giai toan Tich phan

Tích phân Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC Để xác đònh nguyên hàm hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau: Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phép biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm hàm lượng giác việc sử dụng dạng nguyên hàm Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx sin(x + a)sin(x + b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Sử dụng đồng thức: sin(a - b) sin[(x + a) - (x + b) 1= = sin(a - b) sin(a - b) · Bước 2: Ta được: dx sin[(x + a) - (x - b)] I=ò dx = dx ò sin(x + a)sin(x + b) sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) sin(x + a).cos(x + b) - cos(x + a).sin(x + b) = dx ò sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) = é cos(x + b) cos(x + a) ù dx - ò dx ò ê sin(a - b) ë sin(x + b) sin(x + a) úû = [ln | sin(x + b)} - ln | sin(x + a) |] + C sin(a - b) = sin(x + b) ln + C sin(a - b) sin(x + a) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: dx sin(a - b) I = ò , sử dụng đồng thức = cos(x + a) cos(x + b) sin(a - b) I = ò dx cos(a - b) , sử dụng đồng thức = sin(x + a) cos(x + b) cos(a - b) Trang 50 Tích phân Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = ã ã pử ổ sin x.cos ỗ x + ÷ 4ø è Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp dạng toán p cos éỉ x + p - x ự ữ cos ờỗ ø úû éỉ pư ù è ë Sử dụng đồng thức: = = = cos ờỗ x + ữ - x ỳ p 4ứ û ëè cos éỉ pư ù pư pử ổ ổ cos ờỗ x + ữ - x ỳ cos ỗ x + ữ cosx + sin ỗ x + ÷ sin x 4ø û 4ø 4ø ëè è è Ta được: F(x) = ò dx = ũ pử pử ổ ổ sin x.cos ỗ x + ữ sin x.cos ỗ x + ữ 4ứ 4ứ ố ố ộ pử ự ổ sin ỗ x + ÷ ú ê cos x 4ø è = êò dx + ò dx ú p sin x ỉ cos ỗ x + ữ ỳ ờở ứ úû è é pứ sin x ỉ = ê ln | sin x | - ln cos ỗ x + ÷ ú + C = ln +C pư 4ứỷ ổ ố cos ỗ x + ữ 4ứ è Cách 2: Dựa đặc thù hàm f(x) dx dx Ta có: F(x) = ò = 2ò sin x.(cos x - sin x) sin x(cot gx - 1) = - 2ò d(cot gx) d(cot gx - 1) = - 2ò = - ln cot gx - + C cot gx - cot gx - Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx sin x + sin a PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: dx dx · Bước 1: Biến đổi I dạng: I = ò = ò (1) sin x + sin a sin x + a cos x - a 2 · Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: dx I = ò , với | m | £ sin x + m dx dx I = ò I = ò , với | m | £ cos x + cos a cos x + m Trang 51 Tích phân Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin x + Giải: Biến đổi f(x) dạng: 1 1 f(x) = = = p 6x + p 6x - p 1ö ổ sin x + sin sin cos ỗ sin x + ÷ 12 12 è 2ø (1) p ổ 6x + p 6x - p cos ỗ ÷ è 12 12 ø = cos æ 6x + p - 6x - p Sử dụng ủong nhaỏt thửực: = = ỗ ữ p ố 12 12 ø 3 cos cos æ 3x + p 6x - p cos ỗ ữ è 12 12 ø Ta được: F(x) = ò sin + p cos 6x - p 12 12 6x + p 6x - p 6x + p 6x - p cos 12 cos 12 + sin 12 sin 12 = ò 6x + p 6x - p sin cos 12 12 6x + p 6x - p ù é cos sin ê 12 dx + 12 dx ú = êò ò 6x - p ú ê sin 6x + p ú cos ë 12 12 û 6x + p é 6x + p 6x + p ù 12 + C = ln ê ln sin 12 - ln cos 12 ú + C = 6x 3ë cos - p û 12 sin Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Biến đổi I dạng: sin x.sin(x + a ) I = ò tgx.tg(x + a )dx = ò dx cos x.cos(x + a ) æ cos x.cos(x + a) + sin x.sin(x + a ) ö = ũỗ - ữ dx cos x.cos(x + a ) è ø cos adx dx =ò - ò dx = cos a ò -x cos x.cos(x + a) cos x.cos(x + a ) (1) · Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau: Trang 52 Tích phân I = ò tg(x + a ).cot g(x + b)dx I = ò cot g(x + a ).cot g(x + b)dx pư ỉ Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = tgx.tg ỗ x + ữ ố 4ứ Giaỷi: pử pử pử ổ ổ ổ sin x.sin ỗ x + ữ cos x.cos ỗ x + ữ + sin x.sin ỗ x + ữ ố 4ứ = ố 4ứ è ø -1 Biến đổi f(x) dạng: f(x) = pử pử ổ ổ cos x.cos ỗ x + ữ cos x.cos ỗ x + ữ ố 4ứ ố 4ø p cos = -1 = - pử pử ổ ổ cos x.cos ỗ x + ữ cos x.cos ỗ x + ữ ố 4ø è 4ø dx dx Khi đó: F(x) = - ò dx = -x + (1) ò ò pử pử ổ ổ cos x.cos ỗ x + ữ cos x.cos ỗ x + ữ ố 4ứ è 4ø dx Để xác đònh : J = ò ta lựa chọn hai cách sau: pư ổ cos x.cos ỗ x + ữ ố 4ứ ã Cách 1: Sử dụng phương pháp dạng toán p sin éỉ x + p - x ự ữ sin ờỗố ộổ pử ự ứ ỳỷ ë Sử dụng đồng thức: = = = sin ờỗ x + ữ - x ỳ p 4ø û ëè sin Ta được: ộổ pử ự pử pử ổ ổ sin ờỗ x + ữ - x ỳ sin ỗ x + ữ cos x - cos ỗ x + ữ sin x 4ø û ëè 4ø è 4ø J = 2ò dx = ò è dx pư pư ỉ ỉ cos x.cos ỗ x + ữ cos x.cos ỗ x + ÷ è 4ø è 4ø · é pư ù ỉ sin ỗố x + ữứ ộ ự sin x ú pư ỉ = êò dx - ò dx ỳ = - ln cos x ỗ x + ÷ + ln cos x ú + C cos x ỳ ố 4ứ ỷ cos ổỗ x + p ư÷ êë úû è 4ø cos x = ln + C = - ln - tgx + C pử ổ cos ỗ x + ÷ è 4ø Cách 2: Dựa đặc thù hàm dấu tích phân dx dx Ta có: J = ò = 2ò cos x.(cos x - sin x) cos x(1 - tgx) Trang 53 Tích phân d(tgx) d(1 - tgx) = - 2ò = - ln - tgx + C - tgx - tgx Vậy ta được: F(x) = -x - ln - tgx + C = 2ò dx asin x + b cos x PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn hai cách biến đổi: · Cách 1: Ta có: dx dx I= = ò ò a2 + b2 sin(x + a ) a2 + b 2 sin x + a cos x + a 2 ổ x+aử d ỗ tg ữ dx è ø = = ò ò x+a a2 + b 2tg x + a cos2 x + a a2 + b tg 2 x+a = ln tg + C a2 + b Dạng 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò Cách 2: Ta có: dx sin(x + a)dx I= = 2 ò sin(x + a ) 2 ò sin (x + a) a +b a +b d[cos(x + a )] cos(x + a ) - ==ln + C 2 ò cos (x + a ) - 2 cos(x + a ) + a +b a +b Chú ý: Chúng ta thực phương pháp đại số hoá với việc đổi biến: x t = tg 2 Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin x + cos x Giaûi: 2dx dx dx Ta có: F(x) = ò =ò =ò pư ỉ ỉx p ö æx p ö sin x + cos x sin ỗ x + ữ 2sin ỗ + ữ cos ç + ÷ 6ø è 12 ø è 12 ø è é ỉ x p ứ d ê tg ỗ + ữ ỳ dx x p ố 12 ø û =ò =ò ë = ln tg + + C ỉx p 2ỉx p ỉx p 12 2tg ỗ + ữ cos ỗ + ữ tg ỗ + ữ ố 12 ứ ố 12 ø è 12 ø · Daïng 5: Tính tích phân bất đònh: I = ò a1 sin x + b1 cos x dx a2 sin x + b2 cos x PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Trang 54 Tích phân · Bước 1: Biến đổi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cos x - b sin x) · Bước 2: Khi đó: A(a2 sin x + b cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x) I=ò dx a2 sin x + b cos x = A ò dx + Bò a2 cos x - b2 sin x dx = Ax + Bln a2 sin x + b cos x + C a2 sin x + b cos x Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin x + 3cos x sin x + cos x Giaûi: Biến đổi: 4sin x + 3cos x = a(sin x + cos x) + b(cos x - 2sin x) = (a - 2b)sin x + (2a + b) cos x ìa - 2b = ìa = Đồng đẳng thức, ta được: í Û í ỵ2a + b = ỵ b = -1 Khi đó: f(x) = 2(sin x + cos x) - (cos x - 2sin x) cos x - 2sin x =2 sin x + cos x sin x + cos x cos x - 2sin x ö d(sin x + cos x) ổ Do ủoự: F(x) = ũ ỗ ÷ dx = ò dx sin x + cos x ø sin x + cos x è = 2x - ln sin x + cos x + C Dạng 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò a1 sin x + b1 cos x dx (a2 sin x + b2 cos x)2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Biến đổi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cosx - b2 sin x) · Bước 2: Khi đó: I=ò A(a2 sin x + b cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x) dx (a2 sin x + b cos x)2 dx a cos x - b2 sin x + Bò dx a2 sin x + b cos x (a2 sin x + b cos x)2 = Aò = A = dx ò a2 + b2 sin(x + a ) a A a22 + b22 ln | tg Trong ñoù sin a = B sin x + b2 cos x x+a B |+C a2 sin x + b cos x b2 a22 + b 22 vaø cos a = a2 a22 + b 22 Trang 55 Tích phân Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 8cos x + sin 2x - cos2x Giải: Biến đổi: f(x) = 8cos x 8cos x = 3sin x + sin x cos x + cos x ( sin x + cos x)2 Giả sử: 8cosx = a( 3sinx + cosx) + b( cosx - sinx) = (a - b)sinx + (a + b 3)cosx ìïa - b = ìïa = Đồng đẳng thức, ta được: í Ûí ïỵ b = ỵïa + b = Khi đó: f(x) = Do đó: F(x) = ò = 2 3( cos x - sin x) sin x + csx ( sin x + cos x) 2dx d( sin x + cos x) - 3ò sin x + cos x ( sin x + cos x)2 ổx p ln tg ỗ + ÷ + C è 12 ø sin x + cos x Chú ý: Trong lời giải ta tận dụng kết ví dụ là: ò 2dx ỉx p = ln tg ỗ + ữ + C ố 12 ứ sin x + cos x Dạng 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx asin x + b cos x + c PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét khả sau: Nếu c = a2 + b2 Ta thực phép biến đổi: 1 1 = = asin x + b cos x + c c[1 + cos(x - a)] 2c cos2 x - a sin a = a a2 + b vaø cos a = b a2 + b ổ x -a dỗ ữ x -a dx Khi đó: I = ò = ò è ø = tg + C 2c cos2 x - a c cos2 x - a 2 2 Neáu c = - a2 + b Ta thực phép biến đổi: Trang 56 Tích phân 1 1 = = asin x + b cos x + c c[1 - cos(x - a )] 2c sin x - a sin a = a a2 + b cos a = b a2 + b ỉ x -a d dx ỗố ữứ x-a Khi đó: I = ò = ò = cot g + C 2c sin x - a c sin x - a c 2 Nếu c2 ¹ a2 + b x Ta thực phép đổi biến t = tg Khi đó: dx = 2dt 2t - t2 , sin x = & cos x = + t2 + t2 + t2 Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh I = ò 2dx 2sin x - cos x + Giaûi: x 1 1ỉ xư 2dt Đặt: t = tg , ta ủửụùc: dt = dx = ỗ1 + tg2 ÷ dx = (1 + t )dx Þ dx = 2 cos2 x 2è 2ø + t2 4dt x tg -1 2dt d(t + 1) t -1 + t Khi đó: I = ò =ò = 2ò = ln + C = ln +C x t +1 4t - t2 t + 2t (t + 1)2 - tg + +1 + t2 + t2 æ x pử = ln tg ỗ - ữ + C è2 4ø Dạng 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò a1 sin x + b1 cos x + c1 dx a1 sin x + b2 cos x + c2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Biến đổi: a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a2 sin x + b cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b sin x) + C · Bước 2: Khi đó: A(a2 sin x + b cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b2 sin x) + C I=ò a2 sin x + b2 cos x + c2 = A ò dx + Bò a2 cos x - b2 sin x dx dx + C ò a2 sin x + b cos x + c2 a2 sin x + b2 cos x + c2 Trang 57 Tích phân = Ax + Bln a2 sin x + b2 cos x + c2 + C ò òa dx a2 sin x + b cos x + c2 dx xác đònh nhờ daïng sin x + b cos x + c2 Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = 5sin x sin x - cos x + Giải: Giả sử: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c = (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c ì2a + b = ìa = ï ï Đồng đẳng thức, ta được: í2b - a = Û í b = ïa + c = ï c = -2 ỵ ỵ 2(2sin x - cos x + 1) + (2 cos x + sin x) - Khi đó: f(x) = sin x - cos x + cos x + sin x =2+ 2sin x - cos x + 2sin x - cos x + cos x + sin x Do đó: F(x) = ò 2dx + ò dx - ò dx 2sin x - cos x + 2sin x - cos x + d(2 sin x - cos x + 1) 2dx = ò dx + -ò sin x - cos x + 2sin x - cos x + ỉx pư = 2x + ln | 2sin x - cos x + | - ln tg ç - ÷ + C è2 2ø Chú ý: Trong lời giải ta tận dụng kết ví dụ là: 2dx ỉx pư ò 2sin x - cos x + = ln tg ỗố - ÷ø + C a1 sin x + b1 sin x cos x + c1 cos2 x Daïng 9: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx a2 sin x + b2 cos x PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Biến đổi: a1 sin x + b1 sin x.cos x + c1 cos2 x = (A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b cos x) + C(sin x + cos2 x) · Bước 2: Khi ñoù: (A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b cos x) + C I=ò dx a2 sin x + b cos x = ò (Asinx + Bcos x)dx + C ò dx a2 sin x + b cos x Trang 58 Tích phân = - A cos x + Bsin x + C dx ò a2 + b2 sin(x + a) = - A cos x + Bsin x + sin a = b2 2 a +b 2 C a22 + b22 ln | tg x+a | +C a2 vaø cos a = 2 a + b 22 4sin x + Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = sin x + cos x Giải: Giả sử: 4sin2 x + = 5sin2 x + cos2 x = (asinx + bcosx)( 3sinx + cosx) + c(sin2 x + cos2 x) = (a + c)sin x + (a + b 3)sin x.cos x + (b + c) cos2 x ìa + c = ìa = ï ï Đồng đẳng thức, ta được: ía + b = Û í b = -1 ï ïc = ỵb + c = ỵ Do đó: F(x) = ò ( sin x - cos x)dx - ò 2dx sin x + cos x ỉx p = - cos x - sin x - ln tg ỗ + ữ + C è 12 ø Chú ý: Trong lời giải ta tận dụng kết ví dụ là: ò 2dx ỉx p = ln tg ỗ + ữ + C ố 12 ø sin x + cos x Daïng 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx asin x + b sin x cos x + ccos2 x PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: dx (atg x + btgx + c) cos2 x · Bước 1: Biến đổi I dạng: I = ò · Bước 2: Thực phép đổi biến: t = tgx dx dt Suy ra: dt = dx & = 2 2 cos x (atg x + btgx + c) cos x at + bt + c Khi đó: I = ò dt at + bt + c Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx 3sin x - 2sin x cos x - cos2 x Trang 59 Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bài toán 1: Tính: ò eax cos(bx) (hoặc ò eax sin(bx) với a, b ¹ ì u = cos(bx) ì u = sin(bx) Khi ta đặt: í hoặ c í ax ax ỵdv = e dx ỵdv = e dx Bài toán 2: Tính: ò P(x)eax dx với a Ỵ R * ì u = P(x) Khi ta đặt: í ax ỵdv = e dx Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) = (tg x + tgx + 1)ex Giải: Ta có: F(x) = ò (tg x + tgx + 1)e x = ò (tg2 x + 1)ex + ò ex tgxdx (1) Xét tích phân J = e x tgxdx dx ì = (1 + tg2 x)dx ì u = tgx ïdu = Đặt: í Û í cos x x dv = e dx ỵ ï v = ex ỵ Khi đó: J = e x tgx - ò (tg x + 1)ex Thay (2) vào (1) ta F(x) = ex tgx + C (2) SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx + e2 x Giải: Ta có: dx + e2x Khi đó: I = ò = dx ex e-2x + d(e- x ) e -x +1 = e- x dx e-2x + =- d(e- x ) e-2x + (1) = - ln(e- x + e-2 x + 1) + C Chú ý: Ta sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, cách: Đặt t = ex Khi đó: I = ò Suy ra: dt = e x dx & dt t 1+ t =ò t2 dt + e2x dt = -ò +1 t2 = dt t + t2 ổ1ử dỗ ữ ố t ứ = - ln + + + C t t2 + t2 = - ln(e- x + e-2x + 1) + C Trang 83 Tích phân Đương nhiên đặt t = e–x ta thu lời giải giống trên, xong thật khó giải thích với em học sinh câu trả lời “Tại lại nghó cách đặt ẩn phụ vậy?” Chú ý: Nếu em học sinh thấy khó hình dung cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa dạng toán thực theo hai bước sau: – Bước 1: Thực phép đổi biến: Đặt t = ex Suy ra: dt = e x dx & ex e2x - 2e x + 2dx = t - 2t + 2dt = (t - 1)2 + 1dt Khi đó: I = ò (t - 1)2 + 1dt – Bước 2: Thực phép đổi biến: Đặt u = t – Suy ra: du = dt & (t - 1)2 + 1dt = u2 + 1du u Khi đó: I = ò u2 + 1du = u + + ln u + u2 + + C 2 t -1 = (t - 1)2 + + ln t - + (t - 1)2 + + C 2 ex - x = e - 2ex + + ln ex - + e2 x - ex + + C 2 ex Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số : f(x) = x e + e- x Giaûi: -x e Chọn hàm số phụ: g(x) = x e + e- x Gọi F(x) G(x) theo thứ tự nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta có: ex - e- x f(x) - g(x) = x e + e -x ex - e -x d(ex + e- x ) Þ F(x) - G(x) = ò x dx = = ln ex + e - x + C1 ò -x x -x e +e e +e x -x e +e f(x) + g(x) = x = Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C2 e + e- x ìïF(x) + G(x) = ln ex + e- x + C1 Ta được: í Þ F(x) = (ln e x + e- x + x) + C ïỵF(x) - G(x) = x + C2 BÀI TẬP Bài 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1+ x a/ x.e x ; b/ ; c/ ; x 1+ e x(1 + x.ex ) x x e/ e sin(e ); e2 x f/ 2x ; e +2 g/ ; x ln x Trang 84 d/ ln x ; x h/ x.ex Tích phân x.ex a/ + C; + ln ÑS: xe x c/ ln + C; + xex ex b/ ln + C; + ex ln x ln x + C; e/ - cos(e x ) + C; g/ ln ln x + C; h/ e x + C Bài 36 Tìm họ nguyên hàm hàm soá sau: d/ a/ f/ e2x - ; ex b/ (1 + e3x )2 e3x ; e x ; x g/ sin x ; ecos x ÑS: a/ ex + e- x + C; b/ d/ ln t -1 + C, với t = t +1 f/ 2e x + C; c/ f/ e2x ; d/ ; e/ e2x x ex + e +1 + ex h/ x e (3 + e- x ) 4 (1 + e3x )3 + C; c/ (ex + 1)7 - (ex + 1)3 + C; t -1 ex + 1; e/ 2t + ln + C, với t = + ln x; t +1 g/ e- x + C; ln e2x + + C; h/ ln 3ex + C 3ex + Baøi 37 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 3x a/ x e ; ÑS: a/ 2x x b/ e cos3x; c/ e sin x; e/ x n ln x, n ¹ -1 3x 2x e (9x - 6x + 2) + C; b/ e (2 cos3x + 3sin 3x) + C; 27 13 1 ỉ 3 3ư c/ e x (sin x - cos x) + C; d/ - ỗ ln x + ln x + ln x + ÷ + C; 2x è 2 4ø x n +1 x n +1 e/ ln x + C; n +1 (n + 1)2 Bài 38 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: (1 + sin x)ex x ex a/ b/ c/ ; + cos x (x + 2)2 ln x e/ ln(x + x - 1); f/ ; x + ln x ẹS: ổ ln x d/ ỗ ữ ; ố x ø g/ e x + e- x + 2; x ln(x + x + 1) x2 + d/ 1+ x ln ; - x2 - x x -2 x ex sin x a/ e + C; b/ + C; c/ e x (e3x + e2x ) + C; x+2 + cos x ổ 1+ x d/ ỗ ln e/ x ln(x + x - 1) - x - + C; ÷ + C; è 1- x ø f/ (1 + ln x) + ln x - + ln x + C; g/ x + n x + x + - x + C Trang 85 Tích phân §Bài 2: TÍCH PHÂN Đònh nghóa tích phân: Ta có công thức Niutơn – Laipnit: b ò f(x)dx = F(x) b a = F(b) - F(a) a b Chú ý: Tích phân ò f(x)dx phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký a hiệu biến số tích phân Vì ta viết: b b b a a a F(b) - F(a) = ò f(x)dx = ò f(t)dt = ò f(u)du = Ý nghóa hình học tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục không âm [a ; b] tích phân b ò f(x)dx diện tích a hình thang cong giới hạn đồ thò hàm số y = f(x, trục Ox) hai đường thẳng x = a x = b Các tính chất tích phân: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c ba điểm K, dựa vào đònh nghóa tích phân ta có tính chất sau: a Tính chất Ta có ò f(x)dx = a b a a b Tính chất Ta có ò f(x)dx = - ò f(x)dx b b a a Tính chất Ta có ò kf(x)dx = k ò f(x)dx, với k Ỵ R b b b a a a Tính chất Ta có ò [f(x) ± g(x)dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx c b c a a a Tính chất Ta có ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx b Tính chất Nếu f(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]thì ò f(x)dx ³ a b b a a Tính chất Nếu f(x) ³ g(x), "x Ỵ [a; b] ò f(x)dx ³ ò g(x)dx Trang 86 Tích phân b Tính chất Nếu m £ f(x) £ M, "x Ỵ [a; b] m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a) a t Tính chất Cho t biến thiên đoạn [a; b] G(t) = ò f(x)dx nguyên hàm a f(t) G(a) = Ví dụ 1: Tính tích phân sau: x - 2x a/ I = ò dx; x3 x 4 J = ò (3x - e )dx b/ Giải: 2ư ỉ1 ỉ a/ Ta coự: I = ũ ỗ - ữ dx = ỗ ln | x | + ữ x ứ è xø 1è x x ỉ3 b/ Ta coự: J = ỗ x - 4e ữ ố2 ø = (ln + 1) - (ln1 + 2) = ln - 1 = (24 - 4e) - (0 - 4) = 28 - 4e Chú ý: Trong ví dụ ta sử dụng đònh nghóa tính chất 1, để tính tích phân Ví dụ sau sử dụng tính chất để tính tích phân hàm chứa dấu trò tuyệt đối Ví dụ 2: Tính tích phân sau: J = òe x - dx -1 Giải: x Xét dấu hàm số y = e – Ta coù: y = Û ex - = Û x = x > Þ ex > Þ y > Nhận xét rằng: x < Þ ex < Þ y < Ta có bảng xét dấu: x –¥ –1 y’ – -1 +¥ + Do đó: J = ò (1 - ex )dx + ò (ex - 1)dx = (x - e) -1 + (ex - x) = e + - 2 Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, ta chứng minh bất đẳng thức tích phân p 3p / dx p Ví dụ 3: Chứng minh rằng: £ ò £ p / - 2sin x Giải: Trang 87 Tích phân é p 3p ù Trên đoạn ê ; ta có: ë 4 úû 1 £ sin x £ Þ £ sin x £ Û £ - 2sin x £ Û £ £ 2 - 2sin x Do đó: 3p / ò p/ đó: 3p / 3p / dx dx £ ò £ ò dx 2sin x p/ p/ 3p / ò p/ 3p / 1 p dx = x = & 2 p/ 4 3p / ò (1) 3p / dx = x p/ = (2) p/ p 3p / dx p Thay (2) vào (1) ta được: £ ò £ (đpcm) p / - 2sin x ìx + a x < Ví dụ 4: Cho hàm số: f(x) = í ỵx + x ³ a/ Xét tính liên tục hàm số cho điểm x0 = b/ Với a để hàm số liên tục x = 0, xác đònh ò f(x).dx -1 Giải: a/ Hàm số xác đònh với x Ỵ R Ta có: lim f(x) = lim+ (x + 1) = vaø lim- f(x) = lim- (x + a) = a x®0+ x®0 x®0 x ®0 f(0) = Vậy: · Nếu a = lim+ f(x) = lim- f(x) = f(0) = Û hàm số liên tục x0 = xđ0 xđ0 ã Neỏu a lim+ f(x) ¹ lim- f(x) Û hàm số gián đoạn x0 = x®0 x®0 b/ Ta có: 0 -1 -1 -1 -1 ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx = ò (x + 1)dx + ò (x + 1)dx = 11 Chú ý: Như sử dụng hầu hết tính chất để giải ví dụ tích phân, tính chất thứ có dạng toán mà học sinh cần quan tâm “Đạo hàm hàm số xác đònh tích phân” Ta có dạng sau: x Dạng 1: Với F(x) = ò f(t)dt Þ F '(x) = f(x) a a x x a Với F(x) = ò f(t)dt viết lại F(x) = - ò f(t)dt Þ F '(x) = -f(x) Trang 88 Tích phân u(x) Daùng 2: Vụựi F(x) = ũ f(t)dt ị FÂ(x) = u'(x)f[u(x)] ò f(t)dt viết lại: a u(x ) Dạng 3: Với F(x) = v(x) F(x) = u(x) ò f(t)dt - a v(x ) ò f(t)dt Þ F '(x) = u'(x)f[u(x)] - v'(x)f[v(x)] a minh hoạ ví dụ sau: Ví dụ 5: Tính đạo hàm hàm số: x a/ F(x) = ò (e + cos t )dt; t b/ G(x) = c/ H(x) = ò (t ò (t + + 1)dt; x2 a x2 a + sin t)dt 2x Giaûi: x a/ Ta có: F(x) = [ò (et + cos t )dt]' = ex + cos x a a x2 b/ Ta có: G(x) = [ ò (t + t + 1)dt]' = [- ò (t + t + 1)dt]' = (u)'.(u + u2 + 1) 2 x2 a đó: u = x2, đó: G '(x) = (x )'.(x + x + 1) = 2x(x + x + 1) x2 x2 2x c/ Ta coù: H '(x) = [ ò (t + sin t)dt]' = [ ò (t + sin t)dt - ò (t + sin t)dt]' 2x 3 a a = (u)'.(u + sin u) + (v)'.(v + sin v), đó: u = x v = 2x, đó: H '(x) = (x )'.(x + sin ) + (2x)'.(8x + sin 2x) = 2x(x + sin x ) + 2(8x + sin 2x) TỔNG KẾT CHUNG: Để tính tích phân xác đònh phương pháp mà biết để xác đònh nguyên hàm, cụ thể có: Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm Phương pháp phân tích Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần Sử dụng phép biến đổi có thêm vài phương pháp khác ví dụ phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết, từ ta xác đònh giá trò tích phân Trang 89 Tích phân x5 Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân: I = ò dx x +1 Giải: Sử dụng đồng thức: x = x + x - x - x + x = x (x + 1) - x(x + 1) + x 1 x ö 1 æ é1 ù Ta ủửụùc: I = ũ ỗ x - x + ÷dx = ê x - x + ln(x + 1)]ú = ln - 2 x +1 ø ë4 û0 0è Ví dụ 2: (Đề 91) Cho f(x) = sin x cos x + sin x ỉ cos x - sin x a/ Tìm hai số A, B cho f(x) = A + B ỗ ữ ố cos x + sin x ø p/ ò b/ Tính f(x)dx Giải: a/ Ta có: sin x ỉ cos x - sin x ö (A + B) cos x + (A - B)sin x = A + Bỗ ữ= cos x + sin x cos x + sin x è cos x + sin x ø ìA + B = Đồng đẳng thức, ta được: í Û A=B=- ỵA - B = b/ Với kết câu a/ ta được: p/ ò f(x)dx = p/2 ò cos x - sin x ù é é ù ê - - 2(cos x + sin x údx = êë - x - ln(cos x + sin x)úû ë û p/2 p =- BÀI TẬP Bài Tính tích phân: a/ ò dx ; x b/ ò x - xdx; ĐS: a/ b/ c/ x - 2x - c/ ò dx; 2-x - ln 2 d/ d/ ò dx x + + x -1 (3 - 2 - 1) Bài Tính tích phân: p p sin x a/ ò ; + cos x b/ ò tg 2x(1 + tg 2x)dx; ĐS: a/ b/ ex c/ ò x dx; (e + 1) 0 c/ Bài Tìm giá trò a để có đẳng thức: Trang 90 e3 d/ ò d/ 2 ò1 [a + (4 - 4a)x + 4x ]dx = 12 dx x + ln x Tích phân ĐS: a = Bài Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx g(x) = cosx + 2sinx a/ Tìm số A, B cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) b/ Tính p ò g(x) dx f(x) ÑS: a/ A = ; B = - ; 5 p - ln 10 b/ Bài Tìm số A, B để hàm số f(x) = Asinpx + B thoả mãn đồng thời điều kiện: f '(1) = ò0 f(x)dx = ÑS: A = - ; B = p Trang 91 Tích phân Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng (ngoài dạng 3) dựa đònh lý sau: Đònh lý: a Nếu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) hàm số có đạo hàm [a ; b] thì: j (b) j (b) òj(a) f(u)du = F(u) j(a) b Nếu hàm số f(x) xác đònh liên tục đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh (i) Tồn đạo hàm j’(t) liên tục đoạn [a; b] (ii) j(a) = a j(b) = b (iii) Khi t biến đổi từ a đến b x biến thiên đoạn [a ; b] Khi đó: b b òa f(x)dx = òa f[j(t)]j '(t)dt b Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tính tsch phân I = ò f(x)dx a Giải: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), j(t) hàm số mà ta chọn cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính cận a b tương ứng theo a b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt b Bước 5: Khi đó: I = ò g(t)dt a Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn é x = a sin t với - p / £ t £ p / ê ë x = a cos t với £ t £ p x - a2 é a p p ê x = sin t với t Ỵ [- ; ] \ {0} ê a p ê êë x = cos t với t Ỵ [0; p] \ { 2} a -x a +x é x = a tgt với - p / < t < p / ê ë x = a cot gt với < t < p Trang 92 Tích phân Dấu hiệu a+ x a-x Cách chọn a-x a+x x = acos2t x = a + (b - a)sin t (x - a)(b - x) Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : I = ò 2 x2 - x2 dx Giải: Đặt x = sint, đó: dx = costdt Đổi cận: x dx Ta có: p Þt= với x= Þ t = 0; x = - x2 = sin t.cos tdt sin t.cos tdt sin t cos tdt = = = (1 - cos2t)dt cos t cos t - sin t p/ Khi đó: I = ò (1 - cos 2t)dt = Ví dụ 2: Tính tích phân : I = 1ỉ ỗ t - sin 2t ữ 2ố ứ 2/ ò p/ = p - dx x x2 - Giaûi: Đặt x = cos t , : dx = - dt sin t sin t Đổi cận: với x= Þ t = p/2; x = cos tdt Khi đó: ò sin t = p/ sin t -1 sin t p/ - p/ 2 p Þt= 3 p/2 p ò dt = t p / = p/ Chú ý: Cũng sử dụng phép đổi: I = 2/ ò Từ sử dụng phép đổi biến t = dx x 1- x , ta seõ nhận được: I = x Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta I = 3/2 ò 1/ p/3 dt 1- t p/ p ò du = u p / = p/3 Đó lời giải bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình Bộ Trang 93 Tích phân GD&ĐT) hầu hết tài liệu tham khảo trước a+ x dx, (a > 0) a-x Ví dụ 3: Tính tích phân : I = ò a Giải: Đặt x = a.cos 2t, đó: dx = -2a.sin 2tdt Đổi cận: Ta có: với x = -a Þ t = p p ; x=0Þ t= a+ x a + a.cos2t dx = (-2a.sin 2tdt) = cot gt (-2a.sin 2tdt) a-x a - a.cos2t = -4a.cos2 t.dt = -2a(1 + cos2t)dt p/ p/2 ỉ ỉ pư Khi đó: I = -2a ò (1 + cos 2t)dt = -2a ỗ t - sin 2t ữ = a ỗ1 - ÷ è ø p/ è 4ø p/ b Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tính tích phân I = ò f(x)dx a Giải: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), j(t) hàm số mà ta chọn cho thích hợp, xác đònh x = y(x) (nếu có thể) Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính cận a b tương ứng theo a b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt b Bước 5: Khi đó: I = ò g(t)dt a Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn Hàm có mẫu số t mẫu số Hàm f(x, j(x)) t = j(x) Haøm f(x) = a.sin x + b.cos x c.sin x + d.cos x + e t = tg x x (với cos ¹ 0) 2 · Với x + a > & x + b > 0, đặt: Hàm f(x) = (x + a)(x + b) t = x+a+ x+b · Với x + a < & x + b < 0, đặt: t = -x - a + -x - b Trang 94 Tích phân Ví dụ 4: Tính tích phân : I = p/3 cos dx p / sin x - 5sin x + ò Giải: Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx Đổi cận: Ta có: với x = p p Þt= ; x= Þt= cosdx dt dt = = sin x - 5sin x + t - 5t + (t - 2)(t - 3) B ö [(A + B)t - 2A - 3B]dt ổ A =ỗ + ÷ dt = (t - 2)(t - 3) è t -3 t -2 ø ìA + B = Từ đó: í Û ỵ-2A - 3B = Suy ra: ìA = í ỵ B = -1 cos xdx ổ =ỗ ữ dt sin x - 5sin x + è t - t - ø Khi đó: I = 3/2 ò 1/ t -3 ổ ỗ ữdt = ln t -2 è t -3 t -2ø Ví dụ 5: Tính tích phân : I = ò 3/2 = ln 1/ 3(6 - 3) 5(4 - 3) x3dx + x2 Giải: Đặt t = x + Þ t = x + 1, đó: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = Đổi cận: 3t 2dt 2x với x = Þ t = 1; x = Þ t = x 3t dt Ta coù: = = 3t(t - 1)dt = 3(t - t)dt 2xt + x2 x dx ỉ t5 t Khi đó: I = 3ũ (t - t)dt = ỗ - ữ ố5 2ø = 141 10 b Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tính tích phân I = ò f(x)dx a Giải: Dựa vào việc đánh giá cận tích phân tính chất hàm số dấu tích phân ta lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: · Với I = a ò f(x)dx = lựa chọn việc đặt x = –t -a · Với I = p/2 ò f(x)dx lựa chọn việc đặt t = Trang 95 p - x Tích phân · p Với I = ò f(x)dx lựa chọn việc đặt t = p – x · Với I = 2p ò f(x)dx lựa chọn việc đặt t = 2p – x · b Với I = ò f(x)dx lựa chọn việc đặt x = a + b + t a Ghi chú: Xem vấn đề Ví dụ 6: Tính tích phân : I = ò x 2004 sin xdx -1 Giải: Viết lại I dạng: I = ò x 2004 -1 sin xdx + ò x 2004 sin xdx (1) 0 Xét tích phân J = ò x 2004 sin xdx -1 Đặt x = - t Þ dx = -dt đó: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = Đổi cận: x = –1 Þ t = 1; Khi đó: I = - ò ( -t) 2004 3t 2dt 2x x=0Þt=0 sin(- t)dt = - ò x 2004 sin xdx Thay (2) vaøo (1) ta I = (2) Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân : I = p/2 ò cos x dx cos x + sin x Giải: Đặt t = p - x Þ dx = -dt Đổi cận: với x = Þ t = p p ; x = Þ t = 2 p cos ( - t)(-dt) p/ p/2 sin tdt sin x Khi đó: I = ò = ò = ò dx 4 4 p p p / cos ( - t) + sin ( - t) cos t + sin t cos x + sin x 2 Do đó: 2I = p/2 ò p/2 cos x + sin x p p dx = ò dx = Þ I = 4 cos x + sin x Trang 96 Tích phân BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau: x dx x + x2 + 1 a/ ò x (1 - x )6 dx; b/ ò ĐS: a/ ; 168 b/ p 18 c/ p c/ ò x - x dx; d/ ò 0 848 ; 105 d/ 1 - ln 2 Bài Tính tích phân sau: p cos x.dx ; - 5sin x + sin x a/ ò c/ cos x.dx ò-1 e x + ; ÑS: a/ ln 10 ; b/ d/ b/ p ; 12 p cos x dx; + cos2x ò ò p x.sin x.cos2 xdx c/ sin1; Trang 97 d/ p ; sin x.cos3 x dx + cos2 x