Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao GS nguyễn doãn phước

Mặc dù xuất hiện sớm như vậy, song mãi đến khi có những ấn phẩm xuất bản bằng tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn như [8] của Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt mới vượt được ra khỏi bi

Điều khiển trượt cơ bản và trượt bậc cao

Nguyễn Doãn Phước

Tóm tắt: Trong thực tế của điều khiển và tự động hóa thì việc phải điều khiển hệ bất định là không thể

tránh khỏi Một trong các phương pháp giải quyết bài toán điều khiển hệ bất định như vậy là điều khiển

trượt Đây là phương pháp điều khiển được biết đến như một giải pháp điều khiển đơn giản, song lại

mang đến một chất lượng bền vững rất cao Mặc dù vậy, do tín hiệu điều khiển tạo ra từ bộ điều trượt

lại là hàm không liên tục, nên sẽ tạo ra hiệu rung trong hệ thống Đây là một hiệu ứng nguy hiểm và là

nguyên nhân làm giảm tuổi thọ nhiều thiết bị trong hệ thống Bởi vậy việc nghiên cứu giảm hiệu ứng

rung trong hệ điều khiển trượt mang một ý nghĩa ứng dụng vô cùng quan trọng, kể cả cho tới ngày nay

Bài viết này tổng quan lại những kết quả cơ bản nhất của điều khiển trượt và giải pháp chống rung trong

hệ thống trượt bằng điều khiển trượt bậc cao Đây là giải pháp chống rung tổng quát được tập trung

nghiên cứu trong những năm gần đây và cũng đã thu được nhiều kết quả ứng dụng mang tính thực tế

cao, so với các giải pháp chống rung kinh điển khác

I ĐIỀUKHIỂNTRƯỢTCƠBẢN

Theo dòng lịch sử được thống kê

lại trong tài liệu [9] thì điều khiển

trượt ra đời khoảng đầu những năm

1960 Khi đó nền móng đầu tiên của

điều khiển trượt được xây dựng bởi

Emelyanov (ảnh), một nhà điều khiển

học người Nga, dưới tên gọi là

phương pháp điều khiển hệ biến đổi

cấu trúc (variable structure systems)

Mặc dù xuất hiện sớm như vậy, song mãi đến khi có

những ấn phẩm xuất bản bằng tiếng anh đầu tiên, chẳng hạn

như [8] của Utkin năm 1977, tư tưởng điều khiển trượt mới

vượt được ra khỏi biên giới nước Nga và dần được hoàn

thiện, nâng tầm tổng quát cả về lý thuyết cũng như ứng dụng

như chúng ta được biết đến ở ngày hôm nay, đặc biệt là các

ứng dụng vào hệ phi tuyến bất định, hệ nhiều đầu vào, ra, hệ

không liên tục, hệ phức hợp, hệ có số chiều vô hạn lần

Bài tổng quan này sẽ tóm tắt lại những kết quả cơ bản

nhất của điều khiển trượt cơ bản cũng như các gợi ý từ đó để

đến được điều khiển trượt bậc cao, hiện đang được nhắc tới

nhiều trong lĩnh vực điều khiển trượt chống rung

(anti-chattering) cho hệ phi tuyến bất định

A Điều khiển trượt cơ bản

Xét hệ không dừng có tín hiệu vào u( , u1  , u m)T,

chứa thành phần bất định ( , , )d x u t , mô tả bởi:

( , , , )t





trong đó xRn là vector trạng thái, ( )f  là vector các hàm

liên tục và một mặt cong trơn ( n m ) chiều, thường được

gọi là mặt trượt, mô tả bởi vector gồm m hàm trơn:

( , )t  s( , ) , ( , ) , t s t  , s m( , )t T 0

chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn ( )x t của hệ

(theo một chỉ tiêu chất lượng cho trước) Mặt trượt (2) trên

thường gặp ở dạng tổng quát, vì nó có dạng không dừng (cấu

trúc mặt trượt bị thay đổi theo thời gian)

Nhiều trường hợp, để đơn giản trong điều khiển sau này

và khi điều kiện cho phép, người ta chỉ cần sử dụng mặt trượt dừng (có cấu trúc không biến đổi theo thời gian):

( ) s ( ) , s ( ) ,  , s m( )T 0

Nhiệm vụ của điều khiển trượt là phải xác định tín hiệu

điều khiển u để đưa hệ (1) tiến về mặt trượt (2) và giữ nó lại

trên đó

Ta sẽ ký hiệu tín hiệu điều khiển cần tìm u đó là:

khi ( , ) 0 khi ( , ) 0

eq N

t t







u

trong đó:

 u là thành phần tín hiệu giữ ( ) eq x t ở lại trên mặt trượt (equivalence principle), tức là nếu đã có:

0 0 ( , ) 0t 

s x với x0x( )t0

thì u eq sẽ phải tạo ra được:

( , ) 0t 

Hình H1 minh họa vai trò của thành phần tín hiệu này đối với quỹ đạo trạng thái ( )x t của hệ

 u là thành phần tín hiệu làm cho ( ) N x t tiến về mặt trượt Như vậy, ở trường hợp mặt trượt dừng (3), khi sử dụng hàm xác định dương:

1 ( ) 2

T

V s  s s

thì đủ để ( )x t tiến về mặt trượt là tín hiệu điều khiển

N

u phải tạo ra được:

Điều kiện (6) này được gọi là điều kiện trượt và sử dụng với mặt trượt dừng (3)

Khi đó các thành phần u eq, u sẽ được xác định như sau: N

Điều khiển giữ trên mặt trượt

Khi hệ (1) là hệ rõ và có cấu trúc affine:

( , )t ( , )t



trong đó

( , )x t  h x( , ) , t  , h m( , )x t

là ma trận n m , và mặt trượt là mặt cong trơn dừng (3), thì

từ điều kiện (5) có:

0    ( , )t  ( , )t eq



Vậy nếu ma trận:

( , )t m m

s

x

xH

không suy biến thì:

1



 s  s

Điều khiển tiến về mặt trượt

Từ điều kiện đủ (6) trên cho mặt trượt dừng (3) và theo

quy ước tương tự như trong tài liệu [8], [9] về sai lệch giá trị

tín hiệu u N u eq  , được mô tả ở hình H1, thì:

 

( )

( , ) ( , )

( , )

eq

eq

t

t

t

t t

x

x

x x

H

H

Bởi vậy, giống như (8), người ta đã đi đến một số sai lệch giá

trị sai lệch tín hiệu điều khiển  cho hệ (1), ký hiệu chi tiết

là:

( , , , m)T

với mặt trượt lý tưởng ( , )s x t s x dạng vector hàm dừng, ( )

thỏa mãn:

( , )t



s

x

xH I (ma trận đơn vị)

như sau:

 Bộ điều khiển relay:

( )sign ( ) , 1, 2, ,

trong đó a k( ) 0, x  x và

1 khi 0

sign( ) 1 khi 0

0 khi 0

s

s









(10)

 Bộ điều khiển phản hồi tuyến tính:

( )

   s xL với L L T 0 tùy chọn

 Bộ điều khiển vector đơn vị:

( ) ( )

k

   s x

s x với k tùy chọn 0

B Xử lý thành phần bất định đầu vào

Xét hệ (1) có cấu trúc affine chứa thành phần bất định ( , , )t

d x u ở đầu vào:

( , )t ( , )t ( , , )t



thỏa mãn tính bị chặn:

( , , )t ( , ), t 

Tương tự như ở hệ rõ, nhiệm vụ của điều khiển trượt ở đây là phái xác định được tín hiệu điều khiển (4) để đưa hệ về mặt trượt dừng (3) và giữ nó lại trên đó

Thành phần u eq trong (4) được xác định với giả thiết ( , , ) 0t 

d x u Như vậy ta cũng sẽ có được u eq theo công thức (8)

Để xác định thành phần còn lạiu N u eq  theo nguyên lý tương đương, ta làm như sau Trước tiên chọn một hàm ( )V s xác định dương Tiếp theo ta xác định  để có:

 

 

( , ) ( , )

eq V

 

 

s x

s x

H H

Rõ ràng, đủ để có bất đẳng thức trên nếu  thỏa mãn:



 

d

s

và đây cũng là công thức để xác định  Chẳng hạn, khi ký hiệu vector  như ở (9) và ma trận ( , )x t

H như ở (7), thì từ (12) sẽ có:

( , )sign ( , ) , 1, 2, ,

s

s x

C Các vấn đề xung quanh mặt trượt và điều kiện trượt

Mặt trượt

Mặt trượt (2) là mặt cong trơn có số chiều (n m ) trong không gian trạng thái, chứa tất cả các quỹ đạo trạng thái mong muốn của hệ

Chẳng hạn như để có được chất lượng là ổn định tiệm cận toàn cục, mặt trượt được chọn chỉ cần là một trong các mặt cong trơn, dừng ( )s x trong không gian m chiều như sau:

 Tuyến tính:

( )  

s x x Ax , xcol( , x1 x2), x1Rm (13) với A là ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn, vì hiển nhiên khi đã có ( ) 0s x  , cũng sẽ có:

1  1



x Ax  x1( )t eAt x1(0)0

 Phi tuyến:

( , ) 0t 

N

u

1

x

2

x

s





H1: Xác định tín hiệu điều khiển

tiến về mặt trượt

1 1

( )   ( )

s x x f x , xcol( , x1 x2), x1Rm (14)

trong đó f x là vector hàm m chiều, được chọn sao ( )1

cho với nó luôn tồn tại hàm vô hướng, dừng V( )x xác 1

định dương thỏa mãn:

1



x

xác định âm, tức là L V f ( ) 0, 0x1  x1 (15)

Nếu chất lượng điều khiển mong muốn là điều khiển bám

ổn định x1( )t w( )t , trong đó ( )w t là quỹ đạo đặt trước,

thì mặt trượt sẽ là mặt cong trơn, ở dạng không dừng ( , )s x t ,

và có thể một trong các dạng sau:

 Tuyến tính:

( , )t     

có A là ma trận hằng, đối xứng xác định dương tùy

chọn

Ở đây, mở rộng hơn, ta cũng có thể chọn ma trận hàm

( )t

A thay vì ma trận hằng A và cũng không bắt buộc

phải đối xứng Tuy nhiên ma trận hàm ( )At này phải

thỏa mãn điều kiện LaSalle là tất cả các giá trị riêng

của:

( )t  ( )t T

đều nằm bên phải trục ảo (ma trận Hurwitz)

 Phi tuyến:

( , )

t

 



trong đó ( , )f e t là vector hàm mà với nó tồn tại hàm vô

hướng trơn, không dừng ( , )V e t thỏa mãn các điều kiện

của định lý LaSalle [6], tức là:

3

t t



e với   1, 2, 3 

Điều đặc biệt, nếu các mặt trượt (13), (14) có số chiều

đúng bằng bậc mô hình là n thì bài toán điều khiển tiến về

mặt trượt sẽ trở thành bài toán điều khiển bám theo mô hình

mẫu

Điều kiện trượt

Điều kiện trượt là điều kiện đủ để tín hiệu điều khiển đưa

quỹ đạo trạng thái ( )x t của hệ về được đến mặt trượt, chẳng

hạn khi sử dụng mặt trượt dừng (3) thì một trong những điều

kiện trượt là công thức (6) đã dẫn ra ở trên

Tuy nhiên điều kiện trượt (6) sẽ là không đủ khi sử dụng

với mặt trượt không dừng ( , ) 0s x t  , vì ở các hàm không

dừng, điều kiện ( , )V  s t 0 chưa đủ để khẳng định cũng sẽ

có ( , )V s t 0, thậm chí là chưa đủ để khẳng định hàm

( , )

V s t sẽ tiến đến hằng số Ta có thể thấy điều đó ở ví dụ:

  /

( ( ), ) ( ) sin ln( )

thì mặc dù có:

  / cos ln( )

V t

t

song lại không có V t/( ) hằng số Ngược lại, từ V t đã /( ) tiến tới hằng số ta cũng không thể suy ra được V t/( )0, chẳng hạn V t/( ) 1sin( )t2

t



Lý do cho sự không tương đương ở trên là vì V t có thể /( )

là hàm không liên tục đều Bởi vậy, khi sử dụng mặt trượt

dạng không dừng (2), ta phải xây dựng điều kiện trượt dựa trên định lý LaSalle, được trình bày trong [6] Một trong những điều kiện trượt thường được sử dụng cho hệ phi tuyến bất định hàm dạng tổng quát chung (1), thỏa mãn điều kiện LaSalle [6], thay cho (6), là:

( , , , )

trong đó   , k 0 N tùy chọn Từ điều kiện trượt (16) này, người ta sẽ xác định được bộ điều khiển phản hồi trạng thái ( , )t

u x cần tìm

Để thuận lợi cho việc sử dụng công thức (16) trên vào việc xây dựng bộ điều khiển ( , )u x t , nhiều tài liệu đã đề xuất

sử dụng (thống kê theo [9]):

2 1 ( ) 2

cho trường hợp mặt trượt đơn và dừng, tức là ( )s x là hàm vô

hướng, là sử dụng các mặt trượt với cấu trúc:

1 ( ) 2sgn( )

trong đó ( )s là hàm tùy chọn thỏa mãn:

( ) 0, 0

s s    s

vì hiển nhiên nó thỏa mãn bất đẳng thức bắt buộc (17) của điều khiển trượt Chẳng hạn như một số công thức cụ thể của (18) có thể là:

1 s k2sgn( )s

3 s k s2, 0  1

Để minh họa ý nghĩa của việc sử dụng điều kiện trượt (18) cho việc xây dựng bộ điều khiển, ta xét bài toán điều khiển trượt cho hệ tuyến tính một đầu vào:

u



với mặt trượt tuyến tính ( )s x c x có T c b T 0 Khi đó, từ gợi ý (19):

1 2sgn( )

s k s k s và s  c x c T TAx b u

ta được:

1 2sgn( )

Vậy bộ điều khiển trượt sẽ là:

T

c b

A

II ĐIỀUKHIỂNTRƯỢTBẬC2

A Hiện tượng rung và kỹ thuật chống rung

Trong thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo ra được hàm

sign( ) định nghĩa bởi (10), mà thay vào đó là:

1

x

x











khi

khi

gi ÷ nguyª n gi¸ trÞ cò khi

(20)

nên cũng sẽ không có được thành phần u eq trong tín hiệu

điều khiển, tức là chỉ có:

N



u u

Điều này tạo ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ, khi mà

u phải chuyển đổi dấu của giá trị với tần số vô cùng lớn để

giữ được ( )x t trên mặt trượt ( , ) 0s x t  Hình H2 minh họa

nguyên nhân và hình H3 minh họa hiệu ứng của hiện tượng

rung này với quỹ đạo dạng zick zack xung quanh mặt trượt

Do nguyên nhân của hiện tượng rung là bởi hàm lấy dấu

thực tế (20) được dùng thay cho hàm lý tưởng (10) nên để

chống rung người ta thường nghĩ ngay tới các hàm thay thế

gần đúng cho (20) Các hàm này đều ở dạng liên tục và chỉ có

ý nghĩa làm giảm tần số thay đổi dấu của tín hiệu điều khiển,

chứ không thay đổi được biên độ của dao động

H3: Hiện tượng rung

Một số hàm liên tục vẫn thường được sử dụng để thay thế

gần đúng cho hàm không liên tục (20) là:

 Hàm khuếch đại bão hòa (hình H4a):

sign( ) khi

sat

khi

s

s

s





  

 

  

 Hàm hyperbolic tangent (hình H4b):

sgn( ) tanh( )s  as

Một kỹ thuật khác để làm giảm hiệu ứng rung là kỹ thuật

trượt bậc cao Phương pháp điều khiển trượt với mặt trượt

( , )t

s x được gọi là điều khiển trượt bậc r , nếu ở đó tín 2

hiệu điều khiển u đồng thời tạo ra được:

( 1) ( , )t ( , ) t    r ( , ) 0t 

Như vậy phương pháp điều khiển trượt cơ bản vừa trình bày trước đây ở chương I chính là điều khiển trượt bậc 1, vì ở đó

tín hiệu điều khiển u chỉ hướng tới ( , ) 0 s x t 

H4: Giải pháp chống rung

B Chuyển về bài toán điều khiển ổn định hệ bậc 1 và 2

Do ở điều khiển trượt bậc cao cần tới số lượng lớn thông tin, số chiều của mặt trượt giảm, nên để thuận lợi trong việc cài đặt, hiện nay người ta chủ yếu chỉ nghiên cứu sử dụng

điều khiển trượt bậc 2 cho hệ (1) bất định hàm có một tín hiệu vào ( m ), tức là cho hệ: 1

( , )t ( , )t u



với ( , )f x t và ( , )h x t là hai vector hàm bất định Tương ứng, mặt trượt trở thành mặt trượt đơn, có thể không dừng

( , )

s x t , với:

Ghép chung hệ bất định có mô hình trạng thái (21) với mặt trượt ( , )s x t , lúc này giữ vai trò như tín hiệu đầu vào, thành hệ vào-ra:

( , ) ( , ) ( , )



 





thì bài toán điều khiển trượt bậc cao tương đương với bài toán điều khiển hệ (23) đạt được chất lượng:

0

y y 

Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 1

Để cụ thể hóa nhiệm vụ điều khiển làm cho quỹ đạo trạng thái ( )x t của hệ bất định (21) tiến được về mặt trượt bậc 2 (22) và ở lại trên đó, trước tiên ta biến đổi điều kiện trượt bậc hai (22) thành:

( , ) ( , )

t

t







x

Khi đó bài toán điều khiển trượt bậc hai nêu trên sẽ là tương đương với:

Bài toán 1: Tìm bộ điều khiển ( , ) u x t để mọi quỹ đạo trạng thái của hệ:

( , ) ( , )

với hai hàm bất định:

t



x x và ( , ) b x t L s h ( , )x t

1

x

2

x

( ) 0

( ) 0

s x

( ) 0

s x

s

sgn( )s







H2: Nguyên nhân của hiện

tượng rung

s

sat( )s





tanh( )s







trong đó u được xem như tham số của hai hàm bất định

trên, luôn tiến về gốc s s  0 của mặt phẳng pha

Tiếp theo, từ (24) ta có tiếp:

( , , , )s t u u s s ( , )t ( , )t u s ( , )t u

Do đó, nếu đặt biến mới:

1( ) ( , )

sẽ còn được:

2 ( , , ) ( , )









trong đó:

t

s











x

x

(29)

Như vậy bài toán điều khiển trượt cho hệ (21) với điều

kiện trượt bậc hai (22) trở thành bài toán điều khiển ổn định

cho hệ (28) Hệ (28) này có u giữ vai trò như tham số mô

hình, còn v u  mới chính là tín hiệu điều khiển Bài toán

điều khiển ổn định này được phát biểu như sau:

Bài toán 2: Tìm bộ điều khiển ( , , ) u  x u t để mọi quỹ đạo trạng

thái của hệ (28) có các hàm bất định ( ), ( )   cho bởi

(29), ổn định tiệm cận toàn cục

Trường hợp hệ có bậc tương đối bằng 2

Nếu hệ (21) với mặt trượt bậc hai (22) còn thỏa mãn:

( , ) 0

L s h x t 

thì người ta gọi nó là hệ có bậc tương đối bằng 2 Ngược lại

hệ sẽ được gọi là có bậc tương đối bằng 1

Với hệ có bậc tương đối bằng 2 thì hai công thức (24) và

(26) trở thành:

s

t

t









f

x

Do đó bài toán điều khiển trượt (21), (22) với các biến mới

(27) trở thành bài toán điều khiển ổn định cho hệ:

2 ( , ) ( , )









trong đó:

( , )t s s ( , )t

t

s





và từ đây ta có bài toán thứ ba tương đương với bài toán gốc

ban đầu, phát biểu như sau:

Bài toán 3: Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái ( , ) u x t để

mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (30) có các hàm bất định

( ), ( )

    cho bởi (31), ổn định tiệm cận toàn cục

C Bộ điều khiển xoắn (twisting)

Bộ điều khiển trượt cho hệ bất định được Levant giới thiệu ở tài liệu [4] năm 1993, gọi là bộ điều khiển xoắn (twisting controller) Thực tế bộ điều khiển này đã được Levant bắt đầu đề cấp đến năm 1985 khi còn ở Nga dưới tên Levantosky, sau đó phát triển và hoàn thiện nó vào năm 1993, khi đã chuyển về Israel Nội dung bộ điều khiển xoắn được phát biểu như sau:

Định lý 1 (Levant, 1993): Nếu hai hàm bất định ( ), ( ) a  b  của hệ (25) trong bài toán 1 thỏa mãn:

( )

a  và C 0K1  b( ) K2 (32) thì bộ điều khiển:

1sgn 2sgn

trong đó:

1 1 2

sẽ là một nghiệm của bài toán

Chứng minh:

Trước tiên ta xét tổng     và giả sử rằng tại thời s s

điểm đầu t có (0) 0, (0) 00 s  s  , tức là có (0) 0  Khi đó cũng có u   Suy ra: r1 r2

1 2

1 1 2

( , ) ( , )

Như vậy ( )s t là liên tục và đơn điệu giảm với vận tốc hằng nhỏ hơn 0 Do đó phải tồn tại khoảng thời gian hữu hạn T để 1

từ đó s t( ) 0,  t T 1

Từ đây, và với:

0

s khi t T 1 hàm ( )s t cũng liên tục, đơn điệu giảm với vận tốc hằng nhỏ

hơn 0, nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn T để từ 2

đó có:

( ) 0s t  khi t T 3T T1 2 Điều này chỉ rằng chỉ sau một khoảng thời gian hữu hạn 3

T hàm ( )t đã giảm về một giá trị âm Do ( ) t lên tục nên cũng phải tồn tại điểm thời gian hữu hạn 0 T / T3 để

có (T/) 0 Chứng minh hoàn toàn tương tự cho các trường hợp còn lại bao gồm z1(0) 0, (0) 0 z2  hay z1(0) 0, (0) 0 z2  và

1(0) 0, (0) 02

z  z  ta sẽ đến được kết luận chung về sự tồn tại khoảng thời gian hữu hạn T để có ( ) 0 t  khi t T với mọi trạng thái đầu z1(0) và z2(0)

Kể từ đây và với:

0

s s

     s s

ta cũng có ( )s t  , do đó cũng có ( )0 s t 0 ■

So với lời chứng minh gốc trong tài liệu [4] thì phần chứng minh trên ít "toán học" hơn nên cũng sẽ dễ chấp nhận

hơn đối với những người làm ứng dụng kỹ thuật điều khiển

Tuy nhiên ở lời chứng minh gốc, tài liệu [4] còn khẳng định

được bộ điều khiển (33) làm hệ ổn định toàn cục tại gốc

0

s s  sau khoảng thời gian hữu hạn, thì lời chứng minh

đơn giản trên chưa cho thấy được điều này

Ngoài ra, do bài toán 1 là tương đương với bài toán 2 và

khi các hàm khả vi ( ), ( )a  b thỏa mãn các điều kiện bị chặn

(32) cũng như u cũng bị chặn thì hai hàm bất định ( ), ( )  

của bài toán 2 cũng bị chặn Bởi vậy ta cũng đến được

nghiệm của bài toán thứ 2 như sau:

Định lý 2 (Levant, 1993): Nếu hệ (28) có hai hàm bất định

( ), ( )

   thỏa mãn điều kiện bị chặn:

( )

thì bộ điều khiển:

khi 1

sgn( ) khi 0 , 1

sgn( ) khi 0 , 1

m

M





trong đó:

2

max 4 ,

0

( , )

s x t s và G V1 M   G V2 m 

sẽ là một nghiệm của bài toán số 2 với khoảng thời gian

quỹ đạo trạng thái của hệ về tới gốc tọa độ là hữu hạn

Có thể thấy được thêm ở định lý trên là với cấu trúc bộ

điều khiển (36), khi u  thì do có 1 u u nên cũng có

( ) t (0)

u t e u Bởi vậy chỉ sau khoảng thời gian hữu hạn

cũng sẽ có được điều kiện bị chặn u  1

Hơn nữa, đối với bài toán 2, do tính bất định của các hàm

( ), ( )

   nên khi thay u bởi u , nó sẽ trở thành bài toán số

3 Do đó bộ điều khiển xoắn (33) cũng áp dụng được cho cả

bài toán 3 với thay đổi nhỏ như [9] đã làm như sau:

sgn( ) khi 0

sgn( ) khi 0

m

M

u



H5: Minh họa điều khiển xoắn và siêu xoắn trong mặt phẳng pha

Từ cấu trúc bộ điều khiển này, phạm vi thay đổi giá trị của tín hiệu điều khiển chỉ thuộc 4 phần mặt phẳng ¼ kéo theo sự thay đổi tương ứng của dạng quỹ đạo trạng thái của

hệ trong 4 phần mặt phẳng đó như minh họa ở hình H5a Điều này tạo thành quỹ đạo chung của hệ có hướng xoay xung quanh gốc và tiến về gốc Đó có thể là lý do tại sao bộ điều khiển (33) và (36) được [4] và [5] gọi là bộ điều khiển xoắn

Điểm đặc biệt nữa có chung trong cả hai bộ điều khiển xoắn ở trên là chúng đều là những bộ điều khiển phản hồi trạng thái, vì ngoài đầu ra s z , chúng còn cần tới thông tin 1

về dấu cả của trạng thái s z 2 của hệ

D Bộ điều khiển siêu xoắn (super twisting)

Nhược điểm phản hồi trạng thái của bộ điều khiển xoắn sẽ được khắc phục bởi bộ điều khiển siêu xoắn Nói cách khác, các bộ điều khiển siêu xoắn là những bộ điều khiển phản hồi đầu ra Tên gọi siêu xoắn ở đây không có nghĩa là độ xoắn sẽ nhiều hơn mà chỉ có ý nghĩa nói rằng đó là bộ điều khiển phản hồi đầu ra

Nội dung phương pháp thiết kế bộ điều khiển siêu xoắn này như sau:

Định lý 3(Levant, 2003): Nếu với hai hàm bất định ( ), ( ) a  b  của

hệ (25) trong bài toán 1 luôn tồn tại các hằng số dương

, , , ,

q C G G U sao cho:

( )

( )







thì bộ điều khiển:

1sgn( )1 1

với   đủ lớn, mà cụ thể là: 0

 1  2 2

(1 ) 2

(1 )









cũng như:

1

1

khi sgn( ) khi

u







sẽ là một nghiệm của bài toán Nói cách khác bộ điều khiển (38), (39) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (25) về gốc tọa độ s s  0 sau một khoảng thời gian hữu hạn

Điểm đặc biệt nữa của bộ điều khiển trên là với (39) thì

giá trị tín hiệu điều khiển u luôn có xu hướng tiến về khoảng

bị chặn U U,  Ngoài ra, do bài toán 1 và bài toán 2 là tương đương, nên định lý trên cũng áp dụng được cho bài toán 2 với lưu ý các hàm ( ), ( )a b  cần phải biến đổi thành ( ), ( )

    và vai trò của u được thay bằng u Nếu như hệ tương đương (23) lại có bậc tương đối bằng 2, thì ta chỉ cần biến đổi ( ), ( )a  b  thành ( ), ( )    là đủ, vai trò của u được

giữ nguyên

2

s z

1

s z

1

s z

Định lý 4: Nếu hai hàm bất định ( ), ( )    trong hệ (30) của

bài toán 3 thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), thì bộ điều

khiển:

sgn( )

sgn( )











 

trong đó:

3

,

G







  và 0  0.5

sẽ là một nghiệm của bài toán

Tương tự là:

Định lý 5: Nếu hai hàm bất định ( ), ( )   trong hệ (30) của

bài toán 3 thỏa mãn điều kiện bị chặn (35), thì bộ điều

khiển phản hồi đầu ra:

1/2

1.1 sgn















(41)

trong đó:

1 1 2

1 1 2

       và r1r2 0

sẽ là một nghiệm của bài toán

E Bộ điều khiển cận tối ưu

Đây là bộ điều khiển xấp xỉ tối ưu tác động nhanh phản

hồi đầu ra cho hệ bậc hai, được xây dựng bởi Bartolini và các

cộng sự [1] Ở bộ điều khiển này ta cần phải xác định được

thời điểm xuất hiện điểm cực trị của mặt trượt, tức là thời

điểm mà tại đó có z t2( ) 0 Nội dung bộ điều khiển siêu

xoắn được xây dựng nhờ tiêu chuẩn cận tối ưu theo thời gian

như sau

Định lý 6 (Bartolini và cộng sự, 1997): Nếu hai hàm bất định

( ), ( )

   của hệ (28) trong bài toán 2 thỏa mãn điều kiện

bị chặn (35), thì bộ điều khiển:

( ) ( ) ( ) sgn ( ) 0.5 ( )k

trong đó:

1( ) 1( ) 0.5 ( )1 0 ( )

1



khi

trong tr−êng hîp ng−îc l¹i

và hằng số U được chọn thỏa mãn:

 

1 2

4

3

0 , 1 1 ,

U

G G



sẽ là một nghiệm của bài toán Nói cách khác bộ điều khiển (42) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (28) về tới gốc tọa độ z1z2 sau khoảng thời gian hữu hạn 0

Trong công thức bộ điều khiển (42), hệ số ( )t có tên gọi

là hệ số điều biến (modulation factor), U là hệ số khuếch đại (gain factor) và t là các thời điểm hiệu chỉnh bộ điều khiển k

mà ở đó có z t2( ) 0k  Hiển nhiên với tính bất định của các hàm ( ), ( )   thì

khi thay u v bởi u trong mô hình hệ (28), nó sẽ trở thành

hệ (30) Do đó định lý trên hoàn toàn áp dụng được cho bài toán 3 Nói cách khác, bài toán 3 cũng có nghiệm:

( ) ( ) sgn ( ) 0.5 ( )k

u t  t U z t  z t

Bên cạnh định lý 5 tài liệu [1],[2] còn cung cấp một số bộ điều khiển cận tối ưu tương đương khác Chẳng hạn như:

Định lý 7 (Bartolini và cộng sự, 1997): Nếu hai hàm bất định

( ), ( )

   của hệ (30) trong bài toán 3 thỏa mãn điều kiện

bị chặn (35), thì bộ điều khiển:

( ) ( ) sgn ( ) ( )k

với:

 

2 1

1

( ) 1

(1 )

t

G U

G U U











 









khi trong tr−êng hîp ng−îc l¹i

, 0 < < 1

sẽ là một nghiệm của bài toán Nói cách khác bộ điều khiển (43) sẽ đưa quỹ đạo trạng thái của hệ (30) về tới gốc tọa độ z1z2 sau khoảng thời gian hữu hạn 0

III VÀIĐIỀUNÓITHÊM

A Điều khiển trượt bậc 1 hệ switching

Xét hệ phi tuyến có mô hình trạng thái [8]:

0, 0

với u  là tín hiệu đầu vào Hình H6 là họ các đồ thị quỹ 1 đạo pha của hệ ứng với u  và hình H7 là ứng với 1 u 1

Ở cả hai trường hợp này thì hệ đều là không ổn định

Chọn mặt trượt:

( )

s x ax x  với x( , )x xT với a là giá trị thích hợp để đồ thị ( ) 00 s x  nằm ở vị trí như đường nét rời trong hình H6 so với vị trí của các đường quỹ đạo pha đi qua gốc tọa độ ứng với u  1

Mặt trượt ( ) 0s x  này khi kết hợp với trục tung x sẽ

chia mặt phẳng pha thành 4 miền Ghép 2 họ quỹ đạo pha trên lại với nhau ở từng miền riêng biệt trong 4 miền trên với thứ

tự xen kẽ nhau, ta có họ quỹ đạo pha mới như mô tả ở hình

H8 Họ quỹ đạo pha này cho thấy hệ switching thu được là ổn

định tiệm cận tại gốc

Từ đây ta suy ra được bộ điều khiển phản hồi trạng thái

làm hệ (44) ổn định tiệm cận toàn cục tại gốc tọa độ là:

sign( )

u  sx

H6: Đồ thị quỹ đạo pha khi u  1

H7: Đồ thị quỹ đạo pha khi u 1

H8: Đồ thị quỹ đạo pha khi có bộ điều khiển switching (45)

Tuy nhiên khi cài đặt thực tế, do không tồn tại thiết bị tạo

ra được hàm lý tưởng sign( ) cho bởi công thức (10), mà thay

vào đó là hàm sgn( ) mô tả bởi công thức (20):

sgn( )

nên đã xảy ra hiện tượng rung Hiện tượng này nhận biết trực

quan được thông qua dạng zick zack của quỹ đạo trạng thái

bám xung quanh mặt trượt ( ) 0s x  như ở hình H8

Chất lượng rung thường được đánh giá qua các tham số:

 Tần số dao động xung quanh mặt trượt của quỹ đạo trạng thái, ký hiệu là  Tần số này càng cao, hiện x tượng rung sẽ càng mạnh

 Biên độ dao động của quỹ đạo trạng thái xung quanh mặt trượt, ký hiệu là A Khi x  càng lớn, x A sẽ càng x

nhỏ Khi có    sẽ có x A x  0

 Tần số thay đổi giá trị tín hiệu điều khiển u , ký hiệu là u

 Khi  càng lớn, u  sẽ càng cao, do đó hiện x tượng rung càng mạnh Hai tần số  của quỹ đạo x trạng thái và  của tín hiệu điều khiển là tỷ lệ thuận u với nhau

 Khoảng trượt  trên mặt trượt Khoảng trượt càng c lớn, hiện tượng rung càng dài

B Điều khiển trượt bậc 1 hệ truyền ngược chặt

Ví dụ thường gặp nhất để minh họa về điều khiển trượt cơ bản là bài toán điều khiển ổn định hệ truyền ngược chặt bất định, một đầu vào:

( , ) ( , )

n









trong đó ( ), ( )f  h là hai hàm bất định thỏa mãn điều kiện bị chặn:

( , ) ( )

Khi đó nếu sử dụng mặt trượt:

s x a x   a x  x

với a1,  ,a n1 là những hệ số của một đa thức Hurwitz tương ứng, thì từ ( ) 0s x  ta cũng sẽ có ( )x t 0 Bởi vậy

ta chỉ cần điều khiển sao cho quỹ đạo trạng thái của hệ (46) tiến về mặt trượt ( ) 0s x  và giữa nó ở lại trên đó là hệ sẽ ổn định tiệm cận

Một trong các bộ điều khiển thực hiện được nhiệm vụ trên

là bộ điều khiển phản hồi trạng thái [6]:

 

1 1

( )

sgn ( ) ( )

n

i i i















x

x x

với k tùy chọn, vì với nó ta có được điều kiện đủ (16) làm

cho hệ tiến được về mặt trượt ( ) 0s x  là:

2

ss k s

Hơn thế nữa, bộ điều khiển này còn đưa được mọi quỹ đạo trạng thái của hệ về mặt trượt ( ) 0s x  trong một khoảng thời gian hữu hạn

C Cài đặt bộ điều khiển xoắn và thuật toán drift

Bộ điều khiển xoắn phát biểu trong các định lý 1,2 là những bộ điều khiển phản hồi trạng thái, mà cụ thể là chúng cần tới cả thông tin về dấu của z2  Để chuyển chúng xấp z1

xỉ thành bộ điều khiển phản hồi đầu ra giống như bộ điều khiển siêu xoắn, bên cạnh các bộ điều khiển (38), (40) hay (42) và (43), các tài liệu [4], [5] còn đưa ra những công thức

x

x

II

x

x

khi sx0

I

( ) 0

s x 

khi sx0

I

khi 0sx

II

khi sx0

II

x x

I

xấp xỉ của bộ điều khiển xoắn cho trong các công thức (36),

(37) thông qua việc thay hàm lấy dấu của z bằng: 1



với   được chọn đủ nhỏ 0

Bằng việc thay xấp xỉ trên, cũng như chỉnh sửa lại bộ điều

khiển xoắn sao cho luôn giữ được khoảng dao động mặt trượt

nhỏ, tức là giữ cho s nằm trong dải giá trị nhỏ, công thức

(36) của bộ điều khiển xoắn cho bài toán 2 trở thành:

1 1

khi 1

sgn ( ) khi 0 , 1

sgn ( ) khi 0 , 1





Tương tự, bộ điều khiển xoắn (37) cũng được thay bằng:

1 1

sgn ( ) khi 0

sgn( ) khi 0

u



Hai bộ điều khiển xoắn thay thế (48), (49) này được các

tài liệu [4], [5] gọi là thuật toán trôi (drift algorithm) Hình

H9 minh họa hiệu ứng của thuật toán này Nó cho thấy quỹ

đạo pha ( )s s của mặt trượt luôn bám sát theo trục s và nếu

càng gần gốc tọa độ, độ xoắn của đồ thị càng nhiều Nguyên

nhân là do trong hai công thức (48) và (49), tần số thay đổi

giá giá trị tín hiệu điều khiển không liên tục u càng gần gốc

tọa độ sẽ càng cao Như vậy rõ ràng hiệu ứng rung thể hiện ở

tham số  đã không được loại trừ Nói cách khác, ở đây u

hiệu ứng rung chỉ có thể được cải thiện thông qua việc thu

nhỏ khoảng rung  c

H9: Minh họa drift algorithm (48), (49)

D Điều khiển trượt bậc 2 với bộ điều khiển siêu xoắn

Hình H10 minh họa quỹ đạo pha ( )s s của mặt trượt khi

sử dụng bộ điều khiển siêu xoắn (phản hồi đầu ra) cho bởi các

công thức (38) hoặc (40) Một lần nữa ở đây ta lại thấy càng

về gần gốc tọa độ, quỹ đạo càng xoắn, tức là tần số thay đổi

giá trị của tín hiệu điều khiển không liên tục u càng cao Nói

cách khác sẽ phải vẫn tồn tại hiện tượng rung ở gần gốc tọa

độ Nó chỉ giúp cải thiện hiện tượng rung bằng cách thu nhỏ

khoảng rung  , chứ không như [4], [5] đã khẳng định bằng c

các từ "attenuate" hay "avoid"

Hình H11 là kết quả mô phỏng thực hiện việc so sánh khả

năng giảm rung của hai bộ điều khiển trượt bậc 1 (hình bên

trái) và trượt siêu xoắn (hình bên phải), được lấy từ [9] Một

lần nữa nó cho thấy trượt bậc 2, bên cạnh việc đã làm giảm

được biên độ tín hiệu điều khiển trong khoảng rung thì cũng

chỉ có thêm khả năng thu nhỏ được khoảng rung  , chứ c không có khả năng loại bỏ được hoàn toàn hiện tượng rung

H10: Quỹ đạo pha với bộ điều khiển siêu xoắn

H11: So sánh khoảng rung của trượt bậc 1 và bậc 2

E Điều khiển trượt bậc cao (≥3)

Xét lại bài toán điều khiển trượt chống rung cho hệ affine bất định (21) với mặt trượt ( , )s x t Điều kiện cần đạt được là mọi quỹ đạo trạng thái của hệ phải tiến tiệm cận được về đa tạp:

( 1) ( , )t ( , ) t    r ( , ) 0t 

trong đó r Giả sử rằng hệ vào-ra, được ghép chung bởi 3

hệ bất định (21) cho ban đầu và đa tạp trượt (50):

( , ) ( , ) ( , )



 





có bậc tương đối đúng bằng r , tức là:

0 khi 0 2 ( , )

k

h f

k r

L L s t

k r

  





x

Vậy thì bằng phép đổi biến vi phôi [6]:

z L s x t   i r

hệ vào ra (51) sẽ trở thành hệ truyền ngược chặt (46):

( , ) ( , )

i i r







trong đó ( ), ( )   được xác định từ các hàm gốc ban đầu ( ), ( )

f  h của (51) theo:

( , )t L s r f ( , )t

 x  x và ( , )x t L L s h f r1( , )x t (53)

và tất nhiên, chúng cũng là các hàm bất định, nếu ( ), ( )f  h 

là bất định

s s

s s

c

Suy ra, điều khiển trượt bậc cao (50), (51) là tương đương

với điều khiển ổn định hệ (52), phát biểu như sau

Bài toán 4: Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái ( , ) u x t để

mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (52) có các hàm bất định

( ), ( )

    cho bởi (53) là ổn định tiệm cận toàn cục với

thời gian về gốc là hữu hạn

Ở đây ta cần lưu ý là mặc dù đã có phương pháp điều

khiển trượt bậc 1 cho hệ truyền ngược chặt (52) như trình bày

ở phần IIIB, song không thê sử dụng nó cho bài toán 4 vừa

nêu trên Lý do đơn giản là trượt bậc cao được sử dụng nhằm

giảm hiệu ứng rung, trong khi lời giải ở mục IIIB lại không

đáp ứng được điều này

Hiện tại, bên cạnh điều khiển trượt bậc 2 với các bộ điều

khiển xoắn, siêu xoắn cũng đã có một số các bộ điều khiển

bậc cao hơn 2 đã được công bố, chẳng hạn như trong tài liệu

[1], [4] hay [5] Chúng cùng được gọi dưới tên:

 Hybrid 3-VSC (variable structure control) cho các bộ

điều khiển trượt bậc 3 Bộ điều khiển này cần các thông

tin phản hồi về, ngoài vector trạng thái x , còn có

sgn( ), sgn( )s s và sgn( ) s

 Universal HOSM cho các bộ điều khiển trượt bậc

caor Chúng sử dụng các thông tin phản hồi về 3

gồm x, , , ,s s  s(r2) và sgn s( 1)r

F Điều khiển trượt terminal

Đây là phương pháp liên quan tới việc thiết kế mặt trượt

trơn nhằm có được tốc độ trượt lý tưởng trên mặt trượt về gốc

tọa độ của quỹ đạo trạng thái theo quy luật của hàm lũy thừa,

đồng thời tạo ra được thời gian quỹ đạo trạng thái tiến về mặt

trượt là hữu hạn Phương pháp này không liên quan tới việc

giảm rung như điều khiển trượt bậc cao Tuy nhiên nó có thể

kết hợp với trượt bậc cao để cải thiện thêm chất lượng điều

khiển

Phương pháp trượt terminal có nội dung như sau Xét hệ

truyền ngược chặt (46) Khi đó, tương ứng với bậc n của hệ,

mặt trượt s n1( , )x t của điều khiển trượt terminal được xây

dựng truy hồi như sau:

 Nếu n thì mặt trượt 1 s1( , )x t sẽ là:

1( , ) 1

s x t x

 Nếu n i 1, 1, 2, i ,n1 thì:

s x t s s

với

0, i

i

p q

    và p i  là hai số lẻ dương q i

Ta có thể thấy mặt trượt này thuộc lớp các mặt trượt cho

trong công thức (14), chẳng hạn như khi n thì với: 2

2 2

sẽ tồn tại hàm V( )x x12 thỏa mãn (15)

Điều khiển trượt terminal được đề xuất lần đầu bởi

Venkataraman và Gulati năm 1990 trong khuôn khổ nghiên

cứu của phòng thí nghiệm về động cơ phản lực JPL và cho tới

ngày nay nó đã được phát triển và sử dụng khá phổ biến trong các hệ thống điều khiển quá trình phi tuyến, các hệ tay máy [theo WikipediA]

Để minh họa việc sử dụng mặt trượt terminal trên, ta xét một ví dụ về điều khiển trượt hệ bất định bậc hai như sau [7]:

2 ( , ) ( , )









 x x với x( , x1 x2)T Mặt trượt terminal tương ứng cho hệ bậc hai là (54) Khi đó

từ điều kiện trượt (17) ta sẽ có:

( , ) ( , )

Vậy bộ điều khiển trượt terminal phải thỏa mãn:

2 2

1

1

( , )











 



x x

Chẳng hạn như khi có thêm các điều kiện bị chặn (47) thì một trong các bộ điều khiển trượt terminal thỏa mãn điều kiện (55) nêu trên sẽ là:

2 1

( )

sgn( ) ( )







x

với k tùy chọn 

IV KẾTLUẬN

Về chất lượng và ý nghĩa ứng dụng của điều khiển trượt

cơ bản cũng như trượt bậc cao ta có thể tóm tắt như sau:

 Điều khiển các hệ có cấu trúc biến đổi và hệ switching

 Điều khiển các hệ bất định hàm và hệ có nhiễu tác động

 Điều khiển động học không hệ vào-ra (51) Đây là vấn

đề khá lý thú vì như ta đã biết ở tài liệu [6] rằng với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh và liên tục ta không thể thay đổi được bậc tương đối của hệ phi tuyến, do đó không thể chuyển đổi một hệ pha không cực tiểu thành pha cực tiểu nhờ phản hồi trạng thái Tuy nhiên bằng

bộ điều khiển trượt phản hồi trạng thái và với một mặt trượt thích hợp ta lại có thể điều khiển hệ (51) ổn định

ở chế độ động học không, tức là đã điều khiển được hệ (51) trở thành pha cực tiểu, mà không cần biết hệ

vào-ra (51) ban đầu có phải là pha cực tiểu hay không Đây cũng có thể sẽ là một cầu nối cho việc giải quyết một trong các bài toán còn dang dở của lý thuyết hệ phẳng

 Điều khiển bám theo mô hình mẫu, hoặc điều khiển bằng mô hình nội

 Không bao giờ đạt được chế độ trượt lý tưởng, mà chỉ

có thể xấp xỉ trượt

 Trượt xấp xỉ bậc cao sẽ cải thiện được hiệu ứng rung theo nghĩa thu nhỏ được khoảng trượt  về trong một c lân cận gốc, chứ không có khả năng triệt tiêu được tần

số rung  của tín hiệu điều khiển u trong u  c

 Bài toán nâng cao chất lượng điều khiển trượt bậc cao liên quan tới công việc thiết kế mặt trượt thích hợp và điều này, bên cạnh điều khiển trượt terminal, có thể còn liên quan tới bài toán tích phân mặt cong trơn của hình học vi phân