Bài giảng Bài toán Đối ngẫu Bách Khoa Hồ Chí Minh

MƠ HÌNH – MƠ PHỎNG – TỐI ƯU HĨA BÀI TỐN ĐỐI NGẪU Định nghĩa Cho (P) tốn QHTT có dạng tắc sau: f(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn →max (min) a11x1 + a12x2 +… a1nxn =b1 a21x1 + a22x2 +… a2nxn =b2 ………… am1x1 + am2x2 +… amnxn =bm xj≥0, j=1,2,…n Từ toán (P) ta lập toán QHTT (D) sau ta gọi toán (D) toán đối ngẫu toán (P) f(y) = b1y1 + b2y2 + … + bnyn →min (max) a11y1 + a21y2 +… am1ym ≥ (≤)c1 a12y1 + a22y2 +… am2ym ≥ (≤) c2 ………… a1ny1 + a2ny2 +… amnym ≥ (≤) cn Định nghĩa Chú ý Bài toán (D) lập từ toán (P) theo nguyên tắc sau Số ẩn toán (D) số ràng buộc tốn (P) số ràng buộc chínhcủa toán (D) số ẩn toán (P) Hệ số ẩn yi hàm mục tiêu toán (D) số hạng tự bi hệ ràng buộc tốn (P) Các hệ số ẩn hệ số tự ràng buộc thứ j tốn (D) hệ số tương ứng ẩn xj hệ ràng buộc hàm mục tiêu toán (P) Nếu (P) toán max (D) tốn hệ ràng buộc tốn (D)là hệ bất phương trình với dấu ≥ Nếu (P) tốn (D) tốn max hệ ràng buộc tốn (D) hệ bất phương trình với dấu ≤ Các ẩn toán (D) có dấu tùy ý Cách lập toán đối ngẫu Bài toán đối ngẫu lập trực quy tắc sau, gọi quy tắc đối ngẫu Cách lập toán đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu • Trong cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D) định nghĩa ta có n cặp ràng buộc đối ngẫu sau Trường hợp f(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn →max xj ≥ 0, ↔ a1jy1 + a2jy2 + … + amjym ≥ cj, j=1,2, n Trường hợp f(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn → xj ≥ 0, ↔ a1jy1 + a2jy2 + … + amjym ≤ cj, j=1,2, n Cặp ràng buộc đối ngẫu • Tìm tốn đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu toán QHTT sau: Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải a) Bài tốn đối ngẫu Hệ ràng buộc tốn (P) có bất phương trình tốn (P) có điều kiện dấu ẩn số nên cặp toán đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải a) Bài toán đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải b) Bài toán đối ngẫu Hệ ràng buộc tốn (P) có hai bất phương trình tốn (P) có ba điều kiện dấu ẩn số nên cặp tốn đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu sau: Định lý đối ngẫu b Bài toán đối ngẫu Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có hệ phương trình tối ưu sau Giải hệ phương trình ta PATU: y = (0, 1, 0) g(y) = 18 Ví dụ Cho tốn quy hoạch tuyến tính sau a Giải toán b Lập toán đối ngẫu tốn giải tốn đối ngẫu Ví dụ a Đưa tốn dạng chuẩn Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình Ví dụ PATU: x = (0, 8, 0, 2), f(x) = 18 Ví dụ b Bài toán đối ngẫu Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có hệ phương trình tối ưu sau: Giải hệ phương trình ta PATU: y = (0, 0, 3/2) g(y) = 18 Ví dụ Ví dụ Cho tốn quy hoạch tuyến tính sau a Hãy giải tốn phương pháp đơn hình b Hãy lập toán đối ngẫu toán tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu Ví dụ Giải a Thêm vào toán ẩn phụ x6 đổi dấu ràng buộc thứ ba, ta tốn: Ma trận điều kiện Thêm vào toán hai ẩn giả x7 ,x8 tốn mở rộng Ví dụ Ví dụ Ví dụ hệ số ước lượng ẩn khơng âm nên tốn mở rộng có nghiệm là: xo = (0,0,16,39,0,65,0,0); fo = -25 Trong PATU toán mở rộng ẩn giả nhận giá trị nên toán cho giải có nghiệm sau: xo = (0,0,16,39,0,65,0,0); fo= -25 Ví dụ b) Bài tốn đối ngẫu với toán cho là: Do toán cho có PATU xo = (0,0,16,39,0,65,0,0) nên ta có hệ phương trình tối ưu sau: Vậy tốn đối ngẫu có PATU yo = (3,-5,0) GTTU là: g(yo) = -25 Bài tập Bài tập Bài tập Bài tập ... dấu tùy ý 2 Cách lập toán đối ngẫu Bài toán đối ngẫu lập trực quy tắc sau, gọi quy tắc đối ngẫu Cách lập toán đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu • Trong cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D) định nghĩa... kiện dấu ẩn số nên cặp tốn đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải a) Bài toán đối ngẫu Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải b) Bài toán đối ngẫu Hệ ràng buộc tốn (P) có... điều kiện dấu ẩn số nên cặp toán đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu sau: Cặp ràng buộc đối ngẫu Giải b) Bài toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu Định lý đối ngẫu • Định lý độ lệch bù yếu