đề thi toán 8 cực hay

đề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hayđề thi toán 8 cực hay

Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b  c ) (b  c )  b(c  a ) (c  a)  c (a  b) (a  b) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác    a b c 1 Rút gọn biểu thức: N    a  2bc b  2ca c  2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y  xy  x  y  b) Giải phương trình: ( y  4,5)  ( y  5,5)   Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x  y  345 Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4   x  2 x  3 x  4 x  5  24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  c Cho a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng:   0 b  c c a a b b  c c a a b   10  x   x Câu2 Cho biểu thức: A     :x 2 x2   x  2 x x  2  a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Câu Câu (6 điểm) 1   9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x  30x  31x  30   x2  x  1  x  5 x  6  (*) Điểm (2 điểm) (2 điểm) Vì x2 - x + = (x - Câu (6 điểm) ) + > x  (*) (x - 5)(x + 6) = x   x     x   x   a b c   1 c Nhân vế của: b  c c a a b với a + b + c; rút gọn  đpcm Biểu thức:   10  x   x A     :x 2 x2   x  2 x x  2  1 a Rút gọn kq: A  x2 1 1 b x   x  x  2 (2 điểm) (1.5 điểm) 4 A  c A   x  1  Z  x  1;3 d A  Z  x2 A  HV + GT + KL A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E B (1 điểm) F M D C Câu (6 điểm) a Chứng minh: AE  FM  DF  AED  DFC  đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm)  ME  MF  a không đổi  SAEMF  ME.MF lớn  ME  MF (AEMF hình vng)  M trung điểm BD b c 1    a a a  a c 1 a Từ: a + b + c =    1  b b b a b 1    c c c  (1 điểm) Câu 4: (2 điểm) 1  a b  a c  b c               a b c  b a   c a  c b  32 2 29 Dấu xảy  a = b = c = 2001 2001 2000 b (a + b ).(a+ b) - (a + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 =  Câu : (2 điểm) Cho P= a  4a  a  a  a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) (1 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c   3 bca acb abc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a  1; a  2; a  0,5 0,25 Rút gọn P= b) (0,5đ) P= a 1 a2 0,25 a23  1 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a2 a2 mà Ư(3)=  1;1;3;3 0,25 Từ tìm a   1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a  2ab  b )  3ab = =(a+b) (a  b)  3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; Do (a+b) (a  b)  3ab chia hết cho b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2  nên P=(x2+5x)2-36  -36 0,25 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1   x  x  18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ;b  ;c  ; 2 yz xz x y 1 y x x z y z  Thay vào ta A=    (  )  (  )  (  ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A  (2   2) hay A  Từ suy a= 0,5 0,25 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ  120  Mˆ Vì Mˆ =600 nên ta có : Mˆ  120  Mˆ Suy Dˆ  Mˆ x E Chứng minh BMD ∾ CEM (1) Suy BD CM  , từ BD.CE=BM.CM BM CE BC Vì BM=CM= , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A D 0,5 B M BC BD.CE= C 0,5 BD MD  mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD  BM EM Chứng minh BMD ∾ MED 0,5 Từ suy Dˆ  Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC 0,5 Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x  17 x  21 x    4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0,25 1    x y z yz xz xy   Tính giá trị biểu thức: A  x  yz y  2xz z  2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB' HC '   a) Tính tổng AA ' BB' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB  BC  CA) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ AA'  BB'  CC' nhất? ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = x x x x x  (2 – 4) – 8(2 – 4) =  (2 – 8)(2 – 4) = x x x x  (2 – )(2 –2 ) =  –2 = –2 = x x  = =  x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1   xy  yz  xz   yz = –xy–xz ( 0,25điểm )   0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)( x  z) ( y  x )( y  z) (z  x)(z  y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N,  a , b, c, d  9, a  Ta có: abcd  k (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m2  (0,25điểm) với k, m  N, 31  k  m  100 (0,25điểm) abcd  k abcd  1353  m2  (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 k= (0,25điểm) Kết luận (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA'   a) S ; AA ' ABC AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: (0,25điểm) S HAB HC' SHAC HB'   ; SABC CC' SABC BB' abcd = 3136 A C’ H N x B’ M I A’ C B D Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c  Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 x2  y  z x2 y z2 Biết x,y,z thoả mãn: 2 = + + a b  c a b c Bài 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 +  a b a b b, Cho a,b,c,d > CMR: a d d b bc ca + + +  d b bc ca a d Bài 4: x  xy  y với x,y > x  xy  y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > ( x  1995) a, Tìm giá trị lớn nhất: E = Bài 5: a, Tìm nghiệm  Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm  Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho  ABC M điểm  miền  ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ Đề SỐ 16: Câu : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( 4Đ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác Câu : ( 4Đ) Cho biểu thức : x2   10  x       : x     x  x  x x  x       P =  a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên Câu : ( Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3Đ) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( 4Đ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A  B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y  Chứng minh 2x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1  x   x   x   x   x  2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10 x  x    5x   B 2x  2x  (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  Z   ( 2x – 3) 2x  Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; - 2; ; A  B Với x  Z A  B x y = x  x  y4  y  y  x  (y  1)(x  1)  x  y4   (x  y) c) (1,5đ) Biến đổi (0,25đ) (0,25đ) ( x + y =  y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y  y  1)(x  x  1)  x  y  x  y   x  y   (x  y) = (0,25đ) xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1) = =  x  y  (x  y  1) xy  x y  xy(x  y)  x  y  xy  2  x  y  (x  x  y  y) xy  x y  (x  y)   = 2 (0,25đ) =  x  y   x(x 2 1)2  y(y  1) =  x  y  x(2 y)2  y( x)  =  x  y2 (2 2xy) xy(x y  3) 2(x  y) x y2  = (0,25đ) xy(x y  3) (0,25đ) xy(x y  3) Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 =  y2 + 6y - 2y -12 =  (y + 6)(y - 2) =  y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x =  x2 + x - =  x2 + 2x - x - =  x(x + 2) – (x + 2) =  (x + 2)(x - 1) =  x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x 1  x   x   x   x   x  (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1)  ( 1)  ( 1)  ( 1)  ( 1)  ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003   x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x  2009)( Do : 1 1 1      )  (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì (0,25đ) 1 1 ; ;   2008 2005 2007 2004 1  2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 =  x = - E I 2009 Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh  EDF vng cân Ta có  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân D O Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  Eˆ  Fˆ2 A D Mà Eˆ  Eˆ  Fˆ1 = 900  Fˆ  Eˆ  Fˆ1 = 900  EDF = 90 Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng  CO trung trực BD F Mà  EDF vuông cân  DI = EF B Tương tự BI = EF  DI = BI  I thuộc dường trung trực DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) A a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với  ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – E (0,25đ) a a a ) +  2 (0,25đ) Ta có DE nhỏ  DE2 nhỏ  x =  BD = AE = C a a  D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) +  2 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE  – = AB2 không đổi 8 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x  17 x  21 x    4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = (0,25đ) 1    x y z yz xz xy   Tính giá trị biểu thức: A  x  yz y  2xz z  2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA ' HB' HC '   tâm a) Tính tổng AA ' BB' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM ( AB  BC  CA)  c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0,25điểm ) x x x x x  (2 – 4) – 8(2 – 4) =  (2 – 8)(2 – 4) = 0,25điểm ) x x x x  (2 – )(2 –2 ) =  –2 = –2 = 0,25điểm ) x x  = =  x = 3; x = 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1   xy  yz  xz   yz = –xy–xz   0 xyz x y z 0,25điểm ) (1 (1 ( ( ( ( ( x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 0,25điểm ) ( Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 0,25điểm ) ( Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)( x  z) ( y  x )( y  z) (z  x)(z  y) ( 0,25điểm ) Tính A = điểm ) ( 0,5  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  (0,25điểm) Ta có: abcd  k (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m2  N,  a , b, c, d  9, a  với k, m  N, 31  k  m  100 (0,25điểm) abcd  k abcd  1353  m2  (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 (0,25điểm) Kết (0,25điểm) luận  Bài (4 điểm): abcd k = = 3136 Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA'   a) S ; AA ' ABC AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: A C’ H N x B’ M I A’ C B S HAB HC' SHAC HB'   ; SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC      1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN.CM  BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 2  AB + AD  (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 D (0,5điểm ) (0,5điểm ) (AB  BC  CA ) 4  AA '2  BB'2  CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều) Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : A  ( 2 x 4x2 2 x x2  3x   ):( ) 2 x x  2 x 2x2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x2 y z2 x y z       Chứng minh :    a b c x y z a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : 2  x   x  x       x  2 2  x   x  3x  x    2 x  x3  A( 1,0  x 4x2 2 x x  3x (2  x )2  x  (2  x) x (2  x )   ):( 3)    x x   x 2x  x (2  x )(2  x ) x( x  3)  1,0 x2  8x x(2  x )  (2  x)(2  x) x  0,5 x( x  2) x (2  x) 4x2  (2  x )(2  x )( x  3) x  0,25 4x Vậy với x  0, x  2, x  A  x 3 0,25 b 1,0 Với x  0, x  3, x  2 : A   4x 0 x 3  x3   x  3(TMDKXD ) Vậy với x > A > c x   x7  4   x   4 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5  x  11(TMDKXD )   x  3( KTMDKXD) Với x = 11 A = 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 2  (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 2  9(x - 1) + (y - 3) + (z + 1) = (*) Do : ( x  1)2  0; ( y  3)2  0; ( z  1)2  Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy   0 0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = x y z x y z     (   )2  a b c a b c 2 x y z xy xz yz     2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz    2 1 a b c abc x2 y z2     1(dfcm) a b c 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a K 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 b   KDC  Ta có:  ABC   ADC  HBC Chứng minh : CBH  CDK ( g  g )  CH CK   CH CD  CK CB CB CD 0,5 b, 1,75 0,25 Chứng minh : AFD  AKC ( g  g ) AF AK   AD AK  AF AC AD AC Chứng minh : CFD  AHC ( g  g ) CF AH   CD AC CF AH Mà : CD = AB    AB AH  CF AC AB AC  0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   19 49 0,25 Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2010x  2680 x2  Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA,   BFD,  BDF   CDE,  CED   AEF  AB cho: AFE   BAC  a) Chứng minh rằng: BDF b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 =  x  y  z   x    y3  z    =  y  z   x  y  z    x  y  z  x  x    y  z   y  yz  z    =  y  z   3x  3xy  3yz  3zx  =  y  z   x  x  y   z  x  y   =  x  y  y  z  z  x  b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =  x  x    2010x  2010x  2010  = x  x  1  x  x  1  2010  x  x  1 =  x  x  1 x  x  2010  Bài 2: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23  x  241 x  220 x  195 x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23  1 1   x  258         17 19 21 23   x  258 Bài 3: 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010    2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   19 49 ĐKXĐ: x  2009; x  2010 Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:  a  1   a  1 a  a  19  a  a   19  a  1   a  1 a  a 49 3a  3a  49  49a  49a  49  57a  57a  19  8a  8a  30   a   2 (thoả ĐK)   2a  1  42    2a  3 2a      a    4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 Bài 4: 2010x  2680 A x2  335x  335  335x  2010x  3015 335(x  3) =  335   335 x2  x2 1 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – Bài 5:  A   F  90o ) a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân  giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ  AD nhỏ C D F A E B  D hình chiếu vng góc A lên BC Bài 6:   BFD   , BDF   CDE   , CED   AEF    a) Đặt AFE       1800 (*) Ta có BAC Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF A   OED   ODF   90o (1)  OFD  E F  o    Ta có OFD    OED    ODF    270 (2)   O o (1) & (2)        180 (**)     BDF  (*) & (**)  BAC s s s b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:   , C   B  AEF DBF DEC ABC   B D  5BF 5BF 5BF  BD BA      BD  BD  BD   BF BC    8     7CE 7CE 7CE  CD CA       CD   CD   CD   8  CE CB     AE AB 7AE  5AF 7(7  CE)  5(5  BF) 7CE  5BF  24    AF AC     CD  BD  (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4)  BD = 2,5 C ... AOD  S BOC 0,5đ 0,5đ  S AOB S DOC  ( S AOD ) Thay số để có 20 082 .20092 = (SAOD)2  SAOD = 20 08. 2009 Do SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 (đơn 0,5đ vị DT) Bài 1: (2 điểm)... x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  2 58 x  2 58 x  2 58 x  2 58    0 17 19 21 23  1 1   x  2 58         17 19 21 23   x  2 58 Bài 3: 2  2009  x    2009  x  x ... ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính x = 2007 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = 0,25điểm ) x x x x x  (2 – 4) – 8( 2 –