Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind và ứng dụng tt

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐẠI DƯƠNG ĐỐI NGẪU TANNAKA TRÊN VÀNH DEDEKIND VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 Luận án hồn thành tại: Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm Luận án cấp Viện họp Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng .năm Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà nội - Thư viện Viện Toán học Mở đầu Cho X lược đồ trơn vành Dedekind R Khi xét phạm trù OX -môđun quán với tác động bó tốn tử vi phân D(X/R) X/R Đây phạm trù ten xơ aben Phạm trù thường gọi phạm trù bó phân tầng X , kí hiệu str(X/R) Hơn nữa, OX -mơđun tự địa phương có vật đối ngẫu Phạm trù đầy gồm OX -mơđun tự địa phương str(X/R), kí hiệu str(X/R)o thường gọi phạm trù phân thớ phân tầng Đây phạm trù ten xơ khơng aben Mất tính aben khó khăn nghiên cứu phạm trù str(X/R)o Bây ta xét trường hợp R vành định giá rời rạc đầy đủ đẳng đặc số Cho X lược đồ tách trơn với thớ hình học liên thơng R giả sử thêm X có R-điểm hữu tỉ ξ Khi N Katz xây dựng hàm tử thớ ξ cho phạm trù str(X/R), ξ ∗ : str(X/R) −→ Mod(R) Mục đích việc nhằm nghiên cứu hàm tử thớ điểm R phạm trù sinh vật đơn str(Xk /k) (ở k trường phân thức trường thặng dư R Xk thớ X/R) Nghiên cứu N Katz dựa theo quan điểm đối ngẫu Tannaka trường Tuy nhiên trường hợp lược đồ vành R chưa giải thiếu đối ngẫu Tannaka R Dựa ý tưởng N Katz, hàm tử thớ cho str(X/R) R đầy đủ có đặc số tùy ý xây dựng dos Santos (ở X lược đồ hình thức trơn với thớ liên thơng Spf(R)) Khi ξ đưa hàm tử thớ cho hai phạm trù str(X/R) str(X/R)o Phạm trù str(X/R)o dos Santos nghiên cứu Tuy nhiên đối ngẫu Tannaka mà dos Santos sử dụng phức tạp Kết dos Santos hàm tử thớ mở rộng cho lược đồ X vành Dedekind tùy ý Như yêu cầu tự nhiên đặt cần mở rộng lí thuyết đối ngẫu Tannaka cho trường hợp R vành Dedekind i Gần lí thuyết đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính (khơng thiết aben) vành định giá nghiên cứu Wedhorn Đồng thời Wedhorn đưa khái niệm mở rộng vô hướng phạm trù cộng tính từ R lên trường phân thức K để thu đựợc phạm trù Tannaka trung tính K Tuy nhiên kết Wedhorn chưa đầy đủ khó áp dụng để nghiên cứu phạm trù nêu Một may mắn cho chúng tơi kết Saavedra giá trị bị lãng quên thời gian dài Saavedra đưa điều kiện để phạm trù aben (cùng với hàm tử trung thành khớp) tương đương với phạm trù đối môđun đối đại số phẳng Đối ngẫu áp dụng cho phạm trù aben ten xơ đối ngẫu Tannaka cho lược đồ nhóm affine phẳng R Một lí làm kết Saavedra bị lãng quên chứng minh Saavedra không tầm thường để kiểm tra Phần đầu nội dung luận án chúng tơi giới thiệu chứng minh nhanh gọn cách có hệ thống lại kết Saavedra (xem mục 2.1) liên hệ đến kết Wedhorn Kết thu đối ngẫu Tannaka vành Dedekind phát biểu sau: Định lí 2.1.12 Cho (T , ω) phạm trù Tannaka vành Dedekind R Khi (i) ω phân tích qua tương đương T Repf (G), với G := Aut⊗ R (ω) (ii) ω cảm sinh tương đương T o K Repf (GK ) Ví dụ cho đối ngẫu phạm trù bó phân tầng str(X/R) với hàm tử thớ ξ ∗ , lược đồ hình thức X/R cần xét lược đồ vành định giá rời rạc đầy đủ đẳng đặc trưng Tiếp theo dựa vào kết Wedhorn mục 2.2 thiết lập đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính (được gọi dàn Tannaka): ii Định lí 2.2.8 Cho (T , ω) dàn Tannaka R Khi lược đồ nhóm G = Aut⊗ R (ω) phẳng trung thành R hàm tử cảm sinh o G ω : T −→ Rep (G) tương đương phạm trù Một ví dụ minh họa cho dàn Tannaka phạm trù phân thớ phân tầng str(X/R)0 với hàm tử thớ ξ ∗ Phần luận án, chúng tơi mở rộng định lí P Deligne J.S Milne trường sang vành Dedekind Cụ thể hơn, đồng cấu lược đồ nhóm mơ tả theo đối ngẫu Tannaka (xem mục 3.2) mô tả đồng cấu đối đại số phẳng R (xem mục 3.1) Kết thu sau: Định lí 3.2.3 Cho f : G −→ G đồng cấu lược đồ nhóm affine phẳng R ωf : Repf (G ) −→ Repf (G) hàm tử cảm sinh từ f Khi (i) f phẳng trung thành ωf o : Repo (G ) −→ Repo (G) trung thành đầy ảnh đóng với việc lấy vật (ii) f nhúng đóng vật Repo (G) thương đặc biệt vật dạng ωf o (X ), X ∈ Repo (G ) Trong định lí chúng tơi nhấn mạnh kết tính phẳng trung thành đồng cấu lược đồ nhóm dựa kết định lí tính phẳng trung thành đại số Hopf giao hoán Đồng thời mở rộng kết H Esnault, P H Hai X Sun dãy khớp lược đồ nhóm affine từ trường sang vành Dedekind: Định lí 3.2.8 Cho dãy lược đồ nhóm affine phẳng R H q / G iii p / A với q nhúng đóng p phẳng trung thành Khi dãy khớp điều kiện sau thỏa mãn: (a) Với V ∈ Repo (G), q ∗ (V ) ∈ Repo (H) tầm thường tồn U ∈ Repo (A) cho V ∼ = p∗ U (b) Cho W0 vật tầm thường cực đại q ∗ (V ) Repo (H) Khi tồn V0 ⊂ V ∈ Repo (G) cho q ∗ (V0 ) ∼ = W0 (c) Mỗi W ∈ Repo (H) thương vật (tương ứng việc lấy đối ngẫu, vật con) có dạng q ∗ (V ) với V ∈ Repo (G) Khái niệm tính hữu hạn địa phương chúng tơi giới thiệu mục 3.3 Khái niệm dựa tính hữu hạn địa phương đối đại số trường Một đối đại số trường hữu hạn địa phương theo nghĩa: "mỗi đối đại số hợp đối đại số hữu hạn chiều" Điều cho đối đại số phẳng R Tuy nhiên trường hợp tổng quát chọn đối đại số đặc biệt (mơđun thương khơng có xoắn, phẳng R) hữu hạn sinh R-mơđun Và lược đồ nhóm nói chung viết thành giới hạn ngược lược đồ nhóm affine kiểu hữu hạn cho đồng cấu chuyển toàn ánh (phẳng trung thành) trường hợp R trường Vì vấn đề cấu trúc lược đồ nhóm affine phẳng R cần nghiên cứu Trong mục 3.3 chứng minh được: Mệnh đề 3.3.7 Cho G lược đồ nhóm phẳng thuộc kiểu hữu hạn vành Dedekind R Giả sử thớ tổng quát GK liên thơng Khi R[G] hữu hạn địa phương đối đại số R Trong mục 3.4 nghiên cứu cấu trúc lược đồ nhóm affine vành định giá rời rạc sử dụng kĩ thuật nổ Neron Cụ thể hơn, cấu xạ hai lược đồ cảm sinh đẳng cấu thớ tổng qt mơ tả phép hợp thành (có thể vơ hạn) phép nổ Neron iv mô tả sử dụng để đưa cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng: Định lí 3.4.9 Cho G lược đồ nhóm phẳng vành định giá rời rạc R Khi G viết giới hạn hệ xạ ảnh lược đồ nhóm phẳng R G := ← lim − Gi , i tất cấu xạ chuyển phẳng trung thành thớ tổng quát Gi thuộc kiểu hữu hạn K Hơn nữa, Gi thu từ lược đồ nhóm phẳng kiểu hữu hạn hợp thành (có thể vơ hạn) dãy phép nổ Neron Chú ý tính phẳng trung thành đồng cấu chuyển công thức đến từ việc thương R[G] R[Gi ] phẳng R sử dụng kết định lí tính phẳng trung thành đại số Hopf giao hoán Đây ứng dụng tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành trình bày cuối Chương Chúng tơi chứng minh được: Định lí 1.4.4 (Tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành) Cho A R-đại số B A-môđun cho A, B phẳng R Khi B phẳng trung thành trái A Bk phẳng trung thành trái Ak trường phân thức trường thặng dư R Hơn nữa, định lí tính phẳng trung thành cho đại số Hopf giao hoán phát biểu: "Một đại số Hopf giao hoán phẳng trung thành đại số Hopf môđun thương chúng phẳng R" Đây kết mở rộng cho trường hợp cổ điển: "trên trường đại số Hopf giao hoán phẳng trung thành đại số Hopf nó" Trên trường, đại số Hopf khơng giao hốn giả thuyết Một phần câu hỏi trả lời Nichols-Zoeller cho trường hợp đại số hữu hạn chiều Trường hợp cho đại số Hopf vô v hạn chiều giải phần Schneider Trong tình đại số Hopf tự (do xạ ảnh, phẳng trung thành) đại số Hopf Các nghiên cứu nhằm trả lời cho giả thuyết Kaplansky: "liệu đại số Hopf (trên trường) tự đại số Hopf nó" Bài tốn tự nhiên đặt đại số Hopf (không thiết giao hoán) R tự hay yếu xạ ảnh phẳng trung thành đại số Hopf Phần cuối luận án chúng tơi chứng minh hai định lí sau tính phẳng trung thành tính xạ ảnh: Định lí 4.1.14 Cho B đại số Hopf phẳng R A đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa B Giả sử A R-hữu hạn Khi B phẳng trung thành (trái phải) A-môđun Hệ B đối phẳng trung thành (trái phải) C := B/A+ B ta có ∼ C tương đương phạm trù MC ∼ = MB A MA = MB Định lí 4.2.9 Cho B đại số Hopf R-xạ ảnh với tích phân khác khơng Gọi A đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa R-hữu hạn B Khi B xạ ảnh A-môđun phải vi Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương dành cho phần kiến thức chuẩn bị Tuy nhiên giới thiệu kết "tính phẳng trung thành" cuối chương Mục 1.1 nhắc lại khái niệm vành định giá rời rạc, vành Dedekind Mục 1.2 giới thiệu đối đại số, song đại số, đại số Hopf vành Dedekind Các khái niệm đối môđun, đối môđun đặc biệt, thương đặc biệt, chuyển sở lên thớ tổng quát đề cập đến mục Mục 1.3 trình bày số khái niệm phạm trù cộng tính phạm trù aben, phạm trù hàm tử ten xơ Các khái niệm sử dụng để đưa đối ngẫu Tannaka vành Dedekind Chương Mục 1.4 giới thiệu kết mới:"Tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành" Cho R vành Dedekind, ta có định lí sau: Định lí 1.4.3 (Tiêu chuẩn cho tính phẳng) Cho A đại số R B A-môđun cho A, B phẳng R Khi B phẳng A A-môđun trái Bk phẳng trái Ak trường phân thức trường thặng dư R Chứng minh định lí phát triển dựa ý tưởng J.C Moore Sử dụng kết chứng minh được: Định lí 1.4.4 (Tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành) Cho A R-đại số B A-môđun cho A, B phẳng R Khi B phẳng trung thành trái A Bk phẳng trung thành trái Ak trường phân thức trường thặng dư R Chương Đối ngẫu Tannaka vành Dedekind Kết Saavedra R-đối đại số phẳng xây dựng từ phạm trù đối môđun hữu hạn sinh R Saavedra đưa tiêu chuẩn cho phạm trù aben tương đương với phạm trù Comodf (L) Kết sử dụng để chứng minh đối ngẫu Tannaka cho lược đồ nhóm phẳng vành Dedekind Trong chương đưa chứng minh ngắn gọn cho kết Saavedra, đồng thời liên hệ đến kết Wedhorn hoàn thiện đối ngẫu Tannaka trường hợp phạm trù ten xơ cộng tính 2.1 Đối ngẫu Tannaka cho phạm trù Aben 2.1.1 Phạm trù xác định đặc trưng cho phạm trù đối môđun Định nghĩa 2.1.1 Cho C phạm trù aben R-tuyến tính; ω : C −→ Modf (R) hàm tử R-tuyến tính trung thành khớp Giả sử C o phạm trù đầy C cho (i) với vật X ∈ C o , ω(X) xạ ảnh hữu hạn sinh R-môđun; (ii) vật C thương vật C o Khi C o gọi phạm trù xác định C tương ứng với ω Phạm trù đối môđun đặc trưng kết sau: Định lí 2.1.8 (Định lí Saavedra) Cho R vành Dedekind C phạm trù aben R-tuyến tính Giả sử tồn hàm tử trung thành R-tuyến tính khớp ω : C −→ Modf (R) phạm trù xác định C o tương ứng với ω Khi ω phân tích qua tương đương C Comodf (L) hàm tử quên, với L đối đại số R 2.1.2 Phạm trù Tannaka vành Dedekind Định nghĩa 2.1.10 (iii) Một phạm trù Tannaka R phạm trù aben ten xơ T R, xác định vật có đối ngẫu, với hàm tử trung thành khớp ω : T −→ Modf (R) Gọi T o phạm trù xác định T Kí hiệu T o K mở rộng vô hướng lên K cho phạm trù T o Chúng thu kết sau: Định lí 2.1.12 Cho (T , ω) phạm trù Tannaka vành Dedekind R Khi (i) ω phân tích qua tương đương T Repf (G), với G := Aut⊗ R (ω) (ii) ω cảm sinh tương đương T o K Repf (GK ) 2.2 Đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính, dàn Tannaka 2.2.1 Dàn Tannaka mở rộng vô hướng Định nghĩa 2.2.2 Một dàn Tannaka T R phạm trù ten xơ gồm vật có đối ngẫu R cho cấu xạ T tồn tồn hạch ảnh; đồng thời mở rộng vô hướng TK phạm trù aben T với hàm tử ω : T −→ Modf (R) thỏa mãn điều kiện sau: (i) ω trung thành bảo toàn hạch ảnh (ii) ω hạn chế T triv trung thành đầy 2.2.2 Tương đương phạm trù cho dàn Tannaka Định lí sau đặc trưng cho dàn Tannaka theo phạm trù biểu diễn lược đồ nhóm affine Định lí 2.2.8 Cho (T , ω) dàn Tannaka R Khi lược đồ nhóm G = Aut⊗ R (ω) phẳng trung thành R hàm tử cảm sinh ω G : T → Repo (G) tương đương phạm trù Chương Đặc trưng Tannaka cho đồng cấu vành Dedekind định lí cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng vành định giá rời rạc Đầu tiên nghiên cứu đồng cấu đối đại số phẳng R, sau áp dụng cho đồng cấu lược đồ nhóm affine Tiếp theo ta nghiên cứu đối đại số hữu hạn địa phương đặc trưng cho lớp lược đồ nhóm theo đối đại số Cuối mô tả đồng cấu lược đồ nhóm cảm sinh đẳng cấu thớ tổng quát để đưa cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng 3.1 Đặc trưng đơn ánh toàn ánh cho đồng cấu đối đại số phẳng Trong mục dùng đối ngẫu Tannaka để đặc trưng cho đồng cấu đơn ánh (đặc biệt) toàn ánh đối đại số phẳng Chúng ta dùng kí hiệu ω o để kí hiệu cho hàm tử hạn chế hàm tử ω lên phạm trù đầy gồm vật có đối ngẫu Mệnh đề 3.1.1 Cho f : L −→ L đồng cấu đối đại số phẳng vành Dedekind R ωf : Comodf (L ) −→ Comodf (L) hàm tử tự nhiên cảm sinh từ f Khi (i) f đơn ánh hàm tử ωf o trung thành đầy ảnh Comodo (L) đóng với việc lấy vật đặc biệt (ii) f đơn ánh đặc biệt hàm tử ωf o trung thành đầy ảnh Comodo (L) đóng với việc lấy vật Trong trường hợp này, hàm tử ωf trung thành đầy ảnh đóng với việc lấy vật Cuối ta đưa điều kiện cho tính tồn ánh đồng cấu đối đại số Mệnh đề 3.1.3 Cho f : L −→ L đồng cấu đối đại số phẳng R Khi f toàn ánh hàm tử ωf o : Comodo (L ) −→ Comodo (L) thỏa mãn điều kiện sau: M ∈ Comodo (L) thương đặc biệt vật dạng ωf o (N ) với N ∈ Comodo (L ) 3.2 Mô tả Tannaka đồng cấu lược đồ nhóm Cho R vành Dedekind với trường phân thức K Giả sử f : G −→ G đống cấu lược đồ nhóm affine phẳng R Ta nói f tồn ánh đồng cấu thương phẳng trung thành Định lí sau tổng quát định lí phẳng trung thành cho đại số Hopf trường: "một đại số Hopf (giao hoán) phẳng trung thành đại số Hopf con" Định lí hệ tiêu chuẩn tính phẳng trung thành theo thớ Định lí 3.2.1 (Tính phẳng trung thành cho đại số Hopf giao hoán) Cho L đại số Hopf phẳng R L đại số Hopf Khi L phẳng trung thành L L/L R-phẳng, tức là, L đại số đặc biệt L Như hệ mục 3.1 định lí ta có định lí sau Định lí 3.2.3 Cho f : G −→ G đồng cấu lược đồ nhóm affine phẳng R ωf : Repf (G ) −→ Repf (G) hàm tử cảm sinh từ f Khi (i) f phẳng trung thành ωf o : Repo (G ) −→ Repo (G) trung thành đầy ảnh đóng với việc lấy vật (ii) f nhúng đóng vật Repo (G) thương đặc biệt vật dạng ωf o (X ), X ∈ Repo (G ) Một dãy đồng cấu lược đồ nhóm affine phẳng R / H q / G p / A /1 gọi khớp p ánh xạ thương với hạt nhân H Ta có tiêu chuẩn cho tính khớp theo hàm tử Repo (A) p∗ / Repo (G) q∗ / Repo (H) Kết thu được: Định lí 3.2.8 Cho dãy lược đồ nhóm affine phẳng R H q / G p / A với q nhúng đóng p phẳng trung thành Khi dãy khớp điều kiện sau thỏa mãn: (a) Với V ∈ Repo (G), q ∗ (V ) ∈ Repo (H) tầm thường tồn U ∈ Repo (A) cho V ∼ = p∗ U (b) Cho W0 vật tầm thường cực đại q ∗ (V ) Repo (H) Khi tồn V0 ⊂ V ∈ Repo (G) cho q ∗ (V0 ) ∼ = W0 (c) Mỗi W ∈ Repo (H) thương (tương ứng việc lấy đối ngẫu, vật con) vật có dạng q ∗ (V ) với V ∈ Repo (G) 3.3 Đối đại số hữu hạn địa phương Định nghĩa 3.3.1 Cho L đại số phẳng R Khi L gọi đối đại số hữu hạn địa phương với đối mơđun hữu hạn C có đối môđun đặc biệt (thương môđun phẳng R) hữu hạn chứa C Mệnh đề 3.3.7 Cho G lược đồ nhóm phẳng thuộc kiểu hữu hạn vành Dedekind R Giả sử thớ tổng qt GK liên thơng Khi R[G] hữu hạn địa phương đối đại số R 3.4 Cấu trúc lược đồ nhóm affine phẳng vành định giá rời rạc Cố định vành định giá rời rạc R với phần tử đơn trị hoá π , trường thương K trường thặng dư k 3.4.1 Lược đồ nhóm affine vành định giá rời rạc sinh từ phép nổ Neron Gọi GH lược đồ nhóm R thu từ phép nổ Neron nhóm đóng H Gk Khi GH lược đồ nhóm affine phẳng R H ∼ GH K = GK G gọi mơ hình G Tổng qt hơn, đồng cấu G −→ G lược đồ nhóm cảm sinh đẳng cấu thớ tổng quát gọi ánh xạ mơ hình Theo định nghĩa phép nổ Neron, bao hàm thức R[G] ⊂ R[GH ] cảm sinh đồng cấu lược đồ nhóm gửi GH k vào H ⊂ Gk Hơn nữa, lược đồ nhóm GH có tính chất phổ dụng sau: Nếu ánh xạ cảm sinh Gk −→ Gk ánh xạ mơ hình f : G −→ G có ảnh nằm H ⊂ Gk f có phân tích qua GH : / G " 3.4.2 GO GH Đồng cấu lược đồ nhóm cảm sinh đẳng cấu thớ tổng quát định lí cấu trúc cho lược đồ nhóm Mục nghiên cứu đồng cấu lược đồ nhóm, đặc biệt đồng cấu lược đồ nhóm cảm sinh đẳng cấu thớ tổng quát (chẳng hạn đồng cấu cảm sinh từ phép nổ Neron) Mục đích ứng dụng để nghiên cứu cấu trúc lược đồ nhóm affine phẳng 10 Các phép nổ Neron cho phép khai triển cấu xạ tùy ý lược đồ nhóm kiểu hữu hạn cảm sinh đẳng cấu thớ tổng quát Đây kết W C Waterhouse B Weisfeiler Mở rộng kết cho lược đồ nhóm khơng thiết thuộc kiểu hữu hạn sử dụng khai triển đưa cấu trúc lược đồ nhóm affine sau Định lí 3.4.9 Cho G lược đồ nhóm phẳng R Khi G viết giới hạn hệ xạ ảnh lược đồ nhóm phẳng R G := ← lim − Gi , i tất cấu xạ chuyển phẳng trung thành thớ tổng quát Gi thuộc kiểu hữu hạn K Hơn nữa, Gi thu từ lược đồ nhóm phẳng kiểu hữu hạn hợp thành (có thể vơ hạn) dãy phép nổ Neron 11 Chương Tính phẳng đại số Hopf đại số Hopf vành Dedekind Trong Chương đại số Hopf giao hốn ln phẳng trung thành đại số Hopf bão hòa (như R-mơđun) Trong chương này, giữ giả thiết R vành Dedekind sử dụng tiêu chuẩn phẳng trung thành R để nghiên cứu tính phẳng trung thành, sau tính xạ ảnh đại số Hopf (không thiết giao hốn) đại số bão hòa 4.1 Ứng dụng tiêu chuẩn phẳng trung thành trường hợp đại số Hopf hữu hạn Định nghĩa 4.1.4 Cho A đại số Hopf đại số Hopf phẳng B với phép đối S Khi đó: 12 (i) Nếu A bão hòa B R-mơđun A gọi đại số Hopf bão hòa B (ii) A gọi chuẩn tắc B với a ∈ A, b ∈ B ta có b1 aS(b2 ) ∈ A S(b1 )ab2 ∈ A Đại số Hopf A B gọi chuẩn tắc bão hòa A vừa đại số Hopf chuẩn tắc vừa đại số Hopf bão hòa B Định nghĩa 4.1.9 Cho f : A −→ B đồng cấu R-đại số Hopf phẳng Một (B, A)-môđun Hopf R-môđun M có cấu trúc B -đối mơđun phải cấu trúc A-môđun phải cho ánh xạ cấu trúc ρM : M −→ M ⊗ B A-tuyến tính, A tác động theo đường chéo M ⊗ B Một cách cụ thể hơn, m0 a1 ⊗ m1 f (a2 ), ρ(ma) = m ∈ M, a ∈ A m,a Cấu xạ môđun Hopf cấu xạ R-mơđun vừa A-tuyến tính B -đối tuyến tính Ta kí hiệu MB A cho phạm trù (B, A)-môđun Hopf Chúng ta quan tâm hai trường hợp đồng cấu đơn ánh đồng cấu thương Bây cho A đại số Hopf chuẩn tắc đại số Hopf phẳng B Khi đơn cấu A −→ B cho ta phạm trù mơđun Hopf MB A Kí hiệu A+ := kerεA iđêan dấu đại số Hopf A Giả sử đại số Hopf thương C := B/BA+ R-phẳng, (iđêan A+ B = BA+ bão hòa B ) Khi ánh xạ thương π : B −→ C cho phép ta định nghĩa phạm trù MC B (C, B)-môđun Hopf Nếu A ⊂ B đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa R-hữu hạn B phẳng trung thành A Khi đại số Hopf thương C := B/A+ B phẳng R, mơ tả cụ thể phạm trù MA A-môđun phải phạm trù C -đối môđun phải MC theo phạm trù mơđun Hopf 13 Định lí 4.1.14 Cho B đại số Hopf phẳng R A đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa B Giả sử A R-hữu hạn Khi B phẳng trung thành (trái phải) A-môđun Hệ B đối phẳng trung thành (trái phải) C := B/A+ B ta có tương ∼ C đương phạm trù MC ∼ = MB A MA = MB 4.2 Tính xạ ảnh đại số Hopf chuẩn tắc hữu hạn Cho H đại số Hopf R-phẳng Ánh xạ R-tuyến tính ϕ : H −→ R gọi tích phân trái thỏa mãn h1 ϕ(h2 ) = ϕ(h), với h ∈ H h Điều kiện tồn tích phân khơng tầm thường đại số Hopf cho phép ta nghiên cứu tính xạ ảnh phạm trù đối môđun: Cho H đại số Hopf xạ ảnh R Khi H có tích phân H vật xạ ảnh MH Với giả thiết Định lí 4.1.14, có MC ∼ = MB A Sử dụng tương đương phạm trù tồn tích phân (khơng tầm thường) B C tương đương Hệ là: Cho A đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa R-hữu hạn đại số Hopf R-xạ ảnh B Khi B xạ ảnh MB C := B/A+ B xạ ảnh MC Với kĩ thuật chứng minh sử dụng tương đương phạm trù MA ∼ = MCB , định lí tính xạ ảnh phát biểu: Định lí 4.2.9 Cho B đại số Hopf R-xạ ảnh với tích phân khác khơng Gọi A đại số Hopf chuẩn tắc bão hòa R-hữu hạn B Khi B xạ ảnh A-môđun phải 14 Kết luận Trong luận án thu kết sau đây: (1) Mở rộng đối ngẫu Tannaka vành Dedekind (2) Đưa đặc trưng Tannaka đơn ánh, tồn ánh điều kiện cho tính khớp dãy lược đồ nhóm affine phẳng Nghiên cứu số tính chất đối đại số hữu hạn địa phương (3) Mô tả cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng vành định giá rời rạc (4) Đưa tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành, đưa điều kiện khẳng định tính phẳng trung thành tính xạ ảnh đại số Hopf đại số Hopf vành Dedekind 15 Các cơng trình liên quan đến luận án N.D Duong, P.H Hai, Tannakian duality over Dedekind ring and applications, Mathematische Zeitschrift 288 (2018), 1103–1142 N.D Duong, P.H Hai, J.P dos Santos, On the structure of affine flat group schemes over discrete valuation rings, I, Ann Scient Ec Norm Super Pisa Cl Sci (5) Vol XVIII (2018), 1-56 N.D Duong, P.H Hai, N.H Hung, On the flatness and projectivity over Hopf subalgebras of Hopf algebras over Dedekind ring, Journal of Algebra 478 (2017), 237-260 Các kết luận án báo cáo (i) Xêmina phòng Đại số - Viện Tốn học Hà Nội, 10/2012 (ii) Hội nghị Nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2012, 10/2013, 10/2014, 10/2015 (iii) Hội nghị A joint congress of the French Mathematical Society (SMF) and the Vietnamese Mathematical Society (VMS) Hue, Vietnam, August 20- 24, 2012 (iv) Hội nghị Toán học Miền trung-Tây Nguyên lần thứ nhất, 5/2015 (v) Hội thảo IMH - VIASM Workshop on Algebraic Geometry Tuan Chau, Quang Ninh, Vietnam, March 13 - 16, 2016 (vi) Phòng Đại số - Viện Tốn học Hà Nội, Báo cáo tiểu luận tổng quan, 5/2017 16 ... (xem mục 2.1) liên hệ đến kết Wedhorn Kết thu đối ngẫu Tannaka vành Dedekind phát biểu sau: Định lí 2.1.12 Cho (T , ω) phạm trù Tannaka vành Dedekind R Khi (i) ω phân tích qua tương đương T Repf... nhiên đối ngẫu Tannaka mà dos Santos sử dụng phức tạp Kết dos Santos hàm tử thớ mở rộng cho lược đồ X vành Dedekind tùy ý Như yêu cầu tự nhiên đặt cần mở rộng lí thuyết đối ngẫu Tannaka cho trường... theo dựa vào kết Wedhorn mục 2.2 thiết lập đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính (được gọi dàn Tannaka) : ii Định lí 2.2.8 Cho (T , ω) dàn Tannaka R Khi lược đồ nhóm G = Aut⊗ R (ω) phẳng