BẤT ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG

Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS

Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương BẤT ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG  2 2 2a b ab+ ≥ ( ) ( ) 2 2 2 a b a b⇔ + ≥ +  ( ) 2 1 2 2 2a b a b ab a b ab + ≥ + ≥ ⇔ ≥ +  ( ) ( ) 2 2 1 4 4a b ab ab a b + ≥ ⇔ ≥ +  ( ) 2 2 4 2 a b ab a b ab +   ≥ ⇔ + ≥  ÷    2 2 2 2 2 2 2 a b a b ab a b a b + + +   ≥ ⇔ ≤  ÷ +    ( ) 2 1 2 4 a b ab a b b a + ≥ ⇔ ≤ +  2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + +  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 a b c a b c a b c a b c+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +  ( ) 1 1 1 1 4 4a b a b a b a b   + + ≥ ⇔ + ≤  ÷ +    ( ) 1 1 1 1 1 1 9 9a b c a b c a b c a b c   + + + + ≥ ⇔ + + ≤  ÷ + +    2 2 2 1 1 1 a b a b ab + ≥ + + + A. Dạng hằng đẳng thức: 1/. CMR nếu 0, 0a b> > thì ( ) 3 3 a b ab a b+ ≥ + 2/. CMR 2 2 1 , .a b ab a b a b+ + ≥ + + ∀ ∈ ¡ 3/. Cho , 0a b > . CMR 4 4 3 3 a b a b ab+ ≥ + 4/. CMR ( ) 4 2 1 1a a a+ ≥ + 5/. Cho , 0a b > . CMR 3 3 2 2 a b a b ab+ ≥ + 6/. Cho ba số , ,a b c bất kỳ. CMR: ( ) ( ) 2 2 2 2 ) ) 3 a a b c ab bc ca b ab bc ca abc a b c + + ≥ + + + + ≥ + + (Đại học Quốc gia TPHCM khối A -1999) 7/. CMR ( ) 2 2 2 2 2 , , , , ,a b c d e a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + ∀ (Đại học Y dược TPHCM-Hệ cử nhân -1999) 8/. CMR 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc+ + ≥ − + Biên soạn: Lê Hữu Luật Trang -1- Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương 9/. CMR ( ) 4 4 4 2 2 1 , , ,x y z x xy x z x y z+ + ≥ − + + ∀ 10/. Cho , , 0a b c > . CMR 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + Áp dụng chứng minh ( ) 4 4 4 a b c abc a b c+ + ≥ + + (Vô địch toán Canada – 2002) B. Dạng lũy thừa: 11/. CMR 2 2 5 4 2 6 3 0, ,a b ab a b a b+ − + − + > ∀ 12/. CMR 2 2 2 2 2 4 2 0, ,a b ab a b a b+ − + − + > ∀ 13/. CMR ( ) 5 5 3 2 2 3 2 2 , , 0a b a b a b a b a b a b+ ≥ + = + ∀ ≥ 14/. CMR với , 0a b > ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 4 4 2 2 a b a b a b a b + + ≥ + + 15/. CMR với , 0a b > ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 2 2 8 8 4 4 a b a b a b a b+ + ≥ + + 16/. Cho 0a b+ ≥ . CMR: . 2 2 2 m n m n m m n n a b a b a b + + + + + ≥ Áp dụng: Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 8 10 10 20 20 4a b a b a b a b + + + ≤ + 17/. Cho , , 0a b a b∈ + ≠¡ . CMR: 5 5 2 2 a b a b a b + ≥ + + C. Dạng căn thức: 18/. CMR nếu 0, 0a b> > thì a b ab+ < 19/. CMR 3 2 2 2 , 0a a a a+ ≥ + ∀ ≥ 20/. Cho 0a > . CMR 2 2 1a a a+ + < + 21/. CMR nếu 0, 0a b> > thì a b a b b a + ≥ + (Đại học Huế khối A năm 2000) 22/. Cho hai , 0a b > . CMR 4 2 ba ab a b ≤ + 23/. Cho bốn số a, b,c, d không âm. CMR : ( ) ( ) a c b d ab cd+ + > + 24/. CMR ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + 25/. CMR 2 2 2 2 a b a b+ + ≤ 26/. Cho 0a b+ ≥ . CMR: 3 3 3 2 2 a b a b+ + ≤ 27/. Cho 1x ≥ . CMR: 1 1 2 x x − ≤ D. Dạng phân thức: 28/. CMR với a, b là hai số khác 0 và cùng dấu thì: 2 a b b a + ≥ Biên soạn: Lê Hữu Luật Trang -2- Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương 29/. Cho ba số a, b, c bất kỳ. CMR: 2 2 2 2 3 3 a b c a b c+ + + +   ≥  ÷   30/. Cho ba số CMR nếu a, b không âm, ta luôn có: 1 1 2 2 a b a b ab a b + + + + + ≥ + + 31/. CMR x ∀ ta đều có 2 2 1 1 1 x x + ≥ + 32/. CMR , 0x y∀ ≠ ta luôn có ( ) 2 1 4 xy x y ≥ + 33/. 34/. Cho , 0a b > . CMR ( ) ( ) 2 3 3 1 1 a b a b a b   + + ≥ +  ÷   35/. Cho hai số ,a b thỏa điều kiện 0a b+ ≥ . Chứng tỏ rằng 2 3 3 2 2 a b a b+ +   ≥  ÷   (Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2000) 36/. Cho các số , 1a b ≥ . Chứng minh 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ≥ + + + Ngược lại nếu 1 , 1a b− ≤ ≤ thì 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ≤ + + + 37/. Cho hai số , 0x y ≥ . Chứng tỏ rằng 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ − − − E. Dạng thỏa mãn điều kiện cho trước: 38/. Cho 2, 2.a b≥ ≥ CMR ab a b≥ + 39/. Cho [ ] , , , 0;1a b c d ∈ . CMR: 2 2 2 2 2 2 1a b c a b b c c a+ + ≤ + + + 40/. Cho ba số x, y, z không âm có tổng bằng a. CMR : ( ) ( ) ( ) 8a x a y a z xyz− − − ≥ 41/. CMR nếu 0 x y z≤ ≤ ≤ thì ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z     + + + ≤ + +  ÷  ÷     42/. CMR nếu , 0a b > và 3 3 a b a b+ = − thì 2 2 1a b+ < F. Dạng bất đẳng thức trong tam giác: 43/. Cho ABC∆ có độ dài ba cạnh là a, b, c . Chừng tỏ rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0ab a b c bc b c a ca c a b+ − + + − + + − ≥ (Đại học Quốc gia TPHCM khối A -1998) G. Dạng giá trị tuyệt đối: 44/. CMR , ,a b a b a b+ ≥ + ∀ 45/. Với , 0a b ≥ . CMR: a b a b+ ≥ + 46/. CMR nếu 1, 1a b< < thì 1a b ab+ < + C. Dạng tam thức bậc 2: Biên soạn: Lê Hữu Luật Trang -3- Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương 47/. Cho a, b là hai số thực khác 0. CMR: 2 2 2 2 4 3 a b a b b a b a   + + ≥ +  ÷   F. Dạng dãy số: 48/. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: , , , a a a b c a b a b c + > ∀ ∈ + + + ¡ 49/. Gọi 1 2 ,x x là 2 nghiệm của phương trình 1 2 1 2 0 1 cx dx x x − =   + =  với , 0c d > . CMR: 1 2 1 4 x x ≤ 50/. Lj;ldc 51/. Biên soạn: Lê Hữu Luật Trang -4- . Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương BẤT ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG  2 2 2a b ab+ ≥ (. Lê Hữu Luật Trang -1- Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Toán THCS Phương pháp tương đương 9/. CMR ( ) 4 4 4 2 2 1 , , ,x y z x xy x z x y z+ + ≥ − + +