Chuyên đề toán 7

Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ TOÁN Lý thuyết Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c  b d a c  suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta tỷ lệ thức: a c a b d c d b  ,  ,  ,  b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b  suy tỷ lệ thức:  ,  ,  b d c d b a c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a ac ac a c  suy tỷ lệ thức sau:   , (b ≠ ± d) b bd bd b d a c i   suy tỷ lệ thức sau: b d j Tính chất 2: a cci aci   , (b, d, j ≠ 0) b bd  j bd  j Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức ta có: a b c   Thực tế năm trước chưa trọng việc rèn kỹ theo đề tài học sinh gặp nhiều sai sót trình giải tốn Ví dụ em hay sai trình bày lời giải , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ: x y x y  ()  em lại dung dấu sai d 5.3 7.3 Hãy tìm x, y, z biết Giải: x y z   x – z = x y z x xz   ()     x  5.7 S 54 Ở em dùng dấu suy sai Hay biến đổi tỷ lệ thức chậm chạp Hiện sai sót gặp Các em giải dạng tốn tương đối thành thạo tơi phân chia thành dạng toán nhỏ Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Tốn chứng minh đẳng thức Tốn tìm x, y, z, Toán đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải tập đa dạng áp dụng tính chất tỷ lệ thức em nắm chắn tính chất tỷ lệ thức Biến đổi từ tỷ lệ thức tỷ lệ thức linh hoạt III./ BÀI TẬP CỤ THỂ A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu ab cd a c    với a, b, c, d ≠ a b c d b d Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c ab cd   1  1   b d b d b d ab b  (1) cd d  a c a b c d a b b      (2) b d b d cd d Từ (1) (2) => Bài 2: Nếu a b a b ab cd    (ĐPCM) cd cd a b c d a c  thì: b d a, 5a  3b 5c  3d  5a  3b 5c  3d b, a  3ab 7c  3cd  11a  8b 11c  8d Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý cho giải 2? a Từ a c a b 5a 3b 5a 5c 5a  3b 5c  3d          (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a  3b 5c  3d Gia sư dạy kèm b https://giasudaykem.com.vn a c a b a b ab 7a 8b 3ab 11a           b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a  3ab 11a  8b  (đpcm) 7c  3cd 11c  8d Bài 3: CMR: Nếu a  bc ab ca  điều đảo lại có hay khơng? a b c a a c b a Giải: + Ta có: a  bc    a b a b ab ca   ca ca a b c a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: ab ca    a  b  c  a    a  b  c  a  a b c a Ta có: ac  a  bc  ab  ac  a  bc  ab  2bc  a  a  bc Bài 4: Cho Giải: ac a  c a c   CMR bd b  d b d a c ac a c a  c ac a  c        (đpcm) b d bd b d b  d2 bd b  d a c a b  a  b4 Bài 5: CMR: Nếu     4 b d cd  c d Giải: a c a b a b a4  a  b  Ta có:        1 b d c d cd c cd  Từ a b a b4 a  b4      2 c d c d c  d4 a b  a  b4 Từ (1) (2)   (đpcm)   4 cd  c d Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 Giải: a c  b d Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Ta có: a  c  2b   a  c  d  2bd  3 Từ (3) (2)   c b  d    a  c  d  cb  cd  ad  cd a c  (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b  ac; c  bd b3  c3  d  CM: a  b3  c a  b3  c  d d a b b c Giải: + Ta có b  ac   1 b c c d + Ta có c  bd     + Từ (1) (2) ta có a b c a b3 c a  b3  c      3 3  3 b c d b c d b  c  d3 a b c a3 a b c a   4 Mặt khác:     b c d b bcd d Từ (3) (4)  a  b3  c a  b3  c  d d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong a ; b ; c số khác khác thì: yz zx x y     a b  c  b c  a  c  a  b  Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các số (1) cho abc ta có: a  y+z  b  z  x c  x  y y+z zx x y       2 abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào? Từ (2)  y+z  x  y    z  x   y  z    x  y   z  x    y  z     bc ab  ac bc  ab ac  bc y-z z-x x-y   (đpcm) a b  c  b c  a  c  a  b  Gia sư dạy kèm Bài 9: Cho https://giasudaykem.com.vn bz-cy cx-az ay-bx   1 a b c CMR: x y z   a b c Giải: Nhân thêm tử mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx     0 a a2 b2 c2 a  b2  c2  bz-cy =  bz = cy  x y = c b  ay-bx =  ay = bx  x a Từ (2) (3)   Bài 10 Biết  2 x y   3 a b y z  (đpcm) b c a b' b c'    1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = Giải: Từ a b'    ab  a ' b '  11 a' b Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) Ta có: b c'    bc  b ' c '  b ' c(2) b' c Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng hai vế (3) (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm) B Tốn tìm x, y, z Bài 11 Tìm x, y, z biết: x y z   x  y   186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho x  y   186 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Làm để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ x y z 2x 3y z x  y  z 186        3 15 20 28 30 60 28 30  60  28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 Bài 12 Tìm x, y, z cho: x y y z   x  y  z  372 Giải: Nhận xét có giống nhau? Đưa dạng cách nào? Đưa tử số có số chia Ta có: x y x y    (chia hai vế cho 5) 15 20 y z y z    (chia hai vế cho 4) 20 28  x y z   15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13 Tìm x, y, z biết x y y z   x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y –z = 95 (*) x Cách 1: Từ 2x = 3y   3y = 5z  y y z  Đưa cách giải giống ba trên: cách dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z  x y 5z x y z x yz 95        5 30 30 30 15 10 15  10  19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15 Tìm x, y, z biết: Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn x  y  z 1 x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia vế (1) cho ta có x y z x  y 15     5 12 12  => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết: a x 1 y  z    1 2x + 3y –z = 50 b 2x y 4z     x + y +z = 49 Giải: a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự nào? (bài 11)  x  1  y   z  x   y   z     494 Từ (1) ta có:  x  y  z   2    50    9 x 1   x  11 y2   x  17 z 3   x  23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự 15) Chia vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z      3.12 4.12 5.12 x y z x yz 49      1 18 10 15 18  16  15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: a x y  xy = 54 (2) Gia sư dạy kèm b https://giasudaykem.com.vn x y  x  y  (x, y > 0) Giải: ? Làm để xuất xy mà sử dụng giả thiết x y x x y x x xy 54  1      9 2 6 a x  4.9   2.3      6   x  6 2 Thay vào (2) ta có: x   y  54 9 x  6  y  54  9 6 x y x2 y x2  y       25 25  16 b 25  x2  x  y2  x Bài 18 Tìm số a1, a2, …a9 biết: a 9 a1  a     a1  a   a  90 Giải : a1   a1  a   a   1     90  45   1 9    45 Từ dễ dàng suy a1; a2; … Bài 19 Tìm x; y; z biết: a y  z 1 x  z  x  y     1 x y z x yz Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y  z 1 y  z 1 x  z   x  y  2 x  y  z    x x yz x yz Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn   x  y  z  0,5 x yz y  z 1   y  z   2x  x  y  z   2x  x x  1,5  x  x  xz2 Nếu a + y + z ≠ :   x  y  z   3y y  2,5  y  y  x  y 3   x  y  z   3z z 5    3z  z    b Tương tự em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z    x y z y  z 1 x  z 1 x  y  Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 2 ĐS : x  ; y  ; z   Nếu x + y + z = => x = y = z = Bài 20 Tìm x biết rằng: 1 y 1 y 1 y   18 24 6x Giải: 1 y 1 y 1 y  8y 1 y  8y     24 18  x 18  x 24 18  x 1 y 24 1 y 24      24 18  x 1  y  18  x  18  x  24.2    x   6.4.2  3 x   x  Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z   xyz = 810 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Giải: x y z x x x x y z xyz          2 2 30 x3  x  810     27   27 10 2  x3  8.27  23.33   2.3 x6 x y 3.6  y 9 mà z  15 Bài 22 Tìm số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2     n 1  n x1  x2    xn  c a1 a2 an 1 an ( a1  0, , an  0; a1  a2   an  ) Giải: x x x  x   xn x1 x2 c     n 1  n   a1 a2 an 1 an a1  a2   an a1  a2   an xi  c.ai a1  a2   an đó: i = 1, 2,…, n Bài 23 Tìm số x; y; z ЄQ biết rằng:  x  y  :   z  :  y  z  :   y   :1: : Giải: Ta có: x  y 5 z y  z 9 y     k (1)  x  y   5  z    y  z   9  y   x  y  1  x  y   k  k 4 x y  x  y  3k   k  3k   2k  k  10 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB BC Vẽ điểm M, N cho C trung điểm ME B trung điểm ND Gọi K giao điểm AC DM Chứng minh N, E, K thẳng hàng Giải: Tam giác MND có BE = EC = CM nên ME  MB mà MB trung tuyến nên E trọng tâm suy NE trung tuyến tam giác NMD Mặt khác, DE //AC DE đường trung bình tam giác ABC hay DE // KC mà C trung điểm ME nên K trung điểm DM Nên ba điểm N, E, K thẳng hàng Bài toán 7: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE = IA Gọi N trung điểm EC Chứng minh đường thẳng AM qua N Giải: Tam giác AEC có CI đường trung tuyến (vì IE = IA) nên CM  CI nên M trọng tâm tam giác AEC AM qua N Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vng góc với BC BAH  2C Tia phân giác B cắt AC E a) Tia phân giác BAH cắt BE I Chứng minh tam giác AIE vuông cân b) Chứng minh HE tia phân giác AHC Giải: a) Chứng minh AIE vng cân: Ta có AH  BC nên tam giác AHC vuông H nên CAH  HCA  900 (1) Do AI phân giác BAH nên IAH  BAI  BAH  BAH  IAH mà BAH  2C (gt) nên IAH  C (2) Từ (1) (2) suy CAH  IAH  900 nên tam giác AIE vng 1 A Ta có ABI  B ; BAI  BAH Do AIE góc 2 tam giác BIA nên 1 AIE  ABI  BAI  ( B  BAH )  900  450 nên tam giác AIE 2 vuông cân b)Chứng minh HE tia phân giác AHC Ta có IA  AC mà AI phân giác tam giác BAH nên AE phân giác tam giác ABH A BE phân giác 17 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn tam giác ABH suy HE phân giác AHC Bài tốn 9: Cho tam giác ABC có góc A  1200 Đường phân giác AD, đường phân giác C cắt AB K Gọi E giao điểm DK AC Tính số đo góc BED Giải: Tam giác ADC có hai phân giác A C cắt K nên DK phân giác ADC Trong tam giác BAD có AE DE hai phân giác ngồi góc A D cắt E nên BE phân giác góc B EDC góc ngồi tam giác BDE nên ta có EDC  DBE  DEB mà EDC  ADE ( DE phân giác ADC ) suy DEB  EDC  DBE  EDA  EDA  ABD ADC  ABC BAD 600 ABD      300 2 2 Bài tốn 10: Cho tam giác ABC có A  1200 đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB b) Tính EDF Giải: a) Chứng minh DE tia phân giác tam giác ADB Tam giác BAD có AE BE hai phân giác đỉnh A B (Do A  1200 ) nên DE phân giác tam giác ABD b) Tính EDF Trong tam giác ACD có AF CF hai phân giác ngồi đỉnh A C cuả tam giác ADC nên DF phân giác ngồi góc D tam giác ADC suy DE phân giác đỉnh D nên DE  DF hay EDF  900 Bài toán 11:Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Kẻ MH vuông góc với AB Gọi E điểm thuộc đoạn AH Trên cạnh AC lấy điểm F cho AEF  2.EMH Chứng minh FM tia phân giác góc EFC Giải: Tam giác ABC cân A có AM trung tuyến nên AM phân giác BAC Tam giác AEF có AM phân giác góc A nên ta phảI chứng minh EM phân giác góc ngồi E tam giác AEF Thật vậy, Do tam giác EMH vuông H nên HEM  900  EMH mà AEF  2.EMH (gt) nên AEF  EMH Do HEM  900  EMH  900  AEF 1 Mặt khác ta có 1   FEM  1800  ( AEF  BEM )  1800   AEF  900  AEF   900  AEF (2) Từ (1) (2) 2   suy HEM = FEM hay EM phân giác BEF Tia phân giác AM góc A tia 18 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn EM phân giác tam giác AEF cắt M nên FM phân giác AFE hay FM phân giác EFC Bài tốn 12: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE cắt I ID = IE Chứng minh B = C hay B + C  1200 Giải: Qua I kẻ IH  AB IK  AC , Do I giao điểm hai đường phân giác nên IH  IK ID  IE  gt  nên IHE  IKD (cạnh huyền, cạnh góc vng) nên suy ADB  BEC (1) a) Trường hợp K  AD; H  BE ta có BEC  A  C ( BEC góc ngồi AEC ) (2) 1 ADB  C  B ( ADB góc ngồi DBC ) (3) Từ (1); (2) (3) A  C  C  B 2 1  A  C  B  A  C  B  A  A  C  B  1800  A  600  C  B  1200 2 b) Nếu H  AE K  DC suy tương tự ta có C  B  1200 1 c) Nếu H  EB K  DC A  C  A  B  C  B 2 1 d) H  AE K  DA C  B  B  C  C  B 2 Vậy bốn trường hợp ta ln có B = C C  B  1200 Bài toán 13: Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu vi nhỏ Giải: Chu vi tam giác EBC nhỏ tổng EB + CE nhỏ Vẽ BH vng góc với phân giác ngồi góc A cắt AC D đường thẳng a ( đường phân giác đỉnh A) cuả tam giác ABC nên a đường trung trực BD nên EB = ED Do EB  EC  ED  EC  DC với điểm E thuộc a ta có EB  EC  DC xảy dấu đẳng thức E nằm D C Vậy E  A chu vi tam giác EBC nhỏ Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ Giải: Ta có AB đường trung trực MD nên AD  AM ( 1) AC đường trung trực ME nên AM  AE (2) Từ (1) (2) suy AD  AE nên tam giác ADE cân A 19 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn DAE  2.BAC không đổi nên DE đạt nhỏ AD nhỏ AD  AM  AH với AH  BC xảy dấu M  H DE đạt giá trị nhỏ Bài toán 15: Cho A nằm góc xOy nhọn Tìm điểm B,C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nên Oy, Ox đường trung trực AD AE Khi ta có CA = CD BE = BA nên chu vi tam giác ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE  DE Dấu đẳng thức xảy B  M ; C  N Do ABC có chu vi nhỏ vị trí AMN Bài tốn 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh giao điểm đường phân giác tam giác ABC giao điểm đường trung trực tam giác ADE Giải: Ta có ADE góc ngồi tam giác ADB nên ADE  DBA  BAD Mặt khác ta có: DAC  CAH  HAD mà ABH  HAC ( phụ với BAH ); BAD  DAH (Do AD tia phân giác BAH nên ADC  DAC Vậy tam giác CAD cân C mà CK đường phân giác nên CK đường trung trực AD Tương tự ABE cân E mà BP đường phân giác nên BP đường trung trực AE Nên M giao điểm hai đường phân giác CK BP giao điểm hai đường trung trực tam giác ADE Bài toán 17:Cho tam giác ABC cân A, điểm E D theo thứ tự di chuyển hai cạnh AB AC cho AD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định Giải: Khi D  B  E  A Đường trung trực DE đường trung trực AB Khi D  A  E  C Đường trung trực DE đường trung trực AC Gọi O giao điểm hai đường trung trực AB AC Ta phải chứng minh đường trung trực DE qua O Ta có tam giác ABC cân A nên O nằm đường trung trực BC Suy AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH = KE OH = OK nên HDO  KEO  c.g.c  Do OD = OC Vậy đường trung trực DE qua điểm cố định O Khai thác toán trên: 20 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Nếu ABC với AC > AB BD = CE đường trung trực DE ln qua điểm cố định nào? Tìm điểm đặc biệt: Khi D  B  E  C Đường trung trực đường trung trực BC Khi D  A  E  G Với G  AC Đường AG (d’) cắt đường trung trực (d) BC đường trung trực DE qua K Thật vậy, cạnh AC lấy điểm G CG Gọi K giao điểm hai đường trung (d’) đoạn thẳng BC AG ta KA = KG nên AKB  GKC  c.c.c  nên DE trung trực K Vậy cho AB = trực (d) có KB = KC suy ABK  GCK , hay DBK  ECK nên DKB  EKC  c.g.c  suy KD = KE Vậy đường trung trực DE ln qua K (đpcm) Bài tốn 18: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E F cho ABE  CBF Chứng minh ACE  BCF Giải: Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB đường trung trực KF, EH, EI Khi ta có HCE  ACE ; KCF  2.FCB Ta phải chứng minh ACE  BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A mà AE phân giác nên AD đường trung trực IH IF = FH (1) Ta lại có BK = BF ; IBE  FBK BI = BE nên BEK  BIF  c.g.c  suy EK = IF (2) Từ (1) (2) suy EK = FH (3) Xét tam giác HCF ECK ta có HC = EC (4) ( AC đường trung trực EH); CF = CK (vì BC đường trung trực KF) (5) Từ (3) ,(4) (5) nên HCF  ECK  c.c.c  suy HCF  ECK  HCE  ECF  KCF  FCE  HCE  KCF  ACE  BCF (đpcm) Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E,I,K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác ABC, ABH, ACH Chứng minh AE  IK Giải: Ta có B  HAC ( phụ với BAH ) B ABI  IBC  ( Do BI tia phân giác góc B) CAH ( Do AD tia phân giác góc CAH ) Từ HAD  DAC  đẳng thức suy ABI  DAC mà DAC  KAB  900  ABI  KAB  900  ADB  900 nên BD  AD Chứng minh tương tự ta có CE  AI Tam giác AIK có hai đường cao cắt E nên E trực tâm tam giác nên AE  IK 21 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Bài toán 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân ABD, ACE với B = C  900 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng HA K Chứng minh DC  BK b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC  BK : Ta có BEC  KCA phụ với KCE HKC  HBE phụ với KIE nên suy KAC  ECB AC = CE (gt) nên KAC  BCE  g.c.g  suy KA = BC Mặt khác ta có BD =AB ; KAB  DBC ; KA = BC nên DBC  BAK  c.g.c  suy BKH  DCB HKB  KBH  900 suy DCB  KBH  900  BMC  900 ( với M giao điểm DC KB) nên DC  BK M b) Trong tam giác KBC ba đường cao AH, CD, BE nên đồng quy I Bài toán 21: Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC b) HA  HB  HC   AB  BC  AC  Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC Ta kẻ NH // AC HM //AB Khi ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính chất đoạn chắn) Do BH vng góc với AC mà HN //AC nên BH  HN Do BH < BN (2) Tương tự ta chứng minh đựơc HC < CM (3) Từ (1) ; (2) (3) suy HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta có HA + HB + HC < AB + AC ( Theo câu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được:  HA  HB  HC    AB  BC  AC   HA  HB  HC   AB  BC  AC  (đpcm) Bài tốn 22: Cho tam giác ABC vng cân A Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH  CM H Kẻ HE  AB E Chứng minh tam giác ABH cân HM phân giác góc BHE Giải: Từ A ta kẻ AK  CM K AQ  HN Q Hai tam giác vuông 1  MAK NCH có MA = NC =  AB  ACH  MAK (cùng phụ với góc 2  KAC) nên MAK  NCH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AK = HC (1) Ta lại có BAK  ACH  c.g.c   BKA  AHC Hai tam giác 22 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn vng AQN CHN có NA = NC ANQ  HNC (đ.đ) nên ANQ  CNH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AQ = CH (2) Từ (1) (2) suy AK = AQ nên HA tia phân giác góc KHQ suy AHQ  450  AHC  900  450  1350  AKB  1350 Từ AKB  BKH  AKH  3600  BKH  1350 Tam giác AKH có KHA  450 nên vng cân K  KA  KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ; BKA  BKH  1350 ; AK  KH  BKA  BKH  c.g c   KHB  MAK ; AB  BH hay tam giác BAH cân B Ta có KHB  MAK KE // CA nên ACH  EHM (đồng vị) ACH  MAK suy EHM  MHB nên HM tia phân giác EHB Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hình học: Bài tốn 23: Tam giác ABC có hai góc B C nhọn Kẻ AH  BC Chứng minh H nằm BC Giải: Ta thấy H, B, C ba điểm phân biệt Thật vậy, H trùng với B C B  900 C  900 Trái với giả thiết Trong ba điểm phân biệt có điểm nằm hai điểm Giả sử C nằm B H ACH  900 suy BCA  900 trái với giả thiết Giả sử B nằm C H ABH  900 suy CBA  900 trái với giả thiết Vậy H nằm B C Bài toán 24: a) Tam giác ABC có B  600 BC  AB Chứng minh C  900 b) Tam giác ABC có B  600 BC = 2dm; AB = 3dm Gọi D trung điểm BC Chứng minh AD = AC Giải: a) Giả sử C  90 Kẻ AH  BC H không trùng C nên ABH vuông H suy 1 BAH  300 nên BH  AB Theo giả thiết ta có BC  AB nên BH = BC suy H 2 trùng với C mâu thuẩn Nên C  90 b) Gọi H trung điểm DC BH  1,5dm Do BH  AB Theo câu a) AHB  90 nên AHD  AHC  c.g.c  suy AD = AC Bài toán 25: Cho tam giác ABC đều, đường cao AH Trên tia HD lấy điểm C cho HD = HA Trên nửa mặt phẳmg bờ BD không chứa điểm A vẽ tia Dx cho BDx  150 Dx cắt AB E Chứng minh HD = HE Giải: 23 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Giả sử HD > HE HED  150 (1) Mặt khác HD > HE nên HA > HE AEH  300 (2) Từ (1) (2) BED  450 nên ABD  BED  BDE  450  150  600 TráI với giả thiết tam giác ABC Tương tự giả sử HD < HE ta chứng minh ABD  600 , trái với giả thiết Nên HD = HE (đpcm) Bài toán 26: Tam giác ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Chứng minh tam giác DEF tam giác Giải: Giả sử tam giác DEF CFH  600 nên FCH  300 suy ACF  300 Ta lại có CEI  600 suy BIC  900 Tam giác ABC có BI trung tuyến đường cao nên tam giác ABC cân B lại có ACB  600 nên tam giác ABC Do AH, BI, CK đồng quy tức D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy tam giác DEF tam giác Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác AD, đường trung tuyến BM, đường cao CH đồng quy Chứng minh A  450 Giải: Giả sử A  45 Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA AEC  EAC  450  ACE  900 Ta chứng minh ACB  ACE nên trái với giả thiết tam giác ABC góc nhọn Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex Gọi O giao điểm đường CH,BM,AD F giao điểm EO AC Xét tam giác EAC có EA > EC ( EA đối diện với góc lớn hơn) AC mà FE phân giác góc CEA nên AF > FC suy AF  M trung điểm AC nên M nằm A F B thuộc tia Ex Do ABC  ACE mà ACE  900  ACB  900 Trái với giả thiết nên A  450 Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = AB Gọi M trung điểm BC D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Giải: Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE nên ta có ADB  EDM (đ.đ) DB = DM nên ABD  EMD (c.g.c) suy AB = ME ABD  DME BC Vì AB = ME = MC = nên MC = ME Ta lại có AMC  B  BAM ( góc ngồi tổng hai góc khơng kề tam giác ABM) mà ABD  DME BAM  BMA (Do tam giác BAM cân B) Suy AMC  BME  BMA  AMC  AME Vậy AME  AMC  c.g.c  Suy AC = AE =2AD (đpcm) Bài toán 29:Cho tam giác ABC vuông cân A M trung điểm BC Trên tia BC lấy điểm D với D khác B M Kẻ 24 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn BK vng góc với AD K Chứng minh KM phân giác phân giác tam giác BKD đỉnh K Giải: Khi D trùng với C K trùng với A Khi AM  BC M nên kết luận Từ M ta hạ MH  KB MI  KD nên MH  MI M MH //KD Do AMI  900  AMH  BMH AMI  900  BMI  BMH Khi M nằm đoạn BD Do BMH  AMI ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MI = MH Do M cách hai đoạn thẳng KB KD nên KM phân giác BKD Tính số đo góc tam giác Bài toán 30: Tam giác ABC cân A có A  200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ACD ? Cách giải 1: Vẽ tam giác BCE ( với E nằm phia với A có bờ đường thẳng 1800  200  600  200 Hay ECA  DAC  200 BC) nên ECA  Xét tam giác DAC ECA có DA = EC; ECA  DAC ; AC cạnh chung nên DAC = ECA (c.g.c) suy CAE  ACD mà AEB  AEC  c.c.c  nên BAE  CAE  100 Vậy ACD  100 Cách giải 2: Vẽ tam giác ADE nằm ngồi tam giác ABC CAE  800 Do CAE  ABC  c.g.c  nên CE =AC ACE  BAC  200 Nên ACD  ECD  c.c.c  suy ACD  ECD  100 Cách giải 3: Vẽ tam giác ACK ta chứng minh tam giác CDK cân K (vì KAD  800 , KA = AB; AD = BC nên KAD  ABC  c.g.c  suy KD = AC = KC ) nên DKC  AKC  AKD  600  200  400 suy KCD  (1800  DKC ) :  (1800  400 ) :  700  DCA  700  600  100 Cách giải 4: Vẽ tam giác FAB với F C phía AB Nên tam giác AFC cân A Tính FAC  400 nên 1800  400 AFC   700  BFC  100  CBF  200  ADC  BCF  c.g c   ACD  BFC  100 Chú ý : Nếu giả thiết cho ACD  100 AD = BC ta xét DAC = ECA (c.g.c) 25 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có B  C  500 Gọi K điểm tam giác cho KBC  100 ; KCB  300 Chứng minh tam giác ABK cân tính BAK ? Giải: Dựng tam giác EBC có đỉnh E A nằm nửa mặt phẳng có bờ BC Nên EAB  EAC  c.c.c  Do B  C  500 nên EBA  ECA  600  500  100 EA phân giác BEC  BEA  CEA  300 Do EBA  CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân B     BAK  1800  ABK :  1800  400 :  700 Bài tốn 32: Tính góc tam giác ABC cân A biết cạnh AB lấy điểm D cho AD = DC = BC Giải: Đặt A  x ACD  x Do BDC  x ; B  x mà tam giác ABC có A  B  C  1800 nên x  x  x  1800  5x  1800  x  360 Vậy x  A  360 Nên B  C  1800  360 :  720   Bài toán 33: Tam giác ABC có B  600 ; C  300 Lấy điểm D cạnh AC Điểm E cạnh AB cho ABD  200 ; ACE  100 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE Giải: Tam giác ABC có B  600 ; C  300 suy A  900 Do CEA  900  100  800 ; BDA  900  200  700 ;   CKB  DKE  1800  KCB  CBK  1800  (200  400 )  1200 Gọi I giao điểm hai đường phân giác góc BCK ; KBC nên CKI  BKI  600 Do KEA  BKE  KBE  BKE  KEA  KBE  800  200  600 nên IKB  EKB  g.c.g  suy KI = KE Tương tự ta chứng minh IKC  DKC  g.c.g  suy KI = KD Do KD = KE Tam giác KDE cân K suy KDE  KED  (1800  1200 ) :  300 Bài tốn 34: Cho tam giác ABC góc A  900 góc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D E cho AB đường trung trực HD , 26 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn AC đường trung trực HE Gọi I, K theo thứ tự giao điểm DE với AB AC Tính góc AIC AKB Giải: Trường hợp A  90 Thì IB KC hai phân giác tam giác IHK Do HA phân giác Do AHC  900 nên HC phân giác đỉnh H Các phân giác cắt C nên IC phân giác góc HIK Do 1800 BIH  HIC   900  BIC  900 hay AIC  900 Chứng minh tương tự ta có BK  KC ( phân giác KB phân giác ngồi góc K) nên AKB  900 Trường hợp A  900 Tam giác HIK có KC, IB tia phân giác góc HKI , HIK KB , IC tia phân giác HKI , HIK nên AIC  AKB  900 Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH đường cao, phân giác BD AHD  450 Nêu cách vẽ hình tính ADB Giải: *) Vẽ tam giác BHD cho BHD  1350 , vẽ đường thẳng vng góc với BH H vẽ tia Bx cho HBD  DBx cắt đường thẳng vừa vẽ điểm A Hai tia AD BH cắt C, ta hình thoả mãn đề cần vẽ Xét ABH ta có HAx  ABH  AHB  ABH  900  ABD  900 ( Do BD tia phân giác góc B) Ta lại có HAx  2CAx (vì tia BD phân giác tia HD phân giác cắt D nên AD phân giác tam giác BHA) Vậy ABD  900 = 2CAx  ABD  450 = CAx (1) Mặt khác, tam giác ABD có CAx  ABD  ADB   (định lý góc tam giác ABD) Từ (1) (2) suy ABD  450 = ABD  ADB  ADB  450 Bài tốn 36: Cho tam giác ABC có K giao điểm đương phân giác, O giao điểm đường trung trực, BC đường trung trực OK Tính góc tam giác ABC Giải: Do O giao điểm đường trung trực tam giác ABC nên OB = OC Suy OBC cân O suy OBC  OCB , Mà BC đường trung trực OK nên BO = BK ; OC = CK Do OBC  KBC; OCB  BCK K giao điểm đường phân giác nên OBC  KBC  KBA  OCB  BCK  KCA   Ta lại có OA = OB nên OBA  OAB CA = OC nên OCA  OAC Do đó, BAC  BAO  OAC  ABO  OCA  3  3  6 mà ABC có 27 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn BAC  ABC  BCA  1800  2  6  2  1800  10  1800    180 Vậy ABC  BCA  360 ; BAC  1080 Bài tốn 37: Cho tam giác ABC có B  600 ; C  450 Trong góc ABC vẽ tia Bx cho xBC  150 Đường vng góc với BA A cắt Bx I Tính ICB Giải: Trên cạnh BC lấy điểm K cho AB = BK nên tam giác ABK cân B có B  600 nên tam giác ABK Do KB = KA Ta lại có tam giác ABI vuông A mà ABI  ABC  IBC  600  150  450 nên tam giác ABI vuông cân A suy AB = AK = AI Do B  600 ; C  450 nên A  750 Nên KAC  BAC  BAK  750  600  150 ; CAI  900  A  900  750  150 Do AKC  AIC  c.g.c   ACK  ACI  450  ICB  ACK  ACI  900 Vậy ICB  900 Bài toán 38: Cho tam giác ABC có B  750 ; C  450 Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD  450 Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác ADC E Tính CBE Giải: 0 Ta có B  75 ; C  45 BAD  450 suy BDA  600 nên ADC  1200 mà DE phân giác ADC nên ADE  EDC  600 Ta lại có CE phân giác DCE DA phân giác EDC cắt A nên EA phân giác ngồi E DCE vng C có EDC  600  DEC  300 Do     AED  1800  DEC :  1800  300 :  750 (do EA phân giác E) suy DAE  450 Do ABD  ADE  g.c.g   BD = ED nên tam giác BDE cân D nên ta có EBD  (1800  1200 ) :  300 Bài toán 39:Cho tam giác ABC, vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE; ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tâm giác ABE Tính góc cuả tam giác FIH Giải: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK Gọi BAC   HAF  600  300    900   1 ( ACF nên FAC  600 tam giác EAB có H trực tâm nên HAB  300    900 ) Ta lại có: BIH  CIK  c.g.c  nên suy KCI  HBI  ABC  300   nên ACB  1800  ABC   Do đó:   KCI  BCA  ACF  ABC  300 + 1800  ABC    600  2700   28 Gia sư dạy kèm  https://giasudaykem.com.vn    KCF  3600  KCI  BCA  ACF  3600  2700    900     Từ (1) (2) suy HAF  KCF Nên AHF  CKF  c.g.c   HF  KF ; AFH  CFK  HFK  600 tam giác HFK suy tam giác HFI nửa tam giác cạnh HF Các góc tam giác HFI có số đo là: HIF  900 ; IHF  600 ; HFI  300 Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân A có BAC  200 Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Cx cho ACx  600 , tia lấy điểm D cho AB = CD Tính ADC Giải: Trên nửa mặt phẳng chứa B có bờ AC vẽ tia Cy cho ACy  600 Tia cắt AB E Do tam giác ABC cân A có BAC  200 nên B  C  (1800  200 ) :  800 Trong tam giác BCE có B  800 Góc BEC góc ngồi tam giác AEC nên ta có BEC  A  ECA  200  600  800 Nên tam giác CEB cân C suy CE = CB Từ ta có AEC  ADC  c.g c   AEC  ADC  1800  800  1000 Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho tam giác EAC cân E có góc đáy 150 Tính góc BEA Giải: Cách giải 1: Vẽ tam giác ACD Ta có tam giác EAC cân E nên EAC  ACE  150 nên BAE  900  150  750 Xét BAE DAE có AB = AD = AC ; BAE  DAE  750 ; AE cạnh chung Nên BAE  DAE  c.g c   AEB  AED Do AD = AC EA = EC nên ED đường trung trực AC Đồng thời AE phân giác AEC 1800  2.15 AEC nên AED    750 2 Cách giải 2: Vẽ tam giác EAK nằm tam giác AEC Ta ABK  ACE  c.g.c  ABK  BEK  c.g.c   BEA  BEK  KEA  150  600  750 Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân A có A  1000 Điểm M nằm tam giác ABC cho MBC  100 ; MCB  200 Tính AMB Giải: 1800  1000  400 mà Tam giác ABC cân A nên ACB  0 MBC  20  MCA  20 nên CM tia phân giác BCA Trên tia CA lấy điểm E cho CB = CE nên MCB  MCE  c.g.c   ME  MB EMC  BMC  1800  300  1500  EMB  3600  2.BMC  3600  3000  600 Do tam giác 29 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn BME suy BM =BE Ta có: EAB  AEM  800  100  900 nên AB  ME suy BA phân giác góc MBE  EBA  MBA  600 :  300 nên ABM  ABE  c.g.c   BEA  AMB  600  100  700 Bài toán 43: Cho tam giác cân A có A  800 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD  300 Trên cạnh AC lấy điểm E cho EBA  300 Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam giác IDE cân tính góc Giải: Ta có tam giác ABC cân A có A  800 nên B  C  500 mà CAD  300 nên BAD  A  DAC  800  300  500 Khi DBA cân D suy AD = BD Trên BI lấy điểm K cho BAK  100 nên BEA  1800  ( BAE  EBA)  1800  (800  300 )  700 (1) (2) KAE  ABC  BAK  800  100  700  KAE Từ (1) (2) suy cân K nên KA = KE Ta chứng minh tam giác AkD cân A nên AK = AD Do AD = KE (3) Mặt khác, KAI  AKI  400  IKA cân I nên IA = IK (4) Từ (3) (4) suy IE = ID nên   tam giác IED cân I AIK  DIE  1800  IAK  1800  800  1000 IDE  IED  1800  1000  400 Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân A có A  200 , điểm M,N theo thứ tự thuộc cạnh bên AB, AC cho BCM  500 ; CBN  600 Tính MNA Giải: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD DN //BC AND  800 Ta tính DNM Gọi I giao điểm BN CD tam giác IBC IDN tam giác IBC  600 tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN tia phân giác DNB Thật vậy, Trong tam giác BDC có     MDI  BDC  1800  DBC  DCB  180  800  600  400 (1) Trong tam giác BMC có MBC  800 ; MCB  500  BMC  500  BMC cân B Do BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI hay tam giác BMI 1800  200 MBI  20  BIM   800 Do cân B mà     MID  1800  MIB  DIN  1800  800  600  400 (2) Từ (1) (2) suy MDI  DIM nên MDI cân M Suy MD = MI Ta lại có NI = ND nên MN đường trung trực DI suy DNB 600 MN phân giác DNB hay DNM    300 2 30 Gia sư dạy kèm https://giasudaykem.com.vn Vậy MNA  MND  DNA  300  800  1100 Bài toán 45: Điểm M nằm bên tam giác ABC vuông cân B cho KA: MB: MC = 1: 2: Tính AMB Giải: Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a Khi ta có AB = BC; MBC  ABK ; BM = BK nên ABK  CBM  c.g.c  suy CM = KA = 3a Xét tam giác vuông MBK vuông B ta có 2 MK  MB  MK   2a    2a   8a Xét tam giác AMB có AM  MK  a  8a  9a   3a   AK 2 ( AK = MC) nên tam giác KMA vuông M Vậy AMB  AMK  KMB  900  450  1350 Bài toán 46: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a  b  5c c độ dài cạnh nhỏ Giải: Giả sử c  a c  c  a  c  b  2c  b  4c  b2 c  a  c  a nên ta có 5c  a  b2 trái với giả thiết Giả sử c  b c  c  b  c  a  2c  a  4c  a c  b  c  b2 nên ta có 5c  a  b2 trái với giả thiết Vậy c độ dài nhỏ tam giác 2 31 ... Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C x; y; z (em),... z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12  x y z x yz 57     18 16 15 18  16  15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 27 Tìm... dạy kèm b https://giasudaykem.com.vn a c a b a b ab 7a 8b 3ab 11a           b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a  3ab 11a  8b  (đpcm) 7c  3cd 11c  8d Bài 3: CMR: Nếu a  bc ab ca 