Sử dụng nhiều phương pháp để giải toán cực tri phần đại số Trung học cơ sở. Đã áp dụng thành công trong các kì thi Học sinh giỏi vừa qua. Được nhiều giáo viên trong tổ công nhận....Đa số khoang 70 phần trăm học sinh hiểu các phương pháp này.
Một số phơng pháp giải toán cực trị THCS I kiến thức Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D : M đợc gọi GTLN f(x,y, ) miền |D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M đợc gọi GTNN f(x,y, ) miền |D đến điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, ) |D Các kiến thức thờng dùng 2.1 Luỹ thừa : a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tổng quát : [f (x)]2k x |R, k z - [f (x)]2k Từ suy : [f (x)]2k + m m x |R, k z 2k M - [f (x)] M b) x x ( x )2k x0 ; k z Tổng quát : ( A )2k A (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; "=" xảy x.y c) |x-y| |x| - |y| ; "=" xảy x.y |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi : ; i = 1, n : a1 + a + + a n n n a1 a .a n nN, n dấu "=" xảy a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : 2 2 2 (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a1 + a + + a n ).(b1 + b2 + + bn ) Dấu "=" xảy b = Const (i = 1, n ) i 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a : (1+a)n 1+na n N Dấu "=" xảy a = Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy từ bất đẳng thức (A+B)2 a a2 + b2 2ab b (a + b)2 4ab c 2( a2 + b2 ) (a + b)2 d a + b b a e + b a a+b II Một số phơng pháp giải toán cực trị đại số Phơng pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dơng) số Từ : 1.Để tìm Max f(x,y, ) miền |D ta : f ( x, y ) M ( x , y ) | R cho f(x0,y0, ) = M f ( x, y ) m ( x , y ) | R cho f(x0,y0, ) = m Để tìm Min f(x,y, ) miền |D ta : I Các vi dụ minh hoạ : Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A1 = x2 + 4x + Giải :Ta có : A1 = x2 + 4x + = x2 + 4x + 4x + = (x + 2)2 + (x + 2)2 A1 = x + = x = -2 Vậy A1 = x = -2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn A2 = -x2 + 6x - 15 Giải :Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - A2 = - (x - 3)2 - - -(x - 3)2 x |R A2 max = - x - = x = Vậy A2 max = - x = 3 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A3= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966 1966 (x2-9x + 14)2 x x = A3 = 1966 x2-9x + 14 = x = x = Vậy A3 = 1966 x = Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức A4 = x2 10 x ( x 1) Giải :Ta có: A4 = x 10 x x 2x + x 2x + 2( x x + 1) 6( x 1) 9 = = x ( x 1) ( x 1) 2 = - + + - + x x x + = x = -2 A4 Max = x Vậy : A4 Max = x = -2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn A5 = Giải :Ta có:A = x y + y x x y= x y + y x x x x+y yx yy x xy y với x,y>0 = x( x y ) y ( x y ) xy A5 = ( x y ).( x y ) xy = ( x y ) ( x y ) xy x,y > A = x y = x = y Vậy : A5 = x = y > Ví dụ : Cho x,y x + y = Tìm giá trị nhỏ lớn A6 = x2 + y2 Giải :Do x; y x + y = x;y x2 x, y2 y x = x = A6 = x2 + y2 x + y = A6 max = y = y = 2 Mặt khác : x + y = (x + y) = = x + 2xy + y (x2+y2)-(x-y)2 1 + ( x y ) (x - y)2 2 1 A6 = x - y = x = y = 2 x = x = ; Vậy : A6 max = y =1 y = A6 = x2+y2 = A6 = 1 x=y= 2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 Giải :Ta có : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = - (2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz) A7 = - {(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2} x,y,z A7 Max = x=y = z Vậy : A7 Max = x = y = z Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức: y = x + x +1 = x + x +1 Giải: Ta viết: x+ ữ + Vì x + ữ + Do ta có: y Dấu = xảy x = 2 4 Vậy: GTLN y = x = y= II Nhận xét: Phơng pháp giải toán cực trị đại số cách sử dụng phép biến đổi đồng đợc áp dụng cho nhiều tập, nhiều dạng tập khác Song học sinh thờng gặp khó khăn công việc biến đổi để đạt đợc mục đích Vậy phơng pháp nào; để phơng pháp vừa nêu giúp học sinh nhanh chóng tìm lời giải Trớc hết ta giải số toán sau để suy ngẫm III Các tập đề nghị : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : a A = x2 - 10x + 20 b B = (x-1)2 + (x-3)2 c C = x x + y y + d D = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) e E = 3x x + (x 1) x 2x + f F = x3 + y3 + xy biết x + y = g G = 4( x + y + xy ) với x,y > x + y + xy Tìm giá trị lớn biểu thức : a A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 b B= x2 + x2 +1 C = x2 + 74 x 196 ; x 10 x + 25 A = x + x + x + 2x + 3 Tìm GTLN, GTNN Phơng pháp 02 : ( Sử dụng bất đẳng thức ) Ta biết : Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đa bất đẳng thức phép biến đổi tơng đơng mà vế số Vì : Sử dụng bất đẳng thức phép biến đổi tơng đơng ta tìm đợc cực trị biểu thức I Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ : Cho a > b > Tìm GTNN B1 = a + Giải :Ta có : B1 = a + b( a b ) 1 b(a b) = b + (a-b) + 3 (theo Côsi) b( a b ) b( a b ) b.(a b) a = B1 B1 = b = a-b = b(a b) b = a = Vậy : B1 = b = Ví dụ : Cho a,b > a + b = Tìm GTNN B2 = 1 + 2 ab a + b 1 Giải :Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( + ) x y = (với x,y > 0) x 1 x + y x+ y a+b y xy (1) 1 Ta có : ab ( )2 = (2) a+b = ; a,b > ab áp dụng bất đẳng thức (1) kết (2) ta có : 1 1 1 4 + = + = +( + ) + 2 ab a + b 2ab a + b 2ab 2ab a + b 2ab + a + b B2 + (a + b) = a + b = B2min = a = b = Vậy : B2min = a = b = B2 = Ví dụ : Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN B3 = x4 + y4 + z4 Giải : Do xy + xz + yz = 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 16 16 B3min = x=y=z= 3 16 Vậy : B3min = x=y=z= 3 Ví dụ : Cho |a| 1; |b| | a+ b| = B3 = x4 + y4 + z4 Tìm GTLN B4 = a + b 2 Giải :Ta có : (a-b) áp dụng (1) ta có : a2 + b2 a2 + b2 a + b a;b (1) a2 + b2 (a + b ) a2 + b2 = = 2 2 a2 + b2 a + b = Do = a + b2 (do | a + b| = ) - = ( a + b ) 4 B4 = a + b B4Max = a = b = Vậy : B4Max = a = b = Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ B6 = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy x,y Do : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B6Min = 2002 (x + 7) (1995 - x) -7 x 1995 Vậy : B6Min = 2002 -7 x 1995 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Giải : Ta có : B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B7 | x + 2000 + x + y + + - 2x - y| = 2010 B7min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) dấu Vậy : B7min = 2010 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x2y + xy2 Giải :Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001 + 2001 (x2y + xy2) B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001 x = B 2002 B = 2002 xy(x+y) = y = x = y x = Vậy : B = 2002 y = x = y Ví dụ : Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16 Giải : Cách : Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = x + y + z = 3) B8min = x = y = z = Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : = x + y + z = (x+ y + z)2 (x2 + y2 + z2).3 (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2)2 (x4 + y4 + z4).3 x4 + y4 + z4 (x4 + y4 + z4)2 (x8 + y8 + z8).3 x8 + y8 + z8 (x8 + y8 + z8)2 (x16 + y16 + z16).3 B8 = x16 + y16 + z16 B8min = x = y = z = Vậy : B8min = x = y = z = Ví dụ 9: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y x2 y2 y x M ( x2 + y ) + + xy + = (x + y2 ) + ữ 2 2 2 2 2 Ngoài ra: x + y = x + y + 2xy = 2(x + y ) (x y)2 = = => 2(x2 + y2) 1 1 x + y = x = y = 2 2 1 1 Ta có: M ( x + y ) ( x + y ) M = 2 2 1 Do M dấu = xảy x = y = 1 Vậy GTNN M = x = y = Do x + y 10 Ví dụ 10: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = (x + y)2 x+ y x+ y x = y - Xét x + y Dấu = xảy x + y = x= y= 2 x = y - Xét x + y Dấu = xảy x + y = x= y= 2 Vậy x + y đạt GTNN x = y = 11 Ví dụ 11: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A= x2 + y x y x + y x xy + y + xy ( x y ) + xy = = x y x y x y ( x y ) + xy x y x y Do x > y xy = nên: A = = x y+ = + + x y x y x y Vì x > y x y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số không âm, ta có: x y x y A + x y x y = ( x y ) = ( x y ) = (Do x y > 0) Dấu = xảy x y Từ đó: A + = x y = Vậy GTNN A xy = Giải: Ta viết: A = x = + x = hay Thỏa điều kiện xy = y = + y = 12 Ví dụ 12: Tìm GTLN hàm số: y = x + x x x 4(*) Giải: Điều kiện: x áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) a b Dấu = xảy = c d Chọn a = x 2; c = 1; b = x ; d = với x Ta có: ( ) ( x2 y ( x ) + ( x ) y2 = x2 + x ) +( ) x ( 12 + 12 ) y2 y Vì y > nên ta có: < y Dấu = xảy x = x x = x x = (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = 13 Ví dụ 13: Tìm GTNN biểu thức: M = ( x 1994 ) + ( x + 1995) Giải: M = ( x 1994 ) + ( x + 1995) = x 1994 + x + 1995 áp dụng bất đẳng thức: a + b a + b ta có: M = x 1994 + x + 1995 = x 1994 + 1995 + x => M x 1994 + 1995 x = Dấu = xảy (x 1994) (1995 x) 1994 x 1995 Vậy GTNN M = 1994 x 1995 14 Ví dụ 14: Cho x Tìm GTLN biểu thức y = x + ( x ) Giải: Ta có: y = x + ( x ) = x + ì ( x ) Vì x nên x áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 x) cho ta: 1 ( x) x + + ( x) = 2 1 Dấu = xảy = x => x = 2 Vậy GTLN y x = 2 y = x + 2ì II Nhận xét : Rõ ràng áp dụng số bất đẳng thức bản, toán đợc giải nhanh Song việc vận dụng bất đẳng thức thuận lợi tuỳ thuộc vào giả thiết toán vận dụng linh hoạt bất đẳng thức Một vấn đề đặt : Hai phơng pháp vừa nêu cha đủ để giải đợc hết toán cực trị đại số THCS Chính lẽ nhu cầu phải có phơng pháp khác tối u thực đợc yêu cầu toán Trớc nghiên cứu phơng pháp 03 Chúng ta nghiên cứu số tập sau : III Một số tập đề nghị : a + 2 Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = ab a + b2 b c Cho a,b,c > a + b + c = Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) Cho a,b,c > a b c + + b+c c+a a+b a b c b+c c+a a+b b) Tìm GTNN D = + + + + + b+c c+a a+b a b c Cho x,y,z x+y+z =1.Tìm GTLN E= x + + y + + z + Cho a,b,c a + b + c = 1.Tìm GTLN F = a + b + a + c + b + c Cho x Tìm GTLN G = 4x2 - 3x3 a) Tìm GTNN C = Cho x ; Cho y Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) Cho x,y,z,t 2x + xy + z + yzt = Tìm GTLN I = x2y2z2.t Cho x,y,z,t xt + xy + z + yzt = Tìm GTLN K = xyzt 10 Tìm GTNN M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Phơng pháp 03 : ( Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ ) Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tơng đơng Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị I Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTNN C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8 (a-3)2 a x = C1min = a - = a = x2 + 3x + = y = x = Vậy : C1min = y = x2 Ví dụ 2: Tìm GTNN C2 = y Giải :Đặt : + y2 x2 x y - + + với x,y > y x y x y x + = a + = a2 - y x y x 2 C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thấy : a C2 = 2a2 - 5a + C2min = a = x = y > Vậy : C2min = x = y > Ví dụ 3: Tìm GTNN C3 = Giải : Đặt : x + y y x y x + - 3 + 2004 với x,y>0 y x y x y x y = a + = a2 Khi : y x x C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta có : a a - 1> ; a - 20 (a-1) (a-2) C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 = 2000 a = x = y ; xy > Vậy C3 = 2000 x = y xy > Ví dụ 4: Cho x,y,z > Tìm GTNN C4 = Giải : Đặt : a = x y+ z + y x+ z x + z ; + z x+ y y + z ; b= c= x + y a+b+c x + y+ z = a+b+c ab+c a+bc x= ; y= ; z= 2 a+b+c ab+c a+bc Khi : C4 = + + 2 a b b c a c C4 = ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c b c a a b a c b c Theo Côsi với a,b,c >0 ta có : + ; + ; + b a c a c b C4 (2 + + 3) = 2 C4min = a = b = c x = y = z > x = y = z > Vậy C4min = ( x y )(1 x y ) (1 + x ) (1 + y ) Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN C5 = 2 Giải :Ta có : (a + b) a.b (1) a,b (a b) ab (2) 4 x2 + y2 x2 y2 = a = b Đặt : (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) a,b Khi : C5 =a.b 2 Theo (1) (2) ta có : - (a + b) C5 = ab (a + b) 4 x y + x y x y +1 x y2 C5 - (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) 2 2 2 2 ( x 1)(1 + y ) ( x + 1)(1 y ) - C5 (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) x2 1 y - C5 x + + y 2 2 x2 Ta có : x + ; y 1 + y 2 Do : x C5 y 4 x + + y C5min = (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 x = C5max = (1 - y2)2 = (1 + y2)2 y = 1 Vậy C5min = x = 0; C5max = y = 4 Ví dụ 6: Cho x, y, z số dơng thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu 1 + + x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) 1 1 =1 Giải: Đặt a = ; b = ; c = abc = x y z xyz 1 Do đó: + = a + b x + y = (a + b).xy x + y = c(a + b) x y thức: E = Tơng tự: E= y + z = a(b + c); z + x = b(c + a) 1 1 1 + + 3 x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) 1 a2 b2 c2 + b3 + c3 = + + a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) b + c c + a a + b a b c Ta có: (1) + + b+c c+a a +b = a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x+ y+z y+zx z+x y x+ yz a= ;b = ;c = 2 a b c y+zx z+x y x+ yz VT = + + = + + b+c c+a a +b 2x 2y 2z y x z x z y 3 = + ữ+ + ữ+ + ữ + + = x y x z y z 2 a+b+c = Khi đó, Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có: a ( a + b + c ) b( a + b + c ) c (a + b + c ) + + (a + b + c) b+c c+a a +b 2 2 a b c a + b + c abc 3 + + = E b+c c+a a+b 2 2 GTNN E a = b = c = II Các tập đề nghị : Tìm GTNN A = x2 + - x + x x +1 50 Tìm GTLN B = a + + 2a + 50 3a với a ; 2 a+ b + c = 2a + + 2b + + 2c + Cho a - ; b - ; c Tìm GTLN C = Cho x,y > Tìm GTNN D = x y y2 x2 + + + 2 y x y x Phơng pháp 04 : ( Sử dụng biểu thức phụ ) Để tìm cực trị biểu thức đó, ngời ta xét cực trị biểu thức khác so sánh đợc với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trị biểu thức A với A > 0, ta xét cực trị biểu thức : , -A, kA, k + A, |A| , A2 A (k số) I Các vị dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTLN A = x2 x4 + x2 + Giải : a) Xét x = A = giá trị GTLN A với x ta có A > Amax Pmin A với cách đặt ta có : P = x + x2 + = x + 12 + x x ta có : x2 + 12 x 12 = (theo côsi) x x b) Xét x đặt P = P + = Pmin = x = Do : Amax = x=1 Ví dụ 2: Tìm GTNN B = x với x > ( x + 2002) Đặt P1 = - B nh P1max Mmin Ta có : P1 = Đặt P2 = Giải : x với x > P > ( x + 2002) > với x > P2 Min P1 Max P1 2 P2 = ( x + 2002) = x + 2.x.2002 + 2002 x x P2 = x 2.x.2002 + 2002 + 4.x.2002 x P2 = ( x 2002) + 4.2002 4.2002 = 8008 x (do ( x 2002) x > 0) x P2 Min = 8008 x = 2002 x = 2002 8008 BMin = x = 2002 8008 Vậy BMin = x = 2002 8008 P1 Max = Ví dụ 3: Cho a,b,c dơng a + b + c = Tìm GTLN C = 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a Giải : Do a,b,c > C > Đặt : P = C2 PMax CMax Ta có : P = ( 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a )2 P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = Vậy CMax = a = b = c = Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > Tìm GTNN D = Giải : Đặt P = 2D ta có : P= y+t y x+ y x t+x t + + + + + y+t x t+x y x+ y t 2y 2(t + x ) 2( x + y ) x 2( y + t ) 2t + + + + + y+t x t+x y x+ y t 2x y + t 2y x+ y y+t t + x x+t t + x 2t + + + + + + + + 2x t + x 2y x + y 2t x y t y+t 2x y + t 2y x+ y y t t x x y t + x 2t + + + + + + + + + + + P= 2x t + x 2y x + y 2t x x y y t t y+t P + + + (theo côsi) P= P 15 PMin = 15 x = y = t > 15 x=y=t 15 Vậy DMin = x=y=t DMin = Ví dụ 5: Cho x, y > 7x + 9y = 63 Giải :Đặt : P = 63.E ta có : Tìm GTLN E = x.y 7x + y (theo côsi) P = 63xy = 7x.9y 3969 3969 63 P = PMax = 4 x= 63 Dấu "=" xảy 7x = 9y = y = x = 4,5 3969 63 EMax = : 63 = y = 3,5 4 Ví dụ : Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y Giải : Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P12 P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2 (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 x = x = P2 Max = 13.13.4 y = y = P1 Max = 26 Do F |F| = P x = x = FMax = 26 y = Vậy FMax = 26 y = Ví dụ 7: Cho x,y > Tìm GTNN G = Giải : Đặt : P = G - ta có : P= y x4 y4 x2 y2 x + + + y x y x y x y x4 y4 x2 y2 x + + + -2 y4 x4 y2 x2 y x x4 y4 x2 x2 y2 x y y2 x y P = 2 + + 2 + + + + + y x x y x y x y x y 2 P = x + y + x y y x y ( x y) + x xy PMin = x = y > Vậy GMin = x = y > II Các tập đề nghị : Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A = xy yz zx + + z x y Cho x Tìm GTNN B = x + x4 + x Cho x Tìm GTLN C = x 16 x8 + x8 + Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c Cho a,b > a + b = 4 Tìm GTNN E = Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = a b a+b b+c c+d d +a = + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Cho a,b |R Tìm GTNN G = a + (1 b) + b + (1 a) Phơng pháp 05 : ( Phơng pháp miền giá trị ) Trong số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đa đợc dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu Đờng lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x D Điều có nghĩa điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phơng trình f(x)=y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thờng đa đến biểu thức sau : m yM Từ Min f(x) = m với x D Max f(x) = M với x D I Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x + x2 + 4x + - y = (có nghiệm) ' = - + y y1 Vậy f(x) Min = x = -2 Ví dụ 2: Tìm GTLN f(x) = - x2 + 2x - Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + ' = - y - y-6 Vậy f(x)Max = -6 x = (có nghiệm) x + 4x + Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN f(x) = x + 2x + Gọi y giá trị f(x) Giải : Ta có : y = x + x + yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x + 2x + (y - 1)x + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y = x = - * Nếu y ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - - 2y2 + 5y + Ta thấy : y2