Đề số 4 chọn đội tuyển

BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Kiểm tra đội tuyển HSG) Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian: 150 phút, không kể giao đề) Bài 1: Cho 1 1 1 1 50 51 52 99 a b = + + + +L . Chứng minh rằng a chia hết cho 149 Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó. Bài 3: Tìm giá trị của t để phương trình 2 4 1 t x − = + có nghiệm dương: Bài 4: Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ: 2 (1) 3 8 (2) x y k x y − =   + =  thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh tỉ lệ thức: 3 3 BI AB = CK AC Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M, N tương ứng thuộc các cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường tròn tâm C bán kính bằng 1. HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Đội tuyển HSG 08-09) Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian: 150 phút, không kể giao đề) Bài 1: (1,0 đ) Cho 1 1 1 1 50 51 52 99 a b = + + + +L . Chứng minh rằng a chia hết cho 149 Giải: Ta thấy 149 = 50 + 99 nên ta cộng 50 phân số trên theo từng cặp, mỗi cặp gồm phân số đầu và phân số cuối, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 50 99 51 98 52 97 74 75 a b         = + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         L (0,25 đ) = 149 149 149 149 50.99 51.98 52.97 74.75 + + + +L (0,25 đ) Chọn MSC là: 50.51.52 .98.99 và gọi các thừa số phụ là k 1 , k 2 , , k 25 . Khi đó: 1 2 3 25 149.( . 50.51.52 .98.99 k k k ka b + + + + = (0,25 đ) Tử chia hết cho 149 (số nguyên tố), còn mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 149 nên khi rút gọn phân số đến tối giản ta có a chia hết cho 149. (0,25 đ) Bài 2: (2,25 đ) Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó. Giải: Gọi số phải tìm là ab , ta có (10a + b) a.bM (1) Suy ra b M a (0,25 đ) Đặt b = ka (2) thì k < 10 (k N∈ ) (0,25 đ) Thay b = ka vào (1) ta có 10a + ka M a.k.a (0,25 đ) => 10a M ka (0,25 đ) => 10 M k => k { } 1;2;5∈ (0,25 đ) * Nếu k = 1 thì b = a. Thay vào (1) ta được: 11a M a 2 (0,25 đ) => 11 M a => a = 1 Vậy ab = 11 (0,25 đ) * Nếu k = 2 thì b = 2a. Xét các số 12, 24, 36, 48 thì có 12, 24, 36 thoả mãn (0,25 đ) * Nếu k = 5 thì b = 5a => ab =15 thoả mãn đề bài. (0,25 đ) Bài 3: (1,75đ) Tìm giá trị của t để phương trình 2 4 1 t x − = + có nghiệm dương: Giải: Với 1x ≠ − phương trình có dạng: (4 – t)x = t - 2 (0,375đ) Phương trình này chỉ có nghiệm 2 4 t x t − = − khi 4t ≠ (0,375 đ) Nghiệm này luôn thoả mãn ĐK trên vì 2 2 1 1 4 4 t x t t − = = − + ≠ − − − (0,375 đ) Theo ĐK của đề bài thì 2 0 4 t t − > − hay ( ) ( ) 2 4 0t t− − > (0,375 đ) 2 4t ⇔ < < (0,25 đ) Bài 4: (1,5 đ) Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ: 2 (1) 3 8 (2) x y k x y − =   + =  thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0 Giải: 2 (1) 2 3 8 (2) 6 2 16 x y k x y k x y x y − = − =   ⇔   + = + =   (0,25 đ) ⇔ 16 16 16 7 7 7 16 8 3 8 3 8 3 7 7 k k k x x x k k y x y y + +   + = =    =    ⇔ ⇔    + −    = − = − =      (0,50 đ) Giải các BPT: * 16 0 k + 16 > 0 k > -16 7 k + > ⇔ ⇔ (0,25 đ) * 8 - 3k 2 0 8 - 3k > 0 k < 2 7 3 > ⇔ ⇔ (0,25 đ) Vậy với - 16 < k < 2 2 3 thì các nghiệm của hệ 2 (1) 3 8 (2) x y k x y − =   + =  thoả mãn 0 0 x y >   >  (0,25 đ) Bài 5: (1,0 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh tỉ lệ thức: 3 3 BI AB = CK AC Giải: AB 2 = BH.BC (0,125 đ) AC 2 = CH.BC (0,125 đ) => 2 2 AB BH = AC CH (0,125 đ) => 4 2 2 AB BH = (1) AC4 CH (0,125 đ) Mặt khác trong các tam giác vuông AHB và AHC có: BH 2 = BI.AB ; CH 2 = CK.AC (0,125 đ) => 2 2 BH BI.AB = (2) CH CK.AC (0,125 đ) Từ (1) và (2) ⇒ 3 3 BI AB = CK AC (0,25 đ) Bài 6: (2,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M, N tương ứng thuộc các cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường tròn tâm C bán kính bằng 1. Giải: Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho: BK = MD (1) (0,25 đ) Từ giả thiết ta có: AM + MN + NA = 2 = AD + AB (0,25đ) => MN = MD + NB (2) (0,25 đ) Từ (1) và (2) suy ra MN = NK (3) (0,25 đ) K I CB A H D N K M C B A H Từ cách vẽ ta có CBK = CDM ∆ ∆ (0,25đ) => CM = CK (4) (0,25đ) Từ (3) và (4) kết hợp với có CN chung nên => CMN = CKN∆ ∆ (0,25 đ) => Các đường cao tương ứng CH = CB = 1. Điều đó có nghĩa MN là tiếp tuyến của dường tròn tâm C bán kính bằng 1. (0,25 đ) . 97 74 75 a b         = + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         L (0,25 đ) = 149 149 149 149 50.99 51.98 52.97 74. 75 + + + +L (0,25 đ) Chọn. mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 149 nên khi rút gọn phân số đến tối giản ta có a chia hết cho 149 . (0,25 đ) Bài 2: (2,25 đ) Tìm số có hai chữ số, biết