khảo sát dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

Là sinh viên Sư phạm Vật Lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp Toán - Lý là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây.. Đó là lý do nhóm chúng tôi chọn

ĐỀ TÀI

Khảo sát phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết Vật lý học

sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học mới Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng

kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh

mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết

Trong bộ môn phương pháp Toán - Lý có sự giao thoa giữa toán và vật lý, do đó

nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên cứu vật lý

Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn Với kiến thức

về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật Lý - Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này Việc giải một bài tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây

Là sinh viên Sư phạm Vật Lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp Toán - Lý

là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể Đó là lý

do nhóm chúng tôi chọn đề tài:

“Khảo sát phương trình sóng một chiều thông qua một số bài tập về dao động tự

do của dây hữu hạn trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý”.

B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nắm được lý thuyết của phương trình vi phân

- Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây

- Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên trong quá trình học tập học phần môn phương pháp Toán - Lý

- Giúp mở rộng kiến thức của bản thân

C NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao động tự do của sợi dây

- Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về

phần dao động tự do của sợi dây

D ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây, lực căng T là như nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động

- Phạm vi nghiên cứu: Trong trường hợp sợi dây là hữu hạn

E NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Lý thuyết về phương trình vi phân , một số bài tập về phương trình vi phân

- Lập phương trình dao động của sợi dây

- Khảo sát dao động tự do của sợi dây hữu hạn và một số bài tập về dao động tự do của sợi dây dài hữu hạn

- Xét ý nghĩa của nghiệm

- Một số bài tập mở rộng

F PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Sưu tầm tài liệu

- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụthể về dao động của sợi dây

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC

PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN CƠ BẢN:

Các phương trình mô tả sự

biến thiên của trường theo thời

gian thường là các phương trình vi

phân đạo hàm riêng, trong đó

chứa hàm chưa biết (hàm nhiều

biến), các đạo hàm riêng của nó

và các biến số độc lập

Phương trình đạo hàm riêng

gọi là tuyến tính nếu nó là bậc

nhất đối với hàm chưa biết và đạo

hàm riêng của nó

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến

số độc lập:

(1)Trong đó: hàm chưa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y ; u = u(x, y), các hệ

số A, B, C, D, E, F là những hàm của x, y

Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta có thể đưa phương trình (1) về 3 dạng

sau:

1 Nếu AC – B2 > 0 trong một miền nào đó, thì có thể đưa phương trình (1)

trong miền ấy về dạng:

(1.1)

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

u

T1 M1

Phương trình này gọi là phương trình loại Eliptic Dạng đơn giản nhất của phương trình này là phương trình Laplace:

a) Điều kiện ban đầu: Cho biết trạng thái lúc t = 0

b) Điều kiện biên: Cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian

Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu gọi là bài toán hỗn hợp

Nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn - < x < + thì ta chỉ cần điều kiệnban đầu, bài toán này gọi là bài toán Cauchy

Phương trình (1.9) không chứa thời gian, cả hai biến x, y đều là biến số không gian Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng Để xác định nghiệm ta chỉ cần các điều kiện biên, bài toán này gọi là bài toán biên

Nghiệm của bài toán đặt ra phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm của nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY:

1 Bài toán:

Xét một sợi dây mảnh không giãn, có chiều dài l, mật độ khối lượng  Mỗi điểm trên sợi dây chịu tác dụng của lực căng dây T theo phương tiếp tuyến.

Giả sử, ban đầu sợi dây song song với Ox, quá trình dao động nằm trong mặt phẳng uOx Trong đó, u là độ lệch của dây khỏi VTCB, u = u(x, t) Thiết lập

phương trình cho hàm u(x, t)

2 Giải quyết bài toán:

Giả sử tại thời điểm t có dạng như hình vẽ Giả thiết dây đàn hồi dao động của dây

y là nhỏ, coi chiều dài của dây không đổi, lực căng dây như nhau trong suốt quá trình dao động

Xét có tọa độ tương ứng Mỗi điểm trên sợi dây được mô tả bởi hàm

Các lực tác dụng lên sợi dây: lực căng dây T, trọng lực P

Lực căng dây tác dụng lên :

Lực căng dây tác dụng lên :

Lực căng dây tác dụng lên là:

Chiếu lên trục u ta có:

(1)

Vì dao động bé nên

(2)Ngoài lực căng sợi dây còn chịu tác dụng của trọng lực

Phương trình định luật II Newton cho đoạn là:

(4)

Vì nên phương trình (4) trở thành:

Đặt gọi là vận tốc truyền dao động Khi đó phương trình (5) có dạng:

(*)Phương trình (*) gọi là phương trình mô tả dao động của dây với hệ số là hằng

số có vế phải Đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng 2

Nếu không có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = 0 thì (*) gọi là phương trình

vi phân mô tả dao động tự do của dây

Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = 0 thì (*) gọi là phương trình vi phân

mô tả dao động cưỡng bức của dây

III KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN:

1 Bài toán:

Xét dao động của một sợi dây hữu hạn ngoài tác dụng của lực căng còn có tác dụng của trọng lực, biết sợi dây được gắn chặt hai đầu x = 0 ; và x = l Tại thời điểm sợi dây bắt đầu được mô tả hàm f(x) và được chuyển bởi hàm F(x)

2 Giải quyết bài toán.

Theo giả thiết ngoài tác dụng của lực căng sợi dây còn chịu tác dụng của trọng lực.Dây dao động cưỡng bức do đó hàm U(x,t) thỏa mãn phương trình vi phân sau

Trong đó: thỏa mãn các điều kiện biên

+ điều kiện biên: (2)

+ điều kiện ban đầu

* chú ý: Với phương trình vi phân không thuần nhất thì biểu thức nghiệm của nó

Do nghiệm của phương trình thuần nhất mô tả dao động của dây có dạng

Nên ta có thể đặt nghiệm biểu thức như sau:

(5)Lấy đạo hàm 2 lần theo t và x rồi thay vào (1)

Thay vào (1) ta được:

(6)

Vì (g) là hằng số mang giá trị bé do đó ta giả giử rằng đối với mỗi thì có thể phân tích thành chuỗi Furue như sau:

(7) (8)Thay (7) vào (6) sử dụng phương pháp đồng nhất thức 2 vế

Phương trình số (9) là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số là hằng số có vế phải làmột hằng số nên nghiệm của phương trình là

(10)

Điều kiện ban đầu:

Thay (10) vào (9)

IV MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 : Tìm nghiệm u(x,t)của phương trình

(3.1)

thỏa mãn điều kiện ban đầu:

điều kiện biên:

Bài giải:

Giả sử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện biên có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc vào x, một hàm chỉ phụ thuộc vào t: u(x,t) = X (x)T(t) (3.2)

Thay vào (3.1) và thực hiện việc tách biến ta được:

Bởi vì vế trái của đẳng thức này không phụ thuộc vào t, còn vế phải không phụ thuộc vào x Do đó cả không phụ thuộc vào x và t Vậy hai vế bằngnhau khi chúng cùng bằng hằng số C, nghĩa là:

Ta đi đến hai phương trình:

Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta có:

Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không, ta phải có:

Bài toán cho nghiệm tầm thường

- Trường hợp 2: Đặt C = 0 Thay vào (3.4) ta được:

Phương trình (3.4) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2 (3.8)trong đó C1, C2là các hằng số tùy ý

Từ điều kiện biên:

(3.9)Thay (3.9) vào (3.8) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường

- Trường hợp 3: Đặt

Thay vào (3.4) ta được:

Phương trình (3.4) có nghiệm dạng: X(x) =C1cosλx + C2sinλx (3.10) trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý

Từ điều kiện biên:

Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì

(3.11)

Thay C1= 0 và (3.11) vào (3.10) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một hàm

Xk(x) tương ứng dạng: (3.12)

trong đó: Dk là hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không,

Xk(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (3.4) Các hàm Xk(x) lập thành một họ hàm trực giao trong khoảng [0,L], nghĩa là:

Thay (3.11) vào phương trình (3.5) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:

Sử dụng điều kiện ban đầu của bài toán ta có:

Như vậy ak và là các hệ số khai triển Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong khai triển chúng theo sin trên quãng [0,L]

Chú ý: điều kiện khai triển

+ Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kì 2L

+ Hàm lẻ

+ f(0) = f (L) = 0

Các hệ số của chúng được tính theo công thức:

Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng:

(3.14)

Bài 2: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L,

thỏa mãn phương trình:, (a = const) (3.15)

thỏa mãn điều kiện ban đầu:

điều kiện biên:

Bài giải :

Giả sử nghiệm của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện biên

có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc x với một hàm chỉ phụ thuộc t: u(x,t) = X(x) T(t) (3.16)

Thay (3.16) vào phương trình(3.15) và thực hiện tách biến ta được

Từ đẳng thức trên ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức không phụ thuộc vào biến t, còn vế phải của đẳng thức không phụ thuộc biến x Do đó cả không phụ thuộc vào x và t Vậy hai vế bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số C Nghĩa là:

Ta đi đến hai phương trình:

Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta có:

Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta phải có:

Thay (3.20) vào (3.19) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường

- Trường hợp 2 : Đặt C = 0

Thay vào (3.17) ta được:

Phương trình (3.17) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2 (3.21)trong đó C1, C2là các hằng số tùy ý

Từ điều kiện biên: (3.22)

Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì

(3.26)

Thay C2= 0 và (3.26) vào (3.25) thì ứng với mỗi giá trị của k ta xác định tương ứng một nghiệm riêng Xk(x) dạng: (3.27)

trong đó: Dk là hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không,

Xk(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (3.17) Các hàm Xk(x) lập thành một hệ hàm trực giao trong khoảng [0,L], nghĩa là:

Thay (3.26) vào phương trình (3.18) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:

ak và bk.

Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:

Trong đó ta đặt khi

Như vậy Ak và Bk phải là các hệ số Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong khai triển chúng theo cosin trên quãng [0,L]

Chú ý: điều kiện khai triển

+ f(x) là hàm tuần hoàn chu kì 2L

+ f(x) là hàm chẵn

+ f’(0) = f’(L) = 0

Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng

Bài 3: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

trên miền D:

Với điều kiện ban đầu:

và điều kiện biên:

Trong đó a là hằng số khác 0 còn các hàm f(x), g(x) giải tích trên D

Bài giải :

Giả sử nghiệm riêng của bài toán chỉ thỏa mãn phương trình và các điều kiện biên có thể viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc x với một hàm chỉ phụ thuộc t: u(x,t) = X(x) T(t) (3.30)

Thay (3.16) vào phương trình(3.15) và thực hiện tách biến ta được

Từ đẳng thức trên ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức không phụ thuộc vào biến t, còn vế phải của đẳng thức không phụ thuộc biến x Do đó cả không phụ thuộc vào x và t Vậy hai vế bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số C Nghĩa là:

Ta đi đến hai phương trình:

Các nghiệm riêng cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện biên, nên với mọi t ta có:

Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta phải có:

Thay (3.34) vào (3.33) thì X(x) = 0 u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường

- Trường hợp 2 : Đặt Đặt C = 0

Thay vào (3.31) ta được:

Phương trình (3.31) có nghiệm dạng: X(x) = C1x + C2 (3.35)trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý

Từ điều kiện biên: (3.36)

Thay (3.36) vào (3.35) thì: X(x) = 0 u(x,t) = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường

Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì

(3.38)

Thay C1 = 0 và (3.38) vào (3.37) thì ứng với mỗi giá trị của k ta xác định tương ứng một nghiệm riêng Xk(x) dạng: (3.39) trong đó: Dk là hằng số tùy ý có thể lấy dấu tùy ý, k là số nguyên khác không, Xk(x) gọi là hàm riêng tương ứng của phương trình (3.31) Các hàm Xk(x) lập thành một hệ hàm trựcgiao trong khoảng [0,L], nghĩa là:

Thay (3.38) vào phương trình (3.32) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một phương trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:

bk.

Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:

Trong đó ta đặt là các hệ số khai triển Fourier của các hàm f(x) và F(x) trong khi khai triển chúng theo sin trên quãng [0,L]

Chú ý: điều kiện khai triển

+ f(x) là hàm tuần hoàn chu kì 2L

+ f(x) là hàm lẻ

+ f’(0) = f’(L) = 0

Vậy nghiệm của phương trình tường minh dưới dạng

Bài 4 : Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

trên miền D:

Với điều kiện ban đầu:

và điều kiện biên:

Trong đó a, A, B là các hằng số khác 0, các hàm f(x); g(x) giải tích trên D

Bài giải :

Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) của phương trình dưới dạng:

u(x,t) = v(x,t) + w1(x) + w2(x) (3.43)Thay (3.43) vào phương trình ta được:

Ta sẽ tìm các hàm v(x,t); w1(x); w2(x) như sau:

Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình: (3.44)

với điều kiện ban đầu: (3.45)

và điều kiện biên: (3.46)

Hàm w1(x) là nghiệm của phương trình: (3.47)

và thỏa mãn điềukiện biên: (3.48)

Hàm w2(x) là nghiệm của phương trình: (3.49)

và thỏa mãn điều kiện biên: (3.50)

Dạng nghiệm w1(x) của phương trình (3.47) là: (3.51) trong đó a1;

a2là các hằng số tích phân

Sử dụng điều kiện biên: :

(3.52)Thay (3.52) vào (3.51) thì w1(x) là tường minh:

(3.57)

Nghiệm v(x,t) của phương trình (3.44) được tìm dưới dạng:

v(x,t ) = X(x) T(t ) (3.58)

Thay (3.58) vào (3.44) ta được: (3.59)

Từ đẳng thức (3.59) ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến x, còn vế phải của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến t nên để cho đẳng thức xảy ra thì: