Cách Giải Và Xây Dựng Các Bài Toán Dãy Số Từ Hệ Thức Bất Biến Đổi Với Chỉ Số

SKKN www.huongdanvn.com NGƯỜI VIẾT: TRẦN VĂN TRUNG GV TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – PHAN RANG THÁP CHÀM, NINH THUẬN TÊN ĐỀ TÀI: CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ TỪ HỆ THỨC BẤT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ  A Đặt vấn đề Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy bồi dưỡng lớp chun tốn thân tơi cảm thấy người thầy trực tiếp dạy lớp cần nhiệm vụ khả thiếu lực sáng tạo tốn tìm mối quan hệ, xếp cách dạy tốn theo lớp chung xuất xứ từ vấn đề Để chia sẻ công việc giới thiệu đồng nghiệp vấn đề “Cách giải xây dựng toán dãy số từ hệ thức bất biến số” Người thầy có khả tự giúp chủ động cách soạn giáo án lên lớp, sáng tác đề thi để kiểm tra xác lực học sinh, lặp lại tốn có học sinh có khả giải trước thơng tin đến với em phong phú Hơn đề thi học sinh giỏi hầu hết sáng tác Công việc phần giúp học sinh hiểu tư tưởng người làm đề qua em phân tích nhận định tìm tòi lời giải B Quá trình thực Để học sinh hiểu cách sâu sắc có sở khoa học trước hết phải trang bị cho em hiểu hệ thức bất biến số ? Đó hệ thức : f ( xi , x j , xk )  f ( xi 1 , x j 1 , xk 1 )  i, j, k  N i, j k thường số tự nhiên liên tiếp VD: xn  xn  xn 1  xn 1  , n  N  xn 1 xn Giá trị bất biến tùy thuộc vào giá trị ban đầu Biểu thức bất biến dấu biểu thức phức tạp người xây dựng tốn mà người giải tốn phải xác định I Bước chuẩn bị 1/ Sưu tầm số hệ thức bất biến với số số tập, hay số đề thi mà có sử dụng bất biến số 2/ Chọn toán mẫu tiêu biểu từ dễ đến phức tạp đặc biệt từ toán phải thay đổi nhiều cách phát khác 3/ Phân bố thời gian Cần tập trung nhiều phần mở rộng xây dựng toán từ hệ thức bất biến 4/ Bước chuẩn bị thầy trò www.huongdanvn.com 4.1- Chuẩn bị trò : Nắm vững kiến thức dãy số Một số dạng toán dãy 4.2- Chuẩn bị thầy : Giáo án số dụng cụ dạy học liên quan Chuẩn bị tập mẫu chu đáo Giới thiêu số thủ thuật mở rộng xây dựng toán (1) Bài tập : * Bài tập mẫu dạy lớp    a1 + Bài toán 1: Cho dãy số (an ) xác định : a2   an  an 1  (n  3)  an  Chứng minh an nguyên với n  Dụng ý : Cung cấp học sinh lời giải toán Kĩ thuật sử dụng bất biến Cung cấp cách xây dựng tốn từ giúp em nhìn vấn đề đơn giản phức tạp a1  a  500  + Bài toán : Cho dãy số (an ) xác định : a3  2000 a  a  n  n 1  an 1 (n  2)  an 1  an 1 an 1 Chứng minh số hạng dãy số số nguyên dương a2000 chia hết cho 22000  Dụng ý : Tiếp tục rèn học sinh phát bất biến Cung cấp cho học sinh thấy thêm kiểu dấu hệ thức bất biến khác u1   + Bài toán : Cho dãy số (un ) xác định : u2  u  4u  u  0; n  n 1 n  n n S n   arc cot(ui2 ) c 1 Tìm lim Su n   Dụng ý : Kĩ thuật sử dụng bất biến mức độ cao Tập học sinh thay đổi đề dựa vào toán + Bài tốn : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A) www.huongdanvn.com Có hàm số f : N   N  thỏa đồng thời điều kiện : 1/ f(1) = 2/ f (n) f (n  2)  f (n  1)  1997 n  N   Dụng ý : Tiếp tục rèn luyện Gây hứng thú sử dụng hệ thức bất biến * Bài tập tự rèn luyện u0    Bài 1: Cho dãy số (un ) xác định : u1  u  1999u  u n 1 n  n Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố  Bài toán 2: Cho dãy số nguyên an  thoả an   an 1  2(an1  an ) Chứng minh tồn số nguyên M không phụ thuộc vào n cho M + 4an 1.an số phương với n   a   a    Bài toán 3: Cho dãy số : a3   a a  an 1  n 1 n  an  Chứng minh số hạng dãy số nguyên (2) Đồ dùng dạy học * Đồ dùng dạy học :   a1   Bài toán 1: Cho dãy số (un ) xác định : a2   an  an 1  (n  3)  an  Chứng minh an nguyên với n * Đồ dùng dạy học : Mở rộng xây dựng toán Nguồn gốc hệ thức bất biến số an 1  an 1 an  an 2  an an 1 Cho bất biến nhận giá trị an  an  4 an 1  4an1  an  an 2www.huongdanvn.com (1) Cho an an   a n1  C (2) Nếu cho a1  a2  từ (1)  a3  Từ (2) ta có : C = 2 Vậy an an   an 1  Do an , an  nghiệm phương trình x  4an 1 x  an21   Ta có an an 2  an 1  an21   an  an  Ta có tốn tốn xây dựng sau : Từ hệ thức an  4an 1  an  dựa vào phương trình Pell : x  Dy  K Ta xây dựng vô số tốn dãy số có lời giải với toán ( x0 , y0 ) nghiệm khơng tầm thường phương trình x  Dy  K ( ,  ) nghiệm sở phương trình x  Dy  Khi xét dãy số  xn  ,  yn  xác định :  xn 1   xn   D yn   yn1   xn   yn xn , yn nghiệm x  Dy  K Từ hệ phương trình ta tìm xn 1   xn   D  xn2  K  yn 1   yn   K  Dyn2 Như xuất hai dãy số nguyên cho công thức không nguyên  Áp dụng : 2 Phương trình Pell : x  y  có nghiệm sở (2;1) ta có nghiệm :  x0  1, x1  2; xn   xn 1  xn   y0  0, y1  1; yn   yn 1  yn Ta có dãy số kiểu khác tốn chất bất biến an   an  4an 1 Do : a0   an 1  2an  3an  Như hai công thức : an21www.huongdanvn.com 2 a  n an  an 1  2an  3an2  an  an  4 bất biến : an 1  Như thay đổi bất biến khác ta có loạt dãy số khác  Ta dẫn bất biến hình thức khác tùy bạn có dãy * Đồ dùng dạy học :  Bài toán : Cho dãy số (an ) định nghĩa a  an1 an1  a1  2, a2  500, a3  2000 n với n  an1  an1 an1 Chứng minh số hạng dãy số số nguyên dương a2000 chia hết cho 22000 * Đồ dùng dạy học : u1    Bài toán : Cho dãy số un  : u2   un  4un 1  un   0, n  n Và S n   arc cot(ui2 ) i 1 Tìm lim Sn n * Đồ dùng dạy học :  Bài tốn : (Kì thi HSG QG: 96-97 bảng A) Có hàm số f : N   N  thỏa đồng thời điều kiện ; 1/ f(1) = 2/ f (n) f (n  2)  f (n  1)  1997 n  N  * Đồ dùng dạy học : Trình chiếu tập tự rèn luyện u0    Bài : Cho dãy số (un ) xác định : u1   un   1999un 1  un Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố Bài : Cho dãy số nguyên an n thoả an   an 1  2(an1  an ) Chứng minh tồn số nguyên M không phụ thuộc vào n cho M + 4an 1.an số phương với n   www.huongdanvn.com a   a    Bài toán : Cho dãy số : a3   a a  an 1  n 1 n  an  Chứng minh số hạng dãy số nguyên II Các bước soạn giảng  Ngày soạn :  Ngày dạy :  Tên dạy : CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN DÃY SỐ TỪ HỆ THỨC BẤT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ A Mục đích yêu cầu Kiến thức : Nắm vững kiến thức dãy số Hệ thức bất biến Xây dựng toán từ hệ thức bất biến Kĩ : Xác định hệ thức bất biến Kĩ xây dựng toán Tư : Tư logic Tư biện chứng B Đồ dùng dạy học * Bảng trình chíếu * Bài tập C Hoạt động dạy học Kiểm tra cũ : không Hoạt động : … Hoạt động giáo viên học sinh Nội dung ghi * Hoạt động (3 phút) f ( xi , x j , xk )  f ( xi 1 , x j 1 , xk 1 )  i,j,k  N GV: Đưa khái niệm hệ thức bất biến Thường i, j, k số tự nhiên liên tiếp số * Bài tập : * Hoạt động (7 ph) Cho dãy số (an ) thỏa mãn GV: Trình chiếu Bài tập Từ dãy số cho xác định f xi , x j , xk  f ( xi1, x j 1 )( xk 1 )   i, j , k (Thường I, j, k số tự nhiên) GV: Qua lời giải học sinh phát bất biến? an21  (n  3) an  Chứng minh an nguyên với n a1  a2  1, an  Lời giải an21   an an  an21  Từ giả thiết an  an2 Thay n n + ta có an 1an1  an2  Từ hai đẳng thức ta  Dự kiến trả lời : an1  an1 an  an 2 www.huongdanvn.com   c (hằng số) an an 1 an  an  an 1an 1  an an 1 GV: Để nắm rõ vấn đề linh hoạt giải toán em xem người ta xây dựng loại tốn sau : Từ an1  an1 a3  a1    an1  4an  an1 an a2 Vậy an nguyên với n * Hoạt động (8 ph) : Giáo viên sử dụng bảng trình chiếu để thuyết trình * Đồ dùng dạy học : Mở rộng xây dựng toán Nguồn gốc hệ thức bất biến số an 1an 1 an  an 2  an an 1 GV: Thuyết trình : Mở rộng xây dựng toán Nguồn gốc hệ thức bất biến số an 1  an 1 an  an 2  an an 1 Cho bất biến nhận giá trị an  an  4 a n 1  an  an2  4an1 an an 2  a n21  C Cho (1) (2) a1  a2  từ (1)  a3  Nếu cho Từ (2) ta có : C = Vậy Do an an   an21  an , an nghiệm phương trình x  4an 1 x  an21   Ta có an an 2  an21  a n2   an  an2 Ta có tốn toán xây dựng sau : Từ hệ thức an  4an 1  an  dựa vào phương trình Pell : x  Dy  K Ta xây dựng vơ số tốn dãy số có lời giải với toán ( x0 , y0 ) nghiệm khơng tầm thường phương trình x  Dy  K ( ,  ) x www.huongdanvn.com Dy  nghiệm sở phương trình Khi xét dãy số  xn  ,  yn  xác định :  x n 1   x n   D y   y n 1   x n   y n n xn , yn nghiệm x  Dy  K Từ hệ phương trình ta tìm xn 1   xn   D  xn2  K  yn 1   yn   K  Dyn2 Như xuất hai dãy số nguyên cho công thức không nguyên  Áp dụng : Phương trình Pell : x  y sở (2;1) ta có nghiệm : 1 có nghiệm  x0  1, x1  2; xn   xn 1  xn   y0  0, y1  1; yn   yn 1  yn Ta có dãy số kiểu khác tốn chất bất biến an2  an  4an1  a0    an 1  2an  3an  Do : Như hai công thức : a n2   an  an2 an 1  2an  3an2  bất biến :   an  an  4 an1 Như thay đổi bất biến khác ta có loạt dãy khác Ta dẫn bất biến hình thức khác tùy bạn có dãy * Bài toán *Hoạt động (7 ph): Cho dãy số (an ) định nghĩa GV Trình chiếu Bài toán a1  2, a2  500, a3  2000 GV : Hỏi bất biến dãy số ? a  an1 an1  Dự kiến trả lời : n với n   an1  an1 an1 an an 1  an1an an an1 Chứng minh số hạng dãy số nguyên dương a2000 chia hết 22000 GV: Bằng biến đổi người ta thấy khôn khéo việc che đậy hệ Bài giải thức bất biến từ tạo hệ thức tương đương khác Từ giả thiết ta có an2 an1  an21 www.huongdanvn.com GV : Hướng dẫn HS tạo toán Suy số hạng dãy số khác Từ a an a  n 1    an1an an an1 a2a1 Vậy an2  2an an 1 , số hạng đãy số số nguyên dương a a a Mặt khác a2000  2000 1999 a1 a1999 a1998 a1  a 2000 chia hết *Hoạt động (8 ph): GV Trình chiếu Bài tốn * Bài tốn Cho dãy số GV : Từ giả thiết u1  un  : u2  u  4u  u  0, n   n n 1 n2 n Và S n   arc cot(ui2 ) un  4un1  un  i 1 Tìm lim Sn Ta thay : n 1 2000 u u  * n un  (u n Bài giải Trước hết ta chứng minh un2  un1.un1  4, n  Quả vậy, ta có : u  u  u un (4un1 )  un1 (4un ) * n 1 n n 3 Giống tốn Ta có  un (un  un2 )  un1 (un1un1) tốn phức tạp em tự tìm đến  un2  un1.un1  un21  unun2 nhiều tốn khác có lời giải =…= u 22  u u  GV : Hệ bất biến ? = – (4.8 – 2)2 =  Dự kiến trả lời :   4u n    a rc c o t u n2  a r c co t  u n  u  u u  u  u u  n n 1 n 1  3) n 1 n n 2  = arc cot    un (un 1  un 1 ) u 2n  un 1 un 1 un1 un 1 un un1  arc cot un un1  un1 un  arc cot un 1 u  arc cot n un un 1 n  Sn   arc cot(ui2 )  arc cot un 1 i 1 un Hơn :  un  4un1  un2 4u u u  n1  n2 n1 un un1 un (với x  lim un1  ) n  u n – 4x + = www.huongdanvn.com 1= 4x – x  x2   x  2 un1 lim  2 n u n   lim n 3)  S n  arccot (2   un1   có giới hạn, : u n   *Hoạt động (8 ph): GV Trình chiếu Bài tốn GV : Nhận xét bất biến toán ?  Dự kiến trả lời : Bất biến bất biến tốn 12 un 1  0  u   n  u  n  un 1  un 1 un (dãy  * Bài toán  ) (Thi HSG QG 96-97 bảng A) Có hàm số f: N *  N * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1) f(1) = 2) f(n) f(n+2) = f (n+1) + 1997 với n  N * Bài giải Gọi D tập hợp tất hàm số có tính chất nêu Để cho gọn ta kí hiệu: an  f ( n) Ta có: an an  an21  1997 (1) an1an3  an2  1997 an  an2 an1an3 GV : Vậy em có quyền thay đổi giả Suy ra: Vậy: an   can 1  an (2)  thiết mà lời giải tốn khơng an1 an thay đổi a  a1 c số, c  a2 GV : Bất biến sử dụng p Ta chứng minh c = N Thật vậy, c  với (p,q) = từ (2) tốn khó phức tạp q ta có: q (an2  an )  pan1  q an1 2 Vì 1997  an an   an 1M nên q = (do 1997 số nguyên tố) Đặt f(2) = a Từ (1) (2) ta có: ca2  a1  a3  a1a3  a22  1997  ca   a  1997  a 1998 Nghĩa f(2) ước dương 1998 f  D Đảo lại, với ước dương a 1998 ta xây dựng hàm f: N *  ¡ sau: F(1) = 1, f(2) = a, f(n+2) = (a + b)f(n+1) – f(n), b 1998 N a Ta chứng minh f = D Dễ thấy f(n)  N* f(n + 2)f(n) – f 2 (2) = (a + b)a – – a = 1997  f = D Tương ứng f  f(2) song ánh D tập ước dương 1998 Vậy: 10 www.huongdanvn.com D  (1  1)(1  3)(1  1)  16 Củng cố : (4 ph) Sử dụng bất biến để giải toán Kĩ phát bất biến Sưu tầm toán bất biến Phát biểu toán cách khác D Đánh giá hiệu : Sau học xong học học sinh có cách nhìn nhạy bén vấn đề Hệ bất biến số kết thể khảo sát sau :  Nhóm : 15 học sinh Câu hỏi : Xác định hệ thức bất biến cũa dãy số (un ) với  u    u n   u n  u n2  Kết quả: 13 em xác định  Nhóm : 15 học sinh Câu hỏi : Thay đổi cách phát biểu toán sau để cảm nhận phức tạp  u1   u2  u  n 1  u n 1  u n Xác định số hạng tổng quát dãy số Kết quả: 14 em có lời giải tốt C Kết luận : Thực tế việc giảng dạy việc truyền thụ để học sinh lĩnh hội tri thức cách xác chưa đủ mà cần phải cung cấp cho học sinh hiểu nguồn gốc chất vấn đề từ em sáng tạo linh hoạt việc giải toán Với giảng thực tế giúp học sinh làm sáng tỏ chất nhiều toán dãy số nhiều đồng nghiệp hoan nghênh Hội thảo Toan học tỉnh Phú Yên tháng tư vừa Để ngày hoàn thiện mong góp ý đồng nghiệp thêm cho thân Phan Rang, ngày 10 tháng năm 2011 Trần Văn Trung 11 www.huongdanvn.com ĐÁNH GIÁ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 12 www.huongdanvn.com Đề 12 A Phần chung (7 điểm)  Câu : (2 điểm) Cho hàm số: y  x4  x 1 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ ba tiếp tuyến với (C)  Câu : (2 điểm) Giải phương trình : 4cos x.cos2 x.cos3x  cos6 x Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x   m   Câu : (1 điểm) Tìm họ nguyên hàm hàm số x2  f ( x)  x  3x   Câu : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hỉnh vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD góc mặt phẳng (ASD) (SAC)  Câu : (1 điểm) Xác định m để hệ sau có nghiệm 13  x  xy www.huongdanvn.com y2  x  m   x  xy  x  m  B Phần riêng (3 điểm) * Dành cho học sinh nâng cao  Câu 6b : (2 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho  ABC có A(1;2;1), B(-1;0;2), C(2;1;-1) Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ): x – y + = (d ): x – 2y + = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;0) (d) cắt (d ) (d ) M , M mà M M = 2MM  Câu 7b : (1 điểm) x2  x   y Cho (C): x2 Viết phương trình đường cong (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng y = Đề 11 B Phần chung (7 điểm)  Câu : (2 điểm) Cho hàm số: y  (2m 1) x  m2 x 1 (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Xác định m để đồ thị hàm số hàm số (1) tiếp xúc với Ox  Câu : (2 điểm) Giải phương trình :  4sin 2 x  2cos2 x(3sin x  5) Giải hệ :  2xy  x2  y  1  x  y    x  y  x2  y   Câu : (1 điểm)  sin x dx  (sin x cos x ) Tính tích phân I    Câu : (1 điểm) 14 Cho hình chóp cụt tứ giác ngoại tiếp hình cầu bán kính R cho trước Tính www.huongdanvn.com thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ  Câu : (1 điểm) Cho a, b, c số không âm thỏa điều kiện ab + bc + ca > Chứng minh : 1 10  2  2 a b b c c  a (a  b  c) 2 B Phần riêng (3 điểm) * Theo chương trình nâng cao  Câu 6b : (2 điểm) Trong không gian Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A(4;2;1) Biết ( ) cắt tia Ox Oy Oz M, N, P cho thể tích khối tứ diện OMNP nhỏ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng () : x – y + = A(3;1), B(2; – 1) Tìm M () cho  MAB có chu vi nhỏ  Câu 7b : (1 điểm)   x   Tìm hệ số x10 khai triển    x 10 (với x  0) * Trường THPT Chun Lê Q Đơn Đề thi thử lần I ngày 27-3-2011 Câu lạc  (Thời gian 180’) A Phần chung (7 điểm)  Câu : (2 điểm) Cho hàm số: y  x3  (4m 1) x2  (7m 1) x  3m 1 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để hàm số (1) tiếp xúc với Ox  Câu : (2 điểm) Giải phương trình : Giải phương trình : sin x  cos4 x 1  cot x  5sin x 8sin x x 1   2x    x  x2  Câu : (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C): y  x  x  đường thẳng : y =  Câu : (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC  600 15 SO  (ABCD) SO  a 3www.huongdanvn.com O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M trung điểm AD, (  ) mặt phẳng qua BM, song song với SA, cắt SC K tính thể tích khối chóp K.BCDM  Câu : (1 điểm) Cho  ABC Tìm giá trị lớn biểu thức : Q  sin A  sin B  2sin C A Phần riêng (3 điểm) 1/ Theo chương trình chuẩn  Câu 6a : (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ xOy Cho hai đường tròn (C ): x + y – 10x = (C ): x + y – 4x – 2y – 20 = Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C ) (C ) 2 có tâm nằm đường thẳng (  ): x + 6y – = Trong không gian Oxyz Cho đường thẳng (d ): (  ): 3x – z + = (  x  y 1  z (d ) giao tuyến hai mặt phẳng ): 2x + y – = Chứng minh (d ) chéo (d ) chứng minh (d )  (d ) ? Viết phương trình mặt phẳng chứa (d ) vng 2 góc với (d )  Câu 7a : (1 điểm) Cho hai số phức Z W có Z  W  Chứng minh số Z W  ZW (1  ZW  0) số thực 2/ Theo chương nâng cao  Câu 6b : (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho qua M( 2,  ABC vuông A Biết A(– 1,2), B(1,– 4) đường thẳng BC ) Tìm tọa độ điểm C 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho điểm A(4,– 1,2), B(1,2,2), C(1,1,5) Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC  Câu 7b : (1 điểm) Giải hệ phương trình:    2.log ( x  2)  log  x  4x  y   y 0 (x,y  )  Đề dự bị Olympic / 30-4-2009 –  u    Cho dãy số un xác định : u1   un 1.un  un   3u  2u  u u (n  ) n 1 n n 1 n  Xác định ( un ) Dễ thấy Giải : ( un )  , n  16 un   un 1.uwww.huongdanvn.com n    1 3un 1  2un  un 1.un un  un un 1  v0   1 Đặt   Suy (vn ) xác định v1  un  vn   3vn  2vn 1    x  1 Phương trình đặc trưng : x  x     x    1 (1) n   3n , n    v0  1     (1)n  3n , n   8 v       un  (n  ) n 3(1)  7.3n   Đề dự bị Olympic / 30-4-2008 – 17 u1  2005 www.huongdanvn.com u  2006 Cho dãy số un xác định :   un (un 1  un 1 )  2un 1.un 1 Tìm lim un n Giải : Từ điều kiện  1   un un 1 un 1  u1  2005  1  Đặt un   (un ) xác định u2  2006 un   2u  u  u  n n 1 n 1 1   2006 2005 2005.2006 n 1 2007  n  un  u1  (n  1)d    2005 2005.2006 2005.2006 2005.2006  un  2007  n  (un ) cấp số cộng với công sai d  18 www.huongdanvn.com DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC ******* *I- Tìm hệ thức bất biến số an21  * Bài Cho dãy số (an ) thỏa mãn a1  a2  1, an  (n  3) an2 Chứng minh an nguyên với n Lời giải an21   an an   an21  an2 Thay n n + ta có an 1an1  an2  Từ hai đẳng thức ta an1  an1 an  an 2   c (hằng số) an an 1 an1  an1 a3  a1    an1  4an  an1 Từ an a2 Vậy an nguyên với n Từ giả thiết an  * Bài Cho dãy số (an ) định nghĩa a1  2, a2  500, a3  2000 an  an1 an1  với an1  an1 an1 n2 Chứng minh số hạng dãy số nguyên dương 22000 chia hết a2000 Lời giải Từ giả thiết ta có an2 an1  an21 Suy số hạng dãy số khác Từ a an a  n 1    an1an an an1 a2a1 Vậy an2  2an an 1 , số hạng đãy số số nguyên dương a a a Mặt khác a2000  2000 1999 a1  a2000 chia hết cho a2000 a1999 a1998 a1 19 www.huongdanvn.com *II- Công thức tổng quát dãy số * Bài Cho dãy số (an ) xác định a1  1, a2  2, a3  24 6an21an3  8an1an22 an  với an2an3 n4 Chứng minh với n an chia hết cho n Lời giải an 6an 1an3  8an22   6Vn 1  8Vn  an1 an2an3 Từ tìm Vn  n1  2n1 với n  a a a a Do an  n n1 an1 an2 a2 a1  Vn Vn1 V1  (4n 1  2n1)(4n2  2n2 ) (42  22 )(4  2) Với số nguyên tố p, theo định lý Fecma nhỏ ta có p1  (mod p) p1  (mod p) Từ p1  p 1  (mod p) Bây giả sử n  p1k1 p2k2 pmkm phân tích tiêu chuẩn n Ta có n  m1 p1i n  mi  mi ( p1i  1) với i = 1, 2,…,k Chú ý m > m >…> m k Xét Vn  Chú ý n  mi  n nên phân tích an có chứa k 4n  mi  n mi  mi ( p1i 1)  2mi ( p1i 1) thừa số  (mod p1 ) Suy an p1k1 Chứng minh tương tự ta có an p1k1 với I = 1, 2, …,r Từ ta có đpcm 20 Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/Ib8pZr Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/Ib8pZr Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/Ib8pZr Tổng Hợp Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sư Phạm>> https://goo.gl/GEBWuN ... dạy : CÁCH GIẢI VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN DÃY SỐ TỪ HỆ THỨC BẤT BIẾN ĐỐI VỚI CHỈ SỐ A Mục đích yêu cầu Kiến thức : Nắm vững kiến thức dãy số Hệ thức bất biến Xây dựng toán từ hệ thức bất biến Kĩ... Sử dụng bất biến để giải toán Kĩ phát bất biến Sưu tầm toán bất biến Phát biểu toán cách khác D Đánh giá hiệu : Sau học xong học học sinh có cách nhìn nhạy bén vấn đề Hệ bất biến số kết thể...  un  2007  n  (un ) cấp số cộng với công sai d  18 www.huongdanvn.com DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC ******* *I- Tìm hệ thức bất biến số an21  * Bài Cho dãy số (an ) thỏa mãn a1  a2 