TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬPTOÁN IV (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN)

273 718 3
TÓM TẮT LÝ THUYẾT  VÀ  HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬPTOÁN IV (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP). Như vậy, cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, PTVP có tầm quan trọng rất lớn và ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế.

BỘ NÔNG NGHIỆP PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI TÓM TẮT THUYẾT HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP MƠN HỌC: TỐN IV (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN) GIẢNG VIÊN: Th.S ĐẶNG VÕ PHÚC EMAIL: phucdv@wru.edu.vn ĐIỆN THOẠI (DĐ): 01699 007 175 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ TP HỒ CHÍ MINH - 2014 Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Lời Nói Đầu Trong nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật điện tử, y học, ta thường gặp toán dẫn đến việc xác định hàm thỏa mãn phương trình có chứa hay nhiều đạo hàm hàm Các phương trình gọi phương trình vi phân (PTVP) Như vậy, phép tính đạo hàm vi phân, PTVP có tầm quan trọng lớn ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học kỹ thuật kinh tế PTVP phương trình liên hệ biến độc lập, hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập ta có PTVP thường Trong toàn thuyết PTVP này, quan tâm đến PTVP thường (từ sau gọi PTVP) Một PTVP tổng quát phương trình có dạng F (x, y, y ′ , y ′′ , , y (n) ) =  d(n) y dy d2 y , , , (n)  = 0, x biến số độc lập, y = y(x) hay F x, y, dx d x d x ′ ′′ hàm số phải tìm, y , y , , y (n) đạo hàm hàm số phải tìm (trong PTVP thiết phải có mặt đạo hàm cấp k hàm phải tìm) Cấp cao đạo hàm hàm số y = y(x) phải tìm có mặt PTVP gọi cấp PTVP Hàm số y = y(x) nghiệm PTVP thỏa mãn phương trình tổng quát trên, tức ta thay vào nhận đồng thức Để học tốt học phần PTVP yêu cầu SV phải nhận dạng loại PTVP, qua tích phân (hay tìm nghiệm), khơng có phương pháp chung để giải PTVP Giải PTVP q trình tính tích phân, u cầu SV phải thơng thạo phép tính tích phân vi phân, nội dung cốt lõi Toán học cao cấp Cuốn tài liệu chia làm ba phần: Phần I: Một số vấn đề Phương trình vi phân Phần II: Phân dạng hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Phần III: Phụ lục cấu trúc đề thi kiểm tra kỳ kết thúc môn học Tốn IV (Phương trình vi phân) Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Nội dung phần tơi chi tiết hóa vấn đề, đặc biệt phần hướng dẫn giải tập Phần tập, phân dạng giải chi tiết dạng tập sách Giáo trình theo cấu trúc đề thi kiểm tra kỳ kết thúc mơn học Có số tập khơng có cấu trúc đề thi, tơi giải chi tiết có đáp án cụ thể, Sinh Viên tham khảo thêm số tập để nắm vững kiến thức khả giải tập PTVP cách hiệu Cuối cùng, hy vọng chút đóng góp tơi tài liệu giúp bạn Sinh viên Trường Đại học Thủy lợi học tốt mơn học Tốn IV q Thầy Bộ mơn Tốn tham khảo để làm tài liệu giảng dạy môn học Tài liệu biên soạn chương trình LATEX nên nhiều thời gian, trình biên soạn tài liệu khơng thể tránh khỏi sai sót, mong bạn Sinh viên quý Thầy cô Bộ mơn Tốn có đóng góp ý kiến q báu để tài liệu hoàn thiện TP Hồ Chí Minh, ngày tháng 09 năm 2014 Th.S Đặng Võ Phúc Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TỐN IV Phương Trình Vi Phân GIỚI THIỆU Trong phần gồm nội dung sau: Phương trình vi phân cấp phân ly biến số 1.1 Định nghĩa 1.2 Phương pháp giải Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.1 Định nghĩa 2.2 Phương pháp giải Phương trình vi phân tuyến tính cấp 3.1 Định nghĩa 3.2 Phương pháp giải Phương trình vi phân Bernoulli 4.1 Định nghĩa 4.2 Phương pháp giải Phương trình vi phân tồn phần 5.1 Định nghĩa 5.2 Cơng thức nghiệm Một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 6.1 Phương trình khuyết biến phụ thuộc y 6.2 Phương trình khuyết biến độc lập x Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Phương trình vi phân tuyến tính khơng cấp n với hệ số 9.1 Phương pháp hệ số bất định 9.2 Phương pháp biến thiên số NỘI DUNG Phương trình vi phân cấp phân ly biến số 1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một: dy = H(x; y) dx (1.1) gọi phương trình vi phân phân ly biến số H(x; y) viết thành tích hàm x hàm y : dy g(x) = g(x)h(y) = , h(y) = , dx f (y) f (y) tức phương trình (1.1) viết dạng f (y)dy = g(x)dx (1.2) 1.2 Phương pháp giải Xét PTVP phân ly cấp (1.2), lấy tích phân hai vế theo biến x, ta có: ∫ ∫ f (y)dy = g(x)dx + C ⇔ F (y) = G(x) + C Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.1 Định nghĩa PTVPTT cấp PTVP có dạng dy + P (x)y = Q(x) dx (1.3) 2.2 Phương pháp giải Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Đầu tiên, tính thừa số tích phân ⃝ ∫ ρ(x) = e P (x)dx Nhân hai vế (1.3) với ρ(x) ⃝ Sau đó, đưa vế trái phương trình xét dạng đạo hàm ⃝ tích: [ ] Dx ρ(x)y(x) = ρ(x)Q(x) (1.4) Lấy tích phân hai vế phương trình (8.4), ta được: ⃝ ∫ ρ(x)y(x) = ρ(x)Q(x) dx + C Cuối cùng, giải theo y để nhận nghiệm tổng quát PTVPTT cấp ⃝ (8.3) là: y(x) = e− ∫ P (x)dx [ ∫ Q(x)e P (x)dx +C ] (1.5) Phương trình vi phân cấp 3.1 Định nghĩa PTVP cấp PTVP có dạng ( ) y dy =F dx x (1.6) 3.2 Phương pháp giải y dν dν ⇒ y = νx = ν + x Khi đó, PTVP (1.6) x dx dx trở thành PTVP phân ly biến số: • Đặt ν = dν dx = F (ν) − ν x Phương trình vi phân Bernoulli 4.1 Định nghĩa PTVP Bernoulli PTVP có dạng dy + P (x)y = Q(x)y n , n ∈ R dx (1.7) 4.2 Phương pháp giải Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân n−1 Sử dụng phép thế: ν = y ⃝ Khi đó, ⃝ dν dy = (1 − n)y −n dx dx Phương trình (1.7) trở thành PTVPTT cấp một: ⃝ dν + (1 − n)P (x)ν = (1 − n)Q(x) dx Phương trình vi phân tồn phần 5.1 Định nghĩa Nếu tồn hàm F (x; y) cho                ∂F = M (x; y) ∂x ∂F = M (x; y) ∂y PTVP dạng: M (x; y)dx + N (x; y)dy = gọi phương trình vi phân tồn phần 5.2 Cơng thức nghiệm • Xét PTVP tồn phần: M (x; y)dx + N (x; y)dy = (1.8) Khi đó, tồn hàm F (x; y) cho ∂F ∂F dx + dy = M (x; y)dx + N (x; y)dy = ∂x ∂y • Ta có ∫ F (x; y) = M (x; y) dx + g(y) Lấy đạo hàm hai vế (1.9) theo biến y áp dụng • Nghiệm tổng qt PTVP tồn phần (1.8) là: (1.9) ∂F = N (x; y) để xác định g(y) ∂y F (x; y) = C Một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 6.1 Phương trình khuyết biến phụ thuộc y Dạng: F (x; y ′ ; y ′′ ) = (1.10) Phương pháp giải: Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân dy dp ⇒ y ′′ = dx dx • Ta nhận PTVP cấp một: F (x; p; p′ ) = • Xét phép p = y ′ = (1.11) • Nếu p = p(x; C1 ) nghiệm tổng quát phương trình (1.11) nghiệm tổng phương trình (1.10) là: ∫ y(x) = y ′ (x) dx = ∫ p(x; C1 ) dx + C2 (1.12) 6.2 Phương trình khuyết biến độc lập x Dạng: F (y; y ′ ; y ′′ ) = (1.13) Phương pháp giải: dp dp dy dp = = p dx dy dx dy • Khi đó, PTVP (1.13) trở thành PTVP cấp (với p hàm y) • Xét phép thế: p = y ′ ⇒ y ′′ = ( dp F y; p; p dy ) (1.14) • Nếu nghiệm (1.14) p = p(y; C1 ) (khi giả thiết y ′ ̸= 0), ta có ∫ x(y) = ∫ ∫ ∫ dx 1 dy dy = dy = dy = + C2 dy dy p p(y; C1 ) dx • Nếu tích phân cuối P = ∫ (1.15) dy tính nhận nghiệm p PTVP cấp hai ban đầu (1.13) là: x(y) = P (y; C1 ) + C2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Dạng: ay ′′ + by ′ + cy = 0, a ̸= b; c số (1.16) Mục đích: Đi tìm nghiệm tổng qt (1.16) Phương pháp giải: • Xét phương trình đặc trưng (1.16) : ar2 + br + c = (1.17) • Giải phương trình đặc trưng (1.17) tùy theo trường hợp để suy nghiệm tổng quát phương trình (1.16) Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt ⃝ Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có hai nghiệm thực phân biệt r1 r2 nghiệm tổng quát phương trình (1.16) y(x) = c1 er1 x + c2 er2 x (1.18) Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có nghiệm bội ⃝ Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có hai nghiệm r1 = r2 = r nghiệm tổng quát phương trình (1.16) y(x) = (c1 + c2 x)erx (1.19) Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức ⃝ Nếu phương trình đặc trưng (1.17) có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp a ± ib (b ̸= 0) nghiệm tổng quát phương trình (1.16) y(x) = eax (c1 cos bx + c2 sin bx) (1.20) Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số Dạng: an y (n) + an−1 y (n−1) + + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = (1.21) (an ̸= 0, an−1 , , a0 số) Mục đích : Tìm nghiệm tổng qt phương trình (1.21) Cách giải PTVPTT cấp n hệ số Xét PTVP (1.21) Ta tìm nghiệm đơn (1.21) dạng y = y(x) = erx , r số cần xác định • Thay y = erx vào phương trình (1.21), ta phương trình đặc trưng là: an rn + an−1 rn−1 + + a2 r2 + a1 r + a0 = (1.22) Cũng PTVPTT cấp hai nhất, có trường hợp sau phương trình đặc trưng: Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (1.22) có n nghiệm phân biệt Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn Bộ mơn Tốn - Đại học Thủy Lợi Hướng dẫn giải tập Phương trình vi phân Nếu phương trình đặc trưng (1.22) có n nghiệm thực phân biệt r1 , r2 , , rn nghiệm tổng quát phương trình (1.21) có dạng y = y(x) = C1 er1 x +C2 er2 x + .+Cn ern x , C1 ; C2 ; ; Cn số tùy ý (1.23) Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (1.22) có nghiệm bội Nếu phương trình đặc trưng (1.22) có r nghiệm bội k (k ≥ 2) nghiệm tổng quát phương trình (1.21) có dạng y = y(x) = (C1 + C2 x + C3 x2 + + Ck xk−1 )erx (1.24) (C1 ; C2 ; ; Ck số tùy ý) Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng (1.22) có nghiệm phức Nghiệm phức đơn Nếu cặp nghiệm liên hợp phức r1 = a + ib r2 = a − ib nghiệm đơn nghiệm riêng (giá trị thực) tương ứng y1 (x) = eax cos bx y2 (x) = eax sin bx độc lập tuyến tính Khi đó, phần nghiệm tổng quát tương ứng với cặp nghiệm phức liên hợp C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = C1 eax cos bx + C2 eax sin bx (1.25) Nghiệm phức bội Nếu cặp nghiệm liên hợp phức r1 = a + ib r2 = a − ib nghiệm bội k phần nghiệm tổng quát tương ứng với cặp nghiệm phức liên hợp (A1 + A2 x + + Ak xk−1 )e(a+ib)x + (B1 + B2 x + + Bk xk−1 )e(a−ib)x = = k−1 ∑ n=0 n ax xn eax (Cn cos bx + Dn sin bx) (1.26) Các hàm x e cos bx, xn eax sin bx, n = 0, k − độc lập tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính khơng cấp n với hệ số Xét PTVPTT không cấp n với hệ số an y (n) + an−1 y (n−1) + + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = f (x) (1.27) (an ̸= 0, an−1 , , a0 số) Th.S Đặng Võ Phúc Email: phucdv@wru.edu.vn ... đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập ta có PTVP thường Trong tồn Lý thuyết PTVP này, quan tâm đến PTVP thường (từ sau gọi PTVP) Một PTVP tổng quát phương trình có dạng F (x, y, y ′ ,... giải PTVP cấp phân ly biến số; y ′ = g(x)h(y), ( ) PTVP y cấp dạng: y ′ = F (ax + by + c) PTVP cấp nhất: y ′ = F x − Nhận dạng đưa PTVP cấp ban đầu dạng phương trình (đã biết cách giải): ′ PTVP. .. vào nhận đồng thức Để học tốt học phần PTVP yêu cầu SV phải nhận dạng loại PTVP, qua tích phân (hay tìm nghiệm), khơng có phương pháp chung để giải PTVP Giải PTVP trình tính tích phân, u cầu SV

Ngày đăng: 29/06/2018, 12:53

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan