Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao GS nguyễn doãn phước

Điều khiển trượt trượt bậc cao Nguyễn Dỗn Phước Seminar 21.2.2014 Tóm tắt: Trong thực tế điều khiển tự động hóa việc phải điều khiển hệ bất định tránh khỏi Một phương pháp giải toán điều khiển hệ bất định điều khiển trượt Đây phương pháp điều khiển biết đến giải pháp điều khiển đơn giản, song lại mang đến chất lượng bền vững cao Mặc dù vậy, tín hiệu điều khiển tạo từ điều trượt lại hàm không liên tục, nên tạo hiệu rung hệ thống Đây hiệu ứng nguy hiểm nguyên nhân làm giảm tuổi thọ nhiều thiết bị hệ thống Bởi việc nghiên cứu giảm hiệu ứng rung hệ điều khiển trượt mang ý nghĩa ứng dụng vô quan trọng, kể ngày Bài viết tổng quan lại kết điều khiển trượt giải pháp chống rung hệ thống trượt điều khiển trượt bậc cao Đây giải pháp chống rung tổng quát tập trung nghiên cứu năm gần thu nhiều kết ứng dụng mang tính thực tế cao, so với giải pháp chống rung kinh điển khác I ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CƠ BẢN Theo dòng lịch sử thống kê lại tài liệu [9] điều khiển trượt đời khoảng đầu năm 1960 Khi móng điều khiển trượt xây dựng Emelyanov (ảnh), nhà điều khiển học người Nga, tên gọi phương pháp điều khiển hệ biến đổi cấu trúc (variable structure systems) Mặc dù xuất sớm vậy, song đến có ấn phẩm xuất tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn [8] Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt vượt khỏi biên giới nước Nga dần hoàn thiện, nâng tầm tổng quát lý thuyết ứng dụng biết đến ngày hôm nay, đặc biệt ứng dụng vào hệ phi tuyến bất định, hệ nhiều đầu vào, ra, hệ không liên tục, hệ phức hợp, hệ có số chiều vơ hạn lần Bài tổng quan tóm tắt lại kết điều khiển trượt gợi ý từ để đến điều khiển trượt bậc cao, nhắc tới nhiều lĩnh vực điều khiển trượt chống rung (antichattering) cho hệ phi tuyến bất định A Điều khiển trượt Xét hệ khơng dừng có tín hiệu vào u  (u1 ,  , um )T , chứa thành phần bất định d (x , u , t ) , mô tả bởi: x  f (x , u , d , t ) (1) x  Rn vector trạng thái, f () vector hàm liên tục mặt cong trơn (n  m ) chiều, thường gọi mặt trượt, mô tả vector gồm m hàm trơn: s (x , t )  s1 (x , t ) , s (x , t ) ,  , sm (x , t )   T (2) chứa tất quỹ đạo trạng thái mong muốn x (t ) hệ (theo tiêu chất lượng cho trước) Mặt trượt (2) thường gặp dạng tổng qt, có dạng khơng dừng (cấu trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian) Nhiều trường hợp, để đơn giản điều khiển sau điều kiện cho phép, người ta cần sử dụng mặt trượt dừng (có cấu trúc khơng biến đổi theo thời gian): s (x )  s1 (x ) , s (x ) ,  , sm (x )   T (3) Nhiệm vụ điều khiển trượt phải xác định tín hiệu điều khiển u để đưa hệ (1) tiến mặt trượt (2) giữ lại Ta ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u là: ueq s (x , t )  u uN s (x , t )  đó: (4)  ueq thành phần tín hiệu giữ x (t ) lại mặt trượt (equivalence principle), tức có: s (x , t0 )  với x  x (t0 ) ueq phải tạo được: s(x , t )  t  t0 (5) Hình H1 minh họa vai trò thành phần tín hiệu quỹ đạo trạng thái x (t ) hệ  uN thành phần tín hiệu làm cho x (t ) tiến mặt trượt Như vậy, trường hợp mặt trượt dừng (3), sử dụng hàm xác định dương: V (s )  T s s đủ để x (t ) tiến mặt trượt tín hiệu điều khiển uN phải tạo được: V (s )  sT s  s (x )  (6) Điều kiện (6) gọi điều kiện trượt sử dụng với mặt trượt dừng (3) Khi thành phần ueq , uN xác định sau: Điều khiển giữ mặt trượt Khi hệ (1) hệ rõ có cấu trúc affine: x  f (x , t )  H(x , t )u    Ls (x ) với L  LT  tùy chọn H(x , t )  h1 (x , t ) ,  , hm (x , t )  (7) ma trận n  m , mặt trượt mặt cong trơn dừng (3), từ điều kiện (5) có: s  f (x , t )  H(x , t )ueq   x  Vậy ma trận:  s  s (x ) với k  tùy chọn s (x ) Xét hệ (1) có cấu trúc affine chứa thành phần bất định d (x , u , t ) đầu vào: x  f (x , t )  H(x , t ) u  d (x , u , t )  (11) thỏa mãn tính bị chặn: 1 s f (x , t ) x (8) Điều khiển tiến mặt trượt Từ điều kiện đủ (6) cho mặt trượt dừng (3) theo quy ước tương tự tài liệu [8], [9] sai lệch giá trị tín hiệu uN  ueq   , mơ tả hình H1, thì: s s x   t x s s  f (x ,t )  H(x , t ) ueq       t x  s s s   f (x ,t )  H(x , t )ueq   H(x , t )    t x  x s s H(x ,t )    t x s(x )   H1: Xác định tín hiệu điều khiển tiến mặt trượt  uN  x2 Bởi vậy, giống (8), người ta đến số sai lệch giá trị sai lệch tín hiệu điều khiển  cho hệ (1), ký hiệu chi tiết là:   (1 ,  ,  , m )T Thành phần ueq (4) xác định với giả thiết d (x , u , t )  Như ta có ueq theo cơng thức (8)   V s  V  f (x , t )  H(x ,t ) ueq    d   s x   V s  H(x ,t )    d   s  x Rõ ràng, đủ để có bất đẳng thức  thỏa mãn: x [ ueq ]  Tương tự hệ rõ, nhiệm vụ điều khiển trượt phái xác định tín hiệu điều khiển (4) để đưa hệ mặt trượt dừng (3) giữ lại Để xác định thành phần lại uN  ueq   theo s s (x , t )  d (x , u , t )   (x , t ), u nguyên lý tương đương, ta làm sau Trước tiên chọn hàm V (s ) xác định dương Tiếp theo ta xác định  để có:  x1 (9) với mặt trượt lý tưởng s (x , t )  s (x ) dạng vector hàm dừng, thỏa mãn: s H(x , t )  I (ma trận đơn vị) x sau:  Bộ điều khiển relay: k  ak (x )sign sk (x )  , k  1, 2,  , m max  d V  s H(x , t )    d   0, x s x (12) công thức để xác định  Chẳng hạn, ký hiệu vector  (9) ma trận H(x , t ) (7), từ (12) có:  V  s  k    (x , t )sign  h (x , t ) , k  1, 2,  , m  s  x k  C Các vấn đề xung quanh mặt trượt điều kiện trượt Mặt trượt Mặt trượt (2) mặt cong trơn có số chiều (n  m ) không gian trạng thái, chứa tất quỹ đạo trạng thái mong muốn hệ Chẳng hạn để có chất lượng ổn định tiệm cận toàn cục, mặt trượt chọn cần mặt cong trơn, dừng s (x ) khơng gian m chiều sau:  Tuyến tính: ak (x )  0, x s (x )  x1  Ax1 , x  col (x1 , x ), x1  Rm 1 s   sign(s )  1 s  0 s   với A ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, hiển nhiên có s (x )  , có:  Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:   k B Xử lý thành phần bất định đầu vào s H(x , t )  Rm m x khơng suy biến thì:  s  ueq    H(x , t )  x   Bộ điều khiển vector đơn vị: (10) x1   Ax1  x1 (t )  e At x1 (0)   Phi tuyến: (13) s (x )  x1  f (x1 ) , x  col (x1 , x ), x1  Rm (14) f (x1 ) vector hàm m chiều, chọn cho với ln tồn hàm vô hướng, dừng V (x1 ) xác định dương thỏa mãn: LfV (x1 )  V f (x1 ) x1 xác định âm, tức LfV (x1 )  0, x1  (15) Nếu chất lượng điều khiển mong muốn điều khiển bám ổn định x1 (t )  w (t ) , w (t ) quỹ đạo đặt trước, mặt trượt mặt cong trơn, dạng không dừng s (x , t ) , dạng sau:  Tuyến tính: s (x , t )  x1  w  A x1  w  có A ma trận hằng, đối xứng xác định dương tùy chọn Ở đây, mở rộng hơn, ta chọn ma trận hàm A(t ) thay ma trận A khơng bắt buộc phải đối xứng Tuy nhiên ma trận hàm A(t ) phải thỏa mãn điều kiện LaSalle tất giá trị riêng của: A(t )  A(t )T nằm bên phải trục ảo (ma trận Hurwitz)  Phi tuyến: s (x , t )  x1  w  f (x1  w , t ) với e  x1  w  e  f (e , t ) f (e , t ) vector hàm mà với tồn hàm vơ hướng trơn, không dừng V (e , t ) thỏa mãn điều kiện định lý LaSalle [6], tức là:  ( e )  V (e , t )   ( e ) V  V  f (e , t )   ( e ) với  ,  ,    t e Điều đặc biệt, mặt trượt (13), (14) có số chiều bậc mơ hình n tốn điều khiển tiến mặt trượt trở thành toán điều khiển bám theo mơ hình mẫu Điều kiện trượt Điều kiện trượt điều kiện đủ để tín hiệu điều khiển đưa quỹ đạo trạng thái x (t ) hệ đến mặt trượt, chẳng hạn sử dụng mặt trượt dừng (3) điều kiện trượt công thức (6) dẫn Tuy nhiên điều kiện trượt (6) không đủ sử dụng với mặt trượt không dừng s (x , t )  , hàm không dừng, điều kiện V (s , t )  chưa đủ để khẳng định có V (s , t )  , chí chưa đủ để khẳng định hàm V (s , t ) tiến đến số Ta thấy điều ví dụ: V (s (t ), t )  V / (t )  sin  ln(t )  có: cos  ln(t )  V / (t )   t   t song lại khơng có V / (t )  số Ngược lại, từ V / (t ) tiến tới số ta suy V / (t )  , chẳng hạn V / (t )  sin(t ) t Lý cho không tương đương V / (t ) hàm không liên tục Bởi vậy, sử dụng mặt trượt dạng không dừng (2), ta phải xây dựng điều kiện trượt dựa định lý LaSalle, trình bày [6] Một điều kiện trượt thường sử dụng cho hệ phi tuyến bất định hàm dạng tổng quát chung (1), thỏa mãn điều kiện LaSalle [6], thay cho (6), là:  s s  k f (x , u , d , t )    s V  sT    t x  (16)   , k  N tùy chọn Từ điều kiện trượt (16) này, người ta xác định điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) cần tìm Để thuận lợi cho việc sử dụng cơng thức (16) vào việc xây dựng điều khiển u (x , t ) , nhiều tài liệu đề xuất sử dụng (thống kê theo [9]): V (s )  s  ss   s (17) cho trường hợp mặt trượt đơn dừng, tức s (x ) hàm vô hướng, sử dụng mặt trượt với cấu trúc: s  k12  (s )  k 22 sgn(s ) (18)  (s ) hàm tùy chọn thỏa mãn: s  (s )  0, s  hiển nhiên thỏa mãn bất đẳng thức bắt buộc (17) điều khiển trượt Chẳng hạn số cơng thức cụ thể (18) là: s  k sgn(s ) s  k12s  k 22 sgn(s ) (19) s  k 2s  ,    Để minh họa ý nghĩa việc sử dụng điều kiện trượt (18) cho việc xây dựng điều khiển, ta xét tốn điều khiển trượt cho hệ tuyến tính đầu vào: x  Ax  bu với mặt trượt tuyến tính s (x )  cT x có cT b  Khi đó, từ gợi ý (19): s  k12s  k 22 sgn(s ) s  cT x  cT  Ax  bu  ta được: cT  Ax  bu   k12s  k 22 sgn(s ) Vậy điều khiển trượt là: c T u  A  k12cT x  k 22 sgn(cT x ) cT b II s (x , t ) gọi điều khiển trượt bậc r  , tín hiệu điều khiển u đồng thời tạo được: ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT BẬC A Hiện tượng rung kỹ thuật chống rung Trong thực tế, không tồn thiết bị tạo hàm sign() định nghĩa (10), mà thay vào là: 1 x    sgn(x )  1 x  gi ữ nguyê n giá trị cũ x    (20) s (x , t )  s(x , t )    s (r 1) (x , t )  Như phương pháp điều khiển trượt vừa trình bày trước chương I điều khiển trượt bậc 1, tín hiệu điều khiển u hướng tới s (x , t )  a) b) sat(s ) nên khơng có thành phần ueq tín hiệu  điều khiển, tức có: s tanh(s )   s  u  uN Điều tạo tượng rung (chattering) hệ, mà u phải chuyển đổi dấu giá trị với tần số vô lớn để giữ x (t ) mặt trượt s (x , t )  Hình H2 minh họa nguyên nhân hình H3 minh họa hiệu ứng tượng rung với quỹ đạo dạng zick zack xung quanh mặt trượt Do nguyên nhân tượng rung hàm lấy dấu thực tế (20) dùng thay cho hàm lý tưởng (10) nên để chống rung người ta thường nghĩ tới hàm thay gần cho (20) Các hàm dạng liên tục có ý nghĩa làm giảm tần số thay đổi dấu tín hiệu điều khiển, không thay đổi biên độ dao động sgn(s ) s H2: Nguyên nhân tượng rung s (x )    x2 H4: Giải pháp chống rung B Chuyển toán điều khiển ổn định hệ bậc Do điều khiển trượt bậc cao cần tới số lượng lớn thông tin, số chiều mặt trượt giảm, nên để thuận lợi việc cài đặt, người ta chủ yếu nghiên cứu sử dụng điều khiển trượt bậc cho hệ (1) bất định hàm có tín hiệu vào ( m  ), tức cho hệ: x  f (x , t )  h (x , t )u với f (x , t ) h (x , t ) hai vector hàm bất định Tương ứng, mặt trượt trở thành mặt trượt đơn, khơng dừng s (x , t ) , với: s (x , t )  s(x , t )  x (t ) x1 (22) Ghép chung hệ bất định có mơ hình trạng thái (21) với mặt trượt s (x , t ) , lúc giữ vai trò tín hiệu đầu vào, thành hệ vào-ra: x  f (x , t )  h (x , t )u  y  s (x , t ) s (x )  (21) (23) tốn điều khiển trượt bậc cao tương đương với toán điều khiển hệ (23) đạt chất lượng: y  y  Trường hợp hệ có bậc tương đối s (x )  H3: Hiện tượng rung Một số hàm liên tục thường sử dụng để thay gần cho hàm không liên tục (20) là:  Hàm khuếch đại bão hòa (hình H4a): sign(s ) s   s   sat     s     s     Hàm hyperbolic tangent (hình H4b): sgn(s )  tanh(as ) Một kỹ thuật khác để làm giảm hiệu ứng rung kỹ thuật trượt bậc cao Phương pháp điều khiển trượt với mặt trượt Để cụ thể hóa nhiệm vụ điều khiển làm cho quỹ đạo trạng thái x (t ) hệ bất định (21) tiến mặt trượt bậc (22) lại đó, trước tiên ta biến đổi điều kiện trượt bậc hai (22) thành: s s  f (x ,t )  h (x , t )u   t x  s   Lf s (x ,t )  Lh s (x ,t )u t s(x ,t , u )  (24) Khi tốn điều khiển trượt bậc hai nêu tương đương với: Tìm điều khiển u (x , t ) để quỹ đạo trạng thái hệ: Bài toán 1: s  a (x , t )  b (x , t )u với hai hàm bất định: a (x ,t )  s  Lf s (x ,t ) b (x , t )  Lh s (x , t ) t (25) u xem tham số hai hàm bất định trên, tiến gốc s  s  mặt phẳng pha Tiếp theo, từ (24) ta có tiếp: s(x ,t , u , u )  s s s   f (x , t )  h (x , t )u   h (x , t )u (26) t x  x Do đó, đặt biến mới: z1 (t )  s (x , t ) , z (t )  s(x , t ) (27) được: z1  z  z2   (x , t , u )   (x , t )u (28) s s  (x , t , u )    f (x ,t )  h (x , t )u  t x (29) s h (x , t )  (x , t )  x Như toán điều khiển trượt cho hệ (21) với điều kiện trượt bậc hai (22) trở thành toán điều khiển ổn định cho hệ (28) Hệ (28) có u giữ vai trò tham số mơ hình, v  u tín hiệu điều khiển Bài toán điều khiển ổn định phát biểu sau: Tìm điều khiển u (x , u , t ) để quỹ đạo trạng thái hệ (28) có hàm bất định  (),  () cho (29), ổn định tiệm cận tồn cục Bài tốn 2: Trường hợp hệ có bậc tương đối Lh s (x , t )  người ta gọi hệ có bậc tương đối Ngược lại hệ gọi có bậc tương đối Với hệ có bậc tương đối hai cơng thức (24) (26) trở thành: t  Lf s (x , t ) s s   f (x , t )  h (x , t )u  t x Do tốn điều khiển trượt (21), (22) với biến (27) trở thành toán điều khiển ổn định cho hệ: s(x , t , u )  z1  z  z2   (x , t )   (x , t )u (30) đó:  (x , t )  s s s  f (x , t )  (x , t )  h (x , t ) t x x (31) từ ta có toán thứ ba tương đương với toán gốc ban đầu, phát biểu sau: Tìm điều khiển phản hồi trạng thái u (x , t ) để quỹ đạo trạng thái hệ (30) có hàm bất định  (),  () cho (31), ổn định tiệm cận tồn cục Bài tốn 3: Nếu hai hàm bất định a (), b () hệ (25) toán thỏa mãn: Định lý (Levant, 1993): a ()  C  K1  b ()  K (32) u  r1 sgn s  r2 sgn s (33) đó: K1 (r1  r2 ) C  K (r1  r2 )  C K1 (r1  r2 )  C r1  r2  (34) nghiệm toán Chứng minh: Trước tiên ta xét tổng   s  s giả sử thời điểm đầu t  có s (0)  0, s(0)  , tức có  (0)  Khi có u  r1  r2 Suy ra: s   (x , t )   (x , t ) r1  r2   C  K1 (r1  r2 )  Như s(t ) liên tục đơn điệu giảm với vận tốc nhỏ Do phải tồn khoảng thời gian hữu hạn T1 để từ s(t )  0, t  T1 Nếu hệ (21) với mặt trượt bậc hai (22) thỏa mãn: s Bộ điều khiển trượt cho hệ bất định Levant giới thiệu tài liệu [4] năm 1993, gọi điều khiển xoắn (twisting controller) Thực tế điều khiển Levant bắt đầu đề cấp đến năm 1985 Nga tên Levantosky, sau phát triển hồn thiện vào năm 1993, chuyển Israel Nội dung điều khiển xoắn phát biểu sau: điều khiển: đó: s(x , t )  C Bộ điều khiển xoắn (twisting) Từ đây, với: s  t  T1 hàm s (t ) liên tục, đơn điệu giảm với vận tốc nhỏ 0, nên phải tồn điểm thời gian hữu hạn T2 để từ có: s (t )  t  T3  T1 T2 Điều sau khoảng thời gian hữu hạn T3 hàm  (t ) giảm giá trị âm Do  (t ) lên tục nên phải tồn điểm thời gian hữu hạn  T /  T3 để có  (T / )  Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp lại bao gồm z1 (0)  0, z (0)  hay z1 (0)  0, z (0)  z1 (0)  0, z (0)  ta đến kết luận chung tồn khoảng thời gian hữu hạn T để có  (t )  t  T với trạng thái đầu z1 (0) z (0) Kể từ với:   s  s   s  s ta có s (t )  , có s(t )  ■ So với lời chứng minh gốc tài liệu [4] phần chứng minh "tốn học" nên dễ chấp nhận người làm ứng dụng kỹ thuật điều khiển Tuy nhiên lời chứng minh gốc, tài liệu [4] khẳng định điều khiển (33) làm hệ ổn định toàn cục gốc s  s  sau khoảng thời gian hữu hạn, lời chứng minh đơn giản chưa cho thấy điều Ngoài ra, toán tương đương với toán hàm khả vi a (), b () thỏa mãn điều kiện bị chặn (32) u bị chặn hai hàm bất định  (),  () toán bị chặn Bởi ta đến nghiệm toán thứ sau: Định lý (Levant, 1993): Nếu hệ (28) có hai hàm bất định  (),  () thỏa mãn điều kiện bị chặn:  ()    G1   ()  G (35) điều khiển: u u   u   Vm sgn(z1 )   VM sgn(z1 ) đó: z1z  , u  (36) z1z  , u   () U  ()  C ,  K1   ()  K nghiệm toán số với khoảng thời gian quỹ đạo trạng thái hệ tới gốc tọa độ hữu hạn Chứng minh: Xem [4] ■ Có thể thấy thêm định lý với cấu trúc điều khiển (36), u  có u  u nên có u (t )  e t u (0) Bởi sau khoảng thời gian hữu hạn có điều kiện bị chặn u  Hơn nữa, toán 2, tính bất định hàm  (),  () nên thay u u , trở thành tốn số Do điều khiển xoắn (33) áp dụng cho toán với thay đổi nhỏ [9] làm sau:  Vm sgn(z1 ) z1z  u  VM sgn(z1 ) z1z  b) s  z1 (37) s  z  ()  qU ,  q   () điều khiển: u   z1 sgn(z1 )  u1 s  z1 (38) với   đủ lớn, mà cụ thể là:  K1  C  K (1  q ) K1  C K1  C K12 (1  q ) như: u u  U u1    sgn(z1 ) u  U (39) nghiệm tốn Nói cách khác điều khiển (38), (39) đưa quỹ đạo trạng thái hệ (25) gốc tọa độ s  s  sau khoảng thời gian hữu hạn Chứng minh: Xem [5] H5: Minh họa điều khiển xoắn siêu xoắn mặt phẳng pha Nhược điểm phản hồi trạng thái điều khiển xoắn khắc phục điều khiển siêu xoắn Nói cách khác, điều khiển siêu xoắn điều khiển phản hồi đầu Tên gọi siêu xoắn khơng có nghĩa độ xoắn nhiều mà có ý nghĩa nói điều khiển phản hồi đầu Nội dung phương pháp thiết kế điều khiển siêu xoắn sau: Nếu với hai hàm bất định a (), b () hệ (25) tốn ln tồn số dương q , C , G1 , G , U cho: s (x , t )  s G1VM    G 2Vm   s  z D Bộ điều khiển siêu xoắn (super twisting) Định lý (Levant, 2003):    G VM  Vm  max  ,  s G 1   a) Từ cấu trúc điều khiển này, phạm vi thay đổi giá trị tín hiệu điều khiển thuộc phần mặt phẳng ¼ kéo theo thay đổi tương ứng dạng quỹ đạo trạng thái hệ phần mặt phẳng minh họa hình H5a Điều tạo thành quỹ đạo chung hệ có hướng xoay xung quanh gốc tiến gốc Đó lý điều khiển (33) (36) [4] [5] gọi điều khiển xoắn Điểm đặc biệt có chung hai điều khiển xoắn chúng điều khiển phản hồi trạng thái, ngồi đầu s  z1 , chúng cần tới thơng tin dấu trạng thái s  z hệ ■ Điểm đặc biệt điều khiển với (39) giá trị tín hiệu điều khiển u ln có xu hướng tiến khoảng bị chặn  U ,U  Ngồi ra, tốn toán tương đương, nên định lý áp dụng cho toán với lưu ý hàm a (), b () cần phải biến đổi thành  (),  () vai trò u thay u Nếu hệ tương đương (23) lại có bậc tương đối 2, ta cần biến đổi a (), b () thành  (),  () đủ, vai trò u giữ nguyên Nếu hai hàm bất định  (),  () hệ (30) toán thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), điều khiển: Định lý 4: u   z  sgn(z )  u 1  u1   sgn(z1 ) đó:  (40) 4G (   )     0.5 , 2  G1 G13 (   ) nghiệm toán Chứng minh: Xem [4] [5] ■ Tương tự là: Nếu hai hàm bất định  (),  () hệ (30) tốn thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), điều khiển phản hồi đầu ra: Định lý 5: u  r1 sgn v1  r2 sgn v  1/2 v1  1.5 v1  z1 sgn v1  z1   v  v2  1.1 sgn v1  z1  nghiệm tốn Nói cách khác điều khiển (42) đưa quỹ đạo trạng thái hệ (28) tới gốc tọa độ z1  z  sau khoảng thời gian hữu hạn Chứng minh: Xem [1] ■ Trong công thức điều khiển (42), hệ số  (t ) có tên gọi hệ số điều biến (modulation factor), U hệ số khuếch đại (gain factor) tk thời điểm hiệu chỉnh điều khiển mà có z (tk )  Hiển nhiên với tính bất định hàm  (),  () thay u  v u mơ hình hệ (28), trở thành hệ (30) Do định lý hồn tồn áp dụng cho tốn Nói cách khác, tốn có nghiệm: u (t )   (t )U sgn z1 (t )  0.5z1 (tk )  Bên cạnh định lý tài liệu [1],[2] cung cấp số điều khiển cận tối ưu tương đương khác Chẳng hạn như: Định lý (Bartolini cộng sự, 1997): Nếu hai hàm bất định  (),  () hệ (30) toán thỏa mãn điều kiện (41) bị chặn (35), điều khiển: u (t )   (t )U sgn z1 (t )   z1 (tk )  đó: (43) với:   z1 (t )   z1 (tk )  z1 (tk )   (t )     G1 (r1  r2 )    1/2 G1 (r1  r2 )   G1 (r1  r2 )    G (r1  r2 )   r1  r2  nghiệm toán Chứng minh: Xem [4] [5] ■ E Bộ điều khiển cận tối ưu Đây điều khiển xấp xỉ tối ưu tác động nhanh phản hồi đầu cho hệ bậc hai, xây dựng Bartolini cộng [1] Ở điều khiển ta cần phải xác định thời điểm xuất điểm cực trị mặt trượt, tức thời điểm mà có z (t )  Nội dung điều khiển siêu xoắn xây dựng nhờ tiêu chuẩn cận tối ưu theo thời gian sau Định lý (Bartolini cộng sự, 1997): Nếu hai hàm bất định  (),  () hệ (28) toán thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), điều khiển: u (t )  v (t )   (t )U sgn z1 (t )  0.5z1 (tk )  đó:  z1 (tk ) z1 (t )  0.5z1 (tk )    (t ) trờng hợp ngợc lại v hng số U chọn thỏa mãn:    4 U  max  ,   0.5G1 3G1  0.5G      , 1   1 ,  3G1  G  (42) trờng hợp ngợc lại G 2U (1   )    1 ,     ,   G1U (1   )   U , 0< 