giai toan Tich phan

Tích phân Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b ò udv = uv Công thức: b a a b - ò vdu a b Bài toán1: Sử dụng công thức tích phân phần xác đònh I = ò f(x)dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực theo bước sau: b b a a Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx ì u = f1 (x) ìdu Bước 2: Đặt: ị ợv ợdv = f2 (x )dx b b Bước 3: Khi đó: I = uv a - ò vdu a Chúng ta cần nhớ lại dạng bản: Dạng 1: I = ò P(x)sin axdx (hoặc ò P(x) cos axdx) với P đa thức thuộc R[x] a Ỵ R * đặt u = P(x) Dạng 2: I = ò eax cos(bx) (hoặc ò eax sin(bx)) với a, b ¹ đặt u = cos(bx) u = sin(bx)) Dạng 3: I = ò P(x)eax dx (hoặc I = ò P(x)eax dx) với P đa thức thuộc R[x] a Ỵ R * ta đặt u = P(x) Dạng 4: I = ò x a ln xdx, với a Ỵ R \ {-1} đặt u = lnx Ví dụ 1: Tính tích phân: I = p/2 ò (x + 1)sin xdx Giải: ì u = (x + 1) ìdu = 2xdx Đặt: í Û í ỵv = - cos x ỵdv = sin xdx p/ 2 Khi đó: I = - (x + 1) cos x + Xét tích phân J = p/ ò p/ ò x cos xdx = + p/2 ò x cos xdx Trang 98 x cos xdx (1) Tích phân ìu = x Đặt: í Û dv = cos xdx ỵ p/ ìdu = dx í ỵv = sin x Khi đó: J = x sin x - p/ ò sin xdx = p p p/ + cos x = - 2 (2) ỉp Thay (2) vào (1) ta ủửụùc: I = + ỗ - ÷ = p - è2 ø p Ví dụ 2: (Đề 37) Tính tích phân: I = ò e2 x sin xdx Giải: p Biến đổi I dạng: I = ò e2x sin xdx = p 2x e (1 - cos2x)dx ò0 p · e2 p Xét tích phân: I1 = ò e dx = e2 x = 2 0 · Xét tích phân: I = ò e2 x cos2xdx p (1) 2x (2) p ìdu = -2sin 2xdx ì u = cos2x ï Đặt: í Û í 2x 2x ỵdv = e dx ïỵv = e p p e2 p p 2x Khi đó: I = e2x cos 2x + ò e2x sin 2xdx = - + ò e sin 2xdx 2 0 · (3) p Xét tích phân: I 2, = ò e2x sin 2xdx ìdu = cos 2xdx ì u = sin 2x ï Đặt: í Û í 2x 2x ỵdv = e dx ïỵv = e p p Khi đó: I 2, = e2x sin - ò e2x cos 2xdx = -I 0 14 4244 (4) I2 Thay (4) vào (3), ta được: I = e2 p e2 p - - I2 Û I2 = - 2 4 e2 p e2 p 1 Thay (2), (5) vào (1), ta được: I = [ - -( - )] = (e2 p - 1) 2 4 ln(1 + x) dx x2 Ví dụ 3: (ĐHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phân: I = ò Trang 99 (5) Tích phân Giải: ì du = dx ì u = ln(1 + x) ï ïï 1+ x Đặt: í Û í dx dv = ïỵ ïv = x2 ïỵ x 2 1 1 ỉ1 Khi đó: I = - ln(x + 1) + ò dx = - ln + ln + ò ç + ÷dx x x(x + 1) è x + x ø 1 = - ln + ln + (ln | x | - ln(x + 1)) = - ln + 3ln 2 BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau: a/ d/ ò p ò ĐS: a/ b/ ò (x + 1)2 e x dx; ex sin 3x dx; p e/ ò cos x.ln(1 + cos x)dx; f/ x ln(x + 1)dx - 2e x ; 13 c/ b/ 5e2 - ; c/ 7e3 - 27 Trang 100 ò e e (x.ln x)2 dx; ln x ò1e (x + 1)2 dx d/ ln - ; e/ p - 1; f/ 2e e +1 Tích phân Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI b Bài toán: Tính tích phân: I = ò f(x, m)dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực theo bước sau: Xét dấu biểu thức f(x, m) [a, b] Bước 1: Từ phân đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ, giả sử: [a, b] = [a, c1 ] È [c1 , c2 ] È È [ck , b] mà đoạn f(x, m) có dấu Bước 2: Khi đó: I = c1 c2 b a c1 ck ò f(x, m) dx + ò f(x,m) dx + + ò f(x, m)dx Ví dụ 1: Tính tích phân: I = òx - 3x + 2dx -1 Giải: Ta xét dấu hàm số f(x) = x - 3x + [–1, 4], ta được: x –1 f(x) + – + Khi đó: I = ò (x - 3x + 2)dx - ò (x - 3x + 2)dx + ò (x - 3x + 2)dx -1 3 19 ỉ1 ỉ1 ổ1 = ỗ x - x + 2x ữ - ỗ x - x + 2x ữ + ỗ x - x + 2x ÷ = è3 ø -1 è ø1 è ø2 Chú ý: Với toán chứa tham số cần trường hợp riêng biệt tham số để khéo léo chia khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp phạm vi phổ thông sau: b Dạng 1: Với tích phân: I = ò x - a dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi với x Ỵ [a, b] cần xét trường hợp: Trường hợp 1: b Nếu a ³ b thì: b ỉ x2 I = ò (a - x)dx = ç ax - ÷ = (a - b)(a + b - 2a ) è øa a Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì: Trang 101 Tích phân b x2 I = ò (a - x)dx + ò (x - a)dx = (ax - ) a a a a a b x2 + ( - ax) a = a + (a + b)a + (a2 + b ) Trường hợp 3: Nếu a £ a thì: b b x2 I = ò (x - a )dx = ( - ax) = (a - b)(2a - a - b) 2 a a b Dạng 2: Với tích phân: I = ò x - ax + b dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi với x Ỵ [a, b] cần xét trường hợp: b Nếu D = a - 4b £ thì: I = ò (x + ax + b)dx Trường hợp 1: a Nếu D > x + ax + b = có hai nghiệm phân biệt x1 < x Trường hợp 2: · b Nếu x1 < x £ a hoaëc b £ x1 < x thì: I = ò (x + ax + b)dx a · b Neáu x1 £ a < b £ x thì: I = ò (x + ax + b)dx a · x2 b Neáu x1 £ a < x < b thì: I = - ò (x + ax + b)dx + ò (x + ax + b)dx a · x2 x1 b Nếu a £ x1 < b £ x thì: I = ò (x + ax + b)dx - ò (x + ax + b)dx a · x1 x1 x2 b Neáu a £ x1 £ x2 £ b thì: I = ò (x + ax + b)dx - ò (x + ax + b)dx + ò (x2 + ax + b)dx a x1 x2 Chuù ý: Với toán cụ thể thường nghiệm x1, x2 so sánh tự nhiên với cận a, b để giảm bớt trường hợp cần xét điều em học sinh cần lưu tâm Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân: I = ò x x - a dx (a > 0) Giải: Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a ³ 1 1 ỉ x ax a Khi đó: I = - ò x.(x - a)dx = - ũ (x - ax)dx = - ỗ ữ = - ø0 è 0 Trường hợp 2: Nếu < a < Trang 102 Tích phân a a 0 Khi đó: I = - ò x.(x - a)dx + ò x.(x - a)dx = - ò (x - ax)dx + ò (x - ax)dx a a ỉ x ax ỉ x ax a3 a = -ỗ ữ +ỗ ÷ = - + ø0 è øa 3 è BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau: a/ d/ g/ ò -3 (| x + | - | x - | dx; ò x ò0 | - | dx; x - 6x + 9dx; a/ 8; ĐS: Bài 10 Tính tích phân sau: p p p ò c/ ò | sin x | dx; - sin 2xdx; ÑS: a/ 2; -1 ò-1 - | x | dx; h/ x - 2x + xdx ò0 2 f/ ; b/ ln ; g/ + ; ln c/ ò p ò 2p d/ b/ 4; c/ 2; (| 2x - | -(x |2 )dx; e/ b/ e/ 2(5 - 3); a/ ò b/ | x | dx ; -1 x - x - 12 c/ ò f/ ò-1 | x | -xdx ; 24 + h/ 15 d/ + cos2xdx + sin x.dx d/ Baøi 11 Cho I(t) = ò | ex - t | dx, t Ỵ R a/ Tính I(t) b/ Tìm giá trò nhỏ I(t), với t Ỵ R ìt + - e, t ³ e ï ÑS: a/ í2t.ln t - 3t + e + 1, < t < e b/ ïe - t - 1, t £ ỵ I(t) = ( - 1)2 , t = e Bài 12 Tính tích phân sau: a/ ò0 | x - m | dx; b/ ò1 | x - (a + 1)x + a | dx ì1 ïï - m, m £ ĐS: a/ í ïm - m + , < m £ ïỵ Trang 103 ì 3a - ,a ³ ï ï ï (a - 1)3 3a - b/ í ,1< a < ï ï - 3a , a£1 ï ỵ Tích phân Vấn đề 5: CÁCH TÍNH: b b òa max[f(x), g(x)]dx, òa min[f(x), g(x)]dx Phương pháp: · Ta tìm max[f(x), g(x)], min[f(x), g(x) cách xét hiệu: f(x) - g(x) đoạn [a ; b] · Giả sử ta có bảng xét daáu: x a c f(x) – g(x) + b – Từ bảng xét dấu ta có: – với x Ỵ [a; c] max[f(x), g(x)] = f(x) – với x Ỵ [c; b] max[f(x),g(x)] = g(x) b c b òa max[f(x),g(x)dx = òa [f(x),g(x)]dx + òc max[f(x), g(x)]dx c b = ò f(x).dx + ò g(x).dx a c · Từ đó: · Cách tìm min[f(x), g(x)] thực tương tự Ví dụ: Tính tích phân: I = ò max[f(x), g(x)]dx, f(x) = x g(x) = 3x - Giải: Xét hiệu: f(x) - g(x) = x - 3x + đoạn [0 ; 2] : x f(x) – g(x) + – Do đó: – Với x Ỵ [0; 1] max[f(x); g(x)] = x – Với x Ỵ [1; 2] max[f(x); g(x)] = 3x - 2 Ta coù: I = ò max[f(x); g(x)]dx + ò max[f(x); g(x)]dx x3 ỉ3 = ò x dx + ò (3x - 2)dx = + ỗ x - 2x ữ è2 ø1 17 = +6-4- +2 = 2 BÀI TẬP Bài 13 Tính tích phân sau: a/ ò0 c/ max(x; x )dx; ò0 min(x; x ÑS: a/ 55 ; b/ )dx; b/ d/ ; c/ ò1 min(1; x p ò )dx; (sin x, cos x)dx ; Trang 104 d/ - Tích phân Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Trong vấn đề ta chứng minh áp dụng số tính chất cho lớp tích phân đặc biệt Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục hàm lẻ [–a ; a] thì: I = a ò f(x)dx = -a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I dạng: I = Xét tính phân J = a a -a -a ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx (1) ò f(x)dx -a Đặt x = - t Þ dx = -dt Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = Þ t = Mặt khác f(x) hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t) a a a 0 Khi đó: J = - ò f(-t)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx Thay (2) vào (1) ta I = (đpcm) Áp dụng: Ví dụ 1: Tính tích phân: I = 1/ ỉ1- x cos x.ln ỗ ữ dx ố 1+ x ø -1/ ò Giải: ỉ1- x Nhận xét raống: haứm soỏ f(x) = cos x.ln ỗ ữ coự: è1+ x ø · é 1ù Liên tục ê - ; ú ë 2û · æ 1- x ỉ1- x f(x) + f(-x) = cos x.ln ỗ ữ + cos( -x).ln ỗ ữ ố1+ x ø è1+ x ø é ỉ1- x ỉ + x ửự = ln ỗ ữ + ln ç ÷ cos x = ln1.cos x = è - x ø úû ë è1+ x ø Þ f(- x) = - f(x) é 1ù Vaäy, f(x) hàm lẻ ê - ; ú , theo tính chất ta I = ë 2û Chú ý quan trọng: Khi gặp dạng tích phân thông thường học sinh nghó tới phương pháp tích Trang 105 Tích phân phân phần, xong lại ý kiến hay Điều cho thấy việc nhìn nhận tính chất cận đặc tính hàm số dấu tích phân để từ đònh hướng việc lựa chọn phương pháp giải quan trọng Tuy nhiên với thi tính chất không trình bày phạm vi kiến thức sách giáo khoa em học sinh lên trình bày sau: 1/ ỉ1- x ỉ1- x I = ũ cos x.ln ỗ (1) ữ dx + ũ cos x.ln ỗ ữ dx ố 1+ x ứ ố1+ x ø -1/ Xét tính chất J = ổ1- x cos x.ln ỗ ữ dx ố1+ x ø -1/ ò Đặt x = - t Þ dx = -dt 1 Đổi cận: x = - Þ t = x = Þ t = 2 Khi đó: 1/ 1/ ỉ1+ t ỉ1- t ỉ1- x I = - ũ cos(- t).ln ỗ ữ dx ữ dt = - ũ cos t.ln ỗ ữdt = - ũ cos x.ln ỗ ố1+ x ứ ố1- t ứ è1+ t ø 1/ 0 (2) Thay (2) vào (1) ta I = Vậy kể từ trở áp dụng ý tưởng phương pháp chứng minh tính chất để giải ví dụ mục áp dụng Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục hàm chẵn đoạn [–a ; a] thì: a a -a I= ò f(x)dx = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi I dạng: I = Xét tính phân J = a a -a -a ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx (1) ò f(x)dx -a Đặt x = - t Þ dx = -dt Đổi cận: x = –a Þ t = a; x=0Þt=0 Mặt khác f(x) hàm chẵn Þ f(–t) = f(t) a a a a 0 Khi đó: J = - ò f( -t)dt = ò f(t)dt = ò f(t)dt = ò f(x)dx (2) a Thay (2) vào (1) ta I = ò f(x)dx đpcm Chú ý quan trọng: Trong phạm vi phổ thông tính chất không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, gặp toán kiểu tốt xác đònh: I = a ò f(x)dx -a Trang 106 Tích phân cách thông thường, thí dụ với tích phân: I = ò x 2dx -1 2x Ta không nên sử dụng phép biến đổi: I = ò x dx = 2 = ta thiết cần chứng minh lại tính chất 2, điều khiến toán trở x3 nên cồng kềnh nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể: I = -1 = Tuy nhiên phủ nhận tiện lợi vài trường hợp đặc biệt Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục chẵn R : I= a f(x)dx a + ò ax + = ò f(x)dx với "a Ỵ R a > -a PHƯƠNG PHÁP GIẢI f(x)dx f(x)dx a f(x)dx Biến đổi I dạng: I = ò x = ò x +ò x -a a + -a a + a +1 a Xét tính phân I1 = Đặt f(x)dx x -a a + ò x = - t Þ dx = -dt Đổi cận: x = Þ t = 0; x = –a Þ t = a Mặt khác f(x) hàm chẵn Þ f)–t) = f(t) f(- t)dt a a t f(t)dt a at f(t)dt =ò t =ò t -t a + a + a 0 a +1 Khi đó: I1 = ò a t f(t)dt a f(x)dx a (a x + 1)f(x)dx a =ò x =ò = ò f(x)dx t x a + a + a + 0 0 a Vậy: I = ò Áp dụng: x dx Ví dụ 2: Tính tích phân: I = ò x -1 + Giải: x 4dx x 4dx Biến đổi I dạng: I = ò x +ò x -1 + +1 Xét tích phân J = x dx ò x -1 + Đặt x = –t Þ dx = –dt Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = Þ t = Trang 107 (1) Tích phân * Gọi S diện tích hình tròn (C) Þ S = p.R = 8p 4ư ỉ * Gọi S2 phần diện tích hình tròn lại Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ỗ p + ữ 3ø è Û S2 = p - Ví dụ (vấn đề 4): Chứng minh m thay đổi Parabol (P): y = x2 + cắt đường thẳng (d): y = mx + hai điểm phân biệt Hãy xác đònh m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng parabol nhỏ Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x + = mx + Û x - mx - = (1) y D = m + > 0, "m (P) (d) * Vậy (d): cắt (P) điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 nghiệm (1) * Diện tích hình phẳng S là: A B x2 x2 ỉ x mx S = ò (mx + - x - 1)dx = ỗ - + + xữ ố ứ x1 x1 x1 x x2 m = - (x 32 - x13 ) + (x 22 - x12 ) + (x - x1 ) = - (x - x1 ) éë2(x 22 + x1x + x12 ) - 3m(x + x1 ) - ùû 1 =m + ëé2(m + 1) - 3m - ûù = (m + 4)3 ³ 6 Vaäy: S = m = Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 , y = x2 27 ,y= x Giải: x2 27 * Đồ thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = x hình vẽ y (P1) A * Phương trình hoành độ giao điểm (P1) (H): x2 = 27 Û x = 27 Û x = Þ toạ độ A(3, 9) x * Phương trình hoành độ giao điểm (P2) (H): Trang 138 (P2) (H) 9/2 B S2 S1 x Tích phân x 27 ỉ 9ư = Û x = ị toaù ủoọ B ỗ 6, ữ x è 2ø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = ò (x æ 27 x x2 )dx + ũ ỗ 8 3ố x ữ dx = = 27 ln (đvdt) ø Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: parabol (P): y = 4x - x đường tiếp tuyến với parabol này, biết tiếp tuyến qua M(5/2, 6) Giải: * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ soỏ goực K: 5ử ổ y = Kỗ x - ÷ + è 2ø y (d2) M * (d) tiếp xúc (P) hệ sau có nghiệm: ì 5ử ổ ù4x - x = K ỗ x - ÷ + è 2ø í ï4 - 2x = K ỵ S1 (1) (d1) S2 A (2) (P) * Thế (2) vào (1) ta được: 4x - x = (4 - 2x)(x - ) + B 5/2 x éx = Þ K = Û x - 5x + = Û ê ë x = Þ K = -4 * Vậy có phương trình tiếp tuyến là: (d1 ) :y = 2x + 1; (d ) : y = -4x + 16 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = 5/2 ò (2x + - 4x + x )dx + ò (-4x + 16 - 4x + x )dx = = 5/ (đvdt) Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn đường: y = x - 4x + y = Giải: * Vẽ đồ thò (C): y = f(x) = x - 4x + ì f(x), f(x) ³ * Xét đồ thò (C’) : y = f(x) = í ỵ -f(x), f(x) < * Từ đồ thò (C) ta suy đồ thò (C’) sau: ì+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm Ox í ỵ+ Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm Ox qua trục hoành * Đồ thò (C’) hợp phần Trang 139 y (C) –1 x Tích phân * Đường thẳng y = cắt (C’) A(0 ; 3), B(4 ; 3) * Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm * Do tính đối xứng nên ta có: S = 2(S1 + S2 ) 2 é1 ù = 2.ò (3 - x - 4x + )dx = ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x + 4x - 3)]dx ú ë0 û =8 (đvdt) Bảng xét dấu: x x2–4x+3 + – + Trang 140 Tích phân BÀI TẬP Bài Cho Parabol (P): y = x - 4x + đường thẳng (d) : y = x – Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) trục Ox; b/ (P), trục Ox trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = x = 4; d/ (P) vaø (d); e/ (P), (d), x = x = 4 ĐS: a/ ; b/ ; c/ 2; d/ ; 3 Baøi Tính diện tích giới hạn đường: a/ (C) : y = x + , tieäm cận xiên (C), x = x = 3; 2x b/ y = x(x + 1) , trục Ox, trục Oy x = 1; e/ c/ 2(y - 1)2 = x vaø (y - 1)2 = x - ; d/ y = x - 2x + 2, y = x + 4x + y = x - 4x + vaø y = 1; x2 e/ y = , y = , y = (với x > 0) x x 418 ÑS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2 35 Bài Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (C) : y = x - 2x vaø tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3 ; 3) treân (C) b/ (C) : y = x - 2x + 4x - 3, y = tiếp tuyến với (C) tiếp điểm có hoành độ x = ĐS: a/ ; b/ 48 Baøi Cho Parabol (P): y2 = x đường tròn (C) : x + y2 - 4x + = a/ Chứng tỏ (P) (C) tiếp xúc A B b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) tiếp tuyến chung A B ỉ3 6ư 6 ỉ3 6ư 6 ĐS: a/ A ỗ ; x+ ; Bỗ ; x b/ ÷; y = ÷; y = è2 ø è2 ø Baøi Đường thẳng (d): x – 3y + = chia đường tròn (C): x + y2 = thành hai phần, tính diện tích phần 5p 15p ÑS: S1 = - ; S2 = + 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a/ y = x , y = x b/ x - y3 + = 0; x + y - = c/ x + y2 = 8; y2 = 2x d/ y = - x ; y3 = x Trang 141 Tích phân x e/ y = ÑS: a/ - x4 ; x = 0; x = ; b/ ; 4 c/ p + ; d/ 32 ; 15 e/ p 12 Baøi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = b/ y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c/ y = e x ; y = e- x ; x = d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = ÑS: a/ e2 - + 2; 24 + ; 25ln d/ b/ (e - 1); e/ 23 - e c/ e + - 2; Baøi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x2 + 2x y = x + 4; b/ y = - x + x + vaø 3x + 5y - = 0; c/ y = x vaø y = 0; x = 1; x = 2; x +1 d/ y = ln x ; y = 0; x = ÑS: a/ 26 ; b/ 55 ; c/ - ln ; vaø x = e e d/ - e Baøi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = sin x + cos2 x, trục toạ độ x = p; b/ y = sin x + sin x + 1, trục toạ độ x = p c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = p d/ y = x + sin x; y = p;x = 0; x = p p ÑS: a/ + ; b/ + 3p ; c/ 4; d/ p Baøi 10 Diện tích giới hạn đường thẳng x = –1; x = 2; y = vaø Parabol (P) 15 Tìm phương trình (P), biết (P) có đỉnh I(1 ; 2) ĐS: y = 3x - 6x + x + 2x - Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = , tiện cận xiên x+2 x = x = m > Tìm giới haùn cuỷa dieọn tớch naứy m đ+ Ơ ổm+2ử ẹS: S = 3ln ỗ ữ ; lim S = +Ơ ố ứ m đ+Ơ Trang 142 Tớch phaõn Baøi 12 Cho (H): y = 2x x -1 a/ Chứng minh hình phẳng giới hạn (H), tiệm cận ngang đường thẳng x = a + 1; x = 2a + có diện tích không phụ thuộc vào tham số a dương b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) (H) gốc toạ độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (H), (d) đường thẳng x = ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3 Baøi 13 Cho Parabol (P) : y = x2 Hai điểm A B di động (P) cho AB = a/ Tìm tập hợp trung điểm I AB b/ Xác đònh vò trí A, B cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn (P) cát tuyến AB đạt giá trò lớn ĐS: a/ y = x + ; + 4x b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1) ỉ1 Bài 14 ẹửụứng thaỳng (D) ủi qua ủieồm M ỗ ; 1ữ bán kính trục dương Ox, Oy lập è2 ø thành tam giác Xác đònh (D) để diện tích tam giác có giá trò nhỏ tính giá trò ĐS: (D) : y = -2x + Bài 15 Cho Parabol (P): y = x2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I(1 ; 3) cho diện tích hình phẳng giới hạn (d) (P) đạt giá trò nhỏ ĐS: y = 2x + Bài 16 Trên Parabol (P) : y = x lấy hai điểm A(–1 ; 1) B(3 ; 3) Tìm điểm M » (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn cung AB ổ1 1ử ẹS: M ỗ ; ữ ố3 9ø Bài 17 Xét hình (H) giới hạn đường tròn (C): y = x + đường thẳng y = 0; x = 0; x = Tiếp tuyến điểm (C) cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn ỉ1 5ư ĐS: max S = ; M ç ; ÷ è2 4ø Trang 143 Tích phân §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Chú ý: Khi tìm thể tích vật thể tròn xoay ta cần xác đònh: * Miền hình phẳng (H) sinh ((H) giới hạn đường: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh trục Ox trục Oy để ta dùng công thức thích hợp Nếu (H) quay quanh trục Ox hàm dấu tích phân y = f(x), biến x hai cận x Nếu (H) quay quanh trục Oy hàm dấu tích phân x = f(y), biến y hai cận y Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox tính công thức: b b V = pò y dx = pò [d(x)]2 dx a y a y (C) (H) a (C) b (H) a x b b x b Thể tích: V = pò [f(x)]2 dx Diện tích: S = ò f(x) dx a a Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh quay quanh trục Oy tính công thức: b b a a V = pò x dy = p ò [f(y)]2 dy y y b (C) b (C) (H) x 0 x a a b b Thể tích: V = pò [f(y)]2 dy Diện tích: S = ò f(y) dy a a Trang 144 Tích phân Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : y = f(x), (C2 ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) với f(x) g(x) dấu) sinh quay quanh trục Ox tính bởi: b V = pò f (x) - g (x) dx (3) a * f(x) g(x) dấu có nghóa hai phần đồ thò nằm phía trục Ox, với x Ỵ đoạn [a; b] * Để bỏ dấu “| |” công thức (3) ta ý trường hợp sau: y TH1: (C1 ) Ç (C2 ) = Ỉ f(x) > g(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]: b (C1) y (C2) (H) (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a a b a b x y TH2: (C1 ) ầ (C2 ) = ặ vaứ f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx x (C2) (Cy ) (H) a TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ y x = a, x = b d(x) > g(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]: A (H) B (C2) b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a TH4: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ x = a f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a Trang 145 a b (C1) x y a b (C1) x A (H) B (C2) Tích phân TH5: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B, C, xA = a y xB = b, xC = c với a < c < b hình beân: (3) Û V = V1 + V2 c b a c (C1) B V1 A V2 C = p ò [f (x) - g2 (x)]dx + pò [g2 (x) - f (x)]dx (C2) a c b x Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : x = f(y), (C2 ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) với f(y) g(y) dấu) sinh quay quanh trục Oy tính bởi: b V = pò f (y) - g (x) dy (4) a y TH1: (C1 ) ầ (C ) =ặ vaứ x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, với y Ỵ [a; b] b C2 b x2 (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy C1 (H) x1 a a y TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có tung độ y A = a < yB = b x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, x C2 C1 với y Ỵ [a; b] B b x2 b a (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy (H) x1 A x a * Các TH2, TH4 TH5 thực tương tự vấn đề Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn (P) : y2 = 8x đường thẳng x = Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung Giải: a/ (P): y = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0) Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn (P) x = quanh trục Ox là: Trang 146 Tích phân 2 0 y V = p ò y dx = p ò 8x.dx = 16 p (đvtt) (P) b/ (P) : y = 8x Û x = y Thể tích V khối quanh trục tung là: x 899 p ỉ1 ỉ V = p ũ - ỗ y2 ữ du = p ũ ỗ 2 - y ữ dy = = (ñvtt) 64 ø 32 è8 ø -1 -4 è – x=2 Ví dụ 2: Gọi (H) hình phẳng giới hạn trục hoành parabol (p) : y = 2x - x Tính thể tích khối tròn xoay cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục hoành là: 2 V = p ò y dx = pò (2x - x )2 dx = = 0 16 p (ñvtt) 15 y b/ (P) : y = 2x - x Û x - 2x + y = (1) D' = 1- y ³ Û £ y £ (P) x1 x2 (H) é x1 = - - y , (0 £ x1 £ 1) (1) Û ê êë x = + - y, (1 £ x £ 2) x Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục tung là: 1 0 V = p ò (x - x )dy = pò (x + x1 )(x - x1 )dy = p ò 2(2 - y )dy = = 2 8p x2 + y = quay quanh trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: Giải: y x2 x2 2 (E) : + y = Û y = 1Û y=± - x , (| x |£ 2) 4 Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: V = p ò y dx = -2 p 8p (4 - x ).dx = = (đvtt) ò -2 –2 –1 Ví dụ 4: Gọi (D) miền kín giới hạn đường: y = x, y = - x vaø y = Tính thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy Giải: Trang 147 x Tích phaân · y = x Û x = x1 = · y = - x Û x = x = - y · Thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy là: y 1 V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y )2 ] 2 0 y= x A x y = 2-x 32 p = (đvtt) 15 BÀI TẬP Bài 18 Tính vật thể tròn xoay sinh phép quay quanh trục Ox miền (D) giới hạn đường: a/ y = lnx; y = 0; x = b/ x + y - = 0; x + y - = c/ y = x ; y = x d/ y = x - 4x + 6; y = -x - 2x + e/ y = x(x - 1)2 f/ y = x.e x ; x = 1; y = (0 £ x £ 1) g/ y = e x ; y =- x + ; x = 0; x = h/ y = x ln(1 + x ); x = i/ (P) : y = x (x > 0), y = -3x + 10; y = (miền (D)) nằm (P)) p k/ y = cos x + sin x; y = 0; x = ; x = p 3p 153p ÑS: a/ p(ln - 1)2 ; b/ ; c/ ; 10 d/ 3p p e/ 105 g/ p(e2 - 1)2 ; h/ p (2 ln - 1) f/ p(e2 - 1) ; i/ 56 p k/ p2 Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x ; y = 1; y = b/ y = x ; x = y2 c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 3p 3p ÑS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 10 Bài 20 Xét hình (H) giới hạn đường cong y = ; trục Ox; x = x = t x a/ Tính diện tích S(t) (H) thể tích V(t) sinh (H) quay quanh Ox b/ Tính: lim S(t) vaứ lim V(t) t đ+Ơ t đ+Ơ Trang 148 Tớch phân p ĐS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t đ+Ơ t đ+Ơ Baứi 21 Cho miền (D) giới hạn đường tròn (C): x + y2 = vaø parabol (p): y2 = 2x a/ Tính diện tích S (D) b/ Tính thể tích V sinh (D) quay quanh Ox ĐS: a/ - p b/ 4p (8 - 7) Bài 22 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt tạo nên quay ủửụứng: ổxử a/ y = b ỗ ữ ốaứ 2/3 (0 £ x £ a) quanh truïc Ox b/ y = sin x; y = (0 £ x £ p) a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy x ổxử c/ y = b ỗ ữ ; y = b a èà a/ quanh trục Ox b/ Quanh truïc Oy d/ y = e - x ; y = (0 £ x < +¥) quanh trục Ox Oy ĐS: a/ pab ; p2 b/ a / Vx = ; b / Vy = p2 c/ a / Vx = pab ; 15 pab b / Vy = p d/ a / Vx = ; b / Vy = 2p Trang 149 Tích phân ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a/ ò + x dx; x2 - dx; x b/ -2 c/ ò d/ x dx e/ ò ; (x + 1) g/ òe x f/ - x2 ò ; dx ò (1 + x )3 p/ ò ; x dx; cos2 x p/ sin x + cos x h/ ò dx; 3x + -p / cos xdx; i/ x 2dx p/ p cos2x.dx ò sin x + cos x + ; k/ p / 12 ò p / 12 (4 - 2); 1 e/ - + ln 2; 4 dx ; sin 2x + cos2 x + - p p ; c/ 3- ; d/ ; 3 p p/ 3p f/ + ln ; g/ (e - 1); h/ ; 2 16 i/ 2ln3 – 2; k/ ì-2)x + 1), x £ Bài Biết f(x) = í Tìm giá trò K để ò f(x).dx = K(1 x ), x > ỵ -1 ĐS: a/ b/ ĐS: K = Bài a/ Cho hàm số f(x) = e 2x ò t.ln t.dt Tìm hoành độ điểm cực đại x ex 2x sin t ổ 3p b/ Tỡm giaự trũ x ẻ ỗ 0; để hà m số f(x) = ÷ ò t dt đạt cực đại è ø x ĐS: a/ x = - ln b/ x = p x 2t + dt, - £ x £ t 2t + Baøi Cho hàm số f(x) = ò Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số f ổ 1ử ẹS: a/ f = f ỗ - ÷ ; b/ max f = f(1) è 2ø x Bài Cho hàm số f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt Tìm điểm cực trò điểm uốn đồ thò f Trang 150 Tích phân 17 ư ỉ 112 ỉ ỉ ẹS: CT : ỗ 1; - ữ ; ẹ.Uoỏn : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷ è 12 ø è ø è 81 ø Baøi Đường thẳng (D): x – 3y + = chia đường tròn (C) : x + y2 = thành phần, tính diện tích phần ÑS: S1 = 5p - ; S2 = 15p + Baøi Xét hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C): y = ; y = ; x = 1; x = Tìm x toạ độ điểm M (C) mà tiếp tuyến M cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn ỉ3 2ử ẹS: M ỗ ; ữ ố2 3ứ Baứi Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) pháp tuyến A (P) ((D) vuông góc với tiếp tuyến A với (P)) Đònh vò trí A để diện tích giới hạn đỉnh (P) (D) nhỏ ỉ1 1ư ỉ 1ư ĐS: S = ; A ỗ ; ữ hay A ỗ - ; ữ è2 4ø è 4ø ì x y2 =1 ï Bài Cho hình (H) giới hạn bởi: í16 ïx = ỵ Tính thể tích sinh (H) quay quanh Oy ĐS: 128p ìy = ax , a > Bài 10 Cho hình (H) giới hạn bởi: í y = bx, b > ỵ Quay hình (H) góc phần tư thứ hai hệ toạ độ quanh trục Ox Tìm hệ thức a b để thể tích khối tròn xoay sinh số, không phụ thuộc vào a b ĐS: b5 = K.a3, với K số dương Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x - 4x + , y = x + (Đề thi chung Bộ GDĐT–khối A_2002) 109 (đvdt) Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ĐS: x2 x2 y = 4vaø y = 4 (Đề thi chung Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Trang 151 Tích phân ĐS: p + (đvdt) -3x - hai trục x -1 (Đề thi khối D_2002) Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = toạ độ ĐS: + ln (đvdt) Bài 14 Tính tích phân I = ò ĐS: p/2 ò ÑS: x x +4 (Ñeà thi khoái A_2003) ln Bài 15 Tính tích phân I = dx - 2sin x dx + sin 2x (Đề thi khoái B_2003) ln 2 Bài 16 Tính tích phân I = ò x - x dx (Đề thi khối D_2003) ĐS: Bài 17 Tính tích phân I = ĐS: x ò + x + dx (Đề thi khoái A_2004) 11 - ln Bài 18 Tính tích phân I = e ò ÑS: + ln x.ln x dx x (Đề thi khối B_2004) 116 135 Bài 19 Tính tích phân I = ò ln(x - x)dx (Đề thi khối D_2004) ĐS: 3ln3 – Trang 152 ... = ũ (a - x)dx = ỗ ax - ÷ = (a - b)(a + b - 2a ) è øa a Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì: Trang 101 Tích phân b x2 I = ò (a - x)dx + ò (x - a)dx = (ax - ) a a a a a b x2 + ( - ax) a = a + (a +... x).dx £ p 15 1 c/ e > + x, "x ¹ Suy : ò e x 1+ x dx > x d/ e ³ x, "x Suy : 200 ò p+ 4 e- x dx £ 0, 01 100 x e/ < ln x < , với x > e Suy : 0,92 < e dx ò ln x < Kỹ thuật 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu