CÔNG THỨC TINH NHANH lớp 12 on thi DH

Các công thức toán tổng hợp thi đại học hay nhất MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12 A. KHỐI ĐA DIỆN 1. BẢNG TÓM TẮT 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU. Loại {n, p} có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì: n.M=p.D=2C hoặc D + M = 2 + C {n, p} n: số cạnh của một mặt, p: số mặt của một đỉnh Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Thể tích Số mặt phẳng đối xứng Tứ diện đều 4 6 4 {3;3} 6 Khối lập phương 8 12 6 {4;3} 9 Khối bát diện đều 6 12 8 {3;4} 9 Khối thập nhị diện (12) đều 20 30 12 {5;3} 15 Khối nhị thập diện (20) đều 12 30 20 {3;5} 15 2. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP. LOẠI TÍNH CHẤT – CÔNG THỨC HÌNH VẼ TAM DIỆN VUÔNG Hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. SA = a, SB = b, SC = c. HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên bằng b. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc . Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc . Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mp đi qua A và song song với BC, vuông góc với (SBC), góc giữa (P) và đáy bằng . TỨ DIỆN ĐỀU Cho tứ diện đều cạnh a Cho tứ diện đều cạnh a. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm của các mặt của tứ diện. Khi đó G1G2G3G4 là tứ diện đều có thể tích: TỨ DIỆN GẦN ĐỀU AB = CD = a AC = BD = b AD = BC = c TỨ DIỆN BIẾT 3 CẠNH, 3 GÓC Ở 1 ĐỈNH SA = a, SB = b, SC = c HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên bằng b. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc . Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc . KHỐI TÁM MẶT Khối tám mặt có đỉnh là tâm của hình hộp chữ nhật có ba cạnh a, b, c. Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm của hình lập phương cạnh a Khối tám mặt đều cạnh a . Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích là: 3. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU. a) Diện tích hình tròn – hình quạt – hình viên phân Diện tích hình tròn: Diện tích hình quạt: (: đơn vị radian) Diện tích hình viên phân: b) Mặt cầu – Chỏm cầu Diện tích mặt cầu: Thể tích khối cầu: Diện tích chỏm cầu chiều cao h: Thể tích chỏm cầu chiều cao h: c) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật – hình lập phương Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b, AA’=c Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’ Bán kính Đặc biệt: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương thì Mặt cầu (S) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’ Bán kính Khi đó: (S1), (S2) là mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. d) Hình nón – Khối nón Loại Công thức Hình vẽ HÌNH NÓN, KHỐI NÓN HÌNH NÓN CỤT, KHỐI NÓN CỤT THIẾT DIỆN Thiết diện qua trục là tam giác ABC cân tại A và SABC = R.h Thiết diện qua đỉnh không qua trục là tam giác ACD cân tại A, thiết diện cắt đáy theo dây CD có: • Góc giữa thiết diện và đáy: • Góc giữa thiết diện và trục: • Khoảng cách từ tâm đáy đến thiết diện: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP NÓN (S) tâm I bán kính R ngoại tiếp hình nón bk r, đường cao h. Đặc biệt: Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Khối nón có thể tích lớn nhất khi , MẶT CẦU NỘI TIẾP NÓN Mặt cầu (S) tâm I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (N) bán kính R, đường cao h, đường sinh l. +) Dựng tâm I: Lấy E  AC sao cho OC = EC +) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt AO tại I là tâm mặt cầu nội tiếp mặt nón (N) +) Bán kính mặt cầu e) Hình trụ – Khối trụ CÔNG THỨC CƠ BẢN Thiết diện vuông góc với trục là đường tròn đường kính R Thiết diện chứa trục là hcn ABCD có S = 2Rh Thiết diện song song với trục là hcn AEFD có khoảng cách giữa trục và thiết diện là d(Ô’, (AEFD)) = OI AB, CD là hai đường kính bất kì trên hai mặt đáy của hình trụ Đặc biệt: Nếu ABCD ta có A, B là hai điểm trên hai đường tròn đáy của hình trụ Góc giữa AB và trục OO’ là Khoảng cách giữa AB và OO’ là Nếu ABCD là hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ Cạnh của hình vuông MẶT CẨU NGOẠI TIẾP HÌNH TRỤ Mặt cầu ngoại tiếp khối trụ có bán kính r, đường cao h có: Trong các hình trụ nội tiếp mặt cầu thì hình trụ có thiết diện qua trục lớn nhất khi . Khi đó thiết diện là hình vuông. Trong các hình trụ có đường cao h và bán kính r nội tiếp mặt cầu thì hình trụ có thế tích lớn nhất khi . MẶT CẨU NỘI TIẾP HÌNH TRỤ Hình trụ (H) có bán kính R và đường cao 2R. (S) là mặt cầu nội tiếp hình trụ. Tỉ số diện tích Tỉ số thể tích Đặc biệt: 1) Một hình trụ có Stp không đổi thì Vmax khi 2) Một hình trụ có V không đổi thì Stp min khi HÌNH TRỤ CỤT (phiến trụ) NỬA KHỐI TRỤ HÌNH NÊM DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI MỘT PHẦN PARABOL THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI PARABOL DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH KHÓI TRÒN XOAY SINH RA BỞI (E) HÌNH XUYẾN +) Diện tích hình vành khăn S = (R2 – r2) +) Thể tích hình xuyến (phao) HÌNH GIAO BỞI HAI KHỐI TRỤ +) Thể tich khối giao của hai khối trụ cùng bán kính R là: +) Thể tich khối giao của 14 hai khối trụ cùng bán kính R là: B. HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Một số dạng toán cực trị trong không gian Bài toán Hình vẽ Cách giải Cho điểm M(xM; yM;zM) không thuộc các trục và mp tọa độ. Viết ptr (P) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao cho VO.ABC nhỏ nhất? Mp Cho (P) và điểm A và B. Tìm M(P) để (MA + MB) min? +) A và B trái phía so với (P)  M, A, B thẳng hàng  M = AB (P) (MA + MB) min = AB +) A và B cùng phía so với (P) A’ đối xứng với A qua (P)  M, A’, B thẳng hàng  M = A’B (P) (MA + MB) min = A’B Cho (P) và điểm A và B. Tìm M(P) để |MA MB| max? +) A và B cùng phía so với (P)  M, A, B thẳng hàng  M = AB (P) |MA MB| max = AB +) A và B khác phía so với (P) A’ đối xứng với A qua (P)  M, A’, B thẳng hàng  M = A’B (P) |MA MB| max = A’B Cho M d. Viết (P) chứa d sao cho d(M,(P)) max H là hình chiếu vuông góc của M trên d. d(M,(P)) max  (P): Cho A và M. Viết (P) qua A và cách M một khoảng lớn nhất (P): Cho d và  không song song với d. Viết (P) chứa d và tạo với  một góc lớn nhất? (P): Cho (P). Viết phương trình đường thẳng d thuộc (P), song song với  và cách  một khoảng nhỏ nhất mp(d,)  (P) Lấy Ad, A’ là hình chiếu vuông góc của A trên(P) d Cho A  (P), M  (P), AM (P). Viết d đi qua A, thuộc (P) sao cho d(M,d) min H là hình chiếu của M trên (P) d  AH hoặc d(M,d) max d  MA Cho A(P) cho trước,  cắt (P) nhưng  (P). Viết d đi qua A, nằm trong (P) và tạo với  một góc nhỏ nhất ’ đi qua A và song song với  d là hình chiếu vuông góc của  trên (P). hoặc: Viết d đi qua A, nằm trong (P) và tạo với  một góc lớn nhất MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12 – ĐẠI SỐ 1. Tính đơn điệu của hàm số 2. Cực trị a) Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành + CSC khi có 1 nghiệm + CSN khi có 1 nghiệm b) Cực trị của hàm số bậc haibậc nhất +) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: c) Cực trị của hàm số bậc ba +) , : hàm số không có cực trị : hàm số có hai điểm cực trị +) Nếu hàm số có hai điểm cực trị A, B thì trung điểm của AB là điểm uốn U. +) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: C1: với C2: d) Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương +) Hàm số có 1 cực trị  ab0 +) Hàm số có 3 cực trị  ab0) . Khi đó BT2: Cho số phức z thỏa mãn: (k>0) . Khi đó TỔNG QUÁT BT3: Cho số phức z thỏa mãn: (k>0) . 1) Tìm minmax . Khi đó: 2) Tìm minmax . Khi đó: BT4: Cho số phức z thỏa mãn: (k>0) . Tìm minmax hoặc Cách làm: B1 B2 làm tương tự như BT3. 6. Nguyên hàm – Tích phân Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp + mở rộng 1. 13. 3. 14. 4. 15. 5. 16. 6. 17. 7. 18. 8. 19. 9. 20. 10. 21. 11. CHÚ Ý (phần đạo hàm) . Đặc biệt: 12. 8. Bài toán lãi suất ngân hàng Bài toán Công thức Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%kì hạn thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn là: Lãi kép tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra sẽ được tính vào vốn tính lãi cho kì hạn sau Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%kì hạn thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn là: Tiền gửi hàng tháng mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%tháng thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là: Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng mỗi tháng rút ra cùng một số tiền vào ngày ngân hàng tính lãi. Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%tháng . Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra cùng một số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu? Vay vốn trả góp Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng 1 tháng, mỗi tháng số tiền hoàn nợ là X đồng và trả hết nợ sau đúng n tháng. Để sau n tháng hết nợ thì hay Tăng lương Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồngtháng. Cứ sau n tháng thì người đó được tăng thêm r%tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được bao nhiêu tiền? Tăng trưởng dân số r% : tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m Xm: dân số năm m Xn: dân số năm n

MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12

A KHỐI ĐA DIỆN

1 BẢNG TÓM TẮT 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU.

Loại {n, p} có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì: n.M=p.D=2C hoặc D + M = 2 + C

{n, p} n: số cạnh của một mặt, p: số mặt của một đỉnh

đỉnh

Số cạnh

Số

Số mặt phẳng đối xứng

Tứ diện đều

( 2 /12)

Khối lập phương

Khối bát diện đều

Khối thập nhị diện (12) đều

20 30 12 {5;3} V (15 7 5) a3 15

Khối nhị thập diện (20) đều

(15 5 5)

2 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP.

TAM

DIỆN

VUÔNG

Hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông

góc SA = a, SB = b, SC = c.

.

1 6

S ABC

B

S

C S

HÌNH

CHÓP

TAM

GIÁC

ĐỀU

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên

bằng b.

.

3 12

S ABC

b

a

H

S

A

C

B

CHÓP

TAM

GIÁC

ĐỀU

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên

tạo với đáy góc .

3

tan 12

S ABC

a

 H

A

C

B

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên

tạo với đáy góc .

3

tan 24

S ABC

a

H

S

A

C

B

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi

(P) là mp đi qua A và song song với BC, vuông góc với

(SBC), góc giữa (P) và đáy bằng 

3

cot 24

S ABC

a





F S

A

C

B

E H

TỨ DIỆN

ĐỀU

Cho tứ diện đều cạnh a

3 2 12

ABCD

a

a

a

Cho tứ diện đều cạnh a Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là

trọng tâm của các mặt của tứ diện

Khi đó G1G2G3G4 là tứ diện đều có thể tích:

1 2 3 4

3

27

G G G G

a

G1

G3

TỨ DIỆN

GẦN

ĐỀU

AB = CD = a

AC = BD = b

AD = BC = c

 2 2 2  2 2 2  2 2 2

2 12

ABCD

a

b c c





D

C

TỨ DIỆN

BIẾT 3

CẠNH, 3

GÓC Ở 1

ĐỈNH

SA = a, SB = b, SC = c

6

S ABC

abc

a S



A

C

CHÓP

TỨ

GIÁC

ĐỀU

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên

bằng b.

.

6

S ABCD

a

b

H



 S

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên

tạo với mặt đáy góc .

3

tan 12

S ABCD

a

a H



 S

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên

tạo với mặt đáy góc .

3

tan 6

S ABCD

a

a

 H



 S

KHỐI

TÁM

MẶT

Khối tám mặt có đỉnh là tâm của hình hộp chữ nhật có ba

cạnh a, b, c

6

abc

c

b a

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm của hình lập phương

cạnh a

3

6

a

a

Khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta

được khối lập phương có thể tích là:

3

27

a

a

3 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU.

a) Diện tích hình tròn – hình quạt – hình viên phân

Diện tích hình tròn: S ht R2

Diện tích hình quạt:

2

2

qt

R

S  (: đơn vị radian)

 R 

Diện tích hình viên phân: sin 2

2

vp

b) Mặt cầu – Chỏm cầu

- Diện tích mặt cầu: S mc 4R2

Thể tích khối cầu:

3 4 3

mc

R

- Diện tích chỏm cầu chiều cao h:S xq 2Rh

Thể tích chỏm cầu chiều cao h: 2

3

cc

h

V  �h R�  ��

c) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật – hình lập phương

Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b, AA’=c

- Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’

- Bán kính ' 1 2 2 2

AC

Đặc biệt: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương thì

3 2

a

Mặt cầu (S) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

cạnh a.

- Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’

- Bán kính

2

a

R

Khi đó: (S 1 ), (S 2 ) là mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình lập phương cạnh a

1

2

3 9

V

d) Hình nón – Khối nón

HÌNH NÓN,

KHỐI NÓN

2 1 2

N

xq

2

tp

S RlR

HÌNH NÓN

CỤT, KHỐI

NÓN CỤT

 2 2 

1

r 3

NC

xq

S l R r

tp

S l R r R r

THIẾT DIỆN

- Thiết diện qua trục là tam giác ABC cân tại A và SABC

= R.h

- Thiết diện qua đỉnh không qua trục là tam giác ACD cân tại A, thiết diện cắt đáy theo dây CD có:

 Góc giữa thiết diện và đáy:

 Góc giữa thiết diện và trục: �AO ACD,   OAH�

 Khoảng cách từ tâm đáy đến thiết diện:

MẶT CẦU

NGOẠI TIẾP

NÓN

(S) tâm I bán kính R ngoại tiếp hình nón bk r, đường cao h

2 2

2

R

h





Đặc biệt: Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm

I, bán kính R không đổi Khối nón có thể tích lớn nhất

max

81

N

MẶT CẦU

NỘI TIẾP

NÓN

Mặt cầu (S) tâm I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (N) bán kính R, đường cao h, đường sinh l

+) Dựng tâm I: - Lấy E  AC sao cho OC = EC +) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt AO tại I là tâm mặt cầu nội tiếp mặt nón (N)

+) Bán kính mặt cầu r hR

l R





e) Hình trụ – Khối trụ

CÔNG THỨC

CƠ BẢN

2

T

2

xq

2

tp

- Thiết diện vuông góc với trục là đường tròn đường

kính R

- Thiết diện chứa trục là hcn ABCD có S = 2Rh

- Thiết diện song song với trục là hcn AEFD có khoảng cách giữa trục và thiết diện là d(Ô’, (AEFD)) =

OI

AB, CD là hai đường kính bất kì trên hai mặt đáy của

hình trụ

1 OO '.sin( , ) 6

ABCD

Đặc biệt: Nếu ABCD ta có 1 OO '

6

ABCD

A, B là hai điểm trên hai đường tròn đáy của hình trụ

- Góc giữa AB và trục OO’ là

AB,OO ' �A AB'

- Khoảng cách giữa AB và OO’ là d AB ,OO ' O H'

Nếu ABCD là hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì

đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ

Cạnh của hình vuông AB 2 4R2h2

MẶT CẨU

NGOẠI TIẾP

HÌNH TRỤ

- Mặt cầu ngoại tiếp khối trụ có bán kính r, đường cao

h có:

2 2 4

h

- Trong các hình trụ nội tiếp mặt cầu thì hình trụ có

thiết diện qua trục lớn nhất khi 2

2

R

Khi đó thiết diện là hình vuông

- Trong các hình trụ có đường cao h và bán kính r nội

tiếp mặt cầu thì hình trụ có thế tích lớn nhất khi 2

MẶT CẨU

NỘI TIẾP

HÌNH TRỤ

Hình trụ (H) có bán kính R và đường cao 2R

(S) là mặt cầu nội tiếp hình trụ

- Tỉ số diện tích ( ) 2

( ) 3

tp

tp

S S

- Tỉ số thể tích ( ) 2

( ) 3

tp

tp

V S

Đặc biệt:

1) Một hình trụ có S tp không đổi thì V max khi 2

6

S



2) Một hình trụ có V không đổi thì Stp min khi h 2R 3V



HÌNH TRỤ

CỤT

(phiến trụ)

2

1 2

1 2

TC

xq

NỬA KHỐI

2

NT

HÌNH NÊM

3 1

2 tan 3

3

2 tan

2 3

V ��  ��R   V V

DIỆN TÍCH

GIỚI HẠN

BỞI MỘT

PHẦN

PARABOL

ar

4 3

p abol

THỂ TÍCH

KHỐI TRÒN

XOAY SINH

BỞI

PARABOL

2 ar

DIỆN TÍCH

VÀ THỂ

TÍCH KHÓI

TRÒN XOAY

SINH RA

BỞI (E)

E

S ab

2 2

4 3

a

2 2

4 3

b

XUYẾN

+) Diện tích hình vành khăn

S = (R2 – r2) +) Thể tích hình xuyến (phao)

2 2

V  ��  ����  ��

HÌNH GIAO

BỞI HAI

KHỐI TRỤ

+) Thể tich khối giao của hai khối

trụ cùng bán kính R là:

3 16 3

R

+) Thể tich khối giao của 1/4 hai

khối trụ cùng bán kính R là:

3 2 3

R

B HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Một số dạng toán cực trị trong không gian

Cho điểm M(xM; yM;zM) không thuộc

các trục và mp tọa độ

Viết ptr (P) qua M và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao

cho VO.ABC nhỏ nhất?

P

Cho (P) và điểm A và B

Tìm M(P) để (MA + MB) min?

+) A và B trái phía so với (P)

 M, A, B thẳng hàng

 M = AB (P)

(MA + MB) min = AB

+) A và B cùng phía so với (P) A’ đối xứng với A qua (P)

 M, A’, B thẳng hàng

 M = A’B (P)

(MA + MB) min = A’B

Cho (P) và điểm A và B

Tìm M(P) để |MA - MB| max?

+) A và B cùng phía so với (P)

 M, A, B thẳng hàng

 M = AB (P)

|MA - MB| max = AB

+) A và B khác phía so với (P) A’ đối xứng với A qua (P)

 M, A’, B thẳng hàng

 M = A’B (P)

|MA - MB| max = A’B

Cho M d

Viết (P) chứa d sao cho d(M,(P)) max

H là hình chiếu vuông góc của M trên d

d(M,(P)) max  nr( )P MHuuuur (P):

( )P [[u , AM],u ]

bki

n

�

�

�r r uuuur r Cho A và M

Viết (P) qua A và cách M một khoảng

lớn nhất

(P):

( )P AM

qua A n

�

� 

�r uuuur Cho d và  không song song với d

Viết (P) chứa d và tạo với  một góc

lớn nhất?

(P):

( )P d, Δ , d

qua A d

�

�

�

Cho //(P)

Viết phương trình đường thẳng d thuộc

(P), song song với  và cách  một

khoảng nhỏ nhất

mp(d,)  (P) Lấy Ad, A’ là hình chiếu vuông góc của A trên(P)

d

Δ

'

d

qua A

�

�



�r r

Cho A  (P), M 

(P), AM  (P)

Viết d đi qua A,

thuộc (P) sao cho

d(M,d) min

H là hình chiếu của M trên (P)

d  AH

hoặc

( ) ( )

:

qua A d

�

�

d(M,d) max

d  MA

( )

:

,

qua A d

�

�

r r uuuur

Cho A(P) cho

trước,  cắt (P)

nhưng   (P)

Viết d đi qua A, nằm trong (P) và

tạo với  một góc

nhỏ nhất

’ đi qua A và song song với 

d là hình chiếu vuông góc của  trên (P)

hoặc:

( ) ( )

:

qua A d

�

�

Viết d đi qua A, nằm trong (P) và

tạo với  một góc

lớn nhất

MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12 – ĐẠI SỐ

1 Tính đơn điệu của hàm số

2 Cực trị

a) Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành

+ CSC khi có 1 nghiệm

3

b x a



 + CSN khi có 1 nghiệm 3 d

x a



b) Cực trị của hàm số bậc hai/bậc nhất

2 ( ) ax ( )

y

 

 +) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: '( ) 2ax

'( )

y



c) Cực trị của hàm số bậc ba y f x( )ax3bx2 cx d a( �0)

+) y' 3 ax22bx c , Δ ' b2 3ac

Δ ' 0� : hàm số không có cực trị

Δ ' 0 : hàm số có hai điểm cực trị +) Nếu hàm số có hai điểm cực trị A, B thì trung điểm của AB là điểm uốn U

+) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là:

C1: y r x ( ) với ( )f x  f x p x'( ) ( )r x( )

C2: ( ) ' ''

3 '''

y y

y

 

d) Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương 4 2

+) Hàm số có 1 cực trị  ab0

+) Hàm số có 3 cực trị  ab<0

+) Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực tiểu  0

0

a b



�

��

�

+) Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực đại  0

0

a b



�

��

�

+) Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại  0

0

a b



�

� 

�

+) Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu  0

0

a b



�

� 

�

Giả sử y f x( )ax4bx2c a( � có 3 cực trị 0) (0; ), ; Δ , ; Δ

thành tam giác ABC thỏa mãn ab < 0.

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Đặt �BAC Tổng quát

3 2

cot

2 8

b a

 

Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện

tích bằng nhau

2 4 2 | |

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 8ac

Đồ thị hàm số (C) 4 2

( 0)

y ax bx c a� cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC

2 100 9

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)

y ax bx c a� và trục hoành có diện tích

phần trên và phần dưới bằng nhau

2 36 5

3 Tiệm cận

Cho hàm phân thức y ax b

cx d





 tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN tại A, B thì M là trung điểm của AB Diện tích tam giác IAB không đổi SIAB = 22 |ad bc|

4 Hàm số lũy thừa

Hàm số y x ,�� được gọi là hàm số lũy thừa

+ Tập xác định của hàm số lũy thừa y x ,�� phụ thuộc vào 

►  nguyên dương: D  �

►  nguyên âm hoặc bằng 0: D �\{0}

►  không nguyên: D(0;�)

+ Đồ thị hàm số:

5 Số phức

► Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 )

Số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z -1 = 2 2 2



► i 4n = 1

i 4n+1 = i Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N*

i 4n+2 = -1

i 4n+3 = -i;  n  N*

► (1 i) 2  2i

 2

1 i   2i

► Một số tính chất

+ z z ; z z� 'z z� ; '' z z z z ';

� �

� �

� � ;

2 | |

z z z

+ z là số thực  z z

z là số ảo  z z

+ z  ; 'z z z  z z ';

z z

+ z  z' � � �z z' z  z'

► BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

BT1: Cho số phức z thỏa mãn: z A     (k>0) Khi đó z A k 2

2

2

4

k

k

�

�

�

�

BT2: Cho số phức z thỏa mãn: z A   (k>0) Khi đó k max max

�

�

� TỔNG QUÁT

BT3: Cho số phức z thỏa mãn: Az B   (k>0) k

1) Tìm min/max P Cz D C z D

C

  �   � �� ��  

Khi đó:

max

| |

| |

�

�

2) Tìm min/max P C z D C z D C z D

B k D B D k

  �   � ��� ��� � �

Khi đó:

max

| |

| |

�  �� � � ��

� �

�

� �

�

BT4: Cho số phức z thỏa mãn: Az B   (k>0) k

Tìm min/max P Cz D C z D

C

Cách làm: B1 Az B  A z B  A z B k

B2 làm tương tự như BT3.

6 Nguyên hàm – Tích phân

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp + mở rộng

1 1



4 12 dx 1 C

x   x

2

C



�

5 1dx ln x C

2dx 2 ln x x a C



�

a

�

7

ln

x

a

8 cos� xdxsinxC 19 cotx� dxln sinx C

9 sin� xdx cosx C

20 ln t anx

dx

C

�

ln cot

dx

C

�

2

1

(1 tan ) tan

 lnx ' 1x 0

x

Đặc biệt:   1

ln x '

x



2

1

(1 cot ) cot sin x dx  x dx  x C

8 Bài toán lãi suất ngân hàng

Lãi đơn

là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

đơn r%/kì hạn thì số tiền khách nhận được cả

vốn lẫn lãi sau n kì hạn là:

n

S A nr

Lãi kép

tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra sẽ được tính vào vốn tính lãi cho

kì hạn sau

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

kép r%/kì hạn thì số tiền khách nhận được cả

vốn lẫn lãi sau n kì hạn là:

(1 )n n

S  A r

Tiền gửi

hàng tháng

mỗi tháng gửi đúng cùng một

số tiền vào 1 thời gian

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng

A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách

nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là:

(1 )n 1 1

n

A

 �  � 

Gửi ngân

hàng và rút

tiền gửi

hàng tháng

mỗi tháng rút ra cùng một số tiền vào ngày ngân hàng tính lãi.

Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r

%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính

lãi, rút ra cùng một số tiền là X đồng Tính số

tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

(1 )

n n

n

r

r

 

  

Vay vốn trả

góp

Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng

Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r

%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,

bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau

đúng 1 tháng, mỗi tháng số tiền hoàn nợ là X

đồng và trả hết nợ sau đúng n tháng.

(1 )

n n

n

r

r

 

  

Để sau n tháng hết nợ thì S n 0

hay (1 )

(1 ) 1

n n

X

r





Tăng lương

Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ sau n tháng thì người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau kn tháng

người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

kn

r

r

 



Tăng

trưởng dân

số

(1 )m n , ,

X X r  m n � m n

r% : tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

Xm: dân số năm m

Xn: dân số năm n