Đề + Đáp án HSGH vòng 2 năm 2008-2009

Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.. Tìm toạ độ điểm cố định mà dm luôn luôn đi qua với mọi m.. Từ một điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với

PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2

LỚP 9 NĂM HỌC 2008 - 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

-Câu 1 (5 Điểm)

a Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009

Tính giá trị của A = x + y

Câu 2 (4 Điểm)

Cho hai đường thẳng d1: y = - 2x + 5 và d2: y = 3x - 2 và họ đường thẳng

dm: mx - 3 + m - y = 0 (m là tham biến)

a Hãy xác định m để ba đường thẳng d1; d2; dm đồng quy Tìm toạ độ điểm cố định mà dm

luôn luôn đi qua với mọi m

b Cho I(2; 3) viết phương trình đường thẳng d đi qua I và cắt d1; d2 theo thứ tự tại M; N sao cho I là trung điểm của MN

Câu 3 (5 Điểm)

a Giải phương trình x

x x

x   1 

1 1

b Cho a1, a2 > 0, a1c1  b12 và a2c2  b22

Chứng minh (a1 + a2)(c1 + c2)  (b1 + b2)2

Câu 4 (6 Điểm)

Cho đường tròn (O) và một cát tuyến d không đi qua O Từ một điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Đường vuông góc với đường kính BC tại O cắt AC kéo dài tại D

a Chứng minh AC // MO và tứ giác CDMO là hình bình hành

b Xác định vị trí điểm M trên d để tam giác MAB điều

PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN: TOÁN 9

Gọi ba số nguyên liên tiếp là (n - 1); n; (n + 1) ; với n  Z 0,5

Ta có (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 + 6n = 3(n3 + 2n) 0,5 = 3(n3 - n + 3n) = 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n 1,0

Vậy 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n  9 hay (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3

2

2009

2008 2008 2009

0,5

2009 y 2008 y 2008 2009 2009 x 2008 x 2008 2009

Tương tự nhân hai vế của (1) với  2 

2008 2008 2009

2009 x 2008 x 2008 2009 2009 y 2008 y 2008 2009

0,5

Cộng (2) với (3) vế theo vế ta được: - (x + y) +2.2008 = x + y - 2.2008

 x + y = 2.2008 = 4016

Vậy A = 4016

0,5

Vì d1 và d2 cắt nhau nên giao điểm của d1 và d2 là A( ;115

5

7

mà d1; d2; dm đồng quy  dm đi qua A

 m.57 - 3 + m - 115 = 0  m = 136

0,5

Ta có dm biến đổi được (x + 1).m + (- y - 3) = 0 0,5

Để dm luôn đi qua điểm cố định với mọi m thì 











0 3 0 1

y x

 







 3 1

y x

0,5

Gọi M(xM;yM); N(xN;yN) là giao của d với d1,d2 ; M(xM;-2xM+5), N(xN; 3xN-2)

và I(xI;yI) = (2;3)

ta có 











I N

M

I N

M

y y

y

x x

x

2 2

0,5

 































6 2 3 5 2 4 6

4

N M N M N M N M

x x x x y y x x













5 7 5 9

M M

y

Vậy đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M( ;57

5 9

nên đường thẳng cần lập là y = 8x - 13

Điều kiện  1 x 0 hoặc x 1

Đặt  1 a 0

x

x , 1  1 b 0

x

1,0

Ta có a + b = x, a2 - b2 = x - 1  a bx x 1 1  1x 0,5

Do đó 2a = x + 1 1x = 1 + x  1x = 1 + a2

 a2 - 2a + 1 = 0  (a - 1)2 = 0  a = 1  b1x vì  b 0  x 0

0,5

  1  1

x

4

5 2

1 2

















2

5

1 



2

5 1







Vậy phương trình có nghiệm

2

5

1 



x

1,0

Theo bài ra a1,a2,c1,c2 > 0

ta có (a1 + a2)(c1 + c2) = a1c1 + a2c2 + a1c2 + a2c1

0,5

Áp dụng cosi và giả thiết ta có

VT = a1c1 + a2c2 + a1c2 + a2c1  1 1 2 2

2 2 2

0,5

VT 1 2

2 2 2



VT  2

2

b 



VT  2

2

1 b

b 



0,5

Vậy (a1 + a2)(c1 + c2)  (b1 + b2)2 (ĐPCM) 0,5

a

Vẽ đúng hình

D A C

d

M

B

0,5

3,0

Theo trên thì AC // MO    

1

C và giả thiết DO  BC nên

DOC MBO 

 (cạnh góc vuông - góc nhọn)  MO = DC và ba điểm

C,A,D

1,0

thẳng hàng

Tam giác MAB đều   60 0





Xét tam giác vuông MBO với  30 0



OMB  OM = 2.OB (tính chất tam giác vuông)

1,0

Vậy để xác định điểm M ta vẽ đường tròn (O) bán kính bằng đường kính

đường tròn (O) đã vẽ cắt đường thẳng d ở đâu thì đó là điểm M

1,0