ĐỀ THI MYTS 2018 LỚP 7

(MYTS lớp 7 Vòng 2 2018). Diệp nghĩ một số có ba chữ số abc. Nếu lấy tổng của 5 sốacb, bac, bca, cab, cba thì được 3496. Hỏi số Diệp đã nghĩ là số nào?Câu 2 (MYTS lớp 7 Vòng 2 2018). Cuối tuần, Tuấn đến nhà bạn chơi. Tuấn đi với tốc độ khôngđổi. Khi quay về, vẫn theo đường cũ. Tuấn nhẩm tính rằng, nếu đi nhanh hơn lúc đi 200 mét mộtgiờ thì chỉ mất 2021 thời gian lúc đi. Còn nếu giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phútso với lúc đi. Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn là bao nhiêu km?Câu 3 (MYTS lớp 7 Vòng 2 2018). Ghi lên

by Mr Cuong

T A o M

Hội Toán học Việt Nam phối hợp với Hexagon of Maths & Science và Trung tâm Phát triển KHCN

và Tài năng trẻ Trung ương Đoàn (CYTAST) tiếp tục tổ chức Kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ Việt Nam 2018 (viết tắt tiếng Anh là MYTS-2018) dành cho học sinh từ lớp 4 tới lớp 10 các trường phổ thông trên phạm vi cả nước vào cuối tháng Ba đầu tháng Tư năm 2018 Các thí sinh đạt kết quả xuất sắc tại cuộc thi sẽ được lưu hồ sơ cá nhân trong CSDL Tài năng trẻ Việt Nam và lựa chọn cử đi

dự kỳ thi Olympic Toán Singapore SMO vào cuối tháng 5/2018

ĐỀ THI MYTS 2018 – Tìm kiếm tài năng TOÁN HỌC,

ngày 31/3/2018

ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 7, ngày 31/3/2018

acb, bac, bca, cab, cba thì được 3496 Hỏi số Diệp đã nghĩ là số nào?

đổi Khi quay về, vẫn theo đường cũ Tuấn nhẩm tính rằng, nếu đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 2021 thời gian lúc đi Còn nếu giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút

so với lúc đi Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn là bao nhiêu km?

Sau đó xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa cho 31 Sau một số lần làm như vậy, trên bảng chỉ còn lại hai số Biết rằng một trong hai số đó là 96 Hãy tìm

số kia

điểm F và D sao choACB[ =2BAF[vàBAD[ =3[BAF Trên tia phân giác của gócACB, lấy điểm E[

nằm trong tam giác ABC sao cho AE = AD Chứng minh rằng AEF là tam giác đều

với bất kì người nào thì tổng số tuổi của người đó với tuổi của hai người ngồi ngay hai bên cạnh luôn là một số lẻ Chứng minh rằng tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ

tố cùng nhau sao cho a<b <cvà a+b+c+ab+ac+bcchia hết cho abc

Hướng dẫn giải

acb, bac, bca, cab, cba thì được 3496 Hỏi số Diệp đã nghĩ là số nào?

Lời giải.

Ta có

abc+acb+bac+bca+cab+cba=222a+222b+222c =222(a+b+c)

Từ đó suy ra

222(a+b+c) = abc+3496 Suy ra a+b+c > 3496

222 > 15 và a+b+c <

3496+999

222 < 21 Ta có abc = 222(a+b+c) −3496. Thay a+b+cbằng các số từ 16, 17, 18, 19, 20 ta thấy a+b+c = 17 thì abc = 278 thỏa yêu cầu đề bài

đổi Khi quay về, vẫn theo đường cũ Tuấn nhẩm tính rằng, nếu đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 2021 thời gian lúc đi Còn nếu giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút

so với lúc đi Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn là bao nhiêu km?

Lời giải.

Gọi t(h)là thời gian, v (m/h)là vận tốc lúc đi, s(m)là quãng đường từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn

Vì đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 2021 thời gian lúc đi Ta có

v

v+200 =

20

21 ⇒v=4000

Vì giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút so với lúc đi Ta có

s

v−400 =t+

2

60 ⇔

4000t

3600 =t+

2

60 ⇒t=0, 3 Vậy s=vt =1200 m=1, 2 km

Sau đó xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa cho 31 Sau một số lần làm như vậy, trên bảng chỉ còn lại hai số Biết rằng một trong hai số đó là 96 Hãy tìm

số kia

Lời giải.

Ta có

1+2+ +2018= 2018.2019

2 =2037171 Mặt khác

2037171≡6 (mod 31)

Khi xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 thì số mới

sẽ là một số thuộc tập

{0; 1; 2; ; 30}

Hiển nhiên, dù ở bước thứ bao nhiêu thì tổng các số còn lại có trên bảng đều chia 31 dư 6

Do đó, khi trên bảng còn 2 số mà có một số bằng 96 thì ta suy ra ngay rằng 96 là số chưa bị xóa và số còn lại là một số bị thay Do đó, số cần tìm sẽ là số thuộc tập

{0; 1; 2; ; 30}

Gọi số đó là a Khi đó,







a ∈ {0; 1; 2; ; 30}

a+96≡6 (mod 31)

⇔







a ∈ {0; 1; 2; ; 30}

a+3 ≡6 (mod 31)

⇒a =3

điểm F và D sao choACB[ =2BAF[vàBAD[ =3[BAF Trên tia phân giác của gócACB, lấy điểm E[

nằm trong tam giác ABC sao cho AE = AD Chứng minh rằng AEF là tam giác đều

Lời giải.

Đặt[BAF= x, khi đóACB[ =2x vàBAD[ =3x

Theo tính chất góc ngoài ta cóAFD[ =Bb+x=90◦−x

Hơn nữa,ADF[ = [DAC+2x =90◦−3x+2x =90◦−x

Do đó4AFDlà tam giác cân tại A, suy ra AF =AD

Vậy AF= AE (1)

Mặt khác, dFAC = 90◦−x suy ra4CAF cân tại C Mà CE là

phân giác nên suy ra CE là trung trực của AF

Vậy EA=EF (2)

C E

F

D B

A

Từ(1)và(2)suy ra4AEFđều

với bất kì người nào thì tổng số tuổi của người đó với tuổi của hai người ngồi ngay hai bên cạnh luôn là một số lẻ Chứng minh rằng tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ

Lời giải.

Giả sử tồn tại một người có số tuổi là chẵn đặt là A1 Suy ra hai người ngồi hai bên có một người có tuổi chẵn, một người có tuổi lẻ Không mất tính tổng quát đặt A2có số tuổi là lẻ, suy ra A3có số tuổi

là chẵn, A4chẵn, A5lẻ, A6chẵn, A7chẵn, A8lẻ, A9chẵn, A10chẵn

C

A1−AL2−AC3−AC4−AL5−AC6−AC7−AL8−AC9−AC10

Tuy nhiên, ta thấy A9, A10, A1ngồi cạnh nhau, nhưng tổng số tuổi lại là số chẵn, mâu thuẫn.

Vậy tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ

tố cùng nhau sao cho a<b <cvà a+b+c+ab+ac+bcchia hết cho abc

Lời giải.

Ta chia các trường hợp sau:

• Nếu a≥4 thì abc≥4bc ≥3bc+4c >ab+ac+bc+a+b+c, mâu thuẫn

• Nếu a = 3 thì 3bc|3+4b +4c+bc mà ta lại có 3+4b+4c +bc < 3bc+3 < 4bc do đó 3bc=3+4b+4c+bc⇔2bc =4b+4c+3, mẫu thuẫn tính chẵn lẻ

• Nếu a = 2 thì 2bc|2(1+b+c) +b+c+bc ⇒ 2|b+c+bc suy ra 2|b và 2|c, mẫu thuẫn tính nguyên tố cùng nhau của b, c

• Nếu a =1 thì bc|2b+2c+1 Vì(b−2)(c−2) ≥0 ⇔ bc+5 >2b+2c+1 Vậy 2b+2c+1 <

bc+5<2bc Do đó

bc =2b+2c+1⇔ (b−2)(c−2) =5⇒b =3, c=7 Vậy a =1, b =3, c=7 là ba số cần tìm

ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 8, ngày 31/3/2018

của tổng các chữ số của nó

a+b =3 và (1+a)

2

b +

(1+b)2

a =35.

Tính a7+b7

Sau đó, xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 Sau một số lần làm như vậy, trên bảng còn lại hai số Biết rằng một trong hai số đó là 96 Tìm số kia

lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM+DN = CD Gọi I là giao điểm của

AMvà BN; P là giao điểm của OI và AB Chứng minh rằng\MPN =90o

một phân biệt, đôi một không song song và mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh nào đó của tứ giác ABCD Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong các đường thẳng đó đồng quy

phân số có dạng a

b với 0≤a <b≤nvà a, b là hai số nguyên tố cùng nhau Ví dụ, ta có

F2 = 0

1;

1 2

 , F3 = 0

1;

1

3;

1

2;

2 3

 , F4= 0

1;

1

4;

1

3;

1

2;

2

3;

3 4



Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥2, tập hợp Fn có một số chẵn phần tử

Hướng dẫn giải

của tổng các chữ số của nó

Lời giải.

Gọi số cần tìm có dạng abc, theo đề bài ta có

abc= (a+b+c)3

Do

100≤ abc≤999

⇒100≤ (a+b+c)3≤999

⇒5 ≤a+b+c ≤9 TH1 a+b+c =5 thì(a+b+c)3=53 =125 (không thoả)

TH2 a+b+c =6 thì(a+b+c)3=63 =216 (không thoả)

TH3 a+b+c =7 thì(a+b+c)3=73 =343 (không thoả)

TH4 a+b+c =8 thì(a+b+c)3=83 =512 (thoả)

TH5 a+b+c =9 thì(a+b+c)3=93 =729 (không thoả)

Vậy số cần tìm là 512

a+b =3 và (1+a)

2

b +

(1+b)2

a =35.

Tính a7+b7

Lời giải.

Ta có

(1+a)2

b +

(1+b)2

a =35

⇔ 1+2a+a

2

1+2b+b2

a =35

⇔ (a+b) +2 a2+b2

+ a3+b3

=35ab

⇔ (a+b) +2h(a+b)2−2abi+ (a+b)h(a+b)2−3abi =35ab

⇔3+2 32−2ab
+3 32−3ab
=35ab

⇔ab=1

Do đó,

a2+b2 = (a+b)2−2ab=32−2=7

a3+b3 = (a+b)a2−ab+b2 = (a+b)h(a+b)2−3abi =332−3=18

a4+b4 =a3+b3(a+b) −aba2+b2=18.3−1.7 =47

a7+b7 =a4+b4 a3+b3− (ab)3(a+b) =47.18−1.3 =843

Sau đó, xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 Sau một số lần làm như vậy, trên bảng còn lại hai số Biết rằng một trong hai số đó là 96 Tìm số kia

Lời giải.

Ta có

1+2+ +2018= 2018.2019

2 =2037171 Mặt khác

2037171≡6 (mod 31)

Khi xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 thì số mới

sẽ là một số thuộc tập

{0; 1; 2; ; 30}

Hiển nhiên, dù ở bước thứ bao nhiêu thì tổng các số còn lại có trên bảng đều chia 31 dư 6

Do đó, khi trên bảng còn 2 số mà có một số bằng 96 thì ta suy ra ngay rằng 96 là số chưa bị xóa và số còn lại là một số bị thay Do đó, số cần tìm sẽ là số thuộc tập

{0; 1; 2; ; 30}

Gọi số đó là a Khi đó,







a ∈ {0; 1; 2; ; 30}

a+96≡6 (mod 31)

⇔







a ∈ {0; 1; 2; ; 30}

a+3 ≡6 (mod 31)

⇒a =3

lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM+DN = CD Gọi I là giao điểm của

AMvà BN; P là giao điểm của OI và AB Chứng minh rằng\MPN =90o

Lời giải.

O I

Gọi Q là giao điểm của PO và CD

Khi đó cũng theo cách trên ta có I A

I M =

1

2. Suy ra IP

IQ =

1

2 Từ đó có I là trọng tâm tam giác APC nên AM đi qua trung điểm K của PC.

Tiếp tục dùng định lý Thales, có AP

CM =

PK

KC =1.

Vậy AP=CM

Trên DC lấy điểm K (K nằm giữa C, D) sao cho DK =CM Khi đó DK = AP, suy ra APKD là hình chữ nhật

Do đó, PK= AD= AB

Mặt khác, ta có

NK= ND+DK =KC+CM=KM

Do đó, K là trung điểm MN Ngoài ra,

N M=2NK=2AB

Do đó,

MN =2PK Suy ra, tam giác PNM là tam giác vuông tại P

một phân biệt, đôi một không song song và mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh nào đó của tứ giác ABCD Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong các đường thẳng đó đồng quy

Lời giải.

Trước hết ta có nhận xét sau: Nếu một đường thẳng cách đều 2 đỉnh của tứ giác thì đường thẳng đó

sẽ thuộc một trong 3 trường hợp sau:

TH1 Đường thẳng song song hoặc trùng 1 trong 4 cạnh của tứ giác.

Trường hợp này ta có 4 TH như vậy ( chú ý ta xem TH song song và TH trùng nhau là một) TH2 Đường thẳng song song hoặc trùng với 1 trong hai đường chéo của tứ giác

Trong TH này ta có 2 đường thẳng như vậy

TH3 Đường thẳng đi qua trung điểm của một trong 4 cạnh hoặc đi qua trung điểm của một trong 2 đường chéo

Trong TH này ta có vô số đường thẳng như vậy

Gọi số đường thẳng thuộc TH1, TH2, TH3 lần lượt là x, y, z

Theo đề ta có x+y+z=19 và x ≤4, y ≤2

Do đó,

z =19−x−y ≥19−4−2=13 Mặt khác, ta thấy z đường thẳng này đi qua 6 trung điểm của 4 cạnh và của 2 đường chéo của tứ giác nên theo nguyên lí Dirichle ta thấy tồn tại ít nhất

 13 6



+1=3

đường thẳng cùng đi qua một điểm

Vậy ta có điều phải chứng minh

phân số có dạng a

b với 0≤a <b≤nvà a, b là hai số nguyên tố cùng nhau Ví dụ, ta có

F2 = 0

1;

1 2

 , F3 = 0

1;

1

3;

1

2;

2 3

 , F4= 0

1;

1

4;

1

3;

1

2;

2

3;

3 4



Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥2, tập hợp Fn có một số chẵn phần tử

Lời giải.

Ta chứng minh Fn có chẵn phần tử bằng quy nạp(∗)

Hiển nhiên với trường hợp n=2, 3, 4 thỏa(∗)

Ta giả sử(∗)đúng tới n−1

Ta chứng minh(∗)đúng với n Tức Fn có chẵn phần tử

Ta thấy rằng

F2 ⊂ F3 ⊂ ⊂Fn ⊂

Fn =Fn− 1∪ i1

n;

i2

n; ;

ik n



với 1≤i1, i2, , ik <nvà i1, i2, , ik là các số nguyên tố cùng nhau với n

Do Fn− 1 có chẵn phần tử (theo giả thiết quy nạp) nên ta quy bài toán về việc chứng minh rằng k chẵn

Tương đương với việc chứng minh rằng:

Số số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n là một số chẵn.

Thật vậy, ta chứng minh rằng nếu(a, n) = 1 thì(n−a, n) = 1

Giả sử(n−a, n) =dthì ta có







n d

n−a d ⇒







n d a d ⇒ (n, a) = d⇒d =1

Áp dụng bổ đề trên, thì luôn có số chẵn số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n

Từ đó ta có điều phải chứng minh

ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 9, ngày 31/3/2018

4.

2017, 49<

r

1+ 2

22 +

r

1+ 2

32 + · · · +

r

1+ 2

20182 <2018

chéo của hình bình hành đó Trên tia đối của tia CD, lấy điểm M và trên tia đối của tia DC, lấy điểm N, sao cho

CM+DN =CD

Gọi I là giao điểm của AM và BN; gọi P là giao điểm của OI và AB Chứng minh rằng AP =CM

3p2+25pq+3q2

là một luỹ thừa của 31

viên, 30 viên và 40 viên Bạn Nam bóc sỏi từ đống nọ bỏ sang đống kia theo quy tắc: Mỗi lần, lấy

3 viên từ 3 đống, mỗi đống một viên, rồi bỏ sang đống còn lại

Hỏi, sau một số hữu hạn lần thực hiện liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam có thể làm cho 4 đống sỏi có số sỏi như nhau hay không? Vì sao?

mỗi đỉnh của P một số nguyên dương sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số được ghi, có ít nhất một số chẵn;

2/ Tổng của 3 số được ghi ở 3 đỉnh liên tiếp tuỳ ý là một số lẻ

Hỏi bạn Ngoan có thể thực hiện được ý muốn nêu trên của mình hay không? Vì sao?

1 Hướng dẫn giải

4.

Lời giải.

Với x ≥ −3

8, phương trình đã cho tương đương

4√8x+3=36x2+40x+9⇔8x+3+4√8x+3+4=36x2+48x+16

⇔√8x+3+22 = (6x+4)2

⇔





√

8x+3+2=6x+4

√

8x+3+2 = −6x−4

⇔







√

8x+3 =6x+2

√

8x+3+6x+6=0 (vô lý do x ≥ −3

8)

⇔







6x+2 ≥0 8x+3 = (6x+2)2

⇔







6x+2 ≥0

x = −4+√

7

18 ∨x =

−4−√7

18

⇔ x= −4+√

7

18 (thoả x ≥ −

3

8).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= −4+√

7

18 .

2017, 49<

r

1+ 2

22 +

r

1+ 2

32 + · · · +

r

1+ 2

20182 <2018

Lời giải.

Đặt

S=

r

1+ 2

22 +

r

1+ 2

32 + · · · +

r

1+ 2

20182

Ta chứng minh hai bất đẳng thức phụ sau: Với mọi n∈ N và n≥1 ta có

1+ 1

n(n+1) <

r

1+ 2

n2 <1+ 1

n2 Thật vậy,

r

1+ 2

n2 ≥1+ 1

n(n+1) ⇔1+ 2

n2 ≥1+ 2

n(n+1)+

1

n2(n+1)2 ⇔ 1

n+1 ≤2, (đúng∀n ∈N, n ≥1)

r

1+ 2

n2 ≤1+ 1

n2 ⇔1+ 2

n2 ≤1+ 2

n2 + 1

n4 ⇔ 1

n4 ≥0, (đúng∀n∈ N, n ≥1)

Áp dụng bất đẳng thức này vào bài toán ta được

2017+ 1

2.3 +

1 3.4 + · · · +

1 2018.2019 <S <1+

1

22 +1+ 2

32 + · · · +1+ 1

20182

⇒2017+1

2−

1

2019 <S <2017+

1 1.2 +

1 2.3 + · · · +

1 2017.2018

⇒2017+1

2−

1

1000 <S <2017+1−

1 2018

⇒2017, 49<S <2018

Vậy 2017, 49<

r

1+ 2

22 +

r

1+ 2

32 + · · · +

r

1+ 2

20182 <2018

chéo của hình bình hành đó Trên tia đối của tia CD, lấy điểm M và trên tia đối của tia DC, lấy điểm N, sao cho

CM+DN =CD

Gọi I là giao điểm của AM và BN; gọi P là giao điểm của OI và AB Chứng minh rằng AP =CM

Lời giải.

P

O I

Gọi Q là điểm đối xứng với M qua C, suy ra DQ=DC−QC =DC−CM =DN

Do ABk MNnên

I M

I A =

MN

AB =

CM+DN+CD

2DC

DC =2.

Khi đó

OA

OC ·

QC

QM·

I M

I A =1·

1

2·2=1.

Nên theo định lý Menelaus I, O, Q thẳng hàng Từ đó P, I, O, Q thẳng hàng

Hơn nữa, do APk MQnên

AP

QM =

AI

I M =

1

2 ⇒ AP=

QM

2 =CM.

Vậy AP=CM.

I M =

1

2 Suy ra

IP

IQ =

1

2.

Từ đó có I là trọng tâm tam giác APC nên AM đi qua trung điểm K của PC Tiếp tục dùng định lý Thales, có AP

CM =

PK

KC =1 Vậy AP=CM.

3p2+25pq+3q2

là một luỹ thừa của 31

Lời giải.

Ta phân tích

A=3p2+25pq+3q2=3p2−6pq+3q2+31pq=3(p−q)2+31pq (1)

Do A là một luỹ thừa của 31 nên A chia hết cho 31 Từ (1) suy ra(p−q)2 chia hết cho 31 hay p−q chia hết cho 31 (do 31 là số nguyên tố) Do vai trò p, q như nhau, giả sử p>qvà đặt p−q=31k với

A =3(31k)2+31pq=313.31k2+pq (2)

Ta thấy rằng A phải có dạng 31nvới n ∈N, nhưng từ (2), n 6=1 Do đó 3.31k2+pqphải chia hết cho

31, suy ra pq chia hết cho 31, từ đó ta có p =31 hoặc q =31 Ta sẽ chứng minh p=q =31 Thật vậy, không mất tính tổng quát giả sử q =31, p 6= 31, từ p−q =31k ⇔ p =31(1+k)chia hết cho 31 là

vô lý do p nguyên tố, nên p=31

Kiểm tra lại, ta thấy cặp(p, q) = (31, 31)thoả yêu cầu đề ra Vậy(p, q) = (31, 31)

viên, 30 viên và 40 viên Bạn Nam bóc sỏi từ đống nọ bỏ sang đống kia theo quy tắc: Mỗi lần, lấy

3 viên từ 3 đống, mỗi đống một viên, rồi bỏ sang đống còn lại

Hỏi, sau một số hữu hạn lần thực hiện liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam có thể làm cho 4 đống sỏi có số sỏi như nhau hay không? Vì sao?

Lời giải.

Ta xét số dư khi chia số sỏi của 4 đống cho 4

Đặt Sn số dư khi chia số sỏi 4 đống cho 4 ở bước thứ n

Ban đầu, số sỏi 4 đống lần lượt là 10, 20, 30, 40 nên số dư lần lượt là 2, 0, 2, 0

Nên S0 ={2; 0; 2; 0}chú ý ta không quan tâm thứ tự các phần tử của Sn

Do mỗi lần bốc, ta bốc 3 viên sỏi từ 3 đống, mỗi đống một viên sau đó bỏ vào đống còn lại nên số sỏi mỗi đống sẽ giảm 1 hoặc tăng 3 sau mỗi lần bốc (chú ý theo modulo 4 thì−1≡3 (mod 4))

Do đó, ta thấy

S1 ={1; 1; 3; 3}

Tương tự

S2 ={2; 0; 2; 0}

Nên ta thấy ngay quy luật, với số tự nhiên n thì

S2n− 1 ={1; 1; 3; 3}

S2n ={2; 0; 2; 0}

Giả tồn tại một lúc nào đó, số sỏi của 4 đống đều bằng nhau thì khi đó số sỏi mỗi đống là 25 (giả sử tại bước k)

Khi đó Sk ={1; 1; 1; 1}(vô lí)

Vậy không thể xảy ra trường hợp số sỏi cả 4 đống bằng nhau

mỗi đỉnh của P một số nguyên dương sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số được ghi, có ít nhất một số chẵn;

2/ Tổng của 3 số được ghi ở 3 đỉnh liên tiếp tuỳ ý là một số lẻ

Hỏi bạn Ngoan có thể thực hiện được ý muốn nêu trên của mình hay không? Vì sao?

Lời giải.

Sắp thứ tự các đỉnh liên tiếp lần lượt là Ai, Ai+ 1,(1 ≤i≤2017) Do trong 2018 đỉnh được ghi số, có

ít nhất một số là chẵn, và vai trò các đỉnh như nhau nên có thể giả sử giả số A1là số chẵn đầu tiên

Để thoả điều kiện đề ra thì ta chỉ có thể ghi số theo hai cách sau

C

A1−AC2−AL3−AC4−AC5−AL6− · · · −A2015C −A2016L −A2017C −A2018C

hoặc

C

A1−AL2−AC3−AC4−AL5−AC6− · · · −A2015L −A2016C −A2017C −A2018L .

(Nhận xét là các số ở cách thứ nhất, các số lẻ có dạng A3k(k ∈ N); ở cách thứ hai các số lẻ dạng A2 + 3k

(k∈ N).)

Tuy nhiên, có thể thấy rằng, ở cách thứ nhất, các đỉnh A2017, A2018, A1được ghi các số chẵn, nên tổng chẵn; ở cách thứ hai, các đỉnh A2018, A1, A2 được ghi hai số lẻ, một chẵn, nên tổng chẵn Điều này cho ta sự mâu thuẫn

Vậy bạn Ngoan không thể nào thực hiện được ý muốn nêu trên của mình