KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MƠN TỐN HỌC LỚP11 ĐỀ SỐ Câu 1(4 điểm): 2x − 2y + 2x + y + 2xy + = 3y + = 8x − 2y − x > Giải hệ phương trình: (Quảng Trị) 2 x − y + x + y + xy + = 3 y + = x − y − x + 1) − ( y + 1) + (1) ⇔ ( ĐK: (2x + 1)(y + 1) ≥ (1) ⇔ ( (1) (2) ( x + 1) ( y + 1) =0 2 x + > ⇒ y +1≥ Mà x > 2x + − y + )( ) 2x + + y + = ⇔ 2x + − y + = ⇔ y = 2x 1đ ⇔ ( x + 1) + x + = ( x ) + x Thay vào (2): x + = x − x − 3 (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3) ⇔ x + = x ⇔ x3 − x = 1đ NX: x >1 khơng nghiệm phương trình Xét < (k∈ Z ) x ≤ 1: Đặt x = cos α với Do ≤α ≤ ≤α < π Ta có: cos3α = π 2π α = + k ⇔ α = − π + k 2π 1đ π π ⇒α = π π cos ;2cos ÷ 9 Vậy hệ có nghiệm an2 − 5an + 10 a1 = 1; an+1 = ∀n ≥ ∞ ( a ) − a n Câu (4 điểm): Cho dãy n n=1 : 1đ a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ tính lim an a1 + a2 + + an − < ∀n ≥ n b) Chứng minh (Hải Phòng) ≤ an ≤ ∀n a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 5− Đặt A= f '( x) = Suy đoạn xét hàm 10 ( − x) x − x + 10 10 f ( x) = = − x( x ≠ 5) 5− x 5− x − < 0∀x ∈ [1; ] , f ( x) 1,0 nghịch biến [ ;1] a1 < a3 < a5 < < a2 k −1 < < A ∃lim a2 k −1 = b ≤ A ⇒ a2 > a4 > a6 > > a2 k > > A ∃lim a2 k = c ≥ A Dẫn đến 1,0 Kết hợp công thức xác định dãy ta c − 5c + 10 b = 5− 5−c ⇔ b = c = 2 c = b − 5b + 10 5−b 1,0 5− lim an = Vậy b) Nhận xét: Dẫn đến ∀t ∈[1; 5− ) t + f (t ) < − a2 k −1 + a2 k < − ∀k ≥ ⇒ a1 + a2 + + a2 k −1 + a2 k < 2k Như bất đẳng thức với Trường hợp n = 2k + , ý 5− (1) 1,0 n = 2k a2 k +1 < 5− , kết hợp với (1) thu được: a1 + a2 + + a2 k −1 + a2 k + a2 k +1 < (2k + 1) Vậy bất đẳng thức chứng minh 5− Câu (4 điểm): Gọi AD, BE , CF ba đường phân giác tam giác ABC vuông A Đoạn thẳng AD cắt EF K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC M , N Chứng minh rằng: MN ≥ 2− ( AB + AC ) (Chu Văn An-Hà Nội) b+c ≤ BC = a , CA = b , AB = c Đặt ta có suy a bc bc AF = , AE = a+b a+c Dùng tính chất đường phân giác tính Dùng phương pháp diện tích, cơng thức đường phân giác tính 2bc AE AF 2bc AD = , AK = = b+c AE + AF 2a + b + c 1,0 AK b+c MN b+c = → = a 2a + b + c Từ AD 2a + b + c 1 2− MN = (b + c) ≥ (b + c) = ( AB + AC ) b+c 2 + 2+ a Suy ra: 1,0 a =b +c 2 ( b + c) ≥ 0,5 1,0 0,5 Câu 4(4 điểm): Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) f x + y = xf ( x ) + yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ (1) (Thái Bình) Đáp án: ( ) f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 1) suy f y = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ Cho x = , từ ( 1) suy Cho y = , từ Do (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) f x + y = f x + f y , ∀x, y ∈ ¡ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ≥ ( 1) ta : thay y − y từ ( *) ( ) f x + y = xf ( x ) − yf ( − y ) ⇒ − yf ( − y ) = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ ⇒ f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ − yf ( − y ) = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ ⇒ f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ , chứng tỏ f hàm số lẻ Do với x ≥ 0, y ≤ ta có f ( x − y) = f ( x + ( − y) ) = f ( x) + f ( − y) = f ( x) − f ( y) ⇒ f ( x) = f ( x − y ) + f ( y) ⇒ f ( ( x − y) + y) = f ( x − y) + f ( y) ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ≥ 0, ∀y ≤ ( **) Với x ≤ 0, y ≤ ta có f ( x + y ) = − f ( −x − y ) = − ( f ( −x) + f ( − y ) ) = − ( − f ( x) − f ( y ) ) = f ( x ) + f ( y ) Kết hợp ( *) , ( **) , (***) ta f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x , y ∈ ¡ f ( ( x + 1) ) = f ( x 2 ( ***) ) + 2x + ( ) ⇔ ( x + 1) f ( x + 1) = f x + f ( x ) + f ( 1) ⇔ ( x + 1) ( f ( x ) + f ( 1) ) = xf ( x ) + f ( x ) + f ( 1) tính f ⇔ f ( x ) = xf ( 1) , ∀x ∈ ¡ ( ( x + 1) ) theo hai cách Ta có ⇔ f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ , a ∈ ¡ Câu (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên khơng lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số chọn số số có tổng 100 (Yên Bái) Đáp án: Nếu tất số tất số Khi ta l 50 s ố có 1,0 tổng 100 Giả sử a ≠ a ta xét 100 số có dạng < a1 ,a ,a1 + a ,a + a + a , ,a1 + a + + a 99 < 200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200 Nếu khơng có số chia hết cho 100 100 s ố phải có hai s ố đ ồng d phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị t đến 99) suy hi ệu c chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm HẾT 1,0 1,0 1,0 ... + 1) ) = f ( x 2 ( ***) ) + 2x + ( ) ⇔ ( x + 1) f ( x + 1) = f x + f ( x ) + f ( 1) ⇔ ( x + 1) ( f ( x ) + f ( 1) ) = xf ( x ) + f ( x ) + f ( 1) tính f ⇔ f ( x ) = xf ( 1) , ∀x ∈ ¡ ( ( x + 1). .. xf ( x ) + yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ (1) (Thái Bình) Đáp án: ( ) f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 1) suy f y = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ Cho x = , từ ( 1) suy Cho y = , từ Do (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) f x +... bất đẳng thức với Trường hợp n = 2k + , ý 5− (1) 1,0 n = 2k a2 k +1 < 5− , kết hợp với (1) thu được: a1 + a2 + + a2 k −1 + a2 k + a2 k +1 < (2k + 1) Vậy bất đẳng thức chứng minh 5− Câu (4 điểm):