luong giac 11 gv updated

luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated luong giac 11 gv updated

Mục lục PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 Cơng thức lượng giác 1.1.1 Kiến thức 1.1.2 Các dạng tốn ví dụ 1.1.3 Bài tập 1.2 1.3 1.4 1.5 Phương trình lượng giác 11 1.2.1 Kiến thức 11 1.2.2 Các dạng tốn ví dụ 11 1.2.3 Bài tập 12 Phương trình lượng giác thường gặp 13 1.3.1 Phương trình đa thức hàm số lượng giác 13 1.3.2 Phương trình bậc sin x cos x 15 1.3.3 Phương trình (đẳng cấp) sin x cos x 16 1.3.4 Phương trình đối xứng 17 1.3.5 Bài tập 19 Phương trình lượng giác khác 20 1.4.1 Kiến thức 20 1.4.2 Các dạng tốn ví dụ 20 1.4.3 Bài tập 23 Bài tập tổng hợp 24 https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 1.1.1 Cơng thức lượng giác Kiến thức Các công thức π π π π ∙ Giá trị lượng giác cung đặc biệt: 0, , , , , π ∙ Giá trị lượng giác cung có liên quan: cos đối - sin bù - phụ chéo - khác π tan; tuổi 90 ; chẵn π sin-cos ∙ tan x = sin x cos x , cot x = , tan x cot x = cos x sin x ∙ sin2 x + cos2 x = 1, + tan2 x = 1 , + cot2 x = cos x sin2 x Công thức cộng ∙ cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ∙ tan(a ± b) = tan a ± tan b ∓ tan a tan b ∙ sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b Công thức nhân ∙ Nhân đôi: sin 2x = sin x cos x, ∙ Hạ bậc: sin2 x = cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x, tan 2x = − cos 2x + cos 2x , cos2 x = 2 ∙ Công thức biểu diễn theo t = tan x 2t − t2 2t : sin x = , cos x = , tan x = 2 1+t 1+t − t2 ∙ Nhân ba: sin 3x = sin x − sin3 x, cos 3x = cos3 x − cos x Cơng thức biến đổi tổng-tích a+b a−b sin 2 ∙ cos a cos b = (cos(a − b) + cos(a + b)) ∙ cos a − cos b = −2 sin ∙ sin a sin b = (cos(a − b) − cos(a + b)) ∙ sin a + sin b = sin a+b a−b cos 2 ∙ sin a + sin b = cos a−b a+b sin 2 ∙ cos a + cos b = cos a−b a+b cos 2 tan x − tan2 x CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1.2 Các dạng tốn ví dụ Ví dụ 1.1 Biểu diễn cung có số đo: π 5π π π 13π π 2π , , + kπ, , , + k , 60∘ + k120∘ đường tròn lượng giác 4 6 3 Ví dụ 1.2 Tính tan 300∘ , sin(−780∘ ), cos(−990∘ ), tan(− 2π 11π ), cot Ví dụ 1.3 Rút gọn biểu thức A = tan 540∘ + cos 1170∘ + sin 990∘ − cos 540∘ 13π 14π 25π − tan + cos Solution A = −1, B = − , C = 1, D = −2 sin x 2 B = sin C = sin(−234∘ ) − cos 216∘ · tan 36∘ sin 144∘ − cos 126∘ D = sin(x + π) − cos( π2 − x) + cot(2π − x) + tan( 3π − x) Ví dụ 1.4 Chứng minh đẳng thức sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x sin x − cos x = sin x + cos x sin6 x + cos6 x = − sin2 x cos2 x + cot x tan x + = − cot x tan x − Ví dụ 1.5 Rút gọn A = (tan x + cot x)2 − (tan x − cot x)2 C = tan x + B = (1 − sin2 x) cot2 x + − cot2 x D = Solution A = 4, B = sin2 x, Ví dụ 1.6 Cho tan α = C= , cos x cos x + sin x cos x tan x − cot x cos x sin2 x D = sin x 3π π < α < Tính sin α, tan α, cot α? 4 Solution sin α = − , cos α = − , cot α = 5 3 Ví dụ 1.7 Cho cos α = − 180∘ < α < 270∘ Tính sin(α + 45∘ )? √ Solution − 10 Ví dụ 1.8 Tính giá trị biểu thức P = tan α − π biết cos α = − 3π π < α < 41 Solution P = 31/49 Ví dụ 1.9 Chứng minh đẳng thức: tan2 a − tan2 b = sin(a + b) sin(a − b) cos2 a cos2 b cos(a − b) cos(a + b) = cos2 b − sin2 a sin( √ π π + a) − sin( − a) = sin a 4 cos(a + b) cos(a − b) = − tan2 a tan2 b cos2 a cos2 b Ví dụ 1.10 Rút gọn A = sin(x − π π π π ) cos( − x) + sin( − x) cos(x − ) 4 B = sin 4x cot 2x − cos 4x https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC D = cos(x − π π π 3π ) cos(x + ) + cos(x + ) cos(x + ) Solution A = sin(− B = π ) 12 sin 4x cos 2x − cos 4x sin 2x =1 sin 2x D = cos( π π π π π π π − x) cos(x + ) − sin( − x − ) sin(x + ) = cos −x+x+ 4 = cos 7π 12 Ví dụ 1.11 Chứng minh đẳng thức sau: sin 2x tan x = − cos 2x cos4 x − cos 2x − cos 4x = 2 3 sin4 x + cos4 x = cos 4x + 4 cos3 x sin x − sin3 x cos x = + cos 4x = 8(sin6 x + cos6 x) sin 4x sin2 3x cos2 3x − = cos 2x cos2 x sin2 x π x + sin x = cot( − ) cos x cot x − tan x = cot 2x 10 sin 2x(tan x + cot x) = + cos 4x = cot2 x + tan2 x − cos 4x Solution π + cos( − x) Biến đổi V T = Sau áp dụng công thức nhân đôi π sin( − x) 10 Biến đổi V P = cos4 x + sin4 x = sin2 x cos2 x Ví dụ 1.12 Rút gọn sin 3x cos 5x − sin 5x cos 3x A = cos x D = B = − cot 2x sin 4x E = C = sin2 2x − sin2 x sin2 2x + sin2 x − F = Solution A = −2 sin x, B = tan 2x,C = tan4 x, D = cot 2x + tan 2x cot 2x − tan 2x cos2 a − − a) sin2 ( π4 + a) tan( π4 sin(60∘ + a) sin(15∘ + 4a ) sin(75∘ − a4 ) , E = 1, F =? cos x Ví dụ 1.13 Tính sin 18∘ Solution Ta có sin 36∘ = cos 54∘ nên: cos3 18∘ − cos 18∘ = sin 18∘ cos 18∘ ⇔4 cos2 18∘ − = sin 18∘ (vì cos 18∘ ̸= 0) ⇔4 sin2 18∘ + sin 18∘ − = √ 5−1 Giải phương trình này, với ý sin 18∘ > 0, ta tìm sin 18∘ = Ví dụ 1.14 [ĐH Đà Nẵng 1998] Chứng minh cos https://facebook.com/breakallrulez π 2π 3π − cos + cos = 7 https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Solution Đặt A = cos π 2π 3π π − cos + cos Nhân hai vế A với sin ta 7 7 2A sin Do A = π 2π = sin 7 2π = sin 2π = sin π = sin π 2π π 3π cos + sin cos 7 7 3π −π 4π −2π − sin + sin + sin + sin 7 7 3π π 4π 2π − sin + sin + sin − sin 7 7 3π 4π (vì sin = sin ) 7 − sin π 2π 3π hay cos − cos + cos = 7 Ví dụ 1.15 Biến đổi thành tích cos2 a − cos2 3a + cos x + cos 2x + cos 3x sin 3x + sin 2x cos a + cos b + sin(a + b) cos(60∘ + x) cos(60∘ − x) + cos 3x + sin x − cos 2x sin 70∘ − sin 20∘ + sin 50∘ − cos x + cos 2x cos 46∘ − cos 22∘ − cos 78∘ 10 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x − Ví dụ 1.16 Chứng minh đẳng thức 1 cos x − cos 3x − cos 5x = sin2 x cos3 x 2 sin x(1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x) = sin 7x 1.1.3 Bài tập Bài 1.1 Tính 2(sin6 x + cos6 x) − 3(sin4 x + cos4 x) Bài 1.2 Tính (1 − tan2 x)2 − 2 tan x sin x cos2 x − sin x + sin x tan x + tan y Bài 1.4 Chứng minh tan x tan y = cot x + cot y Bài 1.3 Rút gọn + sin x − − sin x Bài 1.5 Chứng minh đẳng thức sin x + cos x tan3 x + tan2 x + tan x + = cos3 x tan x − sin x = cos x(1 + cos x) sin3 x Bài 1.6 Chứng minh sin2 x − cos4 x + cos2 x = sin2 x − sin2 x + + sin x cos x + sin2 x cos2 x + cot x + tan x Hint Ta có V T = sin2 x + cos2 x + cos2 x(1 − cos2 x) = + sin2 x cos x sin2 x + cot x cos2 x + sin x cos x + sin2 x cos x + cot x sin x sin3 x + cos3 x = + sin x cos x + sin2 x cos x sin x + cos x sin x VP = = − sin x cos x + sin x cos x + sin2 x cos x = + sin2 x cos x https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Như V T = V P ta có điều phải chứng minh Bài 1.7 Chứng minh sin x + cos x − cos x = − cos x sin x − cos x + Bài 1.8 (THPTQG 2015) Tính giá trị biểu thức P = (1 − cos 2α)(2 + cos 2α) biết sin α = 3 3π Bài 1.9 Cho sin x = − π < x < Tính tan3 x + cot3 x? Bài 1.10 Cho cos x = − < x < π Tính (sin x + tan x)(cos x + cot x)? Bài 1.11 Cho tan x + cot x = Tính sin4 x + cos4 x? Bài 1.12 Cho sin x + cos x = Tính sin8 x + cos8 x? Bài 1.13 Cho tan x = Tính giá trị biểu thức P = sin3 x + cos x cos3 x + sin3 x 3π 25π Bài 1.14 Cho sin α = − π < α < Tính tan α − 4 3π 1 tính tan α = √ Hint Từ sin α = − π < α < 15 tan α − tan π4 25π π Lại có tan α − = tan α − = = Do + tan α tan π4 Bài 1.15 Cho cos x + cos y = sin x + sin y = Tính cos(x − y)? Hint Từ cos x + cos y = sin x + sin y = suy  cos2 x + cos2 y + cos x cos y = sin2 x + sin2 y + sin x sin y = Cộng vế hai đẳng thức + + 2(cos x cos y + sin x sin y) = + Bài 1.16 Chứng minh đẳng thức 1 sin4 x = − cos 2x + cos 4x 8 + sin x π x = cot( − ) cos x 2 ⇒ cos(x − y) = − + cos 4x = cot2 x + tan2 x − cos 4x sin2 3x cos2 3x − = cos 2x cos2 x sin2 x Hint Có sin4 x = − cos 2x 2 Biến đổi VT= + cos( π2 − x) = sin( π2 − x) = Có VP=(cot x + tan x)2 − = − = sin2 2x Bài 1.17 Chứng minh sin6 x cos2 x + sin2 x cos6 x = (1 − cos4 2x) Bài 1.18 Chứng minh sin4 x + cos4 x − = sin6 x + cos6 x Bài 1.19 Chứng minh đẳng thức sau https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC − cos 2α + cos 4α = tan4 α + cos 2a + cos 4a cot α − tan α − tan 2α − tan 4α = cot 8α tan(x − sin2 2α + sin2 α − 4 = cot α − sin2 α − cos 4α π 3π 7π ) cos( + x) − sin3 ( − x) 2 = sin2 x 3π π + x) cos(x − ) tan( 2 Bài 1.20 Tính sin 12∘ √ + cos 650∘ sin 250∘ Bài 1.22 Tính P = sin 5∘ sin 15∘ sin 25∘ sin 35∘ sin 85∘ Bài 1.21 Tính P = Hint Xét Q = sin 5∘ sin 10∘ sin 15∘ sin 20∘ sin 25 sin 85∘ √ √ 2 Từ có PQ = Q ⇒ P = 2 √ = sin 10∘ sin 20∘ sin 30∘ sin 80∘ 1 +√ =√ cos 290∘ sin 250∘ √ 1 cos 20∘ − sin 20∘ sin(60∘ − 20∘ ) √ √ √ Hint Có V T = − = √ = V P = = ∘ ∘ ∘ ∘ sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 sin 40∘ Bài 1.23 Chứng minh Bài 1.24 Tính S = tan 9∘ − tan 63∘ + tan 81∘ − tan 27∘ , P = cos 10∘ cos 50∘ cos 70∘ ? Bài 1.25 Rút gọn A = Hint A = + cos x sin x (1 − cos x)2 + cos x 1+ sin x sin2 x sin2 x + − cos x + cos2 x sin2 x π Tính giá trị A cos x = − < x < π 2 √ = Khi A = sin x Bài 1.26 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = cos4 x − sin4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x B = cot x + + tan x − cot x − Key A = 2, B = −1 Bài 1.27 Cho tan a b−a sin a b = tan Chứng minh tan = 2 − cos a tan b2 − tan a2 a b b−a 3t = t tan = 4t, tan = = 2 + 4t + tan b2 tan a2 2t 1+t sin a 3t Mà = Từ suy điều phải chứng minh = 1−t − cos a − + 4t 1+t Hint Đặt tan Bài 1.28 Cho sin x ̸= Chứng minh sin 5x = cos 4x + cos 2x + sin x Hint Nhân chéo, áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1.29 Cho tan α = 2, tính P = sin 2α + sin 4α + cos 2α + cos 4α Bài 1.30 Chứng minh P = 27 sin3 9∘ + sin3 27∘ + sin3 81∘ + sin3 243∘ = 20 sin 9∘ Hint Từ sin3 x = (3 sin x − sin 3x) ta có P = 27 sin 9∘ − sin 27∘ 81 sin 9∘ − sin 729∘ 81 sin 9∘ − sin 9∘ + = = = 20 sin 9∘ 4 Bài 1.31 Tính P = (1 − cot 1∘ )(1 − cot 2∘ ) (1 − cot 44∘ ) https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.1 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hint Ta có cos 2∘ cos 44∘ (sin 1∘ − cos 1∘ )(sin 2∘ − cos 2∘ ) (sin 44∘ − cos 44∘ ) − = sin 2∘ sin 44∘ sin 1∘ sin 2∘ sin 44∘ √ Dùng đẳng thức sin a − cos a = sin(a − 45∘ ) ta đưa √ √ √ sin(1∘ − 45∘ ) sin(2∘ − 45∘ ) sin(44∘ − 45∘ ) = 222 sin 1∘ sin 2∘ sin 44∘ P = 1− cos 1∘ sin 1∘ 1− Bài 1.32 Cho A, B,C ba góc tam giác Chứng minh đẳng thức sau: sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sinC A B C cos A + cos B + cosC = + sin sin sin 2 tan A + tan B + tanC = tan A tan B tanC cot A cot B + cot B cotC + cotC cot A = Bài 1.33 Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = cos B + cosC ABC tam giác vuông Bài 1.34 Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = sin B cosC ABC tam giác cân Bài 1.35 Cho tam giác ABC Chứng minh A = 2B ⇔ a2 = b2 + bc Hint Có b c a = = = 2R nên a2 = b2 + bc ⇔ sin2 A − sin2 B = sin B sinC ⇔ sin A sin B sinC Bài 1.36 Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A + sin B + sinC = sin 2A + sin 2B + sin 2C ABC tam giác Bài 1.37 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm GTNN biểu thức P = tan A tan B tanC Hint Có A + B = π −C nên tan(A + B) = tan(π −C) ⇔ tan A tan B tanC = tan A + tan B + tanC Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương có √ √ √ 3 tan A + tan B + tanC ≥ tan A tan B tanC ⇔ P ≥ P ⇔ P ≥ 3 √ √ Bài 1.38 Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d = Chứng minh − ≤ a(c + d) + b(c − d) ≤ Hint Đặt a = sin u, b = cos u c = sin v, d = cos v S = sin u(sin v + cos v) + cos u(sin v − cos v) = sin(u + v) − cos(u + √ √thức ∙ Các phương pháp để giải phương trình lượng giác: Phân tích thành nhân tử gồm phương trình lượng giác thường gặp Đặt ẩn phụ Đánh giá ∙ Lưu ý Ưu tiên đưa cung (góc) trước đưa hàm Thường biến đổi tổng - tích Có lũy thừa bậc chẵn sử dụng sin2 x + cos2 x = Có sin x, cos x, tan x thay tan x = sin x/ cos x, cot x = cos x/ sin x 1.4.2 Các dạng toán ví dụ Phương pháp phân tích thành nhân tử Một số biến đổi hay sử dụng: ∙ + sin 2x = (sin x + cos x)2 , cos 2x = (sin x + cos x)(cos x − sin x), + tan x = nhân tử chung sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x , + cot x = có cos x sin x ∙ − sin 2x, cos 2x, − tan x, − cot x có nhân tử chung cos x − sin x ∙ sin2 x = − cos2 x, tan2 x = − nên có nhân tử chung − cos2 x = (1 − cos x)(1 + cos x) cos2 x ∙ cos2 x, cot2 x có nhân tử chung − sin2 x = (1 − sin x)(1 + sin x) Ví dụ 1.20 Giải phương trình (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x sin 3x − sin x + sin 2x = cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x + cos x + cos 2x + cos 3x = sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = −1 https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 21 (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) = − cos2 x 11 cos 10x − cos 8x − cos 6x + = (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x 12 sin x + sin 2x + sin 3x = + cos x + cos 2x sin2 x + sin2 3x = cos2 x + cos2 4x 13 + cot 2x = − cos 2x sin2 2x 14 cos2 x + sin3 x + cos x = 10 sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x Solution Nhóm thành (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x − sin x) = 5x 3x x π 2π π cos + cos Đáp số + k , π + k2π, − + kπ 2 5 √ π −1 + Đưa phương trình bậc ba: cos x(−2 + cos x + cos2 x) = Đáp số + kπ, ± arccos( ) + k2π 2 (cos x + cos 4x) + (cos 3x + cos 4x) = ⇔ cos sin x − sin3 x − sin x + sin x cos x = ⇔ sin x(1 − sin2 x + cos x) = Đáp số kπ, π + k2π, − sin x.2 cos2 x + sin x cos x − − cos x = Đáp số x = π + kπ, π + k2π (sin x + cos x) + (1 + sin 2x) + cos 2x = ⇔ (sin x + cos x)(1 + cos x) = Đáp số − Nhân nhóm sin2 x(2 cos x − 1) − sin x(2 cos x − 1) = Đáp số kπ, cos x(cos x − sin x)(sin x − cos x − sin x) = Đáp số π 2π +k 3 π 2π + kπ, ± + k2π π 5π π + k2π, + k2π, ± + k2π 6 π π + kπ, + kπ Hạ bậc, nhóm thành (cos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x) = Đáp số π π π π π + kπ, − + k , + k 10 10 sin 2x + sin 2x cos x = cos 2x + cos 2x cos x ⇔ (sin 2x − cos 2x)(1 + cos x) = 11 (cos 10x − cos 6x) − cos 8x + = ⇔ −4 sin 4x cos 4x sin 2x + sin2 4x = 12 sin x + sin x cos x + sin x − sin3 x = + cos x + − sin2 x ⇔ (2 + cos x − sin2 x)(2 sin x − 1) = π 13 Điều kiện sin 2x ̸= ⇔ x ̸= k Phương trình cho tương đương với 1+ Đáp số cos 2x − cos 2x = ⇔ (sin 2x + cos 2x)(1 + cos 2x) = sin 2x sin 2x − cos2 2x π π π π + k , + kπ, − + kπ 2 14 cos2 x + sin x(1 − cos2 x) + cos x = ⇔ (1 + cos x)(cos x + sin x − sin x cos x) = Phương pháp đặt ẩn phụ Khi phép phân tích thành tích khơng thực được, ta cố gắng biểu diễn tất số hạng hàm số lượng giác nhất, ẩn phương trình đưa phương trình lượng giác để giải Có thể chọn ẩn quy tắc sau: ∙ Nếu phương trình khơng thay đổi ta thế: x −x, chọn ẩn cos x x π − x, chọn ẩn sin x x x + π, chọn ẩn tan x https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.5 BÀI TẬP TỔNG HỢP 13 x = − 27 2π + k2π π π 19 x = + k2π; − + k2π π π 2π + k2π; + k 42 18 x = kπ; ± π 5π π + k2π; + kπ; + kπ 12 12 π 15 x = π + k2π; − + kπ π π 16 x = ± + k2π; − + kπ π 17 x = + kπ 14 x = − 2π π + k2π; + kπ π π π π 21 x = +k ;− +k 18 20 x = ± 22 x = − π 5π π + k2π; + kπ; + kπ 12 12 Bài 1.81 [Học Viện Ngân Hàng] cos3 x + cos2 x + sin x − = Key x = k2π; x = π + n2π Bài 1.82 [ĐH Mỏ Địa Chất] tan x sin2 x − sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x) Hint Chia hai vế cho sin2 x Key x = − π π + kπ; x = ± + n2π √ √ √ √ Bài 1.83 Giải phương trình: sin 2x (cos x + 3) − cos3 x − 3 cos 2x + cos x − sin x − 3 = Hint Biến đổi thành √ √ √ √ sin 2x(cos x + 3) − 3.cos3 x − 3 cos 2x + 8( cos x − sin x) − 3 = √ √ √ √ √ ⇔2 sin x.cos2 x + sin x cos x − 3.cos3 x − 3cos2 x + 3 + 8( cos x − sin x) − 3 = √ ⇔( cos x − sin x)(−2cos2 x − cos x + 8) = sin 3x − cos(x − Bài 1.84 Giải phương trình sin 3x − π )−3 =0 π π π π ) − cos(x − ) − = ⇔ cos3 (x − ) − cos(x − ) − = 6 sin x − Bài 1.85 Giải phương trình 2(1 + cos x)(cot2 x + 1) = cos x + sin x Hint Điều kiện sin 3x ̸= Biến đổi cos(3x − Hint 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1) sin2 x ⇔ 2(1 + cos x)(sin x + cos x) = (sin x − 1)(1 − cos x)(1 + cos x) Bài 1.86 Giải phương trình cos3 x − 3sin2 x cos x + sin x = Hint Phương trình đẳng cấp bậc ba Bài 1.87 Giải phương trình cos x = sin3 x + π √ Hint Biến đổi thành cos x = ( sin x + cos x)3 phương trình đẳng cấp bậc ba 1 Bài 1.88 Giải phương trình sin4 x + cos4 x = 3 1 Hint sin4 x + − sin2 x = ⇔ sin4 x − sin2 x + = Bài 1.89 Giải phương trình sin 3x cos 2x = + sin x − sin3 x Hint Nhận xét cos x = không nghiệm nên nhân hai vế phương trình với cos x sin 3x(4 cos2 −3) cos x = cos x ⇔ sin 3x cos 3x = cos x ⇔ sin 6x = sin( Đáp số x = π − x) π k2π π k2π + x = + 14 10 https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 28 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Bài 1.90 Giải phương trình sin x + cos x = 2(2 − sin 3x) √ Hint Nhận xét V T ≤ ≤ V P Phương trình vơ nghiệm Bài 1.91 Giải phương trình cos x + cos 2x + cos 4x = −7 Hint Phương trình tương đương với (cos x + 1) + (cos 2x + 2) + (cos 4x + 1) = Đánh giá, phương trình vơ nghiệm √ Bài 1.92 Giải phương trình cos 4xcos2 2x + − cos 3x + = √ Hint Biến đổi thành (2 cos 4x + 1)2 + − cos 3x = Bài 1.93 Giải phương trình sin2 x cos2 x + 17 = sin x cos x Hint Áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 2ab ta có sin2 x cos2 x + Đẳng thức xảy ⇔ 1 15 15 17 = sin2 x cos2 x + + ≥ + = 2 2 4 sin x cos x 16 sin x cos x 16 sin x cos x 2  sin2 x cos2 x = 16 sin x cos2 x  sin x = cos2 x Bài 1.94 Giải phương trình cos 3x + sin x − = Hint cos x(1 − sin2 x) − (1 − sin x) = Bài 1.95 Giải phương trình cot x + sin x = cos x + − cos x sin x Hint Ta có cos x cos x − ) + (sin x − )=0 sin x − cos x sin x 1 cos x ⇔ cos x( − − )=0 sin x − cos x sin x − cos x + cos x ⇔ cos x( − )=0 sin x − cos2 x ( ⇔ cos x(sin x(1 − cos x) − (1 + cos x)) = Đáp số ± π + k2π Bài 1.96 Giải phương trình sin 3x + sin 2x + sin x + = cos 3x + cos 2x − cos x Hint (sin 3x + sin x) + (1 + sin 2x) − (cos 3x − cos x) = cos 2x ⇔ sin 2x(sin x + cos x) + (sin x + cos x)2 + sin2 x − cos2 x = 2π −π 3π Đáp số: ± + k2π, k2π, π + k2π, + k2π, + k2π 4 Bài 1.97 Giải phương trình sin 2x + tan 2x + sin 4x =2 tan 2x − sin 2x Hint sin 2x cos 2x + sin 2x + tan 2x = ⇔ sin 2x(2 cos2 2x + cos 2x + 1) = Đáp số: ± π Bài 1.98 Giải phương trình (2 cos x − 1)(sin x + cos x) = π π Hint sin 2x + cos2 x − − (sin x + cos x) = ⇔ sin 2x + cos 2x = sin x + cos x ⇔ sin(2x + ) = sin(x + ) Đáp số: 4 π 2π k2π, + k Bài 1.99 Một số đề thi BDG √ (CĐ08) sin 3x − cos 3x = sin 2x https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 1.5 BÀI TẬP TỔNG HỢP 29 (CĐ09) (1 + sin x)2 cos x = + sin x + cos x (CĐ10) cos 3x 5x cos + 2(8 sin x − 1) cos x = 2 (CĐ11) cos 4x + 12 sin2 x − = (A02) Tìm nghiệm thuộc (0; 2π) PT: 5(sin x+) (A03) cot x − = cos 3x + sin 3x = cos 2x + + sin 2x cos 2x + sin2 x − 21 sin 2x + tan x (A05) cos2 3x cos 2x − cos2 x = (A06) 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x √ − sin x (A07) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = − sin 2x 10 (A08) 7π = sin( + − x) sin x sin(x + 3π ) 11 (A09) √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) 12 (A10) (1 + sin x + cos 2x) sin(x + π4 ) = √ cos x + tan x + sin 2x + cos 2x √ = sin x sin 2x + cot2 x √ 14 (A12) sin 2x + cos 2x = cos x − √ π 15 (A13) + tan x = 2 sin(x + ) 13 (A11) 16 (A14) sin x + cos x = + sin 2x 17 (B02) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x 18 (B03) cot x − tan x + sin 2x = sin 2x 19 (B04) sin x − = 3(1 − sin x) tan2 x 20 (B05) + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = x 21 (B06) cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 22 (B07) sin2 x + sin 7x − = sin x √ √ 23 (B08) sin x cos2 x − sin2 x cos x = sin3 x − cos3 x √ 24 (B09) sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) 25 (B10) (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x 26 (B11) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x √ √ 27 (B12) 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + 28 (B13) sin 5x + cos2 x = √ 29 (B14) 2(sin x − cos x) = − sin 2x 30 (D02) Tìm x thuộc [0; 14] thỏa mãn PT: cos 3x − cos 2x + cos x − = https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com 30 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x π x 31 (D03) sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 32 (D04) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x 33 (D05) cos4 x + sin4 x + cos(x − π π ) sin(3x − ) − = 4 34 (D06) cos 3x + cos 2x − cos x − = √ x x 35 (D07) (sin + cos )2 + cos x = 2 36 (D08) sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos x √ 37 (D09) cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = 38 (D10) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = 39 (D11) sin 2x + cos x − sin x − √ =0 tan x + 40 (D12) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = √ cos 2x 41 (D13) sin 3x + cos 2x − sin x = √ √ Bài 1.100 Giải phương trình 2x + (4x2 − 1) − x2 = 4x3 + − x2 π π Hint Đặt x = sint với t ∈ [− , ] phương trình 2 sint + (4 sin2 t − 1) cost = sin3 t + cost ⇔ (sin 2t − 1)(sint + cost) = https://facebook.com/breakallrulez https://toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com