2013 balkan mo

thcmn.wordpress.com Balkan MO 2013 Trong tam giác , đường tròn bàng tiếp góc 𝐴 tiếp xúc 𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝐶 𝑄, đường tròn bang tiếp góc tiếp xúc 𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝐶 𝑁 Để 𝐾 hình chiếu 𝐶 lên 𝑀𝑁 để 𝐿 hình chiếu 𝐶 lên 𝑃𝑄 Chứng tứ giác nội tiếp (Bulgaria) Tìm tất nguyên dương (𝑥, 𝑦, 𝑧) cho (Serbia) Để 𝑆 tập hợp số thực dương Tìm tất hàm 𝑓 ∶ 𝑆 → 𝑆 cho, với tất số thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑣à 𝑘, điều kiện sau thỏa mãn: (a) 𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧 𝑓(𝑧, 𝑦, 𝑥), (b) 𝑓 𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘 𝑧 = 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , (c) 𝑓 1, 𝑘, 𝑘 + = 𝑘 + 1, (United Kingdom) Trong thi Tốn, có số thí sinh bạn; bạn chung, tức 𝐴 bạn 𝐵, 𝐵 bạn 𝐴 Ta cho 𝑛 ≥ thí sinh khác A1, A2, …, An tạo thành vòng tròn bạn-yếu Ai khơng bạn Ai+1 với ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 (với An +1 = A1), khơng có cặp khơng bạn khác vòng tròn Tính chất sau ln thõa mãn: "Với thí sinh 𝐶 vòng tròn bạn-yếu mà khơng bao gồm 𝐶 đó, tập hợp thí sinh 𝐷 mà khơng bạn ln có phần tử." Chứng minh thí sinh thi Tốn xếp hết vào phòng, cho hai người phòng bạn (Serbia) Website: thcmn.wordpress.com