TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬPTOÁN IV (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN)

toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

MÔN HỌC: TOÁN IV (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN)

GIẢNG VIÊN: Th.S ĐẶNG VÕ PHÚC

EMAIL: phucdv@wru.edu.vn ĐIỆN THOẠI (DĐ): 01699 007 175

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

TP HỒ CHÍ MINH - 2014

Lời Nói Đầu

Trong nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật điện tử, y học, ta thường gặp các bài

toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều

đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP).

Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn vàứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế

PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của

nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập thì ta có PTVP thường Trong

toàn bộ Lý thuyết PTVP này, chúng ta chỉ quan tâm đến PTVP thường (từ nay về saugọi là PTVP)

 = 0, trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là

hàm số phải tìm, y ′ , y ′′ , , y (n) là các đạo hàm của hàm số phải tìm (trong PTVP

nhất thiết phải có mặt ít nhất đạo hàm cấp k nào đó của hàm phải tìm) Cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số y = y(x) phải tìm có mặt trong PTVP được gọi là cấp của PTVP Hàm số y = y(x) là một nghiệm của PTVP nếu như nó thỏa mãn phương trình

tổng quát trên, tức là khi ta thay nó vào thì sẽ nhận được đồng nhất thức

Để học tốt học phần PTVP này thì yêu cầu SV phải nhận dạng được từng loạiPTVP, qua đó mới có thể tích phân được (hay tìm được nghiệm), bởi vì không có mộtphương pháp chung nào để giải PTVP Giải PTVP là một quá trình tính tích phân, vìthế yêu cầu SV phải thông thạo phép tính tích phân và vi phân, đó là nội dung cốt lõicủa Toán học cao cấp

Cuốn tài liệu này được chia làm ba phần:

Phần I: Một số vấn đề cơ bản của Phương trình vi phân

Phần II: Phân dạng và hướng dẫn giải bài tập Phương trình vi phân Phần III: Phụ lục về cấu trúc đề thi kiểm tra giữa kỳ và kết thúc môn học Toán IV (Phương trình vi phân)

Nội dung các phần tôi đã chi tiết hóa các vấn đề, đặc biệt là phần hướng dẫn giảibài tập Phần bài tập, tôi đã phân dạng và giải chi tiết các dạng bài tập trong sáchGiáo trình theo cấu trúc của đề thi kiểm tra giữa kỳ cũng như kết thúc môn học này.

Có một số bài tập không có trong cấu trúc đề thi, tôi cũng đã giải chi tiết và có đáp án

cụ thể, Sinh Viên cũng có thể tham khảo thêm một số bài tập này để nắm vững kiếnthức và khả năng giải bài tập PTVP một cách hiệu quả nhất

Cuối cùng, tôi hy vọng rằng một chút đóng góp của tôi trong cuốn tài liệu này sẽgiúp các bạn Sinh viên Trường Đại học Thủy lợi học tốt hơn môn học Toán IV và quýThầy cô trong Bộ môn Toán cũng có thể tham khảo để làm tài liệu giảng dạy môn họcnày Tài liệu được biên soạn trên chương trình LATEX nên cũng mất khá nhiều thờigian, trong quá trình biên soạn tài liệu không thể tránh khỏi sai sót, rất mong các bạnSinh viên cũng như quý Thầy cô trong Bộ môn Toán có những đóng góp ý kiến quýbáu để tài liệu được hoàn thiện hơn

TP Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 09 năm 2014

Th.S Đặng Võ Phúc

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN IV

Phương Trình Vi Phân

GIỚI THIỆU

Trong phần này gồm các nội dung chính sau:

1 Phương trình vi phân cấp một phân ly biến số

6 Một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được

6.1 Phương trình khuyết biến phụ thuộc y

6.2 Phương trình khuyết biến độc lập x

7 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng

8 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng

9 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số

6 Một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được

6.1 Phương trình khuyết biến phụ thuộc y

Z Dạng: F (x; y ′ ; y ′′) = 0 (1.10)

Z Phương pháp giải:

• Nếu tích phân cuối cùng P = ∫ 1

p dy có thể tính được thì nhận được nghiệm của PTVP cấp hai ban đầu (1.13) là:

• Giải phương trình đặc trưng (1.17) rồi tùy theo từng trường hợp dưới đây để suy

ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.16).

⃝ Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt

Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có hai nghiệm thực phân biệt r1 và r2 thì

nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) là

y(x) = c1er1x + c2er2x (1.18)

2

⃝ Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có nghiệm bội

Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có hai nghiệm bằng nhau r1 = r2 = r thì nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) là

y(x) = (c1+ c2x)e rx (1.19)

3

⃝ Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức

Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp

a ± ib (b ̸= 0) thì nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) là

y(x) = e ax (c1cos bx + c2sin bx) (1.20)

8 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng

Z Xét PTVP (1.21) Ta đi tìm một nghiệm đơn của (1.21) dưới dạng

y = y(x) = e rx , r là hằng số nào đó cần đi xác định.

• Thay y = e rx vào phương trình (1.21), ta được phương trình đặc trưng là:

Nếu phương trình đặc trưng (1.22) có n nghiệm thực phân biệt r1, r2 , , r n thì

nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) có dạng

y = y(x) = C1er1x +C2er2x + .+C ner n x , C1; C2 ; ; C n là các hằng số tùy ý (1.23)

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (1.22) có nghiệm bội

Nếu phương trình đặc trưng (1.22) có r là nghiệm bội k (k ≥ 2) thì nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) có dạng

9 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số

Z Ta đã biết nghiệm tổng quát của (1.27) có dạng:

Ở trên, Q n (x) = A n x n + A n −1 x n −1 + + A1x + A0 là đa thức bậc n với các hệ số

A n , A n −1 , , A0 chưa xác định và được tìm bằng cách thay y p (x) vào (1.27).

Trường hợp 2: f(x) = eαx(P n(x) cos (βx) +Q m(x) sin (βx))

(α là hằng số, P n(x ) là đa thức bậc n, Q m(x ) là đa thức bậc m )

(+) Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.29) thì nghiệm riêng

y p (x) của PTVPTT không thuần nhất (1.27) có dạng

y p (x) = e αx (S l (x) cos βx + T l (x) sin βx) (1.32)

(+) Nếu α ± iβ là nghiệm bội k (k ≥ 1) của (1.29) thì nghiệm riêng y p (x) của PTVPTT không thuần nhất (1.27) có dạng

là nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (1.27) với vế phải f (x) = f1(x)+f2(x).

9.2 Phương pháp biến thiên hằng số

của PTVPTT thuần nhất tương ứng

a n y (n) + a n −1 y (n −1) + + a2y ′′ + a1y ′ + a0y = 0.

Bước 2: Tìm nghiệm riêng y p (x) của phương trình không thuần nhất (1.27) bằng cách thay các hằng số C1, C2 , , C n trong (∗) bằng hàm u1 (x), u2(x) , , u n (x),

tức là ta được

Bước 3: Chúng ta đi xác định u1(x), u2(x) , , u n (x) trong ( ∗∗) bằng việc giải

Phương pháp biến thiên hằng số để giải PTVPTT không thuần nhất cấp hai trên

được thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát

Bước 4: Cuối cùng, thay u1 và u2 vừa tìm được vào y p (x) và suy ra nghiệm riêng.

Chú ý: Trong phương pháp biến thiên hằng số để giải PTVPTT không thuần nhất

cấp hai, nếu đã biết y c (x) = C1y1(x) + C2y2(x) của PTVPTT thuần nhất cấp hai tương

ứng thì một nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất cấp hai có thể được tínhtheo công thức:

Hệ Phương Trình Vi Phân

GIỚI THIỆU

Trong phần này gồm các nội dung chính sau:

1 Phương pháp khử để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

2 Phương pháp toán tử tử vi phân tuyến tính để giải hệ phương trình vi

1 Phương pháp khử để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Z Mục đích: Phương pháp này nhằm loại bỏ các biến cho đến khi chỉ còn lại một

phương trình chứa một biến độc lập, sau đó dẫn tới giải PTVP rồi suy ra nghiệm củahệ

Z Phạm vi: Phương pháp này phù hợp với các hệ nhỏ: chúng bao gồm không quá

hai hoặc ba phương trình

2 Phương pháp toán tử tử vi phân tuyến tính để giải hệ phương trình vi

một, f1(t) và f2(t) là các hàm đã cho.

Z Dùng phương pháp khử đưa hệ (2.1) về hệ có dạng:

L L13 L L24

x =

... data-page="39">

II Bài tập giải PTVP Bernoulli

B Lời Giải Và Đáp Số Các Bài Tập

I Bài tập giải PTVP tuyến tính cấp giải Bài tốn giá trị ban đầu (Bài tốn Cauchy)