GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

NEWTON DT CLUB GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Sáng tác - Tổng hợp - Sưu tầm - Biên soạn ) - Các tốn có liên quan đến yếu tố hình học Bài : Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2010 - 2011 Phân tích tốn : Trong hình chữ nhật, độ dài đường chéo bình phương độ dài chiều dài bình phương cộng độ dài chiều rộng bình phương Các toán chủ yếu yêu cầu kiến thức hỗ trợ hình học nên sau phân tích lời giải ta có hướng giải sau Cách : Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật x ( x > , m ) Gọi độ dài chiều dài mảnh đất hình chữ nhật y ( y > , m ) Theo hình vẽ, ta có : x2 + y2 = 132 = 169 (1) Theo đề bài, ta có : y - x = hay y = x + (2) Từ (1) + (2) , ta có hệ phương trình :  x  y  169  x   x    169  x  7x  60    y x7  x  5x  12x  60    x  5 x  12    x Vì x > nên x + 12 >  Víi x = th× y = 12 VËy m°nh ®Êt cã chiỊu d¯i l¯ 12m , chiÒu réng l¯ 5m Lời giải vận dụng cách đặt ẩn đưa toán việc giải hệ phương trình phương pháp Các em học sinh chưa quen nên thực cách từ thơng qua đề bài, hình vẽ minh họa để lập hệ phương trình giải Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Cách : Ta trực tiếp đưa tốn việc giải phương trình thơng qua đặt ẩn phụ Bài : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 Biết chiều dài mảnh đất lớn chiều rộng mảnh đất m, tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Phân tích tốn : Đây tốn quen thuộc cần vận dụng cơng thức diện tích hình chữ nhật Giải Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật x ( x > , m ) Do chiều dài lớn chiều rộng m nên chiều dài mảnh đất hình chữ nhật x + ( x > , m ) Theo đề , ta có phương trình : x  x    24  x  2x  24   x  4x  6x  24    x   x  x4 x > nên x + >  Vậy chiều rộng mảnh đất 4m chiều dài mảnh đất x + = 6m Bài : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 Biết tăng chiều rộng mảnh đất thêm 2m giảm chiều dài mảnh đất 2m diện tích mảnh đất tăng m2 Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Phân tích tốn : Mối liên hệ Diện tích = Chiều dài Chiều rộng Chiều dài (m) Chiều rộng (m) Diện tích ( m2 ) Ban đầu x Y 24 Thay đổi x-2 y+2 30 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Gọi chiều dài mảnh đất x ( x > , m ) , chiều rộng mảnh đất y ( y > , m ) Diện tích mảnh đất x.y = 24 ( m2 ) Chiều rộng mảnh đất tăng thêm 2m y + ( y > 0, m ), chiều dài mảnh đất giảm 2m x - ( x > , m ) Theo đề bài, ta có hệ phương trình : x y  24  x y  24 x y  24    x y  24      xy  2x  y  34 24  2x  y  34 x  y   x   y    30 x  y5  x  y5  x  y5  x  y5       y  5y  24   y  3y  y  24   y  3 y     y  y  5  24 x    Ta chän nghiƯm y = v× y >  y  Vậy chiều dài mảnh đất m chiều rộng mảnh đất m BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 50 m2 Biết tăng chiều rộng mảnh đất thêm 3m giảm chiều dài mảnh 2m mảnh đất có hình vng Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2016 - 2017 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật 10m Tính chu vi mảnh đất biết diện tích mảnh đất 1200 m2 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB - Dạng tốn tìm số Bài : Tìm hai số tự nhiên biết bốn lần số thứ cộng năm lần số thứ hai 100 sáu lần số thứ trừ số thứ hai 48 Tìm hai số tự nhiên Giải Gäi sè tù nhiên cần tìm thứ l x, số tự nhiên cần tìm thứ hai l y x, y N  4 x  5y  100  x  5y  100  x  10 Theo ®Ị b¯i, ta cã :     x  y  48 30 x  5y  240  y  12 VËy hai sè tù nhiên cần tìm l 10 v 12 Bi : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số biết giảm số thứ đơn vị nhân với số thứ hai ta 150 Nếu tăng số thêm đơn vị nhân với ta 270 Tìm hai số Giải Gäi sè tự nhiên cần tìm thứ l x, số tự nhiên cần tìm thứ hai l y x , y  N , x  10, y  10 Nếu gim số thứ đơn vị ta số l x-2 Nếu tăng số thêm đơn vị ta hai số l¯ x + v¯ y +   x   y  150 xy  y  150 xy  y  150   Theo ®Ị b¯i, ta cã :     x  3 y  3  270  xy  3x  3y   270 2 y  150  x  y   270 xy  y  150   xy  y  150 5y      111  5y 5y  y  37    y  150   y  35y  150    37   3x  y  111  x   3  5y  105y  450   y  21y  90   y  15y  y  90    y   y  15   y  15  V× y  10  Víi y = 15 ta cã x = 12 VËy hai số tự nhiên cần tìm l 15 v 12 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm hai số tự nhiên đơn vị tích chúng 50 Tìm hai số biết số thứ chia cho cộng số thứ hai chia cho 12 số thứ nhân với trừ số hai 76 Bài toán dãy ghế, mối liên hệ Số người = Số dãy ghế Số người dãy ghế Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Một phòng có 70 người họp xếp dãy ghế Nếu bớt hai dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm người đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có dãy ghế dãy xếp người Một lớp có 40 học sinh Trong buổi chuyên đề, lớp có thêm 15 học sinh đến dự nên phải kê thêm dãy ghế phải xếp thêm người vào đủ chỗ Hỏi ban đầu có dãy ghế biết dãy có số người ngồi không người 5.Trong phòng họp có số ghế dài Nếu xếp ghế thêm người có người khơng có chỗ ngồi Nếu xếp ghế thêm người thừa ghế Hỏi phòng họp có ghế có người họp Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB - Dạng tốn suất - cơng việc - tốn vòi nước Kiến thức cần nhớ : A = N.T , A khối lượng cơng việc , N suất , T thời gian Bài : Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2014 - 2015 Phân tích tốn : Tổng sản phẩm Số sản phẩm làm ngày ( Sản phẩm ) Theo kế hoạch 1100 x Thực tế 1100 x+5  Thời gian 1100 x 1100 x5 1100 1100  2 x x5 Trình bày : Gọi số sản phẩm ngày phân xưởng làm theo kế hoạch x ( x > , sản phẩm ) Vậy thời gian cần để hoàn thành kế hoạch 1100 ( ngày ) x Trên thực tế, ngày phân xưởng sản xuất x + ( sản phẩm ) nên thời gian hoàn thành thực tế 1100 1100 1100   (1) ( ngày ) Theo đề bài, ta có phương trình : x2 x x5 Hoặc Sản phẩm Năng suất ( Sản phẩm/ngày) Thời gian Theo kế hoạch 1100 x y Thực tế 1100 x+5 y-2 Ta có : x.y = 1100 ( x + ).(y - 2) = 1100 Trình bày : Gọi số sản phẩm ngày phân xưởng làm theo kế hoạch x ( x > , sản phẩm ), thời gian cần để hoàn thành kế hoạch y ( ngày ) Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Trên thực tế, ngày phân xưởng sản xuất x + ( sản phẩm ) nên thời gian hoàn thành thực tế y - ( ngày ) Theo đề bài, ta có hệ phương trình : x y  1100    x  5 y    1100 Ta thường lựa chọn cách đơn giản dễ giải Do x > nên (1)  1100  x  5  1100x x  x  5   2x  10x  5500   x  5x  2750   x  50 ( nhËn )   x  50  x  55     x  55  lo¹i  Vậy theo kế hoạch ngày xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm Bài : Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2012 - 2013 Phân tích tốn : Ta coi khối lượng cơng việc Liên hệ : Phần công việc làm Thời gian = Khối lượng cơng việc Người thứ làm Người thứ hai làm Hai người làm  yx 2    xy 12 x  y   Hoặc : Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú Năng suất ( Phần công việc làm ) x y 1  x y Thời gian x y xy  1 xy  x y NEWTON DT CLUB Khối lượng công việc Người thứ làm Người thứ hai làm Hai người làm Năng suất ( Phần công việc làm ) x x2 1  x x2 Thời gian x x+2 1  x x2 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú  x  x  2 2x   12 NEWTON DT CLUB Bài : Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2009-2010 Hướng dẫn : Bài toán đơn giản Phân tích tốn : Năng suất ( Số áo may ngày ) Tổ thứ nhẩt x Tổ thứ hai x - 10 Theo đề , 3x + 5(x-10) = 1310 ( áo ) Bài : Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2008-2009 Bài tốn có yếu tố % Phân tích tốn : Chú ý tốn nói đến việc hai tổ làm Tháng thứ Tháng thứ hai a Chú ý : a% = 100 Năng suất tổ I ( Số chi tiết máy tổ I làm tháng ) x ( 100%) x + 15%.x = 115%x Năng suất tổ II ( Số chi tiết máy tổ II làm tháng ) y y + 10%.y = 110%y Năng suất chung ( Số chi tiết máy hai tổ làm tháng ) x + y = 900 115%x + 110%y = 1010 Giải Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất tháng thứ x ( x > , chi tiết máy ) Gọi số chi tiết máy tổ II sản xuất tháng thứ x ( x > , chi tiết máy ) Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất x + 15%.x = x  15x 23  x ( x > , chi tiết máy ) 100 20 Trong tháng thứ hai tổ II sản xuất y + 10%.y = y  Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú y 11  y ( y > , chi tiết máy ) 10 10 NEWTON DT CLUB Theo đề bài, ta có :  x  y  900 y  900  x  x  y  900   x  400      23 11 x  y  1010 23x  22 y  20200  y  500 23x  22  900  x   20200   20 10 Vậy tháng thứ nhất, tổ I sản xuất 400 chi tiết máy, tổ hai sản xuất 500 chi tiết máy Bài : ( Bài tốn hai vòi nước ) Hai vòi nước chảy sau đầy bể khơng chứa nước Nếu để vòi thứ chảy riêng khóa lại để vòi thứ hai chảy riêng trong khóa lại bể Hỏi chảy riêng vòi để đầy bể ? Phân tích tốn : Ta coi việc bể đầy nước Năng suất Thời gian = Năng suất ( Lượng nước chảy giờ, bể ) Vòi chảy riêng x y Cả vòi chảy 1  x y Vòi chảy riêng Thời gian ( h ) ( Để chảy đầy bể ) x y 1  x y  xy =6 xy Giải Gọi thời gian vòi thứ chảy riêng đến đầy bể x ( x > 6, ) , vòi thứ chảy riêng ( bể ) x Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đến đầy bể y ( y > 6, ) , vòi thứ hai chảy riêng ( bể ) y Trong chảy riêng, vòi thứ chảy : Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú  ( bÓ ) x x NEWTON DT CLUB Trong chảy riêng, vòi thứ hai chảy riêng :  ( bÓ ) y y Nếu hai vòi chảy chảy đến đầy bể 1  x y  1  ( bể ) Thời gian hai vòi chảy x y 1 xy = ( h ) hay   x y xy 1 1 1  1  x  y   xy6  x  y     Theo đề bài, ta có hệ phương trình :    3   3   3      y y x y  x  x 1 1 1  1  1  x  y   xy6  x  y   x  15     x 15       y  10 3   3   3   1      y 10 y y x y  x  x Nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x > , y > Vậy vòi thứ chảy riêng 15 để đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng 10 để đầy bể BÀI TẬP TƯƠNG TỰ SBT Toán 9, Tập 2 SGK Toán 9, Tập Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB SGK Toán 9, Tập MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN KHÁC - Trích dẫn SGK, SBT Tốn 9, Tập 2 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB 10 11 12 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB - Dạng tốn chuyển động Cơng thức cần nhớ : s = v.t Trong đó, s quãng đường, v vận tốc, t thời gian s s Liên hệ : v  , t  t v Phân tích tốn : Đổi 30 phút  ( ) Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Lúc ( A đến B) 24 x(x>0) Lúc ( B A ) 24 x+4 Theo đề bài, ta có phương trình : Thời gian ( ) 24 x 24 x4 24 24   x x4 2 Phân tích tốn : Qng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Trường hợp x(x>0) 35 Trường hợp x(x>0) 50 Thời gian ( ) x 35 x 50 Ở toán ta cần phải suy luận, trường hợp xe đến B lúc 14h, trường hợp xe đến B lúc 11h  Thời gian từ A đến B xe trường hợp chênh lệch  x x   35 50 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Giải Gọi độ dài quãng đường AB x ( x > , km ) Nếu ô tô chạy với vận tốc 35 km/h thời gian để ô tô từ A đến B x ( ) đến B lúc 35 14h Nếu tơ chạy với vận tốc 50 km/h thời gian để ô tô từ A đến B x ( ) đến B lúc 50 11h Theo đề bài, ta có phương trình : x x 10x  7x  3   x  350 35 50 350 Vậy quãng đường AB dài 350 km Với quãng đường AB dài 350 km, ta có : Phân tích tốn : Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú x  10 ( h ), xe xuất phát lúc : 14 - 10 = 35 NEWTON DT CLUB Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) x(x>0) 48 Dự định Thực tế đầu Dừng 10 phút 48.1 = 48 km km 48 Giai đoạn sau x - 48 54 Tổng x Ta có phương trình : Thi gian ( gi ) x 48 1  6 x  48 54 x 48 x  48 x x x x          x  120 54 48 54 48 432 18 Giải Gọi chiều dài quãng đường AB x ( x > 48 , km ) Theo dự định, ô tô với vận tốc 48 km/n nên thời gian dự định x ( ) 48 Trên thực tế, xe với vận tốc 48 km/h, dừng lại 10 phút = 1 giê nên  đầu xe 48 km 6 Thời gian tiếp theo, xe quãng đường x - 48 ( km ) với vận tốc 48 + = 54 ( km/h ) nên xe hết x  48 ( ) 54 Theo đề bài, ta có phương trình : x  48 x x x x          x  120 54 48 54 48 432 18 Vậy quãng đường AB dài 120 km Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Hướng dẫn : Hướng dẫn : Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Bài tốn cano ( Xi dòng - Ngược dòng ) - Các vấn đề cần ý : + Dòng nước n lặng vận tốc dòng nước ta coi km Vận tốc riêng cano > Vận tốc dòng nước + Khi xi dòng, vận tốc thực = vận tốc riêng cano + vận tốc dòng nước Khi ngược dòng, vận tốc thực = vận tốc riêng cano - vận tốc dòng nước Phân tích toán : Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) A đến B ( Xi dòng ) 80 x+4 B đến C ( Ngược dòng ) 72 x-4(x>4) Đổi : 15 phút = Thời gian ( ) 80 x4 72 x4 15  ( ) 60 Ta có phương trình : 72 80   x4 x4 Giải Đổi : 15 phút = 15  ( ) 60 Gọi vận tốc riêng ca nô x ( x > , km/h ) Khi xi dòng, vận tốc thực ca nô x + ( km/h ) nên ca nô hết quãng đường AB = 80 km 80 ( ) x4 Khi ngược dòng, vận tốc thực ca nơ x - ( km/h ) nên ca nô hết quãng đường BC = 72 km 72 ( ) x4 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú NEWTON DT CLUB Theo đề bài, ta có phương trình : 72 80 8x  608     (1) x4 x4 x  16 Vì x > nên x  16 nên (1)  x  16  32x  2432  x  32x  2448   x  36x  68x  2448    x  36  x  68    x  36 ( V× x > ) Vậy vận tốc riêng ca nơ 36 km/h Phân tích tốn : Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Xi dòng 81 x Lần y Ngược dòng 105 Xi dòng 54 x Lần y Ngược dòng 42 Giải hệ ta vận tốc xi dòng 27 km/h, ngược dòng 21 km/h Tổng thời gian ( h ) 81 105  8 x y 54 42  4 x y Câu hỏi khác : Nếu tốn u cầu tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước ta làm ? Hướng dẫn : Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước x y ( < y < x , km/h ) Lần Lần Quãng đường ( km ) Xi dòng 81 Ngược dòng 105 Xi dòng 54 Ngược dòng 42 Đặt ẩn phụ Vận tốc ( km/h ) x+y x-y x+y x-y  x  y  27  x  24 1   a,  b , ta giải  xy xy  x  y  21  y3 Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú Tổng thời gian ( h ) 81 105  8 xy xy 54 42  4 xy xy NEWTON DT CLUB BÀI TẬP VẬN DỤNG Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658 FB: Nguyễn Anh Tú ... gian hoàn thành thực tế y - ( ngày ) Theo đề bài, ta có hệ phương trình : x y  1100    x  5 y    1100 Ta thường lựa chọn cách đơn giản dễ giải Do x > nên (1)  1100  x  5  1100x... y x y  x  x Nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x > , y > Vậy vòi thứ chảy riêng 15 để đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng 10 để đầy bể BÀI TẬP TƯƠNG TỰ SBT Toán 9, Tập 2 SGK Toán 9, Tập Nguyễn Anh...NEWTON DT CLUB Cách : Ta trực tiếp đưa tốn việc giải phương trình thơng qua đặt ẩn phụ Bài : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 Biết chiều