SH tan NQ phuong trinh diophant va day so

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT VÀ BÀI TỐN DÃY SỐ Nguyễn Quang Tân THPT Chuyên Lào Cai Tóm tắt nội dung Đặc trưng phương trình kiểu Pell số phương trình quy phương trình kiểu Pell có tập nghiệm biểu diễn thơng qua dãy số Vì từ phương trình Diophant ta tạo toán dãy số nguyên, tìm cách giải cho tốn Ví dụ đề thi học sinh giỏi Quốc gia mơn tốn năm 1999 năm 2012 có hai toán dãy số, hai toán gắn với phương trình Diophant u2 − 5v2 = −4 x2 − 4xy + y2 + = mà quy phương trình kiểu Pell u2 − 3v2 = −2 Khi giải toán có hai hướng sử dụng cơng thức nghiệm phương trình kiểu Pell sử dụng phương pháp Vieta Jumping [2] Với cách tiếp cận viết nêu cách tạo số toán dãy số nguyên từ phương trình Diophant Xét phương trình u2 − Dv2 = (1) Nếu (u,v) nghiệm phương trình (±u, ±v) nghiệm phương trình Vì viết ta quan tâm đến nghiệm nguyên dương Giả sử (u1 , v1 ) (u2 , v2 ) nghiệm nguyên dương phương trình (1) v1 < v2 u1 < u2 nên ta thứ tự tất nghiệm nguyên dương phương trình (1) theo v Ta gọi nghiệm nhỏ theo thứ tự nghiệm sở phương trình (1) Định lý (Nghiệm phương trình Pell) Nếu D số nguyên dương số phương u2 − Dv2 = có vơ hạn nghiệm ngun dương nghiệm tổng qt cho (un , ) với n ≥ 1, un+1 = aun + Dbvn , vn+1 = bun + avn , (2) (u1 , v1 ) = ( a, b) nghiệm sở nghĩa nghiệm mà b > nhỏ Công thức truy hồi sinh đẳng thức Brahmagupta a2 + nb2 c2 + nd2 = ( ac − nbd)2 + n( ad + bc)2 = ( ac + nbd)2 + n( ad − bc)2 , (3) THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Chú ý Ta viết ngắn dãy (un ) (vn ) xác định √ √ un + D = ( a + b D )n Từ ta có cơng thức (un ) (vn ) là: √ √ ( a + b D )n + ( a − b D )n un = ; √ √ (4) ( a + b D )n − ( a − b D )n √ = D √ √ Do a + b D, a − b D nghiệm phương trình X − 2aX + = nên ta có cơng thức truy hồi độc lập cho un , u0 = 1; u1 = a; un+1 = 2aun − un−1 ; (5) v0 = 0; v1 = b; vn+1 = 2avn − vn−1 (6) Bạn đọc xem chứng minh định lý mục Solving Pell’s Equation tài liệu [1] Bây áp dụng định lý để tạo số toán dãy số Ví dụ Trước hết ta bắt đầu với phương trình đơn giản: u2 − 3v2 = (7) Phương trình có nghiệm sở ( a, b) = (2, 1) nên nghiệm tổng quát phương trình (un ; ) xác định bởi: u1 = 2;un+1 = 2un + 3vn v1 = 1;vn+1 = un + 2vn (8) Ta tìm cơng thức truy hồi cho dãy (vn ) từ (4) sử dụng (8) sau: vn+2 = un+1 + 2vn+1 = 2un + 2vn+1 + 3vn Thay un = vn+1 − 2vn vào đẳng thức ta vn+2 = 4vn+1 − Vậy dãy (vn ) xác định bởi: v1 = 1; v2 = 4; vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Tương tự dãy (un ) xác định cách độc lập u1 = 2, u2 = 7, un+2 = 4un+1 − un với n ≥ √ √ 1 √ mà < √ < nên = un − Ta có un − = un + un + √ √ √ √ nên un = 3vn Tương tự un − 3vn = un + Từ kết ta phát biểu vài toán sau: (9) THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Bài tốn Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Chứng minh 3v2n + số phương với n ≥ Bài toán Cho dãy số xác định u1 = 2, u2 = 7, un+2 = 4un+1 − un với n ≥ Chứng minh √ √ √ √ un = (2 + 3)n − (2 − 3)n Bây ta xét phương trình mà đưa phương trình (7) x2 − 4xy + y2 = (10) Phương trình biến đổi thành ( x − 2y)2 − 3y2 = Bằng cách đặt u = | x − 2y| v = y ta có u2 − 3v2 = Từ y = | x − 2y| = un un , xác định công thức (8) Xảy trường hợp: Nếu x − 2y = un x = un + 2vn = vn+1 Nếu x − 2y = −un x = −un + 2vn = vn−1 Vậy tất nghiệm nguyên dương phương trình (10) {vn , vn+1 } với n ≥ Từ ta phát biểu số tốn sau Bài toán Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Hai số nguyên dương a, b thỏa mãn a2 − 4ab + b2 = Chứng minh a, b hai số hạng dãy số (vn ) Bài toán Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − Chứng minh 4vn vn+1 + tổng hai bình phương Định lý (Nghiệm phương trình kiểu Pell) Cho số nguyên dương D khơng phải số phương N số nguyên khác Giả sử S0 tập hợp tất nghiệm phương trình x2 − Dy2 = N (11) thỏa mãn điều kiện y2 ≤ max Nb2 , − Na2 D , ( a, b) nghiệm nguyên sở phương trình u2 − Dv2 = Khi tất nghiệm phương trình (11) ( xn , yn ) xác định x1 = α, y1 = β, xn+1 = axn + Dbyn , yn+1 = bxn + ayn với n ≥ (α, β) ∈ S0 THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Bạn đọc tham khảo chứng minh định lý tài liệu [3] Ta gọi nghiệm thuộc tập S0 định lý nghiệm sở nghiệm sở xác định dãy ( xn , yn ) nghiệm phương trình (11) Ví dụ Bây ta xét phương trình x2 − 4xy + y2 = −2 (12) Ta viết lại phương trình: ( x − 2y)2 − 3y2 = −2 Bằng cách đặt u = | x − 2y|, v = y ta thu phương trình u2 − 3v2 = −2 (13) Nghiệm sở phương trình Pell tương ứng u2 − 3v2 = ( a, b) = (2, 1) Áp dụng định lý ta thấy phương trình (13) có nghiệm sở (u1 , v1 ) = (1, 1) Suy tất nghiệm nguyên dương phương trình (13) (un , ) xác định u1 = 1,un+1 = 2un + 3vn (14) v1 = 1,vn+1 = un + 2vn Kết chứng minh mà không cần sử dụng định lý Thật quy nạp ta dễ dàng chứng minh u2n − 3v2n = −2 Bây ta sử nguyên lý cực hạn để chứng minh phương trình (13) khơng có nghiệm khác ngồi nghiệm ( u v , v n ) Giả sử tồn nghiệm nguyên dương phương trình (12) mà khơng có dạng (un , ), gọi ( a, b) nghiệm nhỏ nghiệm Do đẳng thức Brahmagupta (3) nên (2a − 3b, 2b − a) thỏa mãn phương b 2 trình (13) Ta có b ≥ 4b > a = 3b − = b + − > b2 Do 4 b < a < 2b Suy (2a − 3b, 2b − a) nghiệm nguyên dương phương trình (13) 2b − a < b Do tính nhỏ ( a, b) nên tồn k để (2a − 3b, 2b − a) = (uk , vk ) Dẫn tới ( a, b) = (2uk + 3vk , uk + 2vk ) = (uk+1 , vk+1 ) Mâu thuẫn với cách chọn ( a, b) Từ ta có y = x = un + 2vn = vn+1 x = −un + 2vn = vn−1 Vậy tất nghiệm phương trình (12) {vn , vn+1 } với n ≥ Từ (14) ta xây dựng dãy (vn ) độc lập xác định v1 = 1, v2 = 3, vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ (15) Từ kết ta đưa toán sau: Bài toán Cho dãy (vn ) xác định v1 = 1, v2 = 3, vn+2 = 4vn+1 − a, b số nguyên dương thỏa mãn a2 + b2 + = 4ab Chứng minh a, b hai số hạng dãy số (vn ) THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Bài toán kết hợp với toán tiếp theo, cho ta đề thi VMO 2012 Bài toán Cho a, b số nguyên dương mà ab chia hết a2 + b2 + Chứng minh a2 + b2 + = ab a2 + b2 + = k ∈ N∗ Lời giải Giả sử ab Đặt S = {( x, y) ∈ N∗ × N∗ | x2 + y2 + = kxy} Vì ( a, b) ∈ S nên S = ∅ Giả sử ( A, B) ∈ S cặp số với A + B nhỏ S Giả sử A > B Xét phương trình x2 − kBx + B2 + = có nghiệm x1 = A Theo định lý Viet phương trình có nghiệm B2 + x2 = kB − A = A Theo công thức nghiệm rõ ràng x2 nguyên dương Như ( x2 , B) thuộc S Vì B < A nên B + ≤ A suy B2 + 2B + ≤ A2 B2 + < A2 A2 B2 + < = A A A Vậy x2 + B < A + B mâu thuẫn với tính nhỏ ( A, B) Suy x2 = Dẫn đến A = B Suy A2 | 2( A2 + 1) nên A2 | Suy A = Vậy k = Bài toán (VMO 2012) Xét số tự nhiên lẻ a, b mà a ước số b2 + b ước số a2 + Chứng minh a b số hạng dãy số tự nhiên (vn ) xác định v1 = v2 = = 4vn−1 − vn−2 với n ≥ Lời giải Giả sử ( a, b) cặp số tự nhiên lẻ mà a ước số b2 + b ước số a2 + Trước hết ta chứng minh ( a, b) = Thật vậy, đặt d = ( a, b) d| a mà a|b2 + nên d|b2 + 2, mặt khác d | b nên d | Mà a, b lẻ nên d lẻ, suy d = Xét số N = a2 + b2 + a2 + chia hết cho b nên N chia hết cho b Tương tự, N chia hết cho a Vì ( a, b) = nên từ suy N chia hết cho ab Theo tốn a2 + b2 + = 4ab (16) Ta thấy {vn−1 , } nghiệm phương trình (16) {4vn − vn−1 , } nghiệm (16) Nói cách khác {vn , vn+1 } nghiệm phương trình (16) Vì {v1 , v2 } nghiệm (16) nên {vn , vn+1 } nghiệm (16) với n ≥ Giả sử tồn cặp số ( a, b) thỏa mãn (16) không tồn n cho { a, b} = {vn , vn+1 } Trong cặp số thế, chọn ( a, b) có tổng a + b nhỏ Không THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số tính tổng quát, giả sử a > b (chú ý a khơng thể b a = b suy a = b = 1, { a, b} = {v1 , v2 }) Theo nhận xét {4b − a, b} nghiệm (16) Nhưng 4b − a = + 2)/ a < a nên 4b − a + b < a + b Theo định nghĩa ( a, b) trên, phải tồn n cho {4b − a, b} = {vn , vn+1 } (b2 Hơn b − (4b − a) = a − 3b mà a2 − 3ab + 3b2 − ab = 2b2 − hay ( a − 3b)( a − b) = 2(b2 − 1) ≥ suy 4b − a ≤ b Như 4b − a = , b = vn+1 Nhưng từ a = 4vn+1 − = vn+2 , tức { a, b} = {vn+1 , vn+2 } mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, tức phải tồn số tự nhiên n cho { a, b} = {vn , vn+1 } a, b số hạng dãy (vn ) Bài tốn giải hồn tồn Ta thấy dãy (vn ) xác định (9) thỏa mãn v2n+1 − 4vn vn+1 + v2n = dãy (vn ) xác định (15) thỏa mãn v2n+1 − 4vn vn+1 + v2n = −2 Như từ đẳng thức mà dãy số thỏa mãn ta xây dựng phương trình mà dãy nghiệm Xét dãy số Fibonacci cho F1 = 1, F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn với n ≥ Dãy số thỏa mãn đẳng thức Fn2 − Fn Fn−1 − Fn2−1 = (−1)n+1 Hay chi tiết ta có: 2 F2n − F2n F2n−1 − F2n −1 = − 2 F2n +1 − F2n+1 F2n − F2n =1 Từ ta dự đốn kết sau: Bài toán Tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − xy − y2 = −1 (17) ( F2n , F2n−1 ) với n ≥ Tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − xy − y2 = ( F2n+1 , F2n ) với n ≥ (18) THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant toán dãy số Lời giải Ta thấy nghiệm nguyên dương phương trình (17) thỏa mãn x= 5y2 − y+ nên y tăng x tăng, nghiệm ngun dương phương trình (17) thứ tự theo y Tương tự nghiệm nguyên dương phương trình (18) thứ tự theo y Giả sử phương trình (17) có nghiệm ngun dương khơng có dạng ( F2n , F2n−1 ), nghiệm gọi ( a, b) nghiệm nhỏ Dễ thấy a > b > (b, a − b) nghiệm phương trình (18), nghiệm khơng có dạng ( F2n+1 , F2n ) Vì tồn k để (b, a − b) = ( F2k+1 , F2k ) ( a, b) = ( F2k+1 + F2k , F2k+1 ) = ( F2k+2 , F2k+1 ) Điều mâu thuẫn với cách chọn ( a, b) Gọi (m, n) nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình (18) khơng có dạng ( F2n+1 , F2n ) Ta có m > n > (n, m − n) nghiệm nguyên dương phương trình (17), lập luận tương tự ta thấy (n, m − n) nghiệm có dạng ( F2n , F2n−1 ) Do cách chọn ( a, b) (m, n) ta có m − n ≥ b ≥ m Mâu thuẫn, tốn chứng minh Xét phương trình u2 − 5v2 = −4 (19) Nếu (u, v) nghiệm phương trình (19) u, v có tính chẵn lẻ Bằng u+v cách x = y = v ta phương trình (17) u+v Nên , v = ( F2n , F2n−1 ) nên (u, v) = (2F2n − F2n−1 , F2n−1 ) Ta đặt un = 2F2n − F2n−1 = F2n + F2n−2 = F2n−1 Do tính chất dãy ( Fn ) ta có: F2n+3 = 3F2n+1 − F2n−1 , F2n+4 = 3F2n+2 − F2n Suy dãy (un ), (vn ) xác định u1 = 1, u2 = 4, un+2 = 3un+1 − un v1 = 1, v2 = 2, vn+2 = 3vn+1 − Hai dãy số thỏa mãn hệ thức: un+1 = 3un + 5vn ; Từ ta có tốn vn+1 = un + 3vn (20) THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Bài toán (VMO 1999) Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau x1 = 1, x2 = 4, xn+2 = 3xn+1 − xn với n ≥ 1, y1 = 1, y2 = 2, yn+2 = 3yn+1 − yn với n ≥ Chứng minh số nguyên dương a, b thõa mãn phương trình a2 − 5b2 = −4 tồn số nguyên dương k cho a = xk , b = yk 3xn + 5yn xn + 3yn Lời giải Dễ dàng chứng minh xn+1 = yn+1 = 2 Xét phương trình u2 − 5v2 = −4 (21) suy u 2 −5 v 2 = −1 Mặt khác (3, 1) nghiệm phương trình u2 − 5v2 = nên theo đẳng 3u − 5v 3v − u 3u + 5v u + 3v ; ; nghiệm thức Brahgamutap 2 2 phương trình (21) Dễ dàng chứng minh ( xn , yn ) ln nghiệm phương trình (21) Giả sử ( a, b) nghiệm phương trình (21) mà khơng tồn k để ( a, b) = ( x k , y k ) Gọi ( A, B) nghiệm nhỏ Nếu B = A = ( A, B) = ( x1 , y1 ) nên B > 3A − 5B số nguyên dương 3B − A số nguyên dương Mặt khác A2 < 5B2 < 9B2 nên 3B > A suy 3A − 5B 3B − A Vậy ; nghiệm nguyên dương phương trình (21) 2 3B − A mà < B 3A − 5B 3B − A Do tính nhỏ ( A, B) nên tồn k để ; = ( xk , yk ) 2 3xk + 5yk xk + 3yk ( A, B) = ; = ( xk+1 , yk+1 ) Vô lý 2 Suy A2 = 5B2 − ≥ 4A2 nên A ≥ 2B suy Trong báo The Method of Vieta Jumping [2] có tốn sau: Bài tốn 10 Cho a, b số nguyên dương mà ab chia hết a2 + b2 + Chứng minh a2 + b2 + = ab a2 + b2 + Lời giải Giả sử = k ∈ N∗ Gọi S tập nghiệm nguyên dương ab phương trình x2 + x2 + = k, xy THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Vì ( a, b) ∈ S nên S = ∅ Gọi ( A, B) nghiệm nguyên dương có tổng thành phần nhỏ S Nếu A > B ta xét phương trình t2 + B2 + =k tB phương trình tương đương với t2 − kBt + B2 + = ta biết t1 = A nghiệm phương trình Nghiệm lại t2 = kB − A = B2 + A Từ công thức ta thấy t2 số nguyên dương B < A nên B2 + < ( B + 1)2 ≤ A2 nên t2 < A Như (t2 , B) ∈ S t2 + B < A + B Suy A = B ta có: A2 |(2A2 + 1) dẫn tới A = nên k = Từ toán đặt tốn sau: Bài tốn 11 Giải phương trình: x2 + y2 + = 3xy (22) Lời giải Nhân vào vế phương trình ta 4x2 + 4y2 − 12xy = −4 từ ta có: (2x − 3y)2 − 5y2 = −4 Từ ta thu y = |2x − 3y| = un un + 3vn = vn+1 −un + 3vn Nếu 2x − 3y = −un x = = vn−1 Vậy tất nghiệm nguyên dương phương trình (22) { x, y} = {vn , vn+1 } Nếu 2x − 3y = un x = Như từ hai kết ta phát biểu tốn sau: Bài toán 12 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a chia hết b2 + b chia hết a2 + Chứng minh a, b hai số hạng dãy số (vn ) xác định bởi: v0 = 1, v1 = 2, vn+2 = 3vn+1 − Lời giải Ta đưa lời giải không sử dụng công thức nghiệm phương trình kiểu Pell sau Từ a | b2 + b | a2 + ta có: ab | a2 + b2 + dẫn đến a2 + b2 + = 3ab Xét phương trình x2 + y2 + = 3xy (23) THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Dễ dàng chứng minh quy nạp {vn , vn+1 } nghiệm phương trình (22) Giả sử { a, b} nghiệm phương trình (22) mà không tồn n để { a, b} = { v n , v n + } Gọi { A, B} nghiệm mà A + B nhỏ nghiệm Nếu A = B = A2 | 2A2 + nên A2 | suy A = B = { A, B} = {v1 , v2 } Mâu thuẫn Khơng tính tổng qt giả sử A > B Xét phương trình t2 − 3Bt + B2 + = có nghiệm t1 = A t2 = 3B − A = B2 + A Rõ ràng t2 nguyên dương B + ≤ A nên B2 + 2B + ≤ A2 suy B2 + < A2 nên t2 < A Suy t2 + B < A + B Dẫn đến tồn n để {vn , vn+1 } = {3B − A, B} Mặt khác B − (3B − A) = A − 2B mà A2 − 2AB + 2B2 − AB = B2 − nên ( A − 2B)( A − B) = B2 − ≥ nên A − 2B ≥ suy B ≥ 3B − A Do = 3B − A vn+1 = B Suy A = 3vn+1 − = vn+2 Vô lý Ta xét tiếp phương trình Diophant đẹp Bài tốn 13 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 + y2 + x + y + = xyz Lời giải Giả sử ( a, b, k) nghiệm phương trình Ta có: a2 + b2 + a + b + = k ab S tập nghiệm nguyên dương phương trình x2 + y2 + x + y + = k xy Vì ( a, b) ∈ S nên S = ∅ Gọi ( A, B) ∈ S cho A + B nhỏ Khơng tính tổng qt giả sử A ≥ B Nếu A > B Xét phương trình: t2 + B2 + t + B + = k ⇔ t2 + (1 − kB)t + B2 + B + = Bt Có nghiệm t1 = A t2 = kB − − A = B2 + B+1 A Ta thấy t2 nguyên dương nên (t2 , B) ∈ S 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Do B < A nên ( B + 1)2 ≤ A2 suy B2 + B + < A2 dẫn đến t2 < A Do t2 + B < A + B mâu thuẫn với tính nhỏ A + B Vậy A = B A2 | 2A2 + 2A + nên A2 | ( A + 1)2 hay A | A + Suy A = Vậy k = Xét dãy số v1 = 1, v2 = vn+2 = 5vn+1 − − Dễ dàng chứng minh quy nạp {vn , vn+1 } nghiệm phương trình Giả sử { a, b} nghiệm phương trình mà khơng tồn n để { a, b} = {vn , vn+1 } Trong nghiệm gọi { A, B} nghiệm mà A + B nhỏ Nếu A = B A = nên { A, B} = {v1 , v2 } Mâu thuẫn Giả sử A > B xét phương trình t2 − (5B − 1)t + B2 + B + = Phương trình có nghiệm t1 = A t2 = 5B − A − = B2 + B+1 A Ta thấy t2 số nguyên dương, B + ≤ A nên B2 + B + < A nên t2 < A Suy t2 , B nghiệm phương trình mà t2 + B < A + B Tồn n để {t2 , B} = {vn , vn+1 } Mặt khác B − t2 = A + − 4B Mà A2 + B2 + A + B − 5AB + = ⇔ A( A + − 4B) − B( A + − 4B) = 3B2 − 2B − ⇔ ( A + − 4B)( A − B) = (3B + 1)( A − B) ≥ Hay 5B − A − ≤ B nên 5B − A − = B = vn+1 suy A = 5vn+1 − − = vn+2 Vơ lý Từ tốn ta xây dựng toán "dãy số" sau: Bài toán 14 Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a | b2 + b + b | a2 + a + Chứng minh a, b số hạng dãy số (vn ) xác định v1 = 1, v2 = vn+2 = 5vn+1 − − Tài liệu [1] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, Springer, 2010 [2] Yimin Ge, The Method of Vieta Jumping, Mathematical Reflections 5, 2007 [3] Phan Huy Khải, Chuyên đề 5: Phương trình nghiệm nguyên, NXBGD, 2006 11 ...THPT CHUN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Chú ý Ta viết ngắn dãy (un ) (vn ) xác định √ √ un + D = ( a + b D )n Từ ta... un+1 = 2aun − un−1 ; (5) v0 = 0; v1 = b; vn+1 = 2avn − vn−1 (6) Bạn đọc xem chứng minh định lý mục Solving Pell’s Equation tài liệu [1] Bây áp dụng định lý để tạo số toán dãy số Ví dụ Trước hết ta... Tương tự un − 3vn = un + Từ kết ta phát biểu vài toán sau: (9) THPT CHUYÊN LÀO CAI Phương trình Diophant tốn dãy số Bài tốn Cho dãy số (vn ) xác định v1 = 1; v2 = vn+2 = 4vn+1 − với n ≥ Chứng