khảo sát dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

ĐỀ TÀI Khảo sát phương trình dao động cưỡng sợi dây hữu hạn A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giữa vật lý tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết Vật lý học sử dụng cơng cụ tốn học ln ln đặt yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học Ngược lại phát triển vật lý học phụ thuộc đáng kể vào phát triển tốn học tốn trở thành cơng cụ mạnh mẽ việc nghiên cứu vật lý lý thuyết Trong mơn phương pháp Tốn - Lý có giao thoa tốn vật lý, giảng dạy trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán cần thiết kỹ sử dụng tốn cơng cụ để học để nghiên cứu vật lý Thực tế, nghiên cứu tiếp thu kiến thức học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết sinh viên nói chung gặp nhiều khó khăn Với kiến thức toán cao cấp kiến thức phổ thông không đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê Vì yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích tốn học kiến thức cần thiết phương trình Vật Lý - Tốn nghiên cứu sâu mơn học Việc giải tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý toán học, điều thể rõ phần toán dao động tự sợi dây Là sinh viên Sư phạm Vật Lý nhận thấy môn phương pháp Tốn - Lý mơn học tương đối khó, có tốn dao động tự sợi dây Trong đó, thời điểm tại, tài liệu tham khảo dạng tập hạn chế, phương pháp mang nặng tính khái qt, thiếu cụ thể Đó lý nhóm chúng tơi chọn đề tài: “Khảo sát phương trình sóng chiều thơng qua số tập dao động tự dây hữu hạn chương trình tốn cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý” B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nắm lý thuyết phương trình vi phân - Xây dựng phương pháp giải tập phần dao động tự sợi dây - Cung cấp thêm tài liệu phần dao động tự sợi dây cho sinh viên trình học tập học phần mơn phương pháp Tốn - Lý - Giúp mở rộng kiến thức thân C NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu đưa sở lý thuyết phương pháp để giải toán dao động tự sợi dây - Đưa hệ thống tập giải mẫu, tập tự giải có hướng dẫn đáp số phần dao động tự sợi dây D ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây đàn hồi, dao động nhỏ để bỏ qua tăng chiều dài sợi dây, lực căng T tiết diện suốt trình dao động - Phạm vi nghiên cứu: Trong trường hợp sợi dây hữu hạn E NỘI DUNG NGHIÊN CỨU - Lý thuyết phương trình vi phân , số tập phương trình vi phân - Lập phương trình dao động sợi dây - Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn số tập dao động tự sợi dây dài hữu hạn - Xét ý nghĩa nghiệm - Một số tập mở rộng F PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Sưu tầm tài liệu - Nghiên cứu kỹ lý thuyết từ đưa phương pháp giải ứng với tập cụ thể dao động sợi dây PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TỐN CƠ BẢN: Các phương trình mơ tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập u T2 M2 M1 T1 Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chưa biết đạo hàm riêng O x1 x2 x u M2 Dạng tổng quát phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập: M1 (1) T2 T1 Trong đó: hàm chưa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y ; u = u(x, y), hệ số A, B, C, D, E, F hàm x, y O x1 x2 Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta đưa phương trình (1) dạng sau: Nếu AC – B2 > miền đó, đưa phương trình (1) miền dạng: (1.1) x Phương trình gọi phương trình loại Eliptic Dạng đơn giản phương trình phương trình Laplace: Nghĩa D1 = E1 = F1 = G1 = Nếu AC – B2 < miền đó, đưa phương trình (1) miền dạng: (1.3) Phương trình gọi phương trình loại Hypebolic Dạng đơn giản phương trình phương trình dao động dây Nghĩa D2 = E2 = F2 = Nếu AC – B2 = miền đó, đưa phương trình (1) miền dạng: Phương trình gọi phương trình loại Parabolic Dạng đơn giản phương trình phương trình truyền nhiệt Nghĩa D3 = F3 = Trong phương trình (1.4), (1.6) ta thường lấy biến số thời gian, biến số tọa độ x, ta có phương trình dao động dây (hay phương trình sóng chiều): Phương trình truyền nhiệt: Phương trình Laplace: Nhiều toán vật lý kỹ thuật dẫn đến phương trình nên người ta gọi chúng phương trình vật lý – tốn Các phương trình (1.7), (1.8), (1.9) có vơ số nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện phụ để xác định nghiệm chúng Các phương trình (1.7), (1.8) xuất q trình khơng dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu q trình xảy khoảng không gian x hữu hạn (dao động sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt hữu hạn) ta có hai loại điều kiện phụ sau: a) Điều kiện ban đầu: Cho biết trạng thái lúc t = b) Điều kiện biên: Cho biết trình xảy biên khoảng khơng gian Bài tốn tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện biên điều kiện ban đầu gọi tốn hỗn hợp Nếu q trình xảy khoảng vô hạn - < x < + ta cần điều kiện ban đầu, tốn gọi tốn Cauchy Phương trình (1.9) không chứa thời gian, hai biến x, y biến số khơng gian Nó xuất nghiên cứu trình dừng Để xác định nghiệm ta cần điều kiện biên, toán gọi toán biên Nghiệm toán đặt phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên điều kiện ban đầu Các toán thiết lập cho nghiệm tồn tại, phụ thuộc liên tục vào điều kiện phụ II LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY: Bài tốn: Xét sợi dây mảnh khơng giãn, có chiều dài l, mật độ khối lượng  Mỗi điểm sợi dây chịu tác dụng lực căng dây T theo phương tiếp tuyến Giả sử, ban đầu sợi dây song song với Ox, trình dao động nằm mặt phẳng uOx Trong đó, u độ lệch dây khỏi VTCB, u = u(x, t) Thiết lập phương trình cho hàm u(x, t) Giải toán: Giả sử thời điểm t có dạng hình vẽ Giả thiết dây đàn hồi dao động dây y nhỏ, coi chiều dài dây không đổi, lực căng dây suốt trình dao động Xét có tọa độ tương ứng Mỗi điểm sợi dây mô tả hàm Các lực tác dụng lên sợi dây: lực căng dây T, trọng lực P Lực căng dây tác dụng lên : Lực căng dây tác dụng lên : Lực căng dây tác dụng lên là: Chiếu lên trục u ta có: (1) Vì dao động bé nên (2) Ngồi lực căng sợi dây chịu tác dụng trọng lực Phương trình định luật II Newton cho đoạn là: (4) Vì nên phương trình (4) trở thành: Đặt gọi vận tốc truyền dao động Khi phương trình (5) có dạng: (*) Phương trình (*) gọi phương trình mơ tả dao động dây với hệ số số có vế phải Đó phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng Nếu khơng có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (*) gọi phương trình vi phân mơ tả dao động tự dây Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (*) gọi phương trình vi phân mô tả dao động cưỡng dây III KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN: Bài toán: Xét dao động sợi dây hữu hạn ngồi tác dụng lực căng có tác dụng trọng lực, biết sợi dây gắn chặt hai đầu x = ; x = l Tại thời điểm sợi dây bắt đầu mô tả hàm f(x) chuyển hàm F(x) Giải tốn Theo giả thiết ngồi tác dụng lực căng sợi dây chịu tác dụng trọng lực Dây dao động cưỡng hàm U(x,t) thỏa mãn phương trình vi phân sau Trong đó: thỏa mãn điều kiện biên + điều kiện biên: (2) + điều kiện ban đầu * ý: Với phương trình vi phân khơng biểu thức nghiệm Do nghiệm phương trình mơ tả dao động dây có dạng Nên ta đặt nghiệm biểu thức sau: (5) Lấy đạo hàm lần theo t x thay vào (1) Thay vào (1) ta được: (6) Vì (g) số mang giá trị bé ta giả giử phân tích thành chuỗi Furue sau: (7) (8) Thay (7) vào (6) sử dụng phương pháp đồng thức vế Phương trình số (9) phương trình vi phân cấp với hệ số số có vế phải số nên nghiệm phương trình (10) Điều kiện ban đầu: Thay (10) vào (9) Thay (3.63) vào (3.62) X(x) = u(x,t) = Bài toán cho nghiệm tầm thường - Trường hợp 2: Đặt C = Thay vào (3.60) ta Phương trình (3.60) có nghiệm dạng: (3.64) B1, B2 số tùy ý Từ điều kiện biên: (3.65) Thay (3.65) vào (3.64) X(x) = u(x,t) = Bài toán cho nghiệm tầm thường - Trường hợp 3: Đặt Thay vào (3.60) ta được: Phương trình (3.60) có dạng: X(x) = C1cosλx + C2sinλx (3.66) C1, C2 số tích phân Sử dụng điều kiện biên: Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường (3.67) Thay C1 = (3.67) vào (3.66) ứng với giá trị k ta có hàm Xk(x) tương ứng dạng: (3.68) Thay (3.67) vào phương trình (3.61) ứng với giá trị k ta có phương trình tương ứng Tk(t) dạng: (3.69) Dk, Ek số tùy ý Thay (3.68) (3.69) vào (3.58) ứng với cặp ( Xk(x), Tk(t)) ta xác định tương ứng nghiệm riêng vk(x,t) dạng: (3.70) Với Nghiệm v(x,t) thu chồng chập nghiệm riêng: (3.71) Sử dụng điều kiện ban đầu (3.44): (3.72) (3.73) Thay (3.72) vào (3.71) v(x,t) hoàn toàn tường minh: Thay (3.53), (3.56) (3.72) vào (3.43) nghiệm u(x,t) hồn tồn tường minh Bài 5: Giải phương trình vi phân Bài giải: Khai triển nghiệm tốn dạng Ta có: Cho chuỗi ta đồng thức, ta suy Ta có phương trình vi phân Ta giải phương trình (4),(5) với điều kiện hàm a) giải phương trình (4) Nghiệm tổng quát (4) tổng hợp chồng chập nghiệm riêng từ phương trình với nghiệm riêng phương trình khơng - Phương trình vi phân cấp có nghiệm là: - Nghiệm riêng phương trình khơng là: Do nghiệm phương trình (4) là: Trong số M,P,Q xác định điều kiện ban đầu Thay vào ta được: Trong M tìm từ phương trình Thay vào phương trình (4) Từ suy ra: b) Giải phương trình (5) Vậy nghiệm cuối phương trình (1) là: Bài 6: Cho sợi dây dài , có đầu gắn chặt giả sử có ngoại lực tác dụng p(x,t) tính đơn vị đo độ dài Phương trình dao động dây tác dụng ngoại lực Với điều kiện biên điều kiện bân đầu có dạng Hãy tìm nghiệm phương trình Bài giải: Nghiệm phương trình tìm dạng Thay vào (1) Giải hệ (II) Khai triển hàm V(x,t) sau: thay vào hệ (II) với Khai triển hàm g(x,t) theo chuỗi Flame sau: nghiệm phương trình vi phân sau: Tìm hàm V(x,t) từ chuỗi thỏa mãn điều kiện Nghiệm (6) có dạng Vậy với xác định từ (7) Giải hệ (I) Với Vậy nghiệm cuối thỏa mã điều kiện toán + Bài 5: Tìm dao động dây gắn chặt x =0, x =l, dạng sợi dây ban đầu có cung parapol vận tốc ban đầu Giả sử , g số dương đủ nhỏ Chúng ta phải tìm hàm thỏa mãn phương trình Từ Vì khơng phụ thuộc t nên khơng phụ thuộc t Do hàm chưa biết , có Với điều kiện ban đầu Ta dễ dàng tìm Trong : Và Do nghiệm tốn trường hợp cho hàm Dao động viết dạng tổng hai dao động Dao động sợi dây không trọng lượng Và dao động Là nghiệm phương trình khơng với điều kiện ban đầu không Bài 7: Giải phương trình Bài giải: Từ phương trình: Suy ra: Hàm thỏa mãn hệ phương trình: Nghiệm có dạng: Trong hệ số tính theo cơng thức: Hàm thỏa mãn: Từ điều kiện ta có: Vậy nghiệm có dạng: Nghiệm phương trình cho là: Trong tính theo cơng thức (*) Bài 8: Giải phương trình Bài giải: Từ phương trình: , đặt Suy ra: Hàm có dạng: , suy Từ điều kiện ta có: Bài 9: Giải phương trình Bài giải: Khai triển hàm u(x,t) dạng Chú ý rằng: Ta có: Thay vào phương trình (1) Từ hai tổng chuỗi ta có: Giải phương trình với điều kiện ban đầu Nghiệm phương trình vi phân cấp khơng với Cuối ta thu Bài 10: Giải phương trình dao động dây với vận tốc chuyển động Với điều kiện biên: Và điều kiện ban đầu: Bài tốn dẫn đến giải phương trình vi phân Bài giải: Trong toán ta đưa hàm bổ trợ Ta tìm nghiệm tốn dạng tổng qt Trong hàm hàm chưa biết thỏa mãn điều kiện biên Và điều kiện ban đầu: Thay (2) vào (1) Do Nên Trong đó: Như tốn Nghiệm phương trình tìm dạng Thay vào (1) Giải hệ (II) Khai triển hàm V(x,t) sau: thay vào hệ (II) với Khai triển hàm g(x,t) theo chuỗi Flame sau: nghiệm phương trình vi phân sau: Tìm hàm V(x,t) từ chuỗi thỏa mãn điều kiện Nghiệm (6) có dạng Vậy với xác định từ (7) Giải hệ (I) Với Vậy nghiệm cuối thỏa mã điều kiện tốn + Bài 11: Giải phương trình khơng Với điều kiên biên: Và điều kiện ban đầu: Bài giải: Đây loại phương trình khơng điều kiện biên điều kiện ban đầu tức có ngoại lực tác dụng vào sợi dây Đặt Giả sử nghiệm phương trình (1) có dạng (5) Trong hệ số khai triển phụ thuộc thời gian thỏa mãn điều kiện ban đầu (6) Thay (5) vào (1) ta có: Nhân hai vế với phương trình (7) có tích phân hai vế có cận từ đồng thời sử dụng tính trực giao hệ hàm ta được: Do tính trực giao hàm riêng với điều kiện làm cho tính Phương trình (8) tương đương: đây: (11) Nghiệm phương trình (10)với điều kiện (6) tìm từ phương pháp biến thiên số Giải phương trình ta có nghiệm Để giải phương trình khơng nhất, ta giả sử phương trình có nghiệm Trong thỏa mãn hệ phương trình Suy ra: (15) Thay giá trị biến lấy tích phân vào phương trình (12) ta Thay đổi m thành n cơng thức ta nghiệm phương trình (1) là: VI CÁC BÀI TẬP LÀM THÊM Bài: Giải phương trình: =0 , u=x , 0, t>0 =0 + sin Đáp số: sin Bài 2: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình miền D: Với điều kiện ban đầu: điều kiện biên: Trong a số khác 0, hàm f(x) g(x) giải tích D Đáp số: Bài 3: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình miền D: Với điều kiện ban đầu: điều kiện biên: Trong a số khác 0, hàm f(x) g(x) giải tích D Đáp số: Bài 2: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình miền D: Với điều kiện ban đầu: điều kiện biên: Đáp số: Bài 4: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình miền D: Với điều kiện ban đầu: điều kiện biên: Đáp số: VII Kết luận Với phạm vi đề tài tập lớn, mong đề tài giúp cho em học sinh bạn sinh viên nắm rõ phương pháp khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn thông qua số tập chương trình tốn cho vật lý Từ áp dụng để làm tập khảo sát dao động cưỡng sợi dây Bên cạnh có thêm kiến thức để giải tốn dao động màng, phương trình truyền nhiệt hay phương trình Laplace Thực tế đề tài nghiên cứu phương pháp khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn sợi dây vô hạn thông qua số tập chương trình tốn cho vật lý Do thời gian có hạn nên đề tài chưa áp dụng rộng rãi chắn khơng tránh hết thiếu sót Vì vậy, mong góp ý q thầy giáo để đề tài hồn thiện áp dụng phổ biến Em mong nhận góp ý thầy bạn sinh viên để tập lớn hoàn thiện Cuối em xin cảm ơn cô NGUYỄN THỊ NGỌC giúp đỡ hướng dẫn em tận tình, chu em hồn thành khóa luận Em xin cảm ơn thầy cô khoa vật lí tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình thực khóa luận ... phân , số tập phương trình vi phân - Lập phương trình dao động sợi dây - Khảo sát dao động tự sợi dây hữu hạn số tập dao động tự sợi dây dài hữu hạn - Xét ý nghĩa nghiệm - Một số tập mở rộng F PHƯƠNG... ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA SỢI DÂY HỮU HẠN: Bài toán: Xét dao động sợi dây hữu hạn ngồi tác dụng lực căng có tác dụng trọng lực, biết sợi dây gắn chặt hai đầu x = ; x = l Tại thời điểm sợi dây bắt đầu... lên dây g(x, t) = (*) gọi phương trình vi phân mô tả dao động tự dây Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = (*) gọi phương trình vi phân mô tả dao động cưỡng dây III KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CƯỠNG