Tối ưu hóa Bách Khoa Hồ Chí Minh

MƠ HÌNH – MƠ PHỎNG – TỐI ƯU HĨA Phần 3: TỐI ƯU HĨA Tiếp cận tốn tối ưu  Các thành phần toán tối ưu  Thủ tục xây dựng giải toán tối ưu  Các lớp toán tối ưu thường gặp  Các phương pháp giải toán tối ưu 1.Bài tốn tối ưu hóa tổng qt 1.1 Phát biểu Tìm trạng thái tối ưu hóa hệ thống bị ràng buộc cho đạt mục tiêu mong muốn 1.2 Các yếu tố toán tối ưu hóa Một tốn tối ưu hóa có ba yếu tố sau: * Trạng thái: mô tả trạng thái hệ thống cần tối ưu hóa * Mục tiêu: Đặc trưng cho tiêu chuẩn hiệu mong muốn (chỉ phí nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất, gia tốc nhỏ nhất….) * Ràng buộc: Thể điều kiện kinh tế, kỹ thuật… mà hệ thống phải thỏa mãn Phân loại toán tối ưu Quy hoạch tuyến tính (tối ưu tuyến tính): hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm tuyến tính Miền chấp nhận tập lồi đa diện Hệ thống trạng thái tĩnh có biến trạng thái là: T X   X , X X n  (1) Mục tiêu diễn đạt hàm mục tiêu có dạng tuyến tính: Z  C X ; C  C1,C2 Cn  T (2) Các ràng buộc (giới hạn) diễn đạt phương trình, phương trình tuyến tính: A.x =b: A.x ≤ b T A   aij  , i  m : j  , n; b  b1 , b2 , bn  (3) Phân loại tốn tối ưu Bài tốn: Tìm trạng thái tối ưu trạng thái (1) với ràng buộc (3) cho hàm mục tiêu (2) đạt giá trị nhỏ (min) giá trị lớn (max) Phân loại toán tối ưu Quy hoạch phi tuyến (tối ưu phi tuyến): tối thiểu có hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm phi tuyến Tối ưu phi tuyến bao gồm: tối ưu trơn (hàm mục tiêu ràng buộc trơn); tối ưu lồi (hàm mục tiêu ràng buộc hàm lồi); tối ưu không lồi (hàm mục tiêu miền chấp nhận không lồi) Tối ưu rời rạc hay tối ưu tổ hợp: miền chấp nhận tập rời rạc Trường hợp biến số nhận giá trị nguyên toán quy hoạch nguyên Phân loại toán tối ưu Tối ưu đa mục tiêu: mục tiêu gồm nhiều hàm khơng hòa hợp Tối ưu đa mục tiêu chia thành nhiều tốn khác tùy theo tính chất hàm mục tiêu ràng buộc Quy hoach ngẫu nhiên: toán tối ưu mà tham số khơng có giá trị xác định mà mơ tả tham số xác suất Phân loại toán tối ưu Quy hoạch động: tốn tối ưu mà đối tượng xét chia nhiều giai đoạn trình phát triển theo thời gian Hệ thống trạng thái tĩnh trạng thái động Biến trạng thái Z(x) với x biến độc lập Mục tiêu diễn đạt phiếm hàm mục tiêu: x1 J ( z )   L  z , z , x dx x0 T T z   z1 ( x), z2 ( x), zn ( x)  ; z   z ( x), z ( x), , z ( x)  : zi' ( x)  dzi dx ' ' ' ' n Ràng buộc hàm phi tuyến , phương tình đại số phương trình vi phân Phân loại toán tối ưu Bài toán điều khiển tối ưu * Đối với hệ liên tục: Hệ thống trạng thái động, trạng thái mô tả hệ phương trình vi phân: x  f (t , x, u ) ;    T    x   x1 , x , , x n  ;   • Mục tiêu có dạng phiếm hàm: t1  J (u )   L(t , x, x, u )dt t2 Phân loại toán tối ưu Đối với hệ rời rạc Hệ thống trạng thái động, trạng thái mô tả phương trình: xk 1  f ( xk , uk ); x(0)  x0 , x( N , T0 )  xN  X Mục tiêu có dạng: N 1 J (u )   f ( xk , uk )  ; uk   •Bài tốn đặt ra: k 0 Cần phải tìm điều khiểm tối ưu u* trạng thái tối ưu x* để hệ thống chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối cho mục tiêu J(u) đạt max Thuật toán giải toán max Bước lặp thứ (bảng đơn hình thứ nhất) 1) Lập bảng đơn hình xuất phát Vẽ bảng đơn hình ghi vào thành phần sau tốn dạng chuẩn · Dòng Ghi ẩn toán (kể ẩn phụ) · Dòng Ghi hệ số ẩn hàm mục tiêu · Cột Ghi ẩn toán theo thứ tự từ ẩn thứ đến ẩn cuối cùng, ta gọi cột cột ẩn · Cột 1: Ghi tương ứng hệ số ẩn hàm mục tiêu, ta gọi cột cột hệ số · Cột Ghi số hạng tự hệ ràng buộc theo thứ tự từ xuống dưới, ta gọi cột cột phương án · Cột Ghi ma trận điều kiện A tốn Tính hệ số ước lượng Δj ẩn xj( j=1,2, ,n) ghi tương ứng vào dòng cột 4, với Δ j tính theo cơng thức sau: Δj = (cot1)x(Aj) -(hsxj) ( hsxj : hệ số ẩn xj hàm mục tiêu) Chú ý Nếu xj ẩn Δj=0 Tính trị số fo = (cot1)x(cot 3) ghi cột Thuật toán giải toán max 2) Xác định phương án xuất phát Với bảng đơn hình vừa lập phương án xuất phát xo toán xác định sau: Cho ẩn cột nhận giá trị tương ứng cột 3, ẩn lại nhận giá trị Trị số hàm mục tiêu phương án xuất phát xo f(xo)=fo Thuật toán giải toán max 3) Đánh giá tính tối ưu phương án xuất phát ·Dấu hiệu tối ưu Nếu hệ số ước lượng ẩn không âm, Δj≥0, với j phương án xuất phát x0 phương án tối ưu toán Thuật tốn kết thúc với kết luận: Bài tốn có PATU x0 GTTU f (x0 ) Thuật tốn giải tốn max 3) Đánh giá tính tối ưu phương án xuất phát · Dấu hiệu tốn khơng có PATU Nếu có ẩn khơng xk có hệ số ước lượng âm cột điều kiện Ak ẩn có thành phần không dương, Δk