KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN HỌC LỚP10 ĐỀ SỐ Câu (4 điểm): Giải phương trình sau tập số thực x 3 x 15 x x 9 x 27 x 14 11 CÂU (Quốc học Huế) NỘI DUNG ĐIỂM �x � Điều kiện: Đặt a x , b x ( a, b �0 ) Suy 1,0 � �a b � 2b 1 a 2a 1 b 2ab 11 � �2 p s 5 �s p 5 � � �2 p s 5 � �� � �3 2 s s s s 11 sp s p 11 � �s s s � s a b, p ab 2 a2 � � � � �b � � � p s 5 � � �a �p �� � � � � b2 � s 3 s s � � �s �x �� x2 � Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x x 1,0 1,0 1,0 Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC ( BC AC ) Gọi M trung điểm AB , AP vng góc với BC P , BQ vng góc với AC Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T Chứng minh TH CM , H trực tâm tam giác ABC (Bắc Ninh) D Khi AP, BQ, CD đồng quy nên T , B, D, A hàng điểm điều hòa ( (TBDA) 1 ) Gọi CD AB T B D P H M A C Q Do ta có TM TD TATB Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM ngoại tiếp tứ giác ABPQ , tâm hai đường tròn nằm CM Nhưng TM TD TATB hai đường tròn nói HP.HA HQ.HB nên H ,T nằm trục đẳng phương Do ta có TH CM (ĐPCM) 3 f f ( x ) x x f : � � � � Bài (4 điểm): Cho hàm số ( tập số thực) thỏa mãn với x �� Chứng minh tồn số thực phân biệt a, b, c cho f (a) f (b) f (c) (Vĩnh Phúc) Nội dung trình bày Điểm g ( x) x3 x f f ( x ) g ( x) Suy f g ( x) f f f ( x ) g f ( x ) Đặt f f ( x) g ( x ) Dễ thấy g ( x ) đơn ánh nên từ suy f ( x ) đơn ánh � 1� g ( x ) � g ( x0 ) x0 � x0 �� 0; ; � � 2 Gọi x0 điểm cố định hàm f ( x0 ) f g ( x0 ) g f ( x0 ) Ta có , suy f ( x0 ) điểm cố định hàm 1,0 1,0 1,0 g ( x) � 1� D� 0; ; � f ( x ) song ánh tập � 2 nên � 1� f� � f (0) � 2� Từ ta có điều phải chứng minh Bài (4 điểm): �1 � f � � �2 � 1,0 Tìm giá trị lớn k để bất đẳng thức sau với giá trị a, b, c : a4 + b4 + c4 + abc( a + b+ c) �k( ab+ bc + ca) (Lê Q Đơn - Đà Nẵng) Vì bất đẳng thức với giá trị a, b, c nên phải với ޣa= b= c= Ta chứng minh Xét k= k k= gtln 1,0 bất đẳng thức trở thành 2 a4 + b4 + c4 + abc( a + b+ c) � ( ab+ bc + ca) (1) � 3( a + b4 + c ) �2( a 2b + b c + c a ) + abc ( a + b + c) 1,0 Áp dụng bđt AM – GM ta có ( a + b4 ) +( b4 + c4 ) +( b4 + c4 ) �2a 2b2 + 2b2c + 2c 2a 3( a + b + c ) �3( a 2b + b 2c + c a ) Suy (2) Mặt khác 1,0 a b + b c + c a - abc ( a + b + c ) 2 2 2 1 2 = ( ab - bc ) + ( bc - ca ) + ( ca - ab) �0 2 (3) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k= 1,0 2013n - chia hết cho 22014 Bài (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ để (Nam Định) k Xét n = t với k, t số tự nhiên t số lẻ n n Đặt 2013 - = a - ( ) k a n - = a t - = a n k Do t số lẻ nên a - 1M t ( k )( ) - = a2 - [ a2 2014 k k k n Do a - 1M 2014 2i - +1 chia dư � (k - 1) + �2014 k- k + + a +1] � a - 1M22014 a - = (a - 1)(a +1)(a +1) ( a Ta có a chia dư nên a t- +1) Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n = 2012 -HẾT - ... 2014 k k k n Do a - 1M 2014 2i - +1 chia dư � (k - 1) + �2014 k- k + + a +1] � a - 1M22014 a - = (a - 1)( a +1)( a +1) ( a Ta có a chia dư nên a t- +1) Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n = 2012 -HẾT -... - abc ( a + b + c ) 2 2 2 1 2 = ( ab - bc ) + ( bc - ca ) + ( ca - ab) �0 2 (3) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k= 1,0 2013n - chia hết cho 22014 Bài (4 điểm): Tìm số nguyên dương n... Xét k= k k= gtln 1,0 bất đẳng thức trở thành 2 a4 + b4 + c4 + abc( a + b+ c) � ( ab+ bc + ca) (1) � 3( a + b4 + c ) �2( a 2b + b c + c a ) + abc ( a + b + c) 1,0 Áp dụng bđt AM – GM ta có ( a