Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆Q làm cho chất rắn tăng ∆Q : C = ∆Q ∆Q Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng. Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng của các mode phonon. ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé).Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆Q làm cho chất rắn tăng ∆Q : C = ∆Q ∆Q Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng. Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng của các mode phonon. ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé).Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆Q làm cho chất rắn tăng ∆Q : C = ∆Q ∆Q Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng. Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng của các mode phonon. ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé).Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆Q làm cho chất rắn tăng ∆Q : C = ∆Q ∆Q Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng. Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng của các mode phonon. ( q trong công thức dưới nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé).
VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ CÂU HỎI ÔN TẬP CUỐI KÌ Câu : Nhiệt dung mạng tinh thể: a Nhiệt dung C: nhiệt lượng cần thiết ∆𝑄 làm cho chất rắn tăng ∆𝑄 : C = ∆𝑄 ∆𝑄 Phần đóng góp phonon vào nhiệt dung tinh thể đc gọi nhiệt dung mạng Khi đấy, lượng phonon nhiệt độ T tinh thể tổng lượng mode phonon ( q công thức nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé!!!) Với: + Gốc lượng đc chọn lượng = + Mode p = … 3s ( với s số nguyên tử / ô đơn vị ) ⃗ mode p trạng thái cân + 〈𝑄⃗⃗𝑄𝑄 〉 : độ lấp đầy phonon có vecto sóng ⃗𝑄 nhiệt b Nhiệt dung mạng: Xét dao động tử bể nhiệt: ➢ Xác suất tìm thấy dao động tử trạng thái kích thích có lượng En đc cho phân bố Boltzmann: Trong đó, Po từ điều kiện số chuẩn ➢ Khi đó, ta nhận đc: ➢ Vậy số dao động tử trung bình trạng thái kích thích: Page đc xác định hóa VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ➢ Từ đó, ta nhận đc hàm phân bố Planck : ➢ Thế biểu thức vào công thức E câu a, ta đc: ( q công thức nhớthêm dấu vecto “→” vào nhé!!!) [1] ⃗⃗ tích phân theo tham số → cần đưa vào khái ➢ Để thuận tiện, ta thay tổng theo 𝑄 niệm “mật độ mode” ( hay “mật độ trạng thái” ) Dp(𝑄) hàm biểu diễn số mode ( giá trị s cho) dải tần số (𝑄 ; 𝑄 + 𝑄(𝑄)) ➢ Khi đó, lượng E công thức [1] đc viết lại theo Dp(𝑄) Bằng cách lấy đạo hàm E theo nhiệt độ T, ta nhận đc nhiệt dung mạng: Câu : Trình bày mật độ trạng thái trường hợp chiều chiều: 2.1 Trường hợp chiều: ➢ Xét sóng dọc dài Nghiệm độ dịch chuyển nguyên tử: u(x) = Aeiqx [1] ➢ Áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho độ dịch chuyển này: ● Để đầu bên phải có trạng thái dao động đầu bên trái, ta hình dung bị biến dạng thành hình trịn cho đầu đc nối với Nếu chiều dài L, chọn gốc tọa độ đầu trái, đk biên tuần hoàn là: u(x=0) = u(x=L) [2] ● Thay [2] vào [1] ta có : eiqL = => q = n2𝑄/𝑄 , với n số nguyên ( 0; ± 1; ± 2; … ) => giá trị q biểu diễn mode dao động Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ● Khi vẽ giá trị q dọc theo trục q, chúng tạo thành lưới chiều cách khoảng 2𝑄/L => chiều dài đủ lớn, khoảng cách điểm nhỏ điểm tạo thành lưới bán liên tục ● Giả sử chọn đoạn dq ko gian q=> Số mode mà giá trị q nằm khoảng = 𝑄 2𝑄 dq ● Xét số mode dải tần số d𝑄 nằm (𝑄 ; 𝑄 + d𝑄) => số mode D(𝑄)𝑄𝑄 = 𝑄 2𝑄 dq ● Khi tính D(𝑄), ta phải xét mode nằm phần q dương q âm => việc tương đương với phép nhân biểu thức cho 2: 𝑄 D(𝑄) = 2𝑄 𝑄𝑄 𝑄𝑄 2.2 Trường hợp chiều: ⃗⃗ = 𝑄 ⃗⃗ exp[ i(qxx + qyy + qzz)] với lan truyền sóng đc mơ tả Ta có nghiệm sóng: 𝑄 ⃗𝑄 ⃗ = (qx; qy; qz) mà hướng hướng truyền sóng ⃗ phải thỏa: ➢ Giả sử tinh thể hình lập phương có cạnh L Khi xét đk biên, giá ⃗𝑄 ➢ Từ đó, ta có: với ℓ,m,n số nguyên ➢ Nếu ta vẽ giá trị ko gian q, ta nhận đc lưới lập phương chiều => phần thể tích ứng với điểm thuộc ko gian q : (2𝑄/L)3 ➢ Với điểm trên, ta xác đinh đc mode => số mode nằm lớp vỏ cầu bán kính q → q + dq : D(𝑄)𝑄𝑄 = Với V = L3: thể tích tinh thể ; 4𝑄q2dq : thể tích lớp vỏ Khi đó: Lưu ý: biểu thức với chất rắn đẳng hướng ấy,tần số dao động 𝑄 ⃗ ko phụ thuộc vào hướng ⃗𝑄 Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ Câu 3: Trình bày mơ hình Debye: Xem Homework 5, câu 2a Câu 4: Trình bày mơ hình Einstein: ➢ Trong mơ hình Einstein, mật độ trạng thái đc đặt gần hàm số 𝑄 tần số Einstein 𝑄E: D(𝑄) = N𝑄( 𝑄 − 𝑄E) Với N: số nguyên tử hay dao động tử Hàm 𝑄(x) = +∞ x = +∞ => ∫−∞ 𝑄(𝑄)𝑄𝑄 = x ≠ ➢ Khi đấy, lượng E viết theo D(𝑄) là: Hệ số “3” công thức với ba bậc tự dao ứng động tử ⇨ Nhiệt dung đẳng tích: ➢ Nhận xét: ● Giới hạn nhiệt độ cao mơ hình Einstein giống mơ hình Debye, tức CV = 3NkB ( Định luật Dulong - Petit ) ● Ở nhiệt độ thấp, CV ~ exp( -𝑄𝑄E/kT), khác với quy luật T3 bên mơ hình Debye Lý do: nhiệt độ thấp, phonon âm mơ hình D gần tố mơ hình E Mơ hình E thường đc dùng để làm gần phần đóng góp phonon quang Câu : Định luật Fourier truyền nhiệt: ➢ Khi có chênh lệch nhiệt độ điểm, nhiệt truyền từ chỗ nóng đến chỗ lạnh ➢ Mật độ dòng nhiệt j ( nhiệt lượng truyền qua đơn vị diện tích đơn vị thời gian) tỉ lệ thuận với gradien nhiệt độ: j = −𝑄 𝑄𝑄 𝑄𝑄 Trong đó: + K: độ dẫn nhiệt + Dấu “ – “ cho biết chiều truyền nhiệt ngược với chiều gradien nhiệt độ Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ➢ Hình dung vật liệu có chất khí phonon chuyển độ hỗn loạn theo phương tương ứng với giá trị q vùng Brillouin Mật độ phonon đầu nóng lớn đầu lạnh Sử dụng lý thuyết động học khí, độ dẫn nhiệt: K = CVυℓ / Trong đó: + CV : nhiệt dung ứng với đơn vị thể tích + υ : vận tốc hạt phonon + ℓ : quãng đường tự trung bình phonon ⇨ Khoảng cách trung bình biến cố tán xạ liên tục : ℓ = υ𝑄 , (𝑄 ∶ thời gian hồi phục) 𝑄𝑄 𝑄𝑄 ➢ Thay K vào công thức mật độ j ta đc: j = 𝑄𝑄 𝑄𝑄 (− ) Câu : Khí electron tự hệ chiều Khái niệm mức lượng Fermi 6.1/ Khí electron tự hệ chiều: ➢ Giả sử điện tử có khối lượng m bị giới hạn phạm vi có độ dài L hàng rào vơ hạn ❖ Hàm sóng 𝑄n(x) nghiệm pt Schrodinger: 𝑄̂ 𝑄n(x) = En 𝑄n(x) [1] Trong đó, 𝑄̂ toán tử Hamilnton ; En lượng quỹ đạo electron ❖ Điều kiện hàm ❖ Nghiệm pt [1] : sóng : 𝑄(0) = 𝑄(𝑄) = [2] với n số nguyên, A số ❖ Thay [2] vào [1], ta nhận đc trị riêng ❖ Các nghiệm tương ứng với sóng dừng với số nút khác phạm vi giếng ➢ Xét tập hợp N điện tử hóa trị trạng thái lượng tử Theo nguyên lý loại trừ Pauli, trạng thái lượng tử điện tử bị chiếm nhiều điện tử => trạng thái điện tử chất rắn chiều đc đặc trưng số lượng tử n ms Trong đó, n đặc trưng cho quỹ đạo 𝑄n(x); ms mơ tả hình chiếu spin lên trục => ms = ± 1/2 ⇨ Như vậy, quỹ đạo đc ký hiệu số lượng tử n chứa điện tử: điện tử có spin hương lên ngược lại Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ 6.2 / Khái niệm lượng Fermi: ➢ Ký hiệu nF tương ứng với mức lượng cao bị chiếm điện tử Tổng số điện tử N giả sử N chẵn => N = nF ➢ Năng lượng mức bị chiếm cao đc gọi bl Fermi Ef ( 00K) Đối với hệ chiều gồm N điện tử: Câu : Hàm phân bố Fermi: ➢ Khi nhiệt độ khác 0, phân bố điện tử mức lượng đc mô tả hàm phân bố f(E), đc định nghĩa xác suất để lượng E bị chiếm điện tử ➢ Ở 00K, hàm f(E) = 1, E< Ef tức mức Ef đc điền đầy mức 0, E > Ef ➢ Ef hồn tồn trống Khi hệ bị nung nóng ( T > 00K), lượng nhiệt kích thích điện tử, số chuyển lên mức cao Ef Hàm phân bố: với 𝑄 𝑄à 𝑄𝑄ế 𝑄ó𝑄 𝑄ọ𝑄 Câu : Khí điện tử tự hệ chiều: 8.1/ Phương trình Schrodinger: ➢ Pt Schrodinger có dạng: ( r nhớthêm dấu vecto “ →” vào nhé!!! ) [1] ➢ Nếu điện tử bị “nhốt” hình lập phương có cạnh L, nghiệm pt sóng dừng Với nx ,ny, nz số nguyên dương kiện biên: ( viết tương tự cho Page ➢ Ta đưa vào điều tọa độ y,z) VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ➢ Nghiệm pt [1] thỏa đk biên có dạng: Ψn(𝑄⃑) = Aexp(i𝑄⃑𝑄⃑) với 𝑄⃑ vecto sóng ⇨ Rút đc biểu thức thành phần 𝑄⃑ : ➢ Nếu nghiệm vào [1], ta nhận đc giá trị lượng quỹ đạo vecto sóng𝑄⃑ : ➢ Các hàm sóng Ψn(𝑄⃑) hàm riêng toán tử động lượng : 𝑄⃑ = −𝑄𝑄𝑄 làm tường minh biểu thức : 𝑄⃑ Ψk(𝑄⃑) = −𝑄𝑄𝑄 Ψk(𝑄⃑) = 𝑄𝑄⃑ Ψk(𝑄⃑) ⇨ Từ trị riêng động lượng 𝑄𝑄⃑ , vận tốc điện tử là: 𝑄⃑ = 𝑄⃑ / m = 𝑄𝑄⃑ /m 8.2/ Năng lượng Fermi_ Vận tốc Fermi: ➢ Ở trạng thái bản, hệ N điện tử chiếm trạng thái với lượng thấp => trạng thái bị chiếm nằm bên hình cầu bán kính kF Năng lượng bề mặt hình cầu EF ⇨ Độ lớn vecto sóng kF lượng EF liên hệ bởi: EF = 𝑄2kF2 / (2m) ➢ Tất quỹ đạo bên hình cầu bán kính kF phải tổng số điện tử N ⇨ Tổng số trạng thái hình cầu trên: với ● hệ số “2” suy biến ● thể tích ko gian 𝑄⃑ bị chiếm trạng thái spin ứng với giá trị kx,ky,kz (2𝑄 / L )3 ● Thể tích hình cầu V = 4𝑄kF3/3 ➢ Khi đó: => kF phụ thuộc vào mật độ điện tử Năng lượng Fermi: Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ⇨ Vận tốc Fermi: Câu 9: Hàm mật độ trạng thái: ➢ Từ biểu thức lượng Fermi, tổng số quỹ đạo có lượng nhỏ E là: N(E) = 𝑄 2𝑄 2( 2𝑄𝑄 3/2 ) 𝑄2 ⇨ Hàm mật độ trạng thái đạo hàm E theo N: D(E) = 3N /( 2E) ➢ Vậy số trạng thái khoảng lượng đơn vị mức Fermi D(EF) tổng số điện tử dẫn chia cho lượng Fermi ( với độ xác hệ số có bậc đơn vị) 𝑄 ➢ Mật độ trạng thái đc chuẩn hóa thỏa: N = ∫0 𝑄 𝑄(𝑄𝑄 )𝑄𝑄 => biểu thức cho ta tổng số điện tử hệ Câu 10: Nhiệt dung khí điện tử: ➢ Khi đun nóng vật liệu từ 00K, điện tử có lượng nằm khoảng kBT tính từ mức Fermi bị kích thích nhiệt → điện tử nhận thêm lượng có bậc kBT ➢ Nếu N tổng số điện tử, phần có bậc bị kích thích nhiệt nhiệt độ T Tổng động điện tử nhiệt có bậc Nhiệt dung điện tử 𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄/𝑄𝑄 ≈ 𝑄𝑄𝑄 ( đo thực nghiệm ➢ Nhiệt dung điện tử : ❖ Ở nhiệt độ thấp kBT ≪ EF : ❖ Ở nhiệt độ cao EF >> kBT: Page 𝑄𝑄 𝑄 𝑄𝑄 )và tỉ lệ thuận với T phù hợp với kết VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ➢ Đối với khí điện tử tự do, dựa mật độ trạng thái D(E) = 3N /( 2E), ta nhận đc nhiệt dung Cel = 𝑄2 NkB( T/ TF ), với nhiệt độ Fermi TF = EF /kB ➢ Trong thực tế,nhiệt dung nhiệt độ thấp nhiệt độ Debye nhiệt độ Fermi biểu diễn: 𝑄 = 𝑄𝑄𝑄 + 𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄 + 𝑄𝑄3 , điện tử trội nhiệt độ thấp => số 𝑄 𝑄 nhận đc từ số liệu thực nghiệm Câu 11 : Các luận điểm mơ hình Drude: a) Các điện tử xem hạt cổ điển phép gần điện tử tự ● Khi khơng có trường điện tử ngồi, điện tử chuyển động thẳng ,bỏ qua tương tác với điện tử ion ● Ngược lại, điện tử chuyển động tuân theo định luật Newton b) Các điện tử chuyển động tự lần va chạm với tâm tán xạ → Các va chạm kiện tức thời làm thay đổi đột ngột vận tốc điện tử c) Xác suất xảy va chạm điện tử đơn vị thời gian 1/𝑄 ( 𝑄 thời gian hồi phục hay khoảng thời gian trung bình lần va chạm ) → Xác suất xảy va chạm điện tử dt dt/𝑄 ❖ Thời gian hồi phục 𝑄 không phụ thuộc vào vị trí vận tốc điện tử d) Các điện tử đạt trạng thái cân với môi trường xung quanh thông qua va chạm nhiệt Ngay sau va chạm, điện tử nhận vận tốc không liên hệ với vận tốc trước va chạm có tính định hướng ngẫu nhiên Câu 12:Độ dẫn điện kim loại, liên hệ vec-tơ mật độ dịng điện vận tốc trơi, định luật Ohm: 12.1 Độ dẫn điện kim loại: ⃗ cường độ dòng điện trường ⃗𝑄 ⃗ ➢ Độ dẫn điện số tỉ lệ mật độ dòng điện ⃗𝑄 ⃗ = 𝑄𝑄 ⃗⃗ điểm khảo sát kim loại: ⃗𝑄 [1] ➢ Mặt khác ta có mối liên hệ mật độ dịng điện với vận tốc có hướng trung bình ⃗ (vận tốc trơi): ⃗𝑄 ⃗ = - ne ⃗𝑄 ⃗ điện tử ⃗𝑄 [2] ( đó, dấu (-) cho biết chiều chuyển động điện tử ngược chiều dòng điện ) 12.2 Liên hệ: Xét điện tử gia tốc điện trường ngồi ⃗⃗ có biểu thức 𝑄 ⃗⃗ = -e𝑄 ⃗⃗ 𝑄 /m => vào [2], ta đc: 𝑄 ⃗⃗ = -ne2𝑄 ⃗⃗ 𝑄 /m ➢ Vận tốc trôi 𝑄 Page VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ➢ so sánh biểu thức với [1], ta có biểu thức độ dẫn điện :𝑄 = 𝑄𝑄2 𝑄 𝑄 ⇨ độ dẫn điện tỉ lệ thuận với mật độ điện tử tỉ lệ nghịch với khối lượng Ngồi ra, độ dẫn điện cịn tỉ lệ thuận với 𝑄 (𝑄 lớn điện tử gia tốc lâu có vận tốc trơi lớn) Câu 13 : Giải thích độ dẫn điện kim loại theo quan điểm lượng tử: ➢ Giữa lần va chạm liên tiếp, electron dịch chuyển khoảng lớn 20 lần so với khoảng cách nguyên tử=> Điều lớn so với dự đoán va chạm electron với ion mạng => Nghịch lý đc giải thích thuyết lượng tử xem electron đc biểu diễn dạng hàm sóng ➢ Cụ thể: sóng truyền qua mạng đối xứng tuần hồn, tiếp tục đc truyền ko giới hạn tán xạ nguyên tử vừa hấp thu lượng từ sóng, vừa xạ ngược lại, phương lẫn cường độ sóng truyền có thay đổi ➢ Như vậy, ion tạo thành mạng hoàn chỉnh => thời gian lần va chạm liên tiếp 𝑄 = ∞ => dẫn điện ko giới hạn ➢ Độ dẫn điện kim loại biến thiên theo nhiệt độ Biểu diễn độ biến thiên thông qua quan hệ điện trở suất 𝑄 với nhiệt độ mơ hình Drude: 𝑄 𝑄 = 𝑄−1 = 𝑄𝑄2 𝑄 Câu 14 : Nguồn gốc thời gian va chạm: ➢ Tính hữu hạn độ dẫn điện có nguồn gốc từ khơng hồn hảo tính tuần hồn mạng tinh thể Điều xảy do: ● Dao động nhiệt ion ● Tạp chất hay khuyết tập mạng tinh thể ➢ Xác suất tổng để xảy va chạm điện tử đơn vị thời gian = tổng xác suất tán xạ phonon khuyết tật ● Do hai chế giả sử độc lập với nhau, ta có: 𝑄 = 𝑄𝑄 + 𝑄𝑄𝑄 [1] ( Trong đó: 𝑄𝑄 khuyết tật ; 𝑄𝑄𝑄 phonon) →sự tán xạ khuyết tật không phụ thuộc vào nhiệt độ, tán xạ phonon phụ thuộc vào nhiệt độ số phonon tăng theo nhiệt độ Page 10 VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ● Thế [1] vào 𝑄 = 𝑄 𝑄𝑄 𝑄 ta có 𝑄 = 𝑄𝑄 + 𝑄𝑄𝑄 = 𝑄 𝑄𝑄 𝑄𝑄 + 𝑄 𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄 ( Trong đó, số hạng 𝑄𝑄 khơng phụ thuộc vào nhiệt độ gọi điện trở suất dư; số hạng 𝑄𝑄𝑄 phụ thuộc vào nhiệt độ gọi điện trở suất mạng ) ➢ Ở nhiệt độ thấp, tán xạ phonon không đáng kể biên độ dao động nhỏ 𝑄𝑄𝑄 → ∞, 𝑄𝑄𝑄 → => 𝑄 = 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 ➢ Khi nhiệt độ tăng,tán xạ phonon trở nên đáng kể 𝑄𝑄𝑄 tăng làm 𝑄 tăng.Khi nhiệt độ đủ lớn tán xạ ,tán xạ phonon trội tỉ lệ với 𝑄𝑄𝑄 Việc 𝑄á𝑄𝑄 𝑄 thành hai phần gọi quy tắc Mathiessen Câu 15: Độ dẫn nhiệt định luật Wiedemann-Franz 15.1 Độ dẫn nhiệt: ➢ Trong chất cách điện, nhiệt mang hoàn toàn phonon, kim loại nhiệt vận chuyển điện tử phonon, tương ứng với Ke Kph => Độ dẫn nhiệt K = tổng phần: K = Ke+ Kph ➢ Trong phần lớn kim loại phần đóng góp điện tử lớn nhiều phần đóng góp phonon mật độ điện tử lớn ➢ Từ K = CeℓvFℓ/3 ( với Ceℓ: nhiệt dung e đơn vị thể tích; v: Vận tốc Fermi ; ℓ : quãng đường tự trung bình mức lượng Fermi ), ta đc: 𝑄2 K= ( 𝑄 ➢ Với 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄 𝑄à 𝑄𝑄 𝑄 𝑄𝑄 𝑄 𝑄𝑄 )𝑄𝑄 𝑄 = 𝑄 ,ta đơn giản phương trình thành K = 𝑄2 𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄 3𝑄 15.2 Định luật W-F: ➢ Từ biểu thức độ dẫn điện 𝑄 = 𝑄 𝑄 = 𝑄𝑄𝑄 ( ) 𝑄 𝑄 𝑄𝑄2 𝑄 3𝑄 ,ta tìm đc: = 𝑄𝑄 => Công thức Wiedemann-Franz Hằng số tỉ lệ L gọi số Lorentz, không phụ thuộc vào kim loại 2,45.10-18 ( WΩ/𝑄2 ) ➢ Phát biểu định luật W-F: Tỉ số độ dẫn điện độ dẫn nhiệt tỉ lệ thuận với nhiệt độ Câu 16: Cộng hưởng Cyclotron: Page 11 VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ➢ Nếu kim loại đặt từ trường ngoài,điện tử chịu tác dụng lực Lorenz ⃗⃗ + ( ⃗⃗𝑄 × 𝑄 ⃗⃗ )] F = - e[𝑄 ➢ Nếu từ trường hướng dọc theo trục z ta có thành phần cơng thức 𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄 = −𝑄𝑄 𝑄𝑄 ; 𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄 𝑄𝑄 với 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄 𝑄 tần số Cyclotron →Vậy từ trường làm cho điện tử chuyển động ngược chiều kim đồng hồ mặt phẳng vuông góc với trục ⃗⃗ Xét sóng điện từ truyền qua sóng phẳng theo phương song song với 𝑄 ➢ Điện trường sóng điện từ tác dụng lên điện tử phần lượng sóng bị hấp thụ Độ hấp thụ lớn tần số sóng dừng tần số Cyclotron => cộng hưởng Cycloron ➢ Cộng hưởng Cyclotron thường dùng để đo khối lượng điện tử bán dẫn kim loại Câu 17: Hiệu ứng Hall ➢ Xét dòng điện có mật độ Jx chạy dây dẫn theo phương x từ trường Bz ⊥ với dây dẫn theo hướng phương z.Ta nhận thấy xuất điện trường ⊥ với Jx Bz ,tức hướng trục y Hiện tượng gọi hiệu ứng Hall ➢ Dưới tác dụng lực Lorentz, điện tử có quỹ đạo bị bẻ cong ⇨ Tất điện tử tập trung nhiều mặt dưới, tạo điện tích (-) đó; đồng thời xuất điện tích (+) mặt thiếu điện tử.Các đtich (+) (-) mặt tạo điện trường hướng xuống EH gọi điện trường Hall EH = Ey = −1 𝑄𝑄 𝑄𝑄 𝑄𝑄 Với số tỉ lệ RH = -1/ne gọi số Hall phụ thuộc vào hạt mang điện Page 12 VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ➢ Ta xác định mật độ hạt mang điện cách đo mật độ điện trường Hall.Từ kết ta đánh giá số điện tử hóa trị tham gia vào q trình dẫn điện vật liệu Câu 18: Phép gần điện tử độc lập (không tương tác).Bloch electron ➢ Ta khảo sát mơ hình điện tử gần tự chuyển động trường tuần hoàn đc ⃗⃗ ) = U(𝑄 ⃗⃗ + 𝑄 ⃗⃗ ) với 𝑄 ⃗⃗ vecto mạng thuận tạo bới ion dương: U(𝑄 ➢ Trong phép gần điện tử không tương tác, tính chất điện tử chất rắn ћ2 mơ tả phương trình sóng Schrodinger :[− 2𝑄 𝑄2 + 𝑄(⃗⃗⃗𝑄)]𝑄(⃗⃗⃗𝑄) = 𝑄𝑄(⃗⃗⃗𝑄) ⃗⃗ ) hàm sóng điện tử với 𝑄(𝑄 ⇨ Các điện tử độc lập tuân theo phương trình gọi điện tử Bloch Câu19: Các tính chất nghiệm phương trình Schrodinger tính đến tuần hồn năng: điều kiện biên tuần hoàn,dạng khai triển Fourier năng,hệ phương trình liên kết, định lý Bloch ⃗⃗ ) = ➢ Ta biểu diễn nghiệm phương trình theo dạng sóng phẳng: 𝑄(𝑄 ➢ Tổng thực theo vecto k phép với điều kiện biên tuần hoàn 𝑄(𝑄, 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄 + 𝑄, 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄, 𝑄 + 𝑄, 𝑄) = 𝑄(𝑄, 𝑄, 𝑄 + 𝑄) 𝑄à 𝑄𝑄 = 2𝑄𝑄𝑄 2𝑄𝑄𝑄 2𝑄𝑄𝑄 ; 𝑄𝑄 = ; 𝑄𝑄 = 𝑄ớ𝑄 𝑄𝑄 , 𝑄𝑄 , 𝑄𝑄 𝑄à 𝑄á𝑄 𝑄ố 𝑄𝑄𝑄𝑄ê𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 ➢ Thế tuần hoàn bất biến phép tịnh tiến tinh thể → phép khai triển sóng phẳng chứa sóng phẳng với tính tuần hồn mạng → cịn lại vecto mạng đảo phép khai triển Fourier năng: Fourier tương ứng với ➢ Thế , , : số hạt với Vc thể tích đơn vị biểu diễn tuần hoàn ➢ Ta có hệ pt tuyến tính (cách biểu diễn khác) hệ số 𝑄⃗𝑄 ⇨ Hệ pt pt Schrodinger không gian động lượng đơn giản hóa dựa tính chất tuần hồn Nhận xét: Page 13 VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ⃗ , hệ phương trình liên kết với hệ số mà vecto sóng ❖ Với giá trị vecto 𝑄 chúng khác vecto ⃗𝑄 lượng vecto mạng đảo ❖ Ta giả sử vecto ⃗𝑄 thuộc vùng Brillouin thứ nhất.Bài toán tách ⃗ thành toán N(là số nguyên tử mạng) giá trị xét vecto 𝑄 vùng Brillouin xét ⃗⃗ ❖ Mỗi toán có nghiệm tổ hợp sóng phẳng chứa vecto sóng 𝑄 mạng đảo ta đưa vào số k hàm sóng Khi đó: => định lí Bloch, với hàm tuần hoàn định nghĩa Câu 20: Các hệ rút từ định lý Bloch: a) Khái niệm động lượng tinh thể: ⃗ có vai trị quan trọng trường tuần hoàn ➢ Định lý Bloch đưa vào sóng ⃗𝑄 ⃗ điện tử tự do.Mặt dù vecto sóng điện tử tự ⃗𝑄 ⃗ = ⃗𝑄 ⃗ /ћ ( tương tự, vecto sóng ⃗𝑄 ⃗ động lượng điện tử ), trường hợp Bloch, ⃗𝑄 ⃗ không tỉ lê thuận với động với ⃗𝑄 lượng điện tử ⃗⃗ dạng mở rộng tự nhiên vecto P ➢ Tuy nhiên nhiều trường hợp, ћ𝑄 trường hợp tuần hồn.Nó gọi động lượng tinh thể điện tử hay quasimomentum b) Các sơ đồ vùng lượng điện tử: ⃗ xuất định lý Bloch bị giới hạn vùng Brillouin thứ ➢ Vecto sóng ⃗𝑄 ⃗ ′ khơng nằm vùng Brillouin thứ nhất, đc viết qua: Điều vecto ⃗𝑄 ⃗⃗ ’=𝑄 ⃗⃗ +𝑄 ⃗⃗ với G là vecto mạng đảo 𝑄 ➢ Năng lượng E điện tử tự phụ thuộc vào k biểu diễn dạng đường parabol(H.1) ➢ H.2 trình bày kết phép tịnh tiến Các đoạn đường parabol H.1 bị cắt biên vùng bị tịnh tiến lượng bội số lần G = 2𝑄/a để đảm bảo lượng hai điểm tương đương H.3 dạng phổ lượng giới hạn vùng Brillouin thứ Page 14 VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ H.1 H.2 Sơ đồ khai triển vùng Sơ đồ tuần hoàn vùng H.3 Sơ đồ thu gọn vùng ● Tất cách biểu diễn tương đương ,viêc sử dụng cách biểu diễn tùy vào thuận tiện c) Các vùng lượng chất rắn: ➢ Ta có pt trị riêng Schrodinger: ⃗⃗ )𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄 ⃗⃗ ) = [− 𝑄(𝑄 ћ2 2𝑄 ⃗⃗ + 𝑄) + 𝑄(𝑄 ⃗⃗ )]𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄 ⃗⃗ ) = 𝑄(𝑄 ⃗⃗ )𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄 ⃗⃗ ) (𝑄𝑄 [1] ⃗ ) = 𝑄⃗𝑄⃗ (𝑄 ⃗⃗ + ⃗𝑄 ⃗) Với điều kiện riêng 𝑄⃗𝑄⃗ (⃗𝑄 ➢ Do điều kiện riêng tuần hồn ta xem [1] toán trị riêng giới hạn ô sở tinh thể Ta có họ vơ hạn nghiệm với trị riêng rời rạc đánh ⃗ ) cho biết giá trị n vecto ⃗𝑄 ⃗ ,đặc số số vùng n => Hàm Bloch 𝑄𝑄𝑄⃗⃗ (⃗𝑄 trưng cho trạng thái điện tử hay quỹ đạo với lượng En(k) ⃗ xác định thay đổi liên tục vecto ⃗𝑄 ⃗ thay đổi ➢ Mỗi mức lượng vecto ⃗𝑄 => mô tả đc mức điện tử trường tuần hoàn dạng họ hàm liên tục En(k) ➢ Đối với giá trị n, tập hợp mức điện tử đặc trưng En(k) gọi vùng ⃗ gọi vùng lượng.Thông tin chứa hàm giá trị n vecto ⃗𝑄 lượng chất rắn d) Số trạng thái vùng: ➢ Số quỹ đạo vùng giới hạn vùng Brillouin thứ số ô đơn vị N tinh thể ➢ Xét trường hợp chiều Page 15 VẬT LÝ CHẤT RẮN ÔN TẬP CUỐI KÌ ● Các giá trị cho phép k tạo thành lưới cách khoảng 2𝑄/𝑄.Số trạng thái vùng có chiều dài 2𝑄/a L/a =N (số ô đơn vị) ● Lập luận tương tự cho mạng chiều ➢ Mỗi vùng có N trạng thái bên vùng Brillouin thứ Theo nguyên lý loại trừ Pauli, trạng thái chứa tối đa hai điện tử Vậy số tối đa điện tử chiếm vùng 2N e) Vận tốc trung bình điện tử vùng thứ n: ⃗⃗ có vận tóc trung bình khác ➢ Điện tử mức mức số vùng n vecto 𝑄 ⃗ ) = dEn(𝑄 ⃗⃗ ) / (ħd𝑄 ⃗⃗ ) 0: 𝑄𝑄 (⃗𝑄 ➢ Ta chứng minh : 𝑄ћ ̂ = (− )𝑄 toán tử vecto vận tốc ⟨𝑄𝑄 ⟩ = ⟨𝑄𝑄 ⟩ = ⟨𝑄𝑄 ⟩ ⃗⃗⃗𝑄 𝑄 ➢ Vậy có nút tĩnh điện tử trường tuần hồn cho chuyển động mãi khơng bị suy giảm vận tốc trung bình.Điều tương phản với mơ hình Drude va chạm điện tử với ion tịnh tiến Câu 21: Giải toán trường hợp thé yếu sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, trường hợp khoảng cách vùng lượng lớn ћ ➢ Khi nghiệm phương trình(2𝑄 𝑄2 − 𝑄)𝑄⃗⃗𝑄 + ∑𝑄 𝑄𝑄 𝑄⃗⃗𝑄−𝑄⃗⃗ =0 sóng phẳng có ⃗⃗ )=ћ2k2/2m Trị riêng E0(𝑄 ⃗)= Hàm sóng 𝑄⃗𝑄⃗ (⃗𝑄 √𝑄𝑄 ⃗⃗ ⃗𝑄 ⃗ ) chuẩn hóa thể tích đơn vị Vc exp(𝑄𝑄 ⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗𝑄)| ≫ 𝑄 với ⃗𝑄 ⃗ ≠ ➢ Điều kiện để sử dụng lý thuyết nhiễu loạn |𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄0 (𝑄 0.Theo lý thuyết nhiễu loạn, lượng: 0 ⃗ ) = 𝑄 (⃗𝑄 ⃗ ) + ⟨𝑄𝑄 ⟩ + ∑ 𝑄(⃗𝑄 𝑄≠0 Trong phương trình này: Page 16 |⟨𝑄𝑄−𝑄 ⟩| ⃗ )− 𝑄0 (⃗𝑄 ⃗ − ⃗𝑄 ⃗) 𝑄0 (⃗𝑄 VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ● Số hạng thứ giá trị bị nhiễu loạn lượng điện tử tự ⃗⃗ ) ● Số hạng thứ giá trị trung bình mơ tả hàm sóng 𝑄𝑄 (𝑄 𝑄 ⟨𝑄𝑄 ⟩ = 𝑄 ∫𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄 𝑄(⃗⃗⃗𝑄)𝑄𝑄 → số hạng số không phụ thuộc vào k → ta đặt để đơn giản ● Số hạng thứ viết lại biểu thức ⟨𝑄𝑄−𝑄 ⟩= 𝑄 ∫ 𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )𝑄𝑄(𝑄−𝑄)𝑄 𝑄𝑄 = 𝑄−𝑄𝑄 𝑄 𝑄(𝑄 𝑄 ∫ 𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )𝑄𝑄 = 𝑄⃗𝑄⃗ 𝑄−𝑄𝑄 𝑄 𝑄(𝑄 ⇨ Cuối biểu thức lượng ⃗ ) = 𝑄0 (⃗𝑄 ⃗ )+∑𝑄≠0 𝑄(⃗𝑄 |𝑄𝑄 |2 ⃗⃗ ⃗ −𝑄 ⃗⃗ ) 𝑄 (𝑄)− 𝑄0 (⃗𝑄 Câu 22: Bài toán tương tác yếu, trường hợp khoảng cách vùng lượng nhỏ.Sự xuất vùng cấm Lý thuyết nhiễu loạn khơng cịn trường hơp xem nhiễu loạn nhỏ.Điều xảy độ lớn khoảng cách vùng: ⃗ )− 𝑄0 (⃗𝑄 ⃗ − ⃗𝑄 ⃗)≪𝑄 𝑄0 (⃗𝑄 [1] Trong trường hợp ta phải đưa mức phương trình Schrodinger giải cách tường minh ➢ Tồn điểm vecto k mà mức lượng trở lên suy biến thỏa pt [1] đối ⃗⃗ ta có𝑄0 (𝑄 ⃗⃗ ) = 𝑄0 (𝑄 ⃗⃗ − 𝑄 ⃗⃗ ) với giá trị năng.Đối với điểm vecto 𝑄 ⃗⃗ phải có đầu mút nằm mặt phẳng trung trực => |⃗⃗⃗𝑄| = |⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗⃗𝑄| : cho thấy vecto 𝑄 ⃗⃗ điểm mạng đảo đặc trưng vecto 𝑄 ⃗⃗ đường nối góc khơng gian vecto 𝑄 ➢ Vậy yếu có hiệu ứng mức lượng điện tử tự có vecto sóng gần với giá trị mà đó, phản xạ Bragg xảy ћ ➢ Xét phương trình: (2𝑄 𝑄2 − 𝑄)𝑄⃗⃗𝑄 + ∑𝑄 𝑄𝑄 𝑄⃗⃗𝑄−𝑄⃗⃗ = hai mức:một mức tương ứng với ⃗𝑄 ⃗ − ⃗𝑄 ⃗ ⃗ nằm gần mặt phẳng Bragg, ta có hệ: ➢ Giả sử ⃗𝑄 (𝑄 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)𝑄𝑄 + 𝑄𝑄 𝑄𝑄−𝑄 = 0 (𝑄 (⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)𝑄𝑄−𝑄 + 𝑄−𝑄 𝑄𝑄 = Page 17 VẬT LÝ CHẤT RẮN ƠN TẬP CUỐI KÌ ➢ Hệ phương trình có nghiệm định thức = dẫn đến pt sau (𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄)(𝑄0 (⃗⃗⃗𝑄 − ⃗⃗⃗𝑄) − 𝑄) − |𝑄 |2 = có hai nghiệm => từ đó, ta nhận đc: E =E0(⃗⃗⃗𝑄) ± |𝑄 | 𝑄 𝑄 ⇨ Vậy điểm Bragg mức bị tăng lên lượng |𝑄𝑄 | mức giảm lượng giống Có nghĩa không tồn trạng thái khoảng hai mức này.Điều dẫn đến hình thành vùng cấm Độ lớn vùng cấm hai lần UG Câu 23:Phân loại kim loại chất cách điện Có thể xác định kim loại chất cách điện cách xét số điện tử hóa trị ➢ Một tinh thể chất cách điện số lượng điện tử hóa trị sở tinh thể số nguyên chẵn Điều có đc nhóm chứa electron sở.( VD: Carbon có hai nguyên tử hóa trị bốn => có điện tử hóa trị ô sở Năng lượng vùng cấm Carbon vào khoảng 7eV nên chất cách điện tốt ) ➢ Tuy nhiên, tinh thể có số chẵn điện tử hóa trị sở, khơng thiết phải chất cách điện Nếu dãy lượng chồng lên nhau, thay nhận đc chất cách điện từ dãy lấp đầy, ta nhận đc kim loại từ dải lấp đầy độc lập (Vd: Mg Zn nguyên tử hóa trị II, có điện tử hóa trị chúng ko phải chất cách điện mà kim loại, độ dẫn điện chúng nhỏ) Page 18 ... ý: biểu thức với chất rắn đẳng hướng ấy,tần số dao động