa tuổi, thấy giáo viên lớn tuổi thường giàu kinh nghiệm, chun mơn vững vàng, có nhiều tâm huyết, gắn bó với nghề dễ lòng, muốn nghỉ ngơi Còn giáo viên trẻ nhiệt tình, động, sáng tạo, ham học hỏi, muốn khẳng định thường thiếu kinh nghiệm hay nóng vội Do nhà trường cần phải biết cách hai lực lượng bổ sung, hỗ trợ cho nhau, tạo nên tiềm lực đủ mạnh, đủ bền động để nâng cao chất lượng dạy học Ban giám hiệu kết hợp với tổ chuyên môn hàng năm phân cơng giáo viên nhóm giáo viên chọn lọc, tích luỹ viết chuyên đề nâng cao dùng làm tư liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi Sau tổ chức thẩm định đưa vào làm tư liệu chun mơn cho trường hàng năm hồn chỉnh thành sáng kiến kinh nghiệm Trên số kinh nghiệm nhỏ mà thân tích luỹ q trình giảng dạy, tơi mong muốn trao đổi bạn đồng nghiệp học sinh yêu toán Hi vọng sáng kiến kinh nghiệm góp phần hồn thiện thêm phương pháp tìm cực trị cho bạn em học sinh giỏi muốn tìm hiểu sâu thêm kiến thức toán trung học sở, làm tảng cho kiến thức toán trung học phổ thông Các bạn học sinh chưa GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 31 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng thật học tốt chuyên đề tìm cực trị trang viết dìu dắt bước tiến Các bạn ham tìm tòi có gợi ý để tự đào sâu sáng tạo Các nhà giáo thấy phương pháp ý đồ sư phạm tinh tế mang lại hiệu cao tiết lên lớp Mong muốn có ủng hộ góp ý chân thành tất bạn đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Hoài Đức, ngày 24 tháng 12 năm 2016 Người viết Nguyễn Thanh Trầm THẨM ĐỊNH CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN: ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG: GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 32 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán 7, 8, – Nhà xuất giáo dục Sách tập Toán 7, 8, - Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển Toán 7, 8, – Vũ Hữu Bình Các viết, trang thơng tin học Toán mạng internet GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 33 Phương pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng MỤC LỤC I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài .…………………………………………… .Trang Mục đích nghiên cứu đề tài ………………………… .Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu Trang Phạm vi nghiên cứu đề tài…………………………………… Trang II Nội dung Cơ sở lý luận ……………………………………… Trang 2 Thực trạng vấn đè nghiên cứu…………… Trang Mô tả giải pháp đề tài………………………………… Trang Hiệu đề tài Trang 30 III Kết luận Đánh giá sáng kiến kinh nghiệm.……………… Trang 30 Đề xuất, kiến nghị ………………………………… .Trang 31 GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức Trang 34 ... pháp giải số dạng toán cực trị đại số ứng dụng 2014 – 2015 (Chưa dạy theo SKKN) (2 giải khuyến khích) 2015 – 2016 (Dạy theo SKKN) ( giải ba, giải khuyến khích) giải (1 giải khuyến khích) Tuy nhiên,... thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành kĩ vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách... giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần này, để áp dụng đề tài cách có hiệu giáo viên người tổ chức đạo