Phân loại các điều kiện biên phi tuyến cho phương trình halmiton jacobi một chiều không lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HÒA PHÂN LOẠI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI MỘT CHIỀU KHƠNG LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HÒA PHÂN LOẠI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI MỘT CHIỀU KHƠNG LỒI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI, NĂM 2017 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng – người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới phòng Sau đại học; thầy, giáo giảng dạy cao học chun ngành Tốn Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Nguyễn Thị Hòa ii Lời cam đoan Dưới hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, luận văn thạc sỹ chun nghành Tốn giải tích với đề tài “Phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton-Jacobi chiều khơng lồi” hồn thành nhận thức thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Nguyễn Thị Hòa iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Hamilton-Jacobi 1.2 Nghiệm nhớt Phân loại điều kiện biên phi tuyến 2.1 Bộ hạn chế tập hợp hàm hạn chế thông lượng 2.2 Sự phân rã hàm thử 14 2.3 Phân loại điều kiện biên 19 2.4 Nguyên lý so sánh nghiệm 29 2.4.1 Chứng minh nguyên lý so sánh trường hợp Hamiltonian cưỡng 2.4.2 29 Chứng minh nguyên lý so sánh cho trường hợp Hamiltonian không cưỡng điều kiện biên có phần phẳng 30 2.4.3 Hàm thử cặp không gian thời gian 31 2.4.4 Chứng minh Định lí 2.4 32 2.4.5 Xây dựng hàm thử 35 iv Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò quan trọng Vật lí nói chung, Cơ học nói riêng mối quan tâm nghiên cứu nhiều nhà vật lý học nhiều nhà toán học giới (xem [1]-[6] tài liệu đó) Trong trường hợp hàm Hamilton lồi theo biến gradient, có nhiều kết cơng bố, phải kể đến công thức Hopf-Lax cho nghiệm tường minh toán biên Dirichlet (xem [1]) Tuy nhiên, kết cho trường hợp hàm Hamilton không lồi theo biến gradient hạn chế (xem [5], [6]) Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng xuất từ đầu năm 80 kỉ trước cho ta khái niệm nghiệm yếu phù hợp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến đầy đủ cấp 1, cấp Tính mềm dẻo cách tiếp cận cho có tính đặt chỉnh nhiều tốn với điều kiện biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (xem [3]-[6] tài liệu đó) Với mong muốn tìm hiểu sâu nghiệm nhớt áp dụng cho toán biên phi tuyến phương trình Hamilton-Jacobi, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài: "Phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton-Jacobi chiều khơng lồi" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu kết phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton – Jacobi chiều phi tuyến báo [5] Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương trình Hamilton-Jacobi chiều; Tìm hiểu lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi; Tìm hiểu việc phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton-Jacobi chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình Hamilton-Jacobi chiều phi tuyến với hàm Hamilton không thiết lồi với điều kiện biên Neumann Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu nghiệm theo nghĩa nhớt phương trình Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài sử dụng phương pháp lý thuyết phương trình đạo hàm riêng lý thuyết nghiệm nhớt Đóng góp Luận văn Trình bày cách hệ thống kết nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi với điều kiện biên Neumann phi tuyến trường hợp chiều số kết nghiệm nhớt toán nêu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Hamilton-Jacobi Thuật ngữ phương trình Hamilton-Jacobi ngày sử dụng cho lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tổng qt có dạng ut + H(x, t, u, Du) = 0, x ∈ Ω, t > mơ hình dừng H(x, u, Du) = 0, x ∈ Ω, Ω tập mở khơng gian Rn , chí khơng gian Banach nói chung Khi hàm H gọi Hamiltonian phương trình tương ứng Chúng ta thường phải xét tốn tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu (đối với phương trình phụ thuộc thời gian) số điều kiện biên khác Các điều kiện xuất phát từ ứng dụng cụ thể Một kết quan trọng liên quan tới nghiệm cổ điển toán Cauchy  ut + H(Du) = Rn × (0, ∞) u = g Rn × {t = 0} cơng thức Hopf-Lax u(x, t) = minn tL y∈R x−y + g(y) t trường hợp hàm Hamiltonian H trơn, lồi kiện ban đầu g liên tục Lipschitz ([1], Định lí 4.7) Rất nhiều kết liên quan tới nghiệm nhớt toán Dirichlet (điều kiện biên u = biên Ω) phương trình Hamilton-Jacobi tổng quát ứng dụng chúng điều khiển tối ưu đề cập [3] Trong trường hợp điều kiện biên phi tuyến, kết hạn chế Luận văn trình bày kết [5] phương trình HamiltonJacobi với điều kiện biên phi tuyến sau  ut + H(ux ) = 0, t ∈ (0, T ) x > 0, u + F (u ) = 0, t ∈ (0, T ) x = 0, t (1.1) x điều kiện ban đầu u(x, 0) = u0 (x), x ≥ 0, (1.2) T > cho trước hàm Hamiltonian H : R → R liên tục, nói chung khơng lồi Đối với H, cần tới số điều kiện khác như: tính cưỡng lim H(p) = +∞ (1.3) lim F (p) = +∞ (1.4) |p|→+∞ tính nửa cưỡng p→−∞ Trong đó, hàm F : R → R giả thiết liên tục khơng tăng Nghiệm tốn hiểu theo nghĩa nghiệm nhớt nới lỏng (xem Định nghĩa 1.1) ... "Phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton -Jacobi chiều khơng lồi" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu kết phân loại điều kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton – Jacobi chiều. .. kiện biên phi tuyến cho phương trình Hamilton -Jacobi chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình Hamilton -Jacobi chiều phi tuyến với hàm Hamilton không thiết lồi với điều kiện biên Neumann... chiều phi tuyến báo [5] Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương trình Hamilton -Jacobi chiều; Tìm hiểu lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton -Jacobi; Tìm hiểu việc phân loại điều kiện biên phi