Đề + Đáp án HSGH vòng 2 năm 2008-2009

PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 LỚP 9 NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) -------------------------------------------------------------------------------------- Câu 1 (5 Điểm) a. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. b. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009x x y y− + − + − + − + = (1) Tính giá trị của A = x + y Câu 2 (4 Điểm) Cho hai đường thẳng d 1 : y = - 2x + 5 và d 2 : y = 3x - 2 và họ đường thẳng d m : mx - 3 + m - y = 0 (m là tham biến) a. Hãy xác định m để ba đường thẳng d 1 ; d 2 ; d m đồng quy. Tìm toạ độ điểm cố định mà d m luôn luôn đi qua với mọi m. b. Cho I(2; 3) viết phương trình đường thẳng d đi qua I và cắt d 1 ; d 2 theo thứ tự tại M; N sao cho I là trung điểm của MN. Câu 3 (5 Điểm) a. Giải phương trình x xx x =−+− 1 1 1 b. Cho a 1 , a 2 > 0, a 1 c 1 ≥ 2 1 b và a 2 c 2 ≥ 2 2 b Chứng minh (a 1 + a 2 )(c 1 + c 2 ) ≥ (b 1 + b 2 ) 2 Câu 4 (6 Điểm) Cho đường tròn (O) và một cát tuyến d không đi qua O. Từ một điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Đường vuông góc với đường kính BC tại O cắt AC kéo dài tại D. a. Chứng minh AC // MO và tứ giác CDMO là hình bình hành. b. Xác định vị trí điểm M trên d để tam giác MAB điều. PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN 9 Nội dung Điểm Bài 1 5,0 a 3.0 Gọi ba số nguyên liên tiếp là (n - 1); n; (n + 1) ; với n ∈ Z 0,5 Ta có (n - 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3 = 3n 3 + 6n = 3(n 3 + 2n) 0,5 = 3(n 3 - n + 3n) = 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n 1,0 Mà 3(n - 1).n.(n + 1)  9 và 9n  9 0,5 Vậy 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n  9 hay (n - 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3  9 0,5 b 2,0 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009 2008 2008 2009 x x y y x x     − − − + − + − +       = − − − + 0,5 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2009 2008 2008 2009 2009 2008 2008 2009y y x x− − + − + = − − − + (2) 0,5 Tương tự nhân hai vế của (1) với ( ) ( ) 2 2008 2008 2009y y− − − + ta được ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2009 2008 2008 2009 2009 2008 2008 2009x x y y− − + − + = − − − + (3) 0,5 Cộng (2) với (3) vế theo vế ta được: - (x + y) +2.2008 = x + y - 2.2008 ⇒ x + y = 2.2008 = 4016 Vậy A = 4016 0,5 Bài 2 4,0 a 2,5 Vì d 1 và d 2 cắt nhau nên giao điểm của d 1 và d 2 là A( 5 11 ; 5 7 ) 1,0 mà d 1 ; d 2 ; d m đồng quy ⇔ d m đi qua A ⇒ m. 5 7 - 3 + m - 5 11 = 0 ⇔ m = 6 13 0,5 Ta có d m biến đổi được (x + 1).m + (- y - 3) = 0 0,5 Để d m luôn đi qua điểm cố định với mọi m thì    =+ =+ 03 01 y x ⇔    −= −= 3 1 y x 0,5 b 1,5 Gọi M(x M ;y M ); N(x N ;y N ) là giao của d với d 1 ,d 2 ; M(x M ;-2x M +5), N(x N ; 3x N -2) và I(x I ;y I ) = (2;3) 0,5 ta có    =+ =+ INM INM yyy xxx 2 2 ⇒    =−++− =+ ⇔    =+ =+ 62352 4 6 4 NM NM NM NM xx xx yy xx ⇒        = = 5 7 5 9 M M y x 0,5 Vậy đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M( 5 7 ; 5 9 ) và I(2;3) nên đường thẳng cần lập là y = 8x - 13 0,5 Bài 3 5,0 a 3,0 Điều kiện 01 <≤− x hoặc 1 ≥ x Đặt 0 1 ≥=− a x x , 0 1 1 ≥=− b x 1,0 Ta có a + b = x, a 2 - b 2 = x - 1 ⇒ xx x ba 1 1 1 −= − =− 0,5 Do đó 2a = x + 1 x 1 − = 1 + x x 1 − = 1 + a 2 ⇒ a 2 - 2a + 1 = 0 ⇒ (a - 1) 2 = 0 ⇒ a = 1 ⇒ x b 1 = vì ⇒ 00 >⇒≥ xb 0,5 ⇒ 1 1 =− x x ⇒ 4 5 2 1 2 =       − x ⇒ 2 51 ± = x với 0 2 51 < − = x (Loại) Vậy phương trình có nghiệm 2 51 + = x 1,0 b 2,0 Theo bài ra a 1 ,a 2 ,c 1 ,c 2 > 0 ta có (a 1 + a 2 )(c 1 + c 2 ) = a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 1 c 2 + a 2 c 1 0,5 Áp dụng cosi và giả thiết ta có VT = a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 1 c 2 + a 2 c 1 ≥ 2211 2 2 2 1 2 cacabb ++ 0,5 VT 21 2 2 2 1 2 bbbb ++≥ VT ( ) 2 21 bb +≥ VT ( ) 2 21 bb +≥ 0,5 Vậy (a 1 + a 2 )(c 1 + c 2 ) ≥ (b 1 + b 2 ) 2 (ĐPCM) 0,5 Bài 4 6,0 Vẽ đúng hình D A C 0,5 a d M B 3,0 Chỉ ra được ACAB ⊥ và ABMO ⊥ 1,0 ⇒ AC // MO vì cùng vuông góc với AB 0,5 Theo trên thì AC // MO ⇒ ∧∧ = 11 OC và giả thiết BCDO ⊥ nên DOCMBO ∆=∆ (cạnh góc vuông - góc nhọn). ⇒ MO = DC và ba điểm C,A,D thẳng hàng. 1,0 Vậy tứ giác CDMO là hình bình hành 0,5 b 2,5 Tam giác MAB đều ⇔ 0 60 = ∧ AMB ⇔ 0 30 = ∧ OMB 0,5 Xét tam giác vuông MBO với 0 30 = ∧ OMB ⇒ OM = 2.OB (tính chất tam giác vuông) 1,0 Vậy để xác định điểm M ta vẽ đường tròn (O) bán kính bằng đường kính đường tròn (O) đã vẽ cắt đường thẳng d ở đâu thì đó là điểm M . 1,0 . + a 2 )(c 1 + c 2 ) = a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 1 c 2 + a 2 c 1 0,5 Áp dụng cosi và giả thiết ta có VT = a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 1 c 2 + a 2 c 1 ≥ 22 11 2 2 2. 22 11 2 2 2 1 2 cacabb ++ 0,5 VT 21 2 2 2 1 2 bbbb ++ ≥ VT ( ) 2 21 bb + VT ( ) 2 21 bb + 0,5 Vậy (a 1 + a 2 )(c 1 + c 2 ) ≥ (b 1 + b 2 ) 2 (ĐPCM) 0,5