Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ) Phương pháp số cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

-

NGUYỄN HOÀNG HẢI

PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong Luận văn là trung thực

và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Trừ các phần tham khảo đã được nêu rõ trong Luận văn

Tác giả

NGUYỄN HOÀNG HẢI

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo – PGS.TS Phạm Thành Long, người đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình từ định hướng đề tài, tổ chức thực nghiệm đến quá trình viết và hoàn chỉnh Luận văn

Tác giả cũng chân thành cảm ơn Thầy giáo Trần Thanh Hoàng, Nguyễn Quang Hưng - Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã giúp đỡ tận tình tác giả trong quá trình thực hiện thí nghiệm và đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận văn này

Do năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên Luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo, các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp

Tác giả

Nguyễn Hoàng Hải

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ vi

MỞ ĐẦU 1

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 1

2 MỤC TIÊU, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

2.1 Mục tiêu nghiên cứu 2

2.2 Đối tượng nghiên cứu 2

2.3 Phạm vi nghiên cứu 2

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

4 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 3

4.1 Ý nghĩa khoa học 3

4.2 Ý nghĩa thực tiễn 3

Chương I TỔNG QUAN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐẲNG TỐC KHÔNG GIAN 4

1.1 Các cơ cấu đổi hướng chuyển động trong không gian 4

1.2 Một số nghiên cứu điển hình về cơ cấu khớp thấp 6

1.3 Hướng nghiên cứu của đề tài 10

KẾT LUẬN 11

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢM GRADIENT TỔNG QUÁT 12

2.1 Khái niệm Gradient 12

2.2 Phương pháp giảm Gradient (Reduced Gradient) 13

2.3 Phương pháp giảm Gradient tổng quát 18

2.4 Ảnh hưởng của phép tính sai phân đến độ chính xác của bài toán 20

2.5 Trình tối ưu Solver của Excel 23

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 33

Chương 3: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC CƠ CẤU KHỚP THẤP BẰNG RGG 34

3.1 Mô hình hóa truyền động trục bằng kỹ thuật robot 34

3.2 Khảo sát tính đẳng tốc truyền động trục 35

3.3 Khảo sát giới hạn chuyển hướng của truyền động trục 36

3.4 Minh họa tính đẳng tốc một số cơ cấu truyền động trục 37

3.4.1 Cơ cấu Hooke’s joint 37

3.4.2 Cơ cấu Persian joint 39

3.4.3 Giới hạn góc truyền động của cơ cấu persian joint 42

Kết luận chương 3 44

Chương 4: THỰC NGHIỆM 45

4.1 Mục đích thí nghiệm 45

4.2 Cơ cấu và thiết bị đo 45

4.3 xử lý kết quả và bình luận 48

Kết luận chương 4 49

Kết luận luận văn 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Dữ liệu nội suy đa thức Newton 20 Bảng 2.2 Các thuật ngữ của công cụ Solver trên giao diện chương trình 29 Bảng 2.3 Ý nghĩa của tự chọn trong Option của cụng cụ Solver 30

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Bộ truyền bánh răng côn 4

Hình 1.2 Bộ truyền bánh răng trụ chéo

Hình 1.3 Bộ truyền bánh răng côn 5

Hình 1.4 Truyền dẫn Trục vít – bánh vít 5

Hình 1.5 Khớp cardant 6

Hình 1.6 Khớp Persian 6

Hình 1.7 Đối tượng khảo sát tính đồng tốc theo [1] 7

Hình 1.8 Kết quả mô phỏng số trên các phần mềm Nastran, inventor và cosmos 8

Hình 1.9 Lược đồ giản lược cơ cấu khớp U (a) và kết cấu của nó (b) 9

Hình 1.10 Kết quả thực nghiệm trên mô hình động học 9

Hình 1.11 Sơ đồ đo kiểm momen ngõ ra và kết quả đo 10

Hình 2.1 Cài đặt bổ sung gói Solver cho ứng dụng tối ưu 24

Hình 2.2 Giao diện bài toán để nhập số liệu 24

Hình 2.3 Nhập dữ liệu theo địa chỉ đã khởi tạo sẵn 25

Hình 2.4 khai báo hàm mục tiêu qua các địa chỉ f1 đến f6 26

Hình 2.5 Hộp thoại Solver 26

Hình 2.6 chỉ định mục tiêu bằng chuột 27

Hình 2.7 Chỉ định các địa chỉ biến khớp bằng con trỏ 27

Hình 2.8 Khai báo các loại ràng buộc với biến khớp 28

Hình 2.9 Khai báo các tùy chọn khác cho bài toán 28

Hình 2.10 Tùy chọn hiển thị kết quả 32

Hình 4.1 Sự tương tự giữa hai cơ cấu về đông học 45

Hình 4.2 Mô hình 3D thiết bị thí nghiệm 45

Hình 4.3 Hình chiếu mô hình thí nghiệm 46

Hình 4.4 Mạch thu thập dữ liệu đo qua encoder 46

Hình 4.5 Hình chiếu bằng cơ cấu thí nghiệm 47

Hình 4.6 Hình chiếu đứng cơ cấu thí nghiệm 47

Hình 4.7 Đồ thị vận tốc ngõ ra của cơ cấu 48

MỞ ĐẦU

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Trong chế tạo máy, một số chi tiết máy công dụng chung được sản xuất hàng loạt với các đặc điểm kỹ thuật khác nhau để tiện ứng dụng Kèm theo các chi tiết công dụng chung này là các bảng tra cứu để xác định các đặc điểm động học, hình học, động lực học của chi tiết đó Điển hình nhất về chi tiết có công dụng chung là vòng bi, dây đai, bánh răng các loại, khớp các loại bao gồm P, R, C, U, H, S

Các cơ cấu chuyển hướng truyền động không gian (U và S) có ý nghĩa quan trọng trong truyền dẫn cơ khí, bao gồm cả cơ cấu khớp thấp và cơ cấu khớp cao Các cơ cấu khớp thấp có ưu thế về tải trọng và giá thành tuy nhiên vấp phải một điểm yếu đó là tính đồng tốc giữa trục ra và trục vào Do bản thân cơ cấu là một chuỗi động học hở, gồm nhiều khâu liên kết với nhau (thường khoảng 6 khâu để đủ khả năng chuyển hướng truyền động linh hoạt trong phạm vi nhất định) theo phân loại cơ cấu kiểu này thuộc vào diện hụt dẫn động do số khâu khớp nhiều hơn số nguồn dẫn động của nó (chỉ dẫn động một khâu duy nhất) Việc xác định chính xác

sự biến thiên tốc độ trục ra trong một vòng quay của trục vào khi giữ tốc độ của trục vào ổn định là yêu cầu cần thiết để xác định phạm vi ứng dụng của cơ cấu là hết sức cần thiết

Cơ cấu chuyển hướng truyền động có yêu cầu đẳng tốc trong không gian có nhiều ứng dụng trong các phương tiện giao thông, chúng có mặt trong hệ thống lái

và quyết định bán kính quay vòng của phương tiện nhỏ hay lớn Trong các xe hơi đặt máy ở trước và dẫn động đến cầu sau, nhất thiết phải có cơ cấu này Trong các thiết bị ngành dược hay thiết bị y khoa cũng có các cơ cấu này Chúng được sử dụng thay cho bộ truyền bánh răng côn để chuyển hướng truyền động không gian khi truyền công suất lớn với khoảng cách xa

Có một số kết cấu khớp thấp (universal joint) thỏa mãn tính đẳng tốc giữa đầu ra và đầu vào, có một số có giới hạn chuyển hướng lớn tới 1350, tuy nhiên khi góc lệch giữa trục ra và trục vào lớn, hiệu suất truyền động sẽ giảm rõ rệt Vì yêu cầu

đẳng tốc hoặc đẳng mô men đặt ra với một số thiết bị rất nghiêm ngặt nên xây dựng các công cụ và phương pháp thiết kế phù hợp với các truyền động kiểu này là cần thiết và cấp bách

Vì các lý do đã phân tích ở trên tôi đề xuất đề tài nghiên cứu “ Phương pháp số

cho bài toán động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động”

2 MỤC TIÊU, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

2.1 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài này đặt mục tiêu chính là “ Xác định chính xác sự biến thiên tốc độ trục ra trong một vòng quay của trục vào khi giữ tốc độ của trục vào ổn định” đối với một số kiểu cơ cấu khớp U (Universal) khác nhau Trong đề tài cần đề xuất được mô hình hóa, phương pháp số (mumerical method) khảo sát động học cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động (redundant) với độ chính xác cao Bên cạnh đó cũng đề xuất công cụ khảo sát các mô hình này để rút ra được phạm vi biến thiên tốc độ ngõ ra nhằm khuyến cáo cho người sử dụng

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cơ cấu khớp thấp Universal như: Persian, cardant, hooke

2.3 Phạm vi nghiên cứu

Khảo sát động học các cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động xác định tính đẳng tốc

khi chuyển hướng truyền động trong không gian

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Cơ cấu khớp thấp được mô hình hóa bằng các công cụ đặc trưng của robot là ma trận truyền, việc mô hình hóa truyền động đổi hướng không gian bằng công cụ này

là hết sức hợp lý Để mô tả cosin chỉ hướng của trục ra và trục vào có thể sử dụng phần mô tả hướng trong ma trận thế

Để khảo sát bài toán này tác giả dự kiến xây dựng một phương pháp số phù hợp với kiểu bài toán dùng cho cơ cấu khớp thấp hụt dẫn động Bên cạnh các khảo sát lý thuyết, tác giả cũng xây dựng một mô hình thực nghiệm để kiểm chứng tính chính xác của kết quả thu được

Dự kiến kết quả đạt được

Phương pháp số dùng khảo sát các cơ cấu hụt dẫn động nói chung, mục đích là chỉ ra được sự biến thiên tốc độ trên ngõ ra để khoanh vùng phạm vi ứng dụng của

cơ cấu theo các yêu cầu kỹ thuật cụ thể Việc khảo sát này được thực hiện ở nhiều

tư thế truyền động khác nhau, từ đó cũng phải chỉ ra được vùng truyền động thuận lợi nhất và phạm vi cơ cấu còn truyền động được

4 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

4.1 Ý nghĩa khoa học

Đóng góp thêm một phương pháp để khảo sát động học cơ cấu hụt dẫn động nói chung và cơ cấu khớp thấp nói riêng Chỉ ra được cơ cấu có thuộc tính đẳng tốc tốt nhất khi truyền động đổi hướng không gian Chỉ ra được vùng truyền động với hiệu suất tốt nhất về mặt cơ khí để người sử dụng được biết khi lựa chọn

4.2 Ý nghĩa thực tiễn

Xác định tính đẳng tốc không gian là công việc khó và chưa có công trình tổng quát cho vấn đề này, đồng thời đây cũng là công việc phải làm thường xuyên vì trên một

cơ cấu ở các góc truyền động khác nhau thuộc tính này lại khác nhau

Nghiệm lại phương pháp luận về lý thuyết bằng các thí nghiệm khách quan để khẳng định tính khoa học của giả thiết

Chương I TỔNG QUAN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐẲNG TỐC KHÔNG GIAN

1.1 Các cơ cấu đổi hướng chuyển động trong không gian

Do các yêu cầu khác nhau về kết cấu và động học, truyền dẫn chuyển động

từ một vị trí đến một vị trí khác trong không gian có kèm theo yêu cầu về tính đẳng tốc là khá phổ biến Không chỉ yêu cầu về tính đẳng tốc, khả năng thay đổi góc truyền động ngay trong quá trình làm việc thì yêu cầu về truyền dẫn đẳng mô men cũng được đặt ra Nếu chỉ làm việc dưới một góc độ cố định thì bộ truyền khớp cao

sẽ có khả năng đẳng tốc và đẳng mô men rất tốt, tuy nhiên khi góc truyền động giữa hai khâu thay đổi, bộ truyền bánh răng không đáp ứng được điều này, hoặc sẽ phải tăng số bậc tự do của truyền dẫn thành các khớp cầu chứ không dừng lại ở khớp vạn năng hai bậc tự do nữa

Hình 1.1 Bộ truyền bánh răng côn

Khi yêu cầu cho phép đổi hướng truyền động trong không gian với khoảng cách lớn và công suất rất cao trong điều kiện bảo vệ và bảo dưỡng kém, chỉ một số

cơ cấu có thể cho phép thực hiện truyền động này Trong các truyền dẫn cơ khí, nguyên lý truyền dẫn được chia ra làm hai dạng chính, một là truyền động theo nguyên lý ăn khớp, hai là truyền động theo nguyên lý ma sát Với truyền dẫn theo nguyên lý ăn khớp người ta chia ra hai dạng chính theo dạng tiếp xúc đó là dạng tiếp xúc điểm, đường (gọi thanh nhóm chung là khớp cao) và dạng thứ hai là tiếp xúc mặt (khớp thấp)

Truyền dẫn khớp cao:

- Ưu điểm: kết cấu nhỏ gọn, dễ dàng xây dựng được quy luật chuyển theo mong muốn

- Nhược điểm: Do dạng tiếp xúc là tiếp xúc điểm, đường nên công suất truyền động nhỏ hơn với các dạng truyền dẫn khớp thấp có kích cỡ tương đương, va đạp và mòn phổ biến và xuất hiện nhiều hơn

- Nhược điểm: Khó thiết kế đảm bảo chính xác theo quy luật chuyển động cho trước, sai số tích lũy lớn khi sử dụng nhiều khớp thấp trong chuỗi truyền

động có thể làm sai quy luật chuyển động hoặc có thể dẫn đến hiện tượng tự hãm

Hình 1.5 Khớp cardant

Hình 1.6 Khớp Persian

1.2 Một số nghiên cứu điển hình về cơ cấu khớp thấp

Trong [1] với mục tiêu là thiết kế, chế tạo, thử nghiệm tính đồng tốc của cơ cấu persian jont với trạng thái khảo sát góc lệch giữa trục ra và trục vào có đồng quy lên đến 1350 Trong nghiên cứu này tác giả có khảo sát động học cơ cấu bằng giải tích và tiến hành mô phỏng trên Nastran, inventor và cosmos Trong nghiên cứu này, các kết quả mô phỏng dựa trên phương pháp giải tích cho thấy tỉ số truyền giữa hai trục trong tư thế không thẳng hàng với nhau là hằng số

Hình 1.7 Đối tượng khảo sát tính đồng tốc theo [1]

Số bậc tự do của cơ cấu là 1 và được xác định như sau:

1

n

i i



Trong đó: n là số khâu của cơ cấu không kể khâu nền;

pi là số khớp loại i (khớp loại i là khớp tạo ra (6 – i) bậc tự do

Ở đây vì cơ cấu này sử dụng cả khớp loại 4 và khớp loại 5 nên:

w = (6×11)−(5×4)−((14−5)×5)=1

Trong đó:

11: số khâu của cơ cấu không kể khâu nền;

6: là số bậc tự do tối đa của một khâu khi không liên kết với các khâu khác;

5: là số lượng khớp trụ (khớp C);

4: là số lượng bậc tự do bị hạn chế của một khớp trụ (C);

(14-5): là số lượng khớp quay (R);

5: là số bậc tự do của một khớp quay (R)

Tuy nhiên theo [1], hàng loạt các cơ cấu khác như Myrad joint, Dodge joint, Lyons joint, Drevard joint, Gilbert joint, James joint, Haruo Mochida joint, Winkler joint và Robert Head joint tuy đạt được tính đẳng tốc song đặc tính này chỉ tồn tại ở góc lệch truyền động giữa trục ra và trục vào trên 450

Hình 1.8 Kết quả mô phỏng số trên các phần mềm Nastran, inventor và cosmos

Nhằm khảo sát đặc điểm chênh lệch vận tốc này, theo [1] đã tiến hành xây dựng công thức giải tích vận tốc cho một nhánh (dẫn hoặc bị dẫn) và dựa vào tính đối xứng của cơ cấu để suy luận vận tốc của nhánh còn lại mà không xây dựng công thức chênh lệch vận tốc một cách trực tiếp, do vậy hoàn toàn có thể nghi ngờ rằng liệu cơ cấu có luôn duy trì trạng thái đối xứng ở tất cả các vị trí làm việc hay không Trong luận văn em sẽ xây dựng một công cụ số cho phép khảo sát khách quan đặc điểm này không dựa vào giả thiết cơ cấu hoàn toàn đối xứng

Theo [2], nghiên cứu này tập trung chủ yếu khai thác khía cạnh khả năng truyền vận tốc ổn định thì liên quan như thế nào đến khả năng truyền mô men ổn định hay không Tức là nó nghiên cứu cả động học và động lực học của các cơ cấu khớp U (universal) nói chung Hơn nữa cơ cấu khảo sát ở đây còn được xét đến các đặc điểm thực tế hơn ở chỗ chúng được nhìn nhận đặc điểm cơ học như cứng tuyệt đối hoặc đàn hồi Vì các nghiên cứu ở đây sử dụng mô hình động lực học, các tham

số của nó còn kể đến các yếu tố cơ học của vật liệu và các giả thiết về đàn hồi nên ngoài phạm vi đề cập của luận văn

Theo [3] đây là một nghiên cứu về hai khía cạnh là khả năng truyền động đẳng tốc (mô hình động học) và khả năng truyền mô men ổn định (động lực học) với giả thiết khâu rắn

Hình 1.9 Lược đồ giản lược cơ cấu khớp U (a) và kết cấu của nó (b)

Về khía cạnh liên quan đến nghiên cứu của luận văn này là tính đẳng tốc, bài báo mới dừng lại ở việc nghiên cứu cơ cấu khớp U như một robot hụt dẫn động bằng cách ứng dụng kỹ thuật robot (sử dụng bảng DH và ma trận truyền) nhưng công cụ lại giải mô hình nói trên bằng phương pháp giải tích Nghiên cứu này chỉ ra quan hệ giữa vận tốc ngõ vào với ngõ ra bằng giải tích và khả năng truyền mô men của cơ cấu Việc chứng minh quan hệ vận tốc ở đây dựa vào việc biến đổi sơ cấp các lời giải dạng giải tích nhận được với bất cứ góc quay nào của trục dẫn quan hệ đồng tốc giữa trục dẫn và bị dẫn luôn đạt được

Hình 1.10 Kết quả thực nghiệm trên mô hình động học về tính đẳng tốc tại các góc lệch lần lượt là

15 0 , 30 0 , 45 0 và 60 0 theo [3]

nghiên cứu này chỉ thực hiện trên cơ cấu duy nhất nói trên, khó khăn của nó khi triển khai sang các cơ cấu khác chính là lời giải dưới dạng giải tích có thể tìm thấy hay không Đây là một khó khăn lớn vì không phải cơ cấu 6 khâu nào (không kể tình trạng dẫn động) đều có thể có lời giải dưới dạng giải tích

Hình 1.11 Sơ đồ đo kiểm momen ngõ ra và kết quả đo

Trong đề tài này chúng tôi cũng sử dụng sơ đồ tương tự để kiểm đặc tính vận tốc ngõ ra, vị trí của cảm biến mô men trên hình được thay bằng cảm biến vị trí kèm với mạch xử lý (đạo hàm) dữ liệu để lấy được đặc tính vận tốc

Theo [4] nghiên cứu này, do kết cấu của cơ cấu khá phức tạp nên việc nghiên cứu được tiến hành theo hướng cho trước kích thước và vật liệu của nó Kiểm tra hệ

số an toàn bền và tìm ra các mặt cắt nguy hiểm trên cơ cấu ở các vị trí công tác khác nhau trên cơ sở kết quả tính toán sẽ điều chỉnh các kích thước hoặc vật liệu để có được hệ số an toàn như ý muốn

1.3 Hướng nghiên cứu của đề tài

Đề tài tập trung vào giải quyết các vấn đề sau đây:

- Tổng quan về các nghiên cứu xung quanh lĩnh vực truyền động trục sử dụng khớp thấp (khớp U) và các phương pháp khảo sát động học cho loại cơ cấu này, chỉ

ra các ưu nhược điểm trong các phương pháp đó và đề xuất hướng giải quyết mới cho bài toán;

- Trình bày phương pháp và lựa chọn công cụ để giải bài toán động học khớp U nhằm xác minh khả năng truyền động đổi hướng đẳng tốc trong không gian Nếu giữa trục vào và trục ra của cơ cấu có sự biến thiên về tốc độ thì xác định định lượng được sự biến thiên này để khuyến cáo người dùng, chỉ ra nguyên nhân gây ra

sự khác biệt này trên cơ cấu;

- Thiết kế, chế tạo thiết bị thí nghiệm nhằm nghiệm lại các kết quả lý thuyết theo phương pháp do tác giả đề xuất

KẾT LUẬN

Trong các bài toán nói trên, việc nhìn nhận cơ cấu khớp U về mặt động học như một cơ cấu robot tuy đã có kể đến nhưng việc giải số các mô hình này và việc giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được là chưa được quan tâm Với kỹ thuật cố định các tham số mô tả hướng trong quá trình giải bài toán động học ngược, chúng tôi đã mô phỏng truyền động khi giải bài toán ở các tư thế làm việc khác nhau của

cơ cấu

Với cơ cấu khớp U tổng quát có rất nhiều kết cấu khác nhau và không phải tất cả trong số chúng đều chứng minh bằng giải tích được là ngõ vào và ngõ ra có quan hệ đẳng tốc với nhau Việc này còn phụ thuộc vào có tìm được lời giải động học dưới dạng giải tích hay không, trong khi theo [5] thì không có phương pháp tổng quát để tìm lời giải bài toán động học ngược cho cơ cấu robot bất kỳ từ 6 bậc

tự do trở lên dưới dạng giải tích

Các cơ cấu được đề cập đến trong các nghiên cứu nói trên mới chỉ là một phần của các cơ cấu U tổng quát, việc tìm ra một phương pháp tổng quát là hết sức cần thiết và có ý nghĩa khoa học cũng như thực tiễn

Ở góc độ định lượng, giả sử có sự bất đối xứng về kết cấu của khớp U, khi

đó không chứng minh được bằng giải tích do kết cấu bất đối xứng, lượng chênh lệch vận tốc cần có một phương pháp mới để tính toán cụ thể Đây cũng chính là mục tiêu của đề tài luận văn thạc sỹ này

Chương 2:

PHƯƠNG PHÁP GIẢM GRADIENT TỔNG QUÁT

TRONG KỸ THUẬT ROBOT

Vì cơ cấu chuyển hướng không gian sử dụng toàn khớp thấp như đề cập đến trong chương 1 sẽ được tác giả xem như một robot hụt dẫn động Công cụ hiệu quả nhất cho bài toán động học của đối tượng này là phương pháp GRG [6] Chương 2 này sẽ trình bày các vấn đề cơ bản nhất về phương pháp GRG làm cơ sở cho chương 3

2.1 Khái niệm Gradient

Trong giải tích vectơ, gradient của một trường vô hướng là một vectơ có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vô hướng:

y= f (x 1 ,…, x n) (2.1) Theo định nghĩa, gradient là một vectơ cột mà thành phần là đạo hàm theo tất cả

các biến củaf:

1 1

, ,

T n

*Ý nghĩa của gradient

Ví dụ, nhiệt độ trong một căn phòng được cho bởi một trường vô hướng t, sao cho tại mỗi điểm (x; y; z) nhiệt độ là t(x; y; z) (giả thiết rằng nhiệt độ không

thay đổi theo thời gian) Trong trường hợp này, tại mỗi điểm trong căn phòng,

gradient của t tại điểm đó cho biết hướng mà theo đó nhiệt độ tăng lên nhanh nhất

Độ lớn của gradient quyết định nhiệt độ thay đổi nhanh đến mức nào nếu ta đi theo hướng đó

Trong một ví dụ khác, một ngọn đồi có độ cao so với mực nước biển tại

điểm (x; y) là H(x; y) Gradient của H tại mỗi điểm là một vector chỉ theo hướng

dốc nhấttại điểm đó Độ dốc của dốc này được cho biết bởi độ lớn của vector gradient

Gradient còn có thể được dùng để đo sự thay đổi của một trường vô hướng theo những hướng khác, không chỉ hướng có sự thay đổi lớn nhất, bằng cách lấy tíchđiểm Trong ví dụ ở trên, giả sử dốc lên đồi dốc nhất là 40% Nếu một con đường đi thẳng lên đồi thì đoạn dốc nhất trên con đường đó cũng là 40% Nếu thay

vì đi thẳng, con đường này đi vòng quanh đồi theo một góc, nó sẽ kém dốc hơn[8]

2.2 Phương pháp giảm Gradient (Reduced Gradient)

Trong toán tối ưu, chúng ta thường xuyên phải tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc đôi khi là lớn nhất) của một hàm số nào đó Nhìn chung, việc tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm là rất phức tạp, thậm chí là bất khả thi Thay vào đó, người ta thường cố gắng tìm các điểm cực tiểu, và ở một mức độ nào đó, coi đó là nghiệm cần tìm của bài toán

Các điểm cực tiểu là nghiệm của phương trình mà tại đó đạo hàm bằng 0 Nếu bằng một cách nào đó có thể tìm được toàn bộ (hữu hạn) các điểm cực tiểu, ta chỉ cần thay từng điểm cực tiểu đó vào hàm số rồi tìm điểm làm cho hàm có giá trị nhỏ nhất Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, việc giải phương trình đạo hàm bằng 0 là bất khả thi Nguyên nhân có thể đến từ sự phức tạp của dạng của đạo hàm,

từ việc các điểm dữ liệu có số chiều lớn, hoặc từ việc có quá nhiều điểm dữ liệu

Hướng tiếp cận phổ biến nhất là xuất phát từ một điểm mà chúng ta coi

là gần với nghiệm của bài toán, sau đó dùng một phép toán lặp để tiến dần đến điểm

cần tìm, tức đến khi đạo hàm gần với 0 Giảm Gradient và các biến thể của nó là một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất [7][8]Phương pháp giảm Gradient có thể được xem như là sự mở rộng của phương pháp Gradient đối với bài toán tối ưu có ràng buộc(Linearly Constrained optimization (LC)) Xét bài toán lồi

có ràng buộc tuyến tính sau:

 Mỗi tập con của m cột của ma trận A cỡ là độc lập tuyến tính;

 Mỗi điểm cực trị của tập khả thi có ít nhất m phần tử dương (giả thuyết không suy biến)

Hoàn toàn chứng minh được rằng theo giả thuyết không suy biến, mỗi có ít nhất m phần tử dương

Nếu , gọi một tập gồm m cột B của A là một cơ sở nếu thì cột i là một cột của B Chia xthành biếncơ sở và các biến không cơ sở sao cho các biến cơ sở tương ứng với các cột của B Chú ý rằng không bắt buộc bằng 0

Để đơn giản các ký hiệu, giả thiết rằng có thể phân chia ma trận Athành A = [B, N]

và phân chia x cho phù hợp, với Do đó ta có thể viết lại Ax = b thành:

(2.4)

Do đó

( tồn tại theo giả thuyết)

Với , chúng ta sẽ chọn B là các cột tương ứng với các thành phần lớn nhất m của x

Các biến cơ sở bây giờ có thể bị loại bỏ khỏi bài toán (2.3) để có được bài toán cực tiểu:

Sao cho:

, Trong đó

Chú ý rằng bất kỳ hướng khả thi s đối với bài toán (LC) trong (2.3) đều phải thỏa mãn As = 0 Nếu chúng ta viết đối với một cơ sở B cho trước, điều kiện

As = 0 có thể viết lại thành:

Giải phương trình này được:

Nói cách khác, gradient giảm r đóng vai trò tương tự trong bài toán giảm như

gradient đã làm trong bài toán gốc (LC) Trên thực tế, gradient giảm chính xác là gradient của hàm với trong bài toán giảm

Bên cạnh đó chứng minh được rằng , trong đó:

Nhắc lại rằng phương pháp gradient sử dụng hướng tìm kiếm Tương tự, ý tưởng cơ sở cho phương pháp giảm gradient là sử dụng gradient giảm

âm như hướng tìm kiếm cho các biến , và sau đó tính hướng tìm kiếm đối với các biến từ

= (2.9)

Sự lựa chọn này đối với bảo đảm rằng và

Những hiệu chỉnh cần thiết đối với hướng tìm kiếm

Nếu chúng ta chọn , khi đó có thể xảy ra và tại phép lặp i nào đó.Trong trường hợp này và chúng ta không thể thực hiện được bước tìm kiếm Một nghiệm với tập các phần tử không cơ sở có thể có các tình huống sau:

(2.10) Chú ý rằng điều này tránh được các bước 0 và các bước rất nhỏ

Kết quả hội tụ

Vì phương pháp giảm gradient có thể được xem là một sự mở rộng của phương pháp gradient, không có gì là bất ngờ rằng các kết quả hội tụ ở phương pháp giảm gradient tương tự như đối với phương pháp gradient Giả định rằng phương pháp giảm gradient phát sinh các giá trị lặp:

Định lý 2.1Hướng tìm kiếm tại luôn là một hướng giảm có thể khả thi trừ khi

Nếu , thì là một điểm KKT của bài toán (LC)

(Điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (KKT))

So sánh điều này với phương pháp gradient trong đó, theo định nghĩa, khi và chỉ khi là một điểm dừng (

Thuật toán giảm gradient: tóm tắt

Xác định Nlà các cột còn lại của A, xác định là các phần tử của tương

 Trong toàn bộ thuật toán, nghiệm không nhất thiết phải là một nghiệm cơ

sở, do đó các tọa độ dương trong có thể xuất hiện Các biến này thường

được đề cập đến như là các biến siêu cơ sở

 Nhớ lại rằng chúng ta đã đưa ra một giả thuyết không suy biến khó kiểm tra trong thực tiễn Nếu suy biến xảy ra trong thực tế, các kỹ thuật tương tự như trong trương hợp tối ưu tuyến tính được áp dụng để giải quyết suy biến và ngăn chặn chu kỳ

 Phương pháp đơn hình lồi thu được như là sự chuyển hóa của sơ đồ giảm gradient ở trên nếu định nghĩa hướng tìm kiếm được sửa đổi Chúng ta chỉ

cho phép một tọa độ j của khác 0 và được xác định theo: Phần còn lại của tọa độ được xác định bằng 0 và , trong đó là cột thứ j của ma trận A

 Phương pháp đơn hình của LO thu được như một sự chuyên môn hóa của Phương pháp đơn hình lồi Người ta giả thuyết rằng hàm mục tiêu là tuyến tính và nghiệm đầu tiên là một nghiệm cơ sở

2.3 Phương pháp giảm Gradient tổng quát

Trước khi phát triển thuật toán giảm Gradient tổng quát, vài phương pháp quy hoạch phi tuyến đã chỉ có thể được giải quyết trong những trường hợp đặc biệt Năm 1963 và 1967, Wolfe đã phát triển một thuật toán mà có thể giải quyết các bài toán với hàm mục tiêu phi tuyến và ràng buộc tuyến tính Sự mở rộng của phương pháp của Wolfe để giải một dạng tổng quát của bài toán quy hoạch phi tuyến, với tên gọi là Generalized Reduced Gradient (GRG) đã được trình bày bởi Abadie và Carpentier vào năm 1967

Phương pháp giảm gradient có thể được tổng quát hóa cho bài toán tối ưu có ràng buộc phi tuyến Tương tự với trường hợp có ràng buộc tuyến tính, chúng ta xét bài toán với các ràng buộc là đẳng thức và các biến không âm như sau:

min f(x)

,

Trong đó các hàm f, h 1 , ,h mđược cho là khả vi và liên tục

Ý tưởng cơ sở là thay thế các phương trình phi tuyến bằng phép xấp xỉ Taylor tuyến tính của chúng tại giá trị hiện tại của x, và sau đó áp dụng thuật toán giảm gradient để cho kết quả bài toán

Giả định rằng gradient của các hàm ràng buộc là độc lập tuyến tính tại mọi điểm , và do đó mỗi x khả thi có ít nhất m phần tử dương Những giả định này bảo đảm rằng chúng ta có thể luôn áp dụng thuật toán giảm gradient đối với bài toán tuyến tính hóa Khó khăn thêm ở đây là vìvùng khả thi không phải là lồi Quy trình nàycó thể tạo ra phép lặp nằm ngoài , và sau đó cần bổ sung một số yếu tố cần thiết để khôi phục lại tính khả thi.Cho một nghiệm khả thi với

với tất cả j đã cho Theo giả thuyết ma trận Jacobian của các ràng buộc

tại mỗi có đủ hạng, để đơn giản tại điểm sẽ được

Giả định rằng tìm đượcmột B cơ sở,với Sau đó xây dựng tương tự như

áp dụngtrong trường hợp tuyến tính Chúng ta tạo ra một hướng tìm kiếm giảm gradient bằng cách giữ gần hết những ràng buộc tuyến tính hóa hợp lệ Bằng cách xây dựng theo hướng này sẽ được trong không gian rỗng của A Cụ thể, đối với các ràng buộc tuyến tính hóa ta có:

Gradient của gọi là gradient giảm có thể được biểu diễn như sau:

Từ bước tiếp theo sự hình thành hướng tìm kiếm s tiếp tục theo cách tương tựnhư trong trường hợp bị ràng buộc tuyến tính Do tính phi tuyến của các ràng buộc nhìn chung sẽ không cố định Do đó cần phải tiến hành thêm vài bước để khôi phục tính khả thi

Cần chú ý đặc biệt đến kiểm soát kích cỡ bước Kích cỡ bước lớn hơn có thể cho phép sự cải tiến lớn hơn của mục tiêu nhưng mặt khác, lại dẫn đến tính không khả thi lớn hơn của các ràng buộc

Trong các phiên bản cũ của phương pháp GRG, phương pháp Newton được

áp dụng đối với hệ đẳng thức phi tuyếnH(x) = 0 từ điểm ban đầu để tạo ra một phép lặp khả thi tiếp theo Trong những bổ sung gần đây, hướng giảm gradient được

kết hợp bởi một hướng từ không gian con trực giao (miền không gian của A T) và sau

đó thuật toánline search (rời rạc, phi tuyến) đã hiệu chỉnh được tiến hành Các sơ đồ này khá phức tạp và không được thảo luận chi tiết tại đây

2.4 Ảnh hưởng của phép tính sai phân đến độ chính xác của bài toán

Vì là phương pháp có sử dụng đạo hàm theo phân loại bài toán tối ưu nên ảnh hưởng của đạo hàm đến độ chính xác kết quả cũng như tốc độ tìm kiếm cần được bàn luận

Trước hết chúng ta nhắc lại cách tính đa thức nội suy của Newton dưới dạng tổng quát như sau:

Trên đoạn a x bcho một lưới các điểm chiax i, i = 0, 1, 2, , n:

1, 2, , n

Tại các nút x i cho giá trị của hàm số y = f(x) lày i  f x( )i , i = 1, 2, ,n

Bảng 2.1 Dữ liệu nội suy đa thức Newton

Nếu Pn(x) = pn(x) là đa thức nội suy của hàm y = f(x) thì:

Giả sử các nút xi cách đềuxi = x0 + ih, i = 0,1, ,nkhi đó h gọi là bước nội suy

Sai phân tiến cấp một tại i: yi yi 1 yi

Sai phân tiến cấp hai tại i: 2  

0 1 2 2

n 0

0 n n

y

y x , x

hy

y x , x , x

2h